Semestral Uni - Trigonometria semana 03

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Rectas en el plano
Trigonometría
Eje de abscisas
PLANO CARTESIANO
origen
X
Y Eje de ordenadas
𝒂; 𝒃
𝑎
𝑏
ordenada
abscisa
primer
cuadrante
segundo
cuadrante
tercer
cuadrante
cuarto
cuadrante
X
Y
𝐏
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
B(x2; y2)
A(x1; y1)
d
d = (x2 − x1)
2 + (y2 − y1)
2
Baricentro de un 
triángulo
G(x; y) es el baricentro 
del triángulo ABC.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN 
UNA RAZÓN DADA
A x1; y1
B x2; y2
P x; 𝑦
x =
𝑛 ∙ x1 +𝑚 ∙ x2
n + m
Se tiene 
AP
PB
=
𝑚
𝑛
y =
𝑛 ∙ y1 +𝑚 ∙ y2
n + m
Punto medio de un 
segmento
M(x; y) es el punto medio 
de AB 
M(x; y) 
B(x2; y2)
A(x1; y1)
x =
x1 + x2
2
y =
y1 + y2
2
Área de una región triangular conociendo las 
coordenadas de sus vértices
A(x1; y1) B(x2; y2)
C(x3; y3)
𝕊 =
𝐷 − 𝐼
2
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
𝑥1 𝑦1
𝑥2𝑦1
𝑥3𝑦2
𝑥1𝑦3
𝑥1𝑦2
𝑥2𝑦3
𝑥3𝑦1
I D
ELEMENTOS DE UNA RECTA
• El ángulo (𝛉) formado por el eje X y la recta 𝑳
se denomina ángulo de inclinación
• La pendiente (m) de la recta 𝑳 se define como la 
tangente del ángulo de inclinación, es decir:
• Si A(x1; y1) y B x2; y2 son dos puntos diferentes 
en una recta, la pendiente de la recta 𝑳 se calcula 
como:
𝐦 = 𝐭𝐚𝐧𝛉
𝐦 =
𝐲𝟐 − 𝐲𝟏
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
RECTAS EN EL PLANO
X
Y
O
m
θ
A(x1; y1)
B(x2; y2)
θ
𝑳
• Sea la recta con pendiente igual a m y que pasa
por el punto 𝑸(𝒙𝟏; 𝒚𝟏). Entonces la ecuación es:
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE DE UNA RECTA
: 𝒚 − 𝐲𝟏 = 𝐦(𝒙 − 𝐱𝟏)𝑳
X
Y
O
𝐿
𝑳 : 𝒙 = 𝒉
CASOS PARTICULARES
X
Y
O
𝐿
𝑳 : 𝒚 = 𝒌
∧ 𝐦 = 𝟎
X
Y
O
𝑄(x1; y1)
P(𝑥; 𝑦)
PUNTO DE PASO
𝑳
𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂 = 𝟎
ECUACIÓN GENERAL 
DE LA RECTA
ቊ𝐦 = −
𝐀
𝐁
Aplicación UNI
Determine la ecuación de la recta
de pendiente negativa que está a
3u del origen de coordenadas, que
interseca al eje de ordenadas en
0; 2 3
A) x + 3y − 6 3 = 0
B) 2 3x + 3y − 6 3 = 0
C) 3x + y − 3 = 0
D) 3x − 3y + 6 3 = 0
E) 2 3x − y + 6 3 = 0
Resolución
0; 2 3
3; 0
Y
X
Calculamos pendiente de la recta con los dos 
puntos dados:
𝒚 − 𝟎 = −
𝟐 𝟑
𝟑
(𝐱 − 𝟑)
Considerando como punto de 
paso a (3; 0)
∴ 𝟐 𝟑𝐱 + 𝟑𝐲 − 𝟔 𝟑 = 𝟎
𝑳
Piden la ecuación de la recta 𝑳
𝑚 =
2 3 − 0
0 − 3
= −
2 3
3
Luego llevando a su forma 
general, queda:
Ángulo formado por dos rectas
OBSERVACIÓN:
tan 𝜃 > 0 el ángulo formado es agudo
tan 𝜃 < 0 el ángulo formado es obtuso
X
Y
O
𝑳𝟏
𝑳𝟐
𝛼 𝛽
𝜃Pendiente
𝐿2: m2
𝐭𝐚𝐧𝛉 =
𝐦𝟐 −𝐦𝟏
𝟏 +𝐦𝟐𝐦𝟏
Se observa
θ = β − α
Luego, la tangente del ángulo θ
esta dado por:
𝜎
tan θ = − tan𝜎
Pendiente
𝐿1: m1
X
Y
O
𝛼 𝛽
Sea 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 rectas paralelas, que
no son verticales, ni horizontales.
Entonces:
m1 = m2
𝑳𝟏
𝑳𝟐
X
Y
O
𝛼
𝛽
Sea 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 rectas perpendiculares,
que no son verticales, ni
horizontales. Entonces:
m1 ∙ m2 = −1
𝑳𝟏
𝑳𝟐
De un triángulo ABC, dos
de sus vértices son los
puntos A(3;4) y B(5; -3). Si
las alturas se cortan en el
punto (4;2). Halle la
ecuación de la recta que
pasa por los puntos B y C.
A) 2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0
B) 2𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0
C) 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0
D) 𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0
E) 𝑥 − 𝑦 − 8 = 0
Aplicación UNI
Resolución
A(3;4) 
B(5; -3)
C
(4;2)
Piden la ecuación de la recta 𝐶𝐵
H
Del gráfico, se tiene que 𝐶𝐵 ⊥ 𝐴𝐻
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
𝑚1: pendiente de 𝐶𝐵
𝑚2: pendiente de 𝐴𝐻
𝑚1
4 − 2
3 − 4
= −1
𝑚1 =
1
2
Ecuación punto pendiente, para 
la recta 𝐶𝐵. 
Punto de paso: B(5; -3)
𝐶𝐵 ∶ 𝑦 − −3 =
1
2
(𝑥 − 5)
∴ 𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎
Reto UNI 2013 II
El área de un triángulo cuyos vértices 
son 𝐴(𝑥, 𝑦), 𝐵(3, 4) y 𝐶(5, −1) es 7𝑢2. 
Además 𝑦 + 3𝑥 = 4 y 𝑥 > −2. Calcule 
𝑥 + 𝑦
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA 
RECTA
X
Y
O
𝐝
𝐏(𝐱𝟎; 𝐲𝟎)
d =
A𝐱𝟎 + B𝐲𝟎 + 𝐂
A2 + B2
𝐋:𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂 = 𝟎
La distancia, d, del punto P a la recta
𝑳 está dado por:
X
Y
O
𝑳𝟏: 𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂𝟏 = 𝟎
𝑳𝟐: 𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂𝟐 = 𝟎
𝐝
La distancia d, entre las rectas paralelas se 
determina por:
d =
C1 −C2
A2 + B2
DISTANCIA ENTRE RECTAS 
PARALELAS
Aplicación UNI
Dada la recta 𝐿: 3𝑥 − 𝐵𝑦 = 12, 
𝐵 < 0. Si la distancia del origen 
a la recta 𝐿 es 
12
5
, calcule el valor 
de B.
A) -8 B) -4 
C) -5
D) -4 E) -2
Resolución
𝟏𝟐
𝟓
𝐎(𝟎; 𝟎)
𝐿: 3𝑥 − 𝐵𝑦 − 12 = 0
Piden B
12
5
=
3 0 − 𝐵 0 − 12
32 + 𝐵2
12
5
=
12
9 + 𝐵2
𝐵2 = 16 → 𝐵 = ±4
∴ 𝑩 = −𝟒
Al segmento que une los
puntos 𝐴(−1; 4) y 𝐵(11; 8) se
le traza su recta Mediatriz. Si d
(en u) es la distancia del origen
de coordenadas a dicha recta
mediatriz, calcule 10𝑑
Determine la distancia del
punto
1
4
; 4 a la recta L de
ecuación 𝑦 + 1 = 2 𝑥 + 3 .
A)
2
5
B)
3
5
C)
4
5
D)
5
5
E)
6
5
Reto UNI 
Distancia de un punto a una recta
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe