Semestral Uni - Trigonometría semana 06

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Identidades trigonométricas de 
ángulos compuestos
Trigonometría
𝐈𝐃𝐄𝐍𝐓𝐈𝐃𝐀𝐃𝐄𝐒 𝐁Á𝐒𝐈𝐂𝐀𝐒
𝐬𝐞𝐧 𝐱 ± 𝐲 = 𝐬𝐞𝐧𝐱 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝐲 ± 𝐜𝐨𝐬𝐱 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝐲
𝐜𝐨𝐬 𝐱 ± 𝐲 = 𝐜𝐨𝐬𝐱 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝐲 ∓ 𝐬𝐞𝐧𝐱 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝐲
𝐭𝐚𝐧(𝐱 ± 𝐲) =
𝐭𝐚𝐧𝐱 ± 𝐭𝐚𝐧𝐲
𝟏 ∓ 𝐭𝐚𝐧𝐱. 𝐭𝐚𝐧𝐲
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 
COMPUESTOS
Estas identidades suelen emplearse para
encontrar razones trigonométricas de ángulos
desconocidos a partir de la suma o diferencia
de dos ángulos notables.
Aplicación
Calcular el valor de 
sec 22° sec 23° + 2 tan 22° tan 23°
Resolución 
Tenemos que 
cos 22° + 23° = cos 22° cos 23° − sen 22° sen 23° =
1
2
Dividimos por cos 22° cos 23°
𝟏 −
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟐° 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟑°
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟐° 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟑°
=
𝟏
𝟐
∙
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟐° 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟑°
2 − 2 tan 22° tan 23° = sec 22° cos 23°
→ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟐° + 𝟐𝟑° =
𝟏
𝟐
cos 45° =
1
2
∴ 𝒔𝒆𝒄 𝟐𝟐° 𝒔𝒆𝒄 𝟐𝟑° + 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝟐° 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝟑° = 𝟐
Aplicación
Resolución 
Determinar sen 𝑥 + cos 𝑦; si
tan 𝑥 = 𝑚 cos 𝑦 + 𝑛 sen 𝑦
cot 𝑦 = 𝑚 sen 𝑥 − 𝑛 cos 𝑥
Además 𝑦 − 𝑥 = 60°
A) −
𝑚
2
B) 
𝑛
2
C) −
𝑛
2
D) 
𝑚
2
E) 
𝑚+𝑛
2
Del dato:
sen 𝑥
cos 𝑥
= 𝑚 cos 𝑦 + 𝑛 sen 𝑦
→ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 = 𝒎 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝒏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒚
También
cos 𝑦
sen 𝑦
= 𝑚 sen 𝑥 − 𝑛 cos 𝑥
→ 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = 𝒎 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒚 − 𝒏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒚
Sumando 
𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = 𝒎 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝒎 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒚
NOTA
❑ Si 𝑎𝑏 > 0 y para todo 𝑥 > 0 entonces 𝑎𝑥 +
𝑏
𝑥
≥ 𝑎𝑏
❑ Se verifica la igualdad si y solo si 𝑎𝑥 =
𝑏
𝑥
𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = 𝒎 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝒙
∴ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒚 =
𝒎
𝟐
Aplicación
Calcule el valor de x para que el ángulo θ sea 
máximo.
A) 2 B) 3 C) 2
D) 5 E) 3
𝑥
𝜃
Resolución 
𝑥
𝜃
B
C
A
D
Piden 𝒙
𝜶
1
1
Del triángulo: tan 𝛼 + 𝜃 =
2
𝑥
; tan 𝛼 =
1
𝑥
Observamos: tan 𝜃 = tan 𝛼 + 𝜃 − 𝛼
tan 𝜃 =
tan 𝛼 + 𝜃 − tan 𝛼
1 + tan 𝛼 + 𝜃 tan 𝛼
=
2
𝑥 −
1
𝑥
1 +
2
𝑥2
tan 𝜃 =
1
𝑥 +
2
𝑥
Dato: θ sea máximo, 
Teniendo en cuenta: 𝑥 +
2
𝑥
≥ 2 2
Para el mínimo 𝑥 =
2
𝑥
→ 𝒙 = 𝟐
Consideramos que
𝐵𝐷 = 𝐷𝐶 = 1
entonces 𝒙 +
𝟐
𝒙
debe ser mínimo
𝐈𝐃𝐄𝐍𝐓𝐈𝐃𝐀𝐃𝐄𝐒 𝐀𝐔𝐗𝐈𝐋𝐈𝐀𝐑𝐄𝐒
𝐬𝐞𝐧 𝐱 + 𝐲 𝐬𝐞𝐧 𝐱 − 𝐲 = 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 − 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐲
𝐜𝐨𝐬 𝐱 + 𝐲 𝐜𝐨𝐬 𝐱 − 𝐲 = 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 − 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐲
𝐭𝐚𝐧𝐱 ± 𝐭𝐚𝐧𝐲 =
𝐬𝐞𝐧(𝐱 ± 𝐲)
𝐜𝐨𝐬𝐱 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝐲
𝐭𝐚𝐧 𝐱 + 𝐲 = 𝐭𝐚𝐧𝐱 + 𝐭𝐚𝐧𝐲 + 𝐭𝐚𝐧 𝐱 + 𝐲 𝐭𝐚𝐧𝐱 𝐭𝐚𝐧𝐲
UNI 2015 I
Al simplificar la expresión
cos2
π
3
+ x −cos2
π
3
− x −
3
2
(1 − sen2x)
se obtiene
A) −
3
2
cos2(2x) B) 
3
2
sen2(2x) C) −
3
2
sec(2x)
D) 
3
2
csc (2x) E) 
3
2
Resolución 
𝐸 = cos2
π
3
+ x −cos2
π
3
− x −
3
2
(1 − sen2x)
𝐬𝐞𝐧𝟐
𝝅
𝟑
− 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐
𝝅
𝟑
+ 𝒙
𝐸 = sen
2𝜋
3
sen −2𝑥 −
3
2
(1 − sen2x)
𝐸 = −
3
2
1 + sen 2𝑥 1 − sen2x
1 − sen2 2𝑥
∴ 𝑬 = −
𝟑
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙
Siendo a y b constantes reales y x variable Real 
𝐚𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝐛𝐜𝐨𝐬𝐱 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐𝐬𝐞𝐧(𝐱 + 𝛉)
Donde 
𝐜𝐨𝐬𝛉 =
𝐚
𝐚𝟐 + 𝐛𝟐
∧ 𝐬𝐞𝐧𝛉 =
𝐛
𝐚𝟐 + 𝐛𝟐
Siendo a y b constantes reales, x variable real
− 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 ≤ asenx + bcosx ≤ 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐
MÁXIMOMÍNIMO
PROPIEDAD I
UNI 2014 I
Si se cumple que
sen 2𝑥 + 3 cos 2𝑥
2
− 5 = cos 2𝑥 −
𝜋
6
Hallar un valor de x
A)
𝜋
4
B)
𝜋
3
C)
5𝜋
12
D)
𝜋
12
E)
7𝜋
12
Resolución 
Sea 𝐸 = sen 2𝑥 + 3 cos 2𝑥
Entonces 𝐸 = 2 cos 2𝑥 −
𝜋
6
; reemplazando en el dato en 
función de E.
𝐸2 − 5 =
𝐸
2
𝟐𝑬𝟐 − 𝑬 − 𝟏𝟎 = 𝟎
2𝐸 − 5 𝐸 + 2 = 0
Entonces 𝐸 = −2 → cos 2𝑥 −
𝜋
6
= −1
Luego 
2𝑥 −
𝜋
6
= 𝜋
∴ 𝒙 =
𝟕𝝅
𝟏𝟐
= 2
𝟏
𝟐
sen 2𝑥 +
𝟑
𝟐
cos 2𝑥
Aplicación 
Hallar el máximo valor de
𝐸 = 1 + sen 𝑥 1 + cos 𝑥
A)
3
2
− 2
B)
3
2
+ 2
C) 3 + 2
D) 1 + 2
E) 2 + 2
Resolución 
Si α+β+θ=180o
⇒ tan α + tan β + tan θ = tanαtanβ tanθ
⇒ cot α cot β + cotαcotθ + cotβcotθ = 1
PROPIEDAD II
Consideremos las propiedad de medias 𝑴𝑮 ≤ 𝑴𝑨
Además, se tiene 𝟏 + 𝐬𝐞𝐧 𝒙 ≥ 𝟎 y 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≥ 𝟎
⟹ 1 + sen 𝑥 1 + cos 𝑥 ≤
2 + sen 𝑥 + cos 𝑥
2
Considerando que : − 2 ≤ sen 𝑥 + cos 𝑥 ≤ 2
𝐸 ≤
2 + 2
2
∴ 𝑬𝒎𝒂𝒙 =
𝟑
𝟐
+ 𝟐
Si α + β + θ = 90°
⇒ cotα + cotβ + cotθ = cotαcotβcotθ
⇒ tanα tanβ + tanαtanθ + tanβtanθ = 1
PROPIEDAD III
Aplicación
En un triángulo ABC, se cumple que
27 cot2 𝐴 cot2 𝐵 cot2 𝐶 + 1 = 6 3 cot 𝐴 cot 𝐵 cot 𝐶
Determinar el valor de
𝐾 =
tan 𝐴 tan 𝐵 − tan 𝐴 cot 𝐶 − tan 𝐵 cot 𝐶
tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶
−1
A) 3 B) 2 3 C) 3 3
D) 1 E) 4 3
Resolución 
En dato
𝟑 𝟑 𝒄𝒐𝒕 𝑨 𝒄𝒐𝒕 𝑩 𝒄𝒐𝒕 𝑪
𝟐
− 𝟐 𝟑 𝐜𝐨𝐭 𝑨 𝐜𝐨𝐭 𝑩 𝐜𝐨𝐭 𝑪 + 𝟏 = 𝟎
Luego 3 3 cot 𝐴 cot 𝐵 cot 𝐶 = 1
Por otro lado, como 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180° entonces
tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶 = 3 3
En lo que piden
𝐾 =
tan 𝐴 tan 𝐵 −
tan 𝐴
tan 𝐶 −
tan 𝐵
tan 𝐶
tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶
−1
𝐾 =
tan 𝐴 tan 𝐵 tan 𝐶 − tan 𝐴 − tan 𝐵
tan 𝐶 tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶
−1
𝐾 =
tan 𝐶
tan 𝐶 tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶
−1
𝐾 = tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶
∴ 𝑲 = 𝟑 𝟑
→ 𝐭𝐚𝐧 𝑨 𝐭𝐚𝐧 𝑩 𝐭𝐚𝐧 𝑪 = 𝟑 𝟑
En la figura mostrada ABCD es un cuadrado.
Si BD corta a la circunferencia inscrita en P, Q
es punto de tangencia, calcule tanθ.
C)
5 2 + 1
7
B)
3 2 − 1
3A)
2 2 − 1
5
D)
2 2 + 1
4
E)
3 2 + 1
5
θ
P
A
B C
D
Q
UNI 2019 II
Reto I
En un triángulo ABC, se cumple que
sen 𝐴 = 𝑚 sen 𝐵 sen 𝐶
cos 𝐴 = 𝑚 cos 𝐵 cos 𝐶
A qué equivale tan 𝐴 tan 𝐵 tan 𝐶
A) 𝑚 − 1 2 B) 2𝑚 + 1 C) 2𝑚 + 1 2
D) 𝑚 + 1 E) 𝑚 + 1 2
Reto II
Si 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =
𝜋
2
, además
tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶 > 0
sec2 𝐴 + sec2 𝐵 + sec2 𝐶 = sec2 𝜃 y 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐶
Calcular el equivalente de
sen 𝐴 + 𝜃 sen 𝐵 + 𝜃 sen 𝐶 + 𝜃
A) sen3 𝜃 B) sec3 𝜃 C) cos3 𝜃
D) csc3 𝜃 E) tan3 𝜃
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe