Semestral Uni - Geometría semana 13(1)

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ÁREA DE REGIONES CIRCULARES.
ESPACIO – I.
GEOMETRÍA 
SEMANA 13
3
OBJETIVOS
1
2
• Identificar los teoremas más usuales para calcular el área
de una región circular y sus partes notables.
• Diferenciar las distintas posiciones que pueden adoptar
las rectas, los planos en el espacio y aplicar de manera
adecuada el teorema de las tres perpendiculares.
• Emplear lo aprendido en la resolución de problemas
tipo examen de admisión.
SECTOR CIRCULAR
ÁREA DE UNA REGIÓN CIRCULAR
ÁREA DEL CÍRCULO PARTES NOTABLES
El círculo es la región plana cuyo borde es
una circunferencia.
𝑅
• En el gráfico, se cumple:
𝔸 = 𝝅 ∙𝑹
𝟐
Donde:
𝜋 ≈ 3,1415…
• Ten en cuenta que:
ℓ⊙ = 𝟐𝝅 ∙ 𝑹
La longitud de la circunferencia
es igual a:
(ℓ⊙)
Casos particulares
𝑅 120°
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
60°
𝑅𝑅 𝑅
𝜋 ∙ 𝑅2
2
𝜋 ∙ 𝑅2
4
𝜋 ∙ 𝑅2
3
𝜋 ∙ 𝑅2
6𝔸 = 𝔸 = 𝔸 = 𝔸 =
𝜃
𝑅 Del gráfico, se cumple:
𝔸 =𝝅 ∙ 𝑹
𝟐∙ 𝜽
𝟑𝟔𝟎°
𝐵
𝐴
𝑂
𝐷𝐴
𝐵 𝐶
Resolución:
En el gráfico mostrado, 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un
cuadrado de lado 𝐿 y 𝐵𝐴𝐷 es un sector
circular con centro en 𝐴. Calcule el área de
la región sombreada (en 𝑢2).
𝐴)
𝐿2
4
(4 − 𝜋)
𝐵)
𝐿2
4
(4 + 𝜋)
𝐶)
𝐿2
8
(2 + 𝜋)
𝐷)
𝐿2
8
(6 − 𝜋)
𝐸)
𝐿2
8
(6 + 𝜋)
𝐷𝐴
𝐵 𝐶
Piden 𝑀 +𝑁
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿 2
2
𝐿 2
245°
45°
• Primero completamos medidas
angulares y longitudes conocidas.
• Notamos que, por fórmula básica:
𝑀 =
𝐿 2
2
𝐿 2
2
2
→ 𝑀 =
𝐿2
4
• Para calcular 𝑁 , procedemos por
diferencia de áreas.
𝑁 = 𝔸 𝐵𝐴𝑆𝔸 𝐴𝐵𝐶 −
𝑆
(𝐿)(𝐿)
2
𝜋𝐿2 ∙ 45°
360°
→ 𝑁 =
𝐿2
2
−
𝜋𝐿2
8
… (𝑖)
… (𝑖𝑖)
• Luego hacemos 𝑖 + 𝑖𝑖 :
𝑀 +𝑁 =
𝐿2
4
+
𝐿2
2
−
𝜋𝐿2
8
∴ 𝑴+ 𝑵 =
𝑳𝟐
𝟖
(𝟔 − 𝝅)
EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2012-I
𝔸 =
SEGMENTO CIRCULAR
𝑅
𝐵
𝐴
𝑂
Se deduce:
Es aquella porción de círculo, limitado
por un arco y su cuerda
correspondiente.
𝔸 𝔸−
Relación de áreas
CORONA CIRCULAR
𝑅
𝑟
Es la porción de círculo, limitada por
dos circunferencias concéntricas.
𝔸 =𝜋𝑅2−𝜋𝑟2
𝔸 =𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
𝑎
𝑇
Si 𝑇 es punto de tangencia.
𝔸 = 𝜋𝑎2
𝜃
𝛽
𝑅
𝑅
• Si dos sectores
circulares tienen el
mismo radio, se cumple:
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝜽
𝜷
~
𝛽𝛽
𝑟
𝑅
𝑛𝑚
TEOREMA 
TEOREMA 
• En el gráfico, para los
segmentos circulares
mostrados se cumple
𝑨
𝑩
=
𝑅2
𝑟2
=
𝑚2
𝑛2
PARTES NOTABLES Observaciones 
ÁREA DE UNA REGIÓN CIRCULAR
PARTES NOTABLES
ÁREA DE UNA REGIÓN CIRCULAR
En el gráfico mostrado, calcule la relación de
áreas de las regiones sombreadas.
Nos piden
𝑀
𝑁
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝜽
𝜷
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
Como no tenemos una fórmula concreta para
calcular las regiones, lo mejor será buscar regiones
que sean más conocidas.
• Trazamos 𝐴𝐷 y 𝐸𝐷
𝑟 𝑟
𝑟 𝑟
𝑟
𝑟
• Notamos que los segmentos
circulares sombreados son
congruentes, por ello tienen el
mismo valor del área.
𝑆 𝑆
𝑆 +
30°
60°
• En el ∆𝐴𝐷𝐶, como 𝐴𝐸 = 𝐸𝐶
→ 𝔸𝐴𝐷𝐸 = 𝔸𝐸𝐷𝐶= 𝑆 + 𝑁
• Del recordar: 𝑀 + 𝑆
2𝑆 + 𝑁
=
30°
60°
=
1
2
∴
𝑴
𝑵
=
𝟏
𝟐
𝜃
𝛽
𝑅
𝑅
Recordar
PRACTIQUEMOS
Resolución:
𝐿ú𝑛𝑢𝑙𝑎
Se cumple:
Se cumple:
Se cumple:
Se cumple:
𝑪 = 𝑨 + 𝑩
𝐿ú𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑨⊿ =𝑩+ 𝑪
𝑨 = 𝑩
𝑨 = 𝑩
ÁREA DE UNA REGIÓN CIRCULAR
TEOREMAS ADICIONALES (Lúnulas y más)
GEOMETRÍA DEL 
ESPACIO 𝑰
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
POSTULADO
Tres puntos no colineales determinan un
plano, en otras palabras, dichos puntos fijan
la posición del plano y éstos pertenecen a
dicho plano.
𝐶
𝐴
𝐵
• 𝐴, 𝐵, 𝐶; determinan al 𝑃
• 𝑃 se encuentra fijo en el espacio
• 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝑃
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 puntos no colineales.
TEOREMA 1 Una recta y un punto exterior a ella,
determinan un plano al cual pertenecen.
• 𝑃 ∉ 𝑁𝑀
→ 𝑃 𝑦 𝑁𝑀
determinan al 𝐻
TEOREMA 2 Dos rectas secantes, determinan un
plano al cual pertenecen.
𝐴 𝐿
• 𝐴𝑄 ∩ 𝑄𝐿 = 𝑄
→ 𝐴𝑄 𝑦 𝑄𝐿
determinan al 𝑀
𝑄
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
TEOREMA 3 Dos rectas paralelas, determinan un
plano al cual pertenecen.
𝐶
𝐷
𝐴
𝐵
• 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷
→ 𝐴𝐵 𝑦 𝐶𝐷
determinan al 𝑁
CANTIDAD MÁXIMA DE PLANOS (TEOREMAS)
Con 𝒎 puntos La cantidad máxima de planos que
podemos determinar con 𝒎 puntos es:
𝑵º𝒑 = 𝑪𝟑
𝒎=
𝒎 𝒎− 𝟏 (𝒎 − 𝟐)
𝟔
𝑵º𝒑: Número de planos
Con 𝒏 rectas La cantidad máxima de planos que
podemos determinar con 𝒏 rectas es:
𝑵º𝒑 = 𝑪𝟐
𝒏 =
𝒏 𝒏 − 𝟏
𝟐
Con 𝒎 puntos y 𝒏 rectas
La cantidad máxima de planos que
podemos determinar con 𝒎 puntos y
𝒏 rectas es:
𝑵º𝒑 = 𝑪𝟑
𝒎 + 𝑪𝟐
𝒏 +𝒎 ∙ 𝒏
La intersección de tres planos o más, puede ser un punto o puede ser una recta.
Veamos:
𝑨 ∩ 𝑩 = ിℒ
Arista 
ℒ
𝑷 ∩ 𝑵 ∩ 𝑴 = 𝑇
Los planos son concurrentes en 𝑻.
𝑴∩ 𝑵 ∩ 𝑳 =
ℒ
ിℒ
Los planos son concurrentes en 𝓛.
PLANOS SECANTES
Planos secantes
Respecto a más planos
𝑇
POSICIONES RELATIVAS ENTRE PLANOS
PLANOS SECANTES
Dos planos secantes son aquellos que
tienen puntos de intersección. Dichos
puntos forman una recta, la cual se
denomina arista.
Observaciones 
ℒ1
ℒ2
𝔸 ∩ 𝔹 = ∅
𝔸 ∥ 𝔹:
Sean 𝔸 ∥ ℍ
𝕄: Secante a los 
planos 𝔸 y ℍ.
Del gráfico:
ℒ1 y ℒ2 son las aristas
Se cumple:
𝓛𝟏 ∥ 𝓛𝟐
Los planos paralelos, son aquellos que no tienen
puntos de intersección (no se cortan).
Del gráfico:
Plano 𝔸 paralelo al plano 𝔹
Relacionando las dos 
posicionesTEOREMA
POSICIONES RELATIVAS ENTRE PLANOS
PLANOS PARALELOS
Los planos paralelos, son aquellos que
no tienen puntos de intersección (no se
cortan).
Es aquella recta que no tiene
punto en común con el plano.
Es aquella recta que tiene solo un
punto en común con el plano.
Es aquella recta que tiene todos
sus puntos en el plano.
ℒ
ℒ
𝓛 esta contenida en 𝔸
ℒ
𝑃
ിℒ ∩ 𝔹 = 𝑃
𝓛 es secante al 𝔹
ിℒ ∩ ℂ = ∅
𝓛 es paralela al ℂ
Semiplanos
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y PLANOS
RECTA CONTENIDA EN EL PLANO
RECTA SECANTE AL PLANO
RECTA PARALELA AL PLANO
Recuerda que éstas rectas, 
determinan planos
COPLANARES
SECANTES PARALELAS
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y PLANOS
ℒ2
ℒ1
NO COPLANARES
Recta contenida 
en el plano
𝑀
Recta secante 
al plano
(𝑀 ∉ ℒ1)
NO COPLANARES
ALABEADAS No tienen punto en común y no determinan planos
Por un punto de una de las alabeadas, 
trazamos una paralela a la otra
ℒ1
ℒ2
𝑄
Por 𝑀 trazamos: 
Sean ℒ1 y ℒ2 dos rectas alabeadas,
Para poder calcular la medida del ángulo entre dos rectas
alabeadas, vamos apoyarnos de las paralelas. Veamos:
Primer método
𝑀
𝑀𝑄 ∥ ℒ1
𝜃: Medida del ∢entre ℒ1 𝑦 ℒ2
Segundo método
Por 𝑂 trazamos las paralelas a ℒ1 𝑦 ℒ2
𝑅
𝑆
𝑂
𝑚∢𝑅𝑂𝑆 = 𝜃: Medida del ∢entre ℒ1 𝑦 ℒ2
MEDIDA DEL ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS
Por un punto del espacio, trazamos 
paralelas a ambas rectas alabeadas
NOTA
ℒ4
ℒ5
ℒ3
Entonces: ിℒ ⊥ ℒ1
ിℒ ⊥ ℒ2
ിℒ ⊥ ℒ3
ിℒ ⊥ ℙ: Si ℒ′ ∥ ിℒ
→ 𝓛′ ⊥ ℙ
Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes contenidas
en un plano, entonces dicha recta es perpendicular al plano
𝒙 = 𝒚 = 𝟗𝟎°
ℒ
ℒ′
ℒ1
ℒ2
ℒ1
ℒ2
Recta ℒ perpendicular al plano ℙ.
…
Todas éstas rectas, contenidas en 
el plano ℙ
ℒ Secantes contenidas 
en el plano ℙ
Si: ിℒ ⊥ ℒ1 , ിℒ ⊥ ℒ2
→ 𝓛 ⊥ ℙ
𝑄
𝑸: Pie de la perpendicular.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y PLANOS
RECTA PERPENDICULAR AL PLANO
Una recta es perpendicular a un plano, si ésta es
perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano.
TEOREMA
𝐴) 𝑉𝐹𝑉
𝐷) 𝐹𝐹𝑉
𝐵) 𝑉𝐹𝐹 𝐶) 𝐹𝐹𝐹
𝐸) 𝑉𝑉𝐹
Señale la alternativa que representa la
secuencia correcta después de determinar si
la proposición es verdadera (V) o falsa(F).
Si en todo plano ℙ determinado por dos 
rectas paralelas disjuntas, se cumple que 
dichas rectas son paralelas a un segundo 
plano ℙ1, entonces ℙ es paralelo a ℙ1.
La intersección de cuatro planos no 
paralelos entre sí, siempre es un punto.
Si una recta 𝐴𝐵 y un plano ℙson 
perpendiculares a una recta 𝐶𝐷, 
entonces la recta 𝐴𝐵 y el plano ℙ son 
paralelas entre sí.
𝐼.
𝐼𝐼.
𝐼𝐼𝐼.
𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
𝐼.
• En esa situación: 𝐴𝐵 ∥ ▰ℙ
Pero: La recta AB o el planoℙ, pueden
desplazarse y seguir manteniendo la
condición dada.
• En esa segunda situación: 𝐴𝐵 ⊂ ▰ℙ
∴ 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝑰 𝒆𝒔 𝑭𝑨𝑳𝑺𝑨
𝐼𝐼.
ℒ
𝑭𝑨𝑳𝑺𝑨
La intersección de los planos
mencionados puede ser
también una recta.
𝐼𝐼𝐼.
Planos 
paralelos
ℒ1 ℒ2
Planos 
Secantes
∴ 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝑰𝑰
𝒆𝒔 𝑭𝑨𝑳𝑺𝑨
Clave 𝑪
Resolución:
EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2009-II
NOTA 1
NOTA 2
Sea 𝐴𝐵 contenida en el plano ℍ y 𝑃 ∈ ▰ℍ y exterior a 𝐴𝐵.
𝑃
𝐴
𝐵
ℒ1
ℒ3
𝟏ª ⊥
PRIMERA 
PERPENDICULAR
𝟑ª ⊥
TERCERA 
PERPENDICULAR
𝟐ª ⊥SEGUNDA 
PERPENDICULAR
Es la recta ℒ1 perpendicular al
plano ℍ, trazada por 𝑃.
Es la recta ℒ2, que contiene al pie
de la 1ª ⊥ y es perpendicular a la
recta 𝐴𝐵 en 𝑄.
Es la recta que pasa por 𝑄 y por
cualquier punto de la 1ª ⊥, en
este caso ℒ3 ⊥ 𝐴𝐵.
𝑄
ℒ2
𝟑ª ⊥
Se cumple:
𝒙 = 𝟗𝟎°
𝟏ª ⊥
𝟑ª ⊥
𝟐ª ⊥
𝟑ª ⊥
𝟐ª ⊥ 𝟏ª ⊥
𝜽 = 𝟗𝟎°
𝜷 = 𝟗𝟎°
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐴) 2 6
Sea 𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectángulo, 𝑀 punto medio de
𝐵𝐶 , 𝑃𝑀 perpendicular al plano 𝐴𝐵𝐶 , 𝑂
centro del rectángulo, si 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 = 8 y
𝑃𝑀 = 𝐴𝐵, entonces el área de la región 𝐴𝑃𝑂
es:
𝐷) 7 6
𝐵) 3 6 𝐶) 4 6
𝐸) 8 6
𝑀
𝑃
𝑂
Del dato:
𝐴𝐵 = 4, 𝐵𝐶 = 8, 𝑃𝑀 = 4
𝔸 𝐴𝑃𝑂Piden = 𝕏
• Aprovechamos en completar
longitudes y/o medidas
angulares.
• Como 𝑀 es punto medio:
𝐵𝑀 = 𝑀𝐶 = 4
• ⊿𝐴𝐷𝐶 notable de Τ53° 2
• Calculemos la altura del
triángulo 𝐴𝑂𝑃 , usamos el
teorema de las tres ⊥ 𝑠.
𝟏ª ⊥
𝟑ª ⊥
𝟐ª ⊥
 Observamos que:
𝕏 =
(2 5)(ℎ)
2
• ⊿𝑃𝑆𝑀 por el
teorema de Pitágoras:
ℎ =
4 6
5
…(𝑖)
• Reemplazamos en 𝑖 :
→ 𝕏 = 5ℎ
∴ 𝕏 = 𝟒 𝟔
𝑆
EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2014-I Resolución:
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e