Semestral Uni - Trigonometría semana 05

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Identidades trigonométricas 
fundamentales
Trigonometría
IDENTIDADES PITAGÓRICAS
Tenemos:
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
Por definición de radio vector:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Reemplazando:
𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑟2
𝒔𝒆𝒏2𝜽 + 𝒄𝒐𝒔2𝜽 = 1
𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒄𝒐𝒕𝜽 =
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽
IDENTIDADES POR COCIENTE
Del gráfico, por definición tenemos:
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
=
𝑟 sen 𝜃
𝑟 cos 𝜃
cot 𝜃 =
𝑥
𝑦
=
𝑟 cos 𝜃
𝑟 sen 𝜃𝒕𝒂𝒏2𝜽 + 1 = 𝒔𝒆𝒄2𝜽
𝑡𝑎𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1
𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 𝑡𝑎𝑛2𝜃 = 1
𝒄𝒐𝒕2𝜽 + 1 = 𝒄𝒔𝒄2𝜽
𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2𝜃 − 1
𝑐𝑠𝑐2𝜃 − 𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 1
Luego:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
𝒙
𝒓
= 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒚
𝒓
= 𝐬𝐞𝐧𝜽
sen 𝜃 =
1
csc 𝜃
; csc 𝜃 =
1
sen 𝜃
IDENTIDADES RECÍPROCAS
Por definición de las razones
trigonométricas:
𝐬𝐞𝐧𝜽 𝐜𝐬𝐜𝜽 = 𝟏
𝐭𝐚𝐧𝜽 𝐜𝒐𝒕𝜽 = 𝟏
𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐬𝐞𝐜𝜽 = 𝟏
cos 𝜃 =
1
sec 𝜃
; sec 𝜃 =
1
cos 𝜃
tan𝜃 =
1
cot 𝜃
; cot 𝜃 =
1
tan𝜃
UNI 2014 I
Si tan2 𝛼 = 2 tan2 𝑥 + 1 halle el
valor de 𝑦 = cos2 𝛼 + sen2 𝑥
A) sen2 𝛼
B) cos2 𝛼
C) 1 + sen2 𝛼
D) tan2 𝛼
E) 1 + cos2 𝛼
Resolución 
Piden: 𝑦 = cos2 𝛼 + sen2 𝑥
Del dato:
sec2 𝛼 − 1 = 2 tan2 𝑥 + 1
1
cos2 𝛼
=
2
cos2 𝑥
En lo que piden: 
𝑦 = cos2 𝛼 + 1 − cos2 𝑥
𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
cos2 𝑥 = 2 cos2 𝛼…(𝐼)
sec2 𝛼 = 2 tan2 𝑥 + 1
Reemplazando (I)
𝑦 = cos2 𝛼 + 1 − 2 cos2 𝛼
𝑦 = 1 − cos2 𝛼
∴ 𝒚 = 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝜶
Identidades Pitagóricas
sen2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1
sec2 𝜃 = tan2 𝜃 + 1
csc2 𝜃 = cot2 𝜃 + 1
Identidades por cociente
tan 𝜃 =
sen𝜃
cos 𝜃
; cot 𝜃 =
cos 𝜃
sen 𝜃
Identidades recíprocas
sen 𝜃 ∙ csc 𝜃 = 1
cos 𝜃 ∙ sec 𝜃 = 1
tan 𝜃 ∙ cot 𝜃 = 1
Valores admisibles para 𝜽
En: 
sec 𝜃 ; tan 𝜃 tenemos que 𝜃 ≠ 2𝑛 + 1
𝜋
2
En: 
𝑐𝑠𝑐 𝜃 ; cot 𝜃 tenemos que 𝜃 ≠ 𝑛𝜋
Donde 𝑛 ∈ ℤ
Formulario
OBSERVACIÓN
❑ Si se tiene:
sec 𝜃 + tan 𝜃 =
𝑎
𝑏
entonces
sec 𝜃 − tan 𝜃 =
𝑏
𝑎
❑ Si se tiene:
csc 𝜃 + cot 𝜃 =
𝑚
𝑛
entonces
csc 𝜃 − cot 𝜃 =
𝑛
𝑚
NOTA
Identidades Auxiliares
sen4 𝜃 + cos4 𝜃 = 1 − 2 sen2 𝜃 ∙ cos2 𝜃
sen6 𝜃 + cos6 𝜃 = 1 − 3 sen2 𝜃 ∙ cos2 𝜃
tan 𝜃 + cot 𝜃 = sec 𝜃 csc 𝜃
sec2 𝜃 + csc2 𝜃 = sec2 𝜃 ∙ c𝑠𝑐2 𝜃
1 ± sen 𝜃 ± cos 𝜃 2 = 2 1 ± sen 𝜃 1 ± cos 𝜃
Resolución 
Si sec 𝑥 + csc 𝑥 = 3 halle el valor de
𝐸 = tan 𝑥 + cot 𝑥 + 1 2
A) 4 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
Aplicación 
Tenemos 
𝐸 = sec 𝑥 ∙ csc 𝑥 + 1 2
Desarrollamos el binomio al cuadrado
𝐸 = sec2 𝑥 ∙ csc2 𝑥 + 2 sec 𝑥 csc 𝑥 + 1
𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 𝐜𝐬𝒄𝟐 𝒙
Luego 
𝐸 = sec2 𝑥 + csc2 𝑥 + 2 sec 𝑥 csc 𝑥 + 1
𝐬𝐞𝐜 𝒙 + 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟐
Reemplazando el valor de sec 𝑥 + csc 𝑥
∴ 𝑬 = 𝟏𝟎
Propiedad
Si 𝑎 y b son constantes reales y 𝜃 variable real, tal
que
𝑎 sen 𝜃 + 𝑏 cos 𝜃 = 𝑐 ∧ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
Entonces, se cumple que
sen 𝜃 =
𝑎
𝑐
y cos 𝜃 =
𝑏
𝑐
Ejemplos:
❑ 3 sen 𝜃 − 4 cos 𝜃 = 5 ⟹ sen𝜃 =
3
5
; cos 𝜃 = −
4
5
❑ 2𝑛 + 1 sen 𝜃 + 2𝑛 − 1 cos 𝜃 = 2 𝑛
⟹ sen𝜃 =
2𝑛 + 1
2 𝑛
; cos 𝜃 =
2𝑛 − 1
2 𝑛
Aplicación 
Si se cumple que
3 tan 𝑥 − 2 = 7 sec 𝑥
Calcule el valor de sen4 𝑥 + cos4 𝑥 − 1
A) −
24
49
B)
24
49
C)−
12
7
D)
12
7
E)
12
49
Resolución 
3 sen 𝑥 − 2 cos 𝑥 = 7
Vemos que cumple las condiciones de la propiedad
Entonces
sen 𝑥 =
3
7
cos 𝑥 = −
2
7
Reemplazando valores en 𝐸 = −2
3
7
2
−
2
7
2
∴ 𝑬 = −
𝟐𝟒
𝟒𝟗
Piden
𝐸 = sen4 𝑥 + cos4 𝑥 − 1
𝐸 = 1 − 2 sen2 𝑥 cos2 𝑥 − 1 → 𝑬 = −𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
Del dato
3 ∙
sen 𝑥
cos 𝑥
− 2 = 7 ∙
1
cos 𝑥
Resolución 
Aplicación 
Sea la ecuación 𝑎 sen 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑐 y además 
con raíces 𝛼; 𝛽. Determinar el equivalente de 
sen 𝛼 + sen𝛽 + cos 𝛼 + cos𝛽
A) 
2𝑐(𝑎−𝑏)
𝑎2+𝑏2
B) 
2𝑎(𝑎+𝑏)
𝑎2+𝑏2
C)
2𝑏(𝑎−𝑏)
𝑎2+𝑏2
D)
2𝑐(𝑎+𝑏)
𝑎2+𝑏2
E)
2𝑐(𝑎−𝑏)
𝑎2−𝑏2
Del dato: 𝒂 𝐬𝐞𝐧𝒙 = 𝒄 − 𝒃𝐜𝐨𝐬𝒙
Elevamos al cuadrado
𝑎2 sen2 𝑥 = 𝑐2 − 2𝑐𝑏 cos 𝑥 + 𝑏2 cos2 𝑥
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙
0 = 𝑎2 + 𝑏2 cos2 𝑥 − 2𝑐𝑏 cos 𝑥 + 𝑐2 − 𝑎2…(𝐼)
Por dato 𝛼; 𝛽 también es raíz de la ecuación (I)
Entonces cos 𝛼 ; cos 𝛽 son raíces de la ecuación 
0 = 𝑎2 + 𝑏2 𝒁2 − 2𝑐𝑏𝒁 + 𝑐2 − 𝑎2
Luego, por suma de raíces
cos𝛼 + cos𝛽 =
2𝑐𝑏
𝑎2 + 𝑏2
De forma similar de 𝐛 𝐜𝐨𝐬𝒙 = 𝒄 − 𝒂𝐬𝐞𝐧𝒙
0 = 𝑎2 + 𝑏2 sen2 𝑥 − 2𝑎𝑐 sen 𝑥 + 𝑐2 − 𝑏2
Luego, por suma de raíces
sen 𝛼 + sen𝛽 =
2𝑐𝑎
𝑎2 + 𝑏2
Por tanto:
∴ 𝐬𝐞𝐧𝜶 + 𝐬𝐞𝐧𝜷 + 𝐜𝐨𝐬𝜶 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 =
𝟐𝒄(𝒂 + 𝒃)
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Desigualdades importantes
❑ Para todo 𝑥 ∈ ℝ; 𝑛 ∈ ℕ
−1 ≤ sen𝑥 ≤ 1
−1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1
1 ≤ sen2𝑛 𝑥 + cos2𝑛 𝑥 ≤
1
2𝑛−1
❑ Para todo x ≠
𝑘𝜋
2
, k ∈ ℤ. Por la propiedad de
medias
tan 𝑥 + cot 𝑥 ≥ 2
NOTA
• Sean𝑎; b ∈ ℝ+entonces 
𝑎+𝑏
2
≥ 𝑎 ∙ 𝑏
• Sean𝑎; b ∈ ℝ entonces 
𝑎2+𝑏2
2
≥
𝑎+𝑏
2
2
Aplicación 
Hallar el mínimo valor de
𝐸 = sec10 𝑥 + csc10 𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≠
𝑛𝜋
2
A) 24 B) 26 C) 28
D) 2 E) 1
Resolución 
Por propiedad de medias:
𝒔𝒆𝒄𝟏𝟎 𝒙+𝒄𝒔𝒄𝟏𝟎 𝒙
𝟐
≥ 𝒔𝒆𝒄𝟏𝟎 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟏𝟎 𝒙
Por otro lado, teniendo en cuenta que: 𝒂𝟐 = 𝒂 :
sec10 𝑥 + csc10 𝑥 ≥ 2 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟓
sec10 𝑥 + csc10 𝑥 ≥ 2 𝐭𝐚𝐧𝒙 + 𝐜𝐨𝐭 𝒙 5
𝒔𝒆𝒄𝟏𝟎 𝒙 + 𝒄𝒔𝒄𝟏𝟎 𝒙 ≥ 𝟐𝟔
∴ 𝑬𝒎𝒊𝒏 = 𝟐𝟔
Aplicación 
En un rombo ABCD, M es punto medio de AB y
N es punto medio de AD.
Si ∡𝐴𝐵𝐷 = 𝜃 y ∡𝑀𝐶𝑁 = 2𝛼
Calcule cos2 𝜃 (9 + cot2 𝛼)
A) 3 B) 6 C)7
D) 7 E) 14
Resolución 
A
B
C
D
N
M
𝛼
𝛼
𝜃𝜃
𝟐𝒂
𝑎 sen 𝜃 𝑎 sen 𝜃
𝑎 cos 𝜃
2𝑎 sen 𝜃
H
Del triángulo CHM: cot 𝛼 =
3𝑎 sen 𝜃
𝑎 cos 𝜃
⟹ cot𝛼 = 3 tan 𝜃
Reemplazando en lo que piden
𝑅 = cos2 𝜃 9 + 9 tan2 𝜃
𝑅 = 9 cos2 𝜃 1 + tan2 𝜃
2𝑎 cos 𝜃
𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽
∴ 𝑹 = 𝟗
UNI 2018-II 
Si el ángulo θ satisface senθ = 1 − sen2θ
Calcule el valor de
M = csc2θ − tan2θ
A) 
1
2
B) 2 C) 3
D) 2 E) 5
UNI 2020-I 
Si 1 + tan2θ − cotθ = 0
Calcule el valor de
E =
3
9 + cos4θ − tan2θ. csc2θ
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5 
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe