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Semestral Uni - Geometría semana 12(1)
Edu silva
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ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES GEOMETRÍA SEMANA 12 3 OBJETIVOS 1 2 Identificar los teoremas más usuales para calcular el área de una región cuadrangular. Reconocer los principales teoremas para calcular la razón de áreas de dos o más regiones cuadrangulares. Emplear lo aprendido en la resolución de problemas tipo examen de admisión. ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR TEOREMA (Fórmula Trigonométrica ) El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto entre las longitudes de sus diagonales por el seno de la medida angular que éstas determinan. 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝑑1 𝑑2 𝜃 Se cumple: (𝒅𝟏)(𝒅𝟐) 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = Región cuadrangular convexa Región cuadrangular no convexa 𝑃𝑀 𝑁 𝐿 𝑑2 𝑑1 Se cumple: (𝒅𝟏)(𝒅𝟐) 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝝎𝔸 𝑴𝑵𝑷𝑳 = 𝜔 𝐷 𝐶 𝐵 𝐴 𝐷 𝐶 𝐵 𝐴 𝔸𝑨𝑩𝑪𝑫 = (𝒅𝟏)(𝒅𝟐) 𝟐 𝑑2𝑑1 𝑑1 𝑑2 OBSERVACIÓN Dado un triangulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan exteriormente los cuadrados ABDE y BFGC que limitan regiones cuyas áreas suman 100 𝑚2 . Si M es punto medio de AC, calcule el área de la regiónMDBF. RESOLUCIÓN Piden 𝔸𝑀𝐷𝐵𝐹 ∴ 𝔸𝑀𝐷𝐵𝐹 = 25 PRACTIQUEMOS 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 𝐹 𝐺 𝐸 𝑀 𝔸𝐴𝐵𝐷𝐸 + 𝔸𝐵𝐹𝐺𝐶 = 100 𝑏 𝑎2 + 𝑏2 = 100 • ⊿𝐴𝐵𝐶: 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠 (𝐴𝐶)2= 𝑎2 + 𝑏2 𝐴𝐶 = 10 55 → 𝐷𝐹 = 10 𝔸𝑀𝐷𝐵𝐹 = 5(10) 2 𝐴) 20 𝐷)30 𝐵) 50 𝐸) 40 𝐶)25 𝐷 𝐶 𝐵 𝐴 𝑑1 𝑑2 𝔸𝑨𝑩𝑪𝑫 = (𝒅𝟏)(𝒅𝟐) 𝟐 ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES (Relación de áreas)TEOREMA TEOREMAS Del gráfico, se cumple: 𝔹 ∙ 𝔻𝔸 ∙ ℂ = Del gráfico, se cumple: 𝑺𝟏 + 𝑺𝟐 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑁 𝐿 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 Respecto a las diagonales Si 𝑩𝑵 = 𝑵𝑪, 𝑪𝑳 = 𝑳𝑫𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝕄 𝔸 2 = Del gráfico, se cumple: 𝑺𝟏 + 𝑺𝟐 =𝕄 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑄 𝑀 𝑁 𝐿 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑀 𝑁 Si 𝑴,𝑵, 𝑳,𝑸 son puntos medios Si 𝑩𝑴 = 𝑴𝑪,𝑨𝑵 = 𝑵𝑫 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝔸 2 = Del gráfico, se cumple: 𝑑 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 𝑑 𝑺𝟏 + 𝑺𝟑 =𝑺𝟐 + 𝑺𝟒 𝔸 4 = 𝑀𝑁𝐿𝑄: 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 Además: 𝕄 =𝑺𝟏 + 𝑺𝟐 + 𝑺𝟑 + 𝑺𝟒 𝔸 2 = ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES REGIÓN TRAPECIAL 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 OBSERVACIÓN ℎ 𝑏 𝑎 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 Se cumple: 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝒂 + 𝒃 𝟐 ∙ 𝒉 𝑚 𝑑𝑎 𝑎 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 =𝑚 ∙ 𝑑 𝑀 Si 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 Se cumple: RELACIÓN DE ÁREAS EN LA REGIÓN TRAPECIAL Donde: ℎ, es la longitud de la altura. 𝑀 Se cumple: 𝑺𝟏 = 𝑺𝟐 Además: 𝑺𝟏 = 𝔸 ∙ 𝔹 Si 𝐶𝑀 = 𝑀𝐷 𝑎 𝑎 Se cumple: 𝑺 = 𝔸 2 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un trapecio de bases 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2011-II RESOLUCIÓN Las diagonales de un trapecio dividen a este en cuatro triángulos. Si las áreas de los triángulos adyacentes a las bases son 𝐴1 y 𝐴2, entonces el área total del trapecio en función de 𝐴1 y 𝐴2 es: 𝐴) 𝐴1+𝐴2 + 𝐴1𝐴2 𝐵) 2 𝐴1𝐴2 𝐶) 𝐴1𝐴2 𝐷) 𝐴1 + 𝐴2 2 𝐸) 𝐴1+𝐴2 − 𝐴1𝐴2 𝐷 𝐵 𝐴 𝐶 𝑂 𝐴1 𝐴2 𝑺𝟏 = 𝑺𝟐 Piden 𝔸 𝐴𝐵𝐶𝐷 • En el problema: 𝔸 𝐴𝐵𝑂 = 𝔸 𝐶𝑂𝐷 = 𝑆 𝔸 𝐴𝐵𝐶𝐷 = • Con ello: 2𝑆 + 𝐴1 + 𝐴2 𝑺𝟏 = 𝔸 ∙ 𝔹 • Pero: 𝑆 = 𝐴1 ∙ 𝐴2 • Reemplazamos: 𝔸 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 𝐴1 ∙ 𝐴2 + 𝐴1 + 𝐴2 • Luego: 𝐴1 = 𝐴1 2 𝐴1 𝐴2 = 𝐴1 2 𝐴2 • Entonces: 𝔸 𝐴𝐵𝐶𝐷 =2 𝐴1 ∙ 𝐴2 + 𝐴1 2 𝐴2 2 + ∴ 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫= 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 𝟐 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES REGIÓN PARALELOGRÁMICA 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo ℎ 𝑎 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = Se cumple: 𝑎 ∙ℎ 𝑏 ℎ1 = 𝑏 ∙ ℎ1 𝛼 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 RELACIÓN DE ÁREAS EN LA REGIÓN PARALELOGRÁMICA Las regiones triangulares determinadas por las diagonales son equivalentes. Punto cualquiera Se cumple: 𝑆 = 2 Punto cualquiera Se cumple: 𝑺𝟏 + 𝑺𝟑 =𝑺𝟐 + 𝑺𝟒 𝔸 2 𝔸= Punto cualquiera 𝑺𝟏 + 𝑺𝟐 = 2 𝔸 Se cumple: ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES REGIÓN PARALELOGRÁMICA: Casos particulares 𝐶 𝐴 𝐵 𝐷𝑏 𝑎 𝐶 𝐴 𝐵 𝐷 𝑎 𝑎 𝐷 𝐶𝐴 𝐵 Región rectangular Región cuadrada Región rombal Se cumple: Se cumple: Se cumple: 𝔸 = (𝒂)(𝒃) 𝔸 = 𝒂𝟐 𝔸 = (𝑨𝑪)(𝑩𝑫) 𝟐 CÁLCULO DEL ÁREA EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE SUS LADOS 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝑝 ∙ 𝑟 Donde: 𝑝 = 𝑟 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = Se cumple: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 2 • CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2019-I RESOLUCIÓN 𝑏 El perímetro de un triángulo es 50m y sobre cada lado del triángulo se forma un cuadrado cuyo lado coincida con el lado del triángulo. Como resultado, la suma de las áreas de los cuadrados formados es 900𝑚2 y el lado del primer cuadrado es al del segundo como, el lado del tercero es a la mitad del primero. La relación del mayor y menor de los lados del triángulo es de (considere que los lados del triángulo son números naturales) 𝐴) 2 𝑎 1 𝐵) 5 𝑎 2 𝐶) 3 𝑎 1 𝐷) 5 𝑎 1 𝐸) 11 𝑎 2 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 Datos 2𝑝∆ = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 50 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 900 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑎 2 → 𝑎2 = 2𝑏𝑐 Nos piden relación entre el lado mayor y menor …(𝑖𝑣) • Reemplazamos (𝑖𝑣) en 𝑖𝑖 : 𝟐𝒃𝒄 + 𝑏2 + 𝑐2 = 900 𝑏 + 𝑐 2= 900 → 𝑏 + 𝑐 = 30 • Reemplazamos en 𝑖 : → 𝑎 = 20 …(𝑣) • Reemplazamos en 𝑖𝑣 : → 𝑏𝑐 = 200 …(𝑣𝑖) • De 𝑣 𝑦 𝑣𝑖 : 𝑏 = 10 , 𝑐 = 20 • Tenemos que el lado mayor es 20m y el menor es 10m ∴ 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒆𝒔 𝒅𝒆 ∶ 𝟐 𝒂 𝟏 …(𝑖) …(𝑖𝑖) …(𝑖𝑖𝑖) ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES CÁLCULO DEL ÁREA EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE SUS LADOS • CUADRILÁTERO INSCRITO 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 (𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄)(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄)(𝒑 − 𝒅) Se cumple: Donde: 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 2 NOTA: Esta es la fórmula de Brahmagupta. También es válido para cuadriláteros inscriptibles. • CUADRILÁTERO BICÉNTRICO 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝔸 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 ∙ 𝒅𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 ∙𝒅 Se cumple: 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrilátero bicéntrico, donde 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑏, 𝐶𝐷 = 𝑐 y 𝐴𝐷 = 𝑑 . Calcular el área de la región triangular 𝐴𝐵𝐶. 𝐴) 𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑐 + 𝑑 𝐵) 𝑎𝑏 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 𝐶) 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝐷) 𝑏𝑑 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝐸) 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑑 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Nos piden 𝔸 𝐴𝐵𝐶 = 𝑆 • En el problema 𝑆 𝑆1 = 𝜃 180° − 𝜃 𝔸 𝐴𝐵𝐷𝐶 −𝑆 𝜙 𝜔 si 𝜔 = 𝜙 ó 𝜔 + 𝜙 = 180° Se cumple: 𝑺𝟏 𝑺𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒃 𝒄 ∙ 𝒅 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 ∙ 𝑏 𝑐 ∙ 𝑑 …(𝑖) • Se observa que: 𝑆1 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 Área de la región limitada por un cuadrilátero bicéntrico • Reemplazamos en (𝑖): 𝑆 𝑎𝑏𝑐𝑑 − 𝑆 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑐 ∙ 𝑑 → 𝑆 𝑐𝑑 = 𝑎𝑏 𝑎𝑏𝑐𝑑 − 𝑆(𝑎𝑏) • Luego: 𝑆 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 𝑎𝑏 𝑎𝑏𝑐𝑑 ∴ 𝑺 = 𝒂𝒃 𝒂𝒃𝒄𝒅 𝒂𝒃 + 𝒄𝒅 PRACTIQUEMOS RESOLUCIÓN w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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