Semestral Uni - Trigonometría semana 07

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Identidades trigonométricas de 
ángulos múltiples
Trigonometría
Tenemos que
Hacemos: x = θ y también que y = θ
𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑦 = cos 𝑥 cos 𝑦 − sen 𝑥 sen 𝑦
Entonces tenemos: 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜽 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝜽
Digamos que queremos determinar el cos
45°
2
.
Observamos que el doble de
45°
2
es el ángulo
notable de 45°.
La idea para resolver el problema es determinar
una fórmula que nos permita relacionar el
ángulo de
45°
2
con el doble de ese ángulo.
𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝜃 = cos 𝜃 cos 𝜃 − sen 𝜃 sen𝜃
Veamos
COSENO DEL ÁNGULO DOBLE
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 − 𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 = 𝟐 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 −1
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 = 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
Considerando las identidad pitagórica: 
sen2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜽 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝜽
FÓRMULAS DE DEGRADACIÓN
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO DOBLE
SENO DEL ÁNGULO DOBLE
Sabemos:
Hacemos: 𝛼 = 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽
❑ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽)
❑ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐 = 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽)
❑ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝟒𝜽 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽)
CONSECUENCIAS
Ejemplo
Resolución
Calcular el valor de cos
45°
2
Consideremos la siguiente fórmula: 
Reemplacemos a 𝜃 =
45°
2
2 cos2
45°
2
= 1 + cos 45°
2 cos2
45°
2
= 1 +
2
2
cos2
45°
2
=
2 + 2
4
∴ 𝐜𝐨𝐬
𝟒𝟓°
𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟐
1 + cos 2θ = 2cos2θ
→ 2cos2
45°
2
=
2 + 2
2
→ cos
45°
2
=
2 + 2
4
Aplicación
Si para x ∈ 0; 2π se tiene
senx + cosx + sen2x = senx + cosx + A 2 + B
entonces (2A + 4B) es igual a:
A) − 1 B) − 2 C) − 3
D) − 4 E) − 5
Resolución
Tener en cuenta: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐
En el dato, segundo lado
sen2 𝑥 + cos2 𝑥 + 𝐴2 + 2𝐴 sen 𝑥 + 2𝐴 cos 𝑥 + 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒙
2𝐴 sen 𝑥 + 2𝐴 cos 𝑥 + 𝐬𝐞𝐧𝟐𝒙 + 1 + 𝐴2 + 𝐵
Comparando con el primer lado
2𝐴 = 1; 1 + 𝐴2 + 𝐵 = 0
Entonces
𝐴 =
1
2
y 𝐵 = −
5
4
En lo que piden:
∴ 𝟐𝑨 + 𝟒𝑩 = 𝟐
𝟏
𝟐
+ 𝟒 −
𝟓
𝟒
= −𝟒
TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE
𝑡𝑎𝑛2𝜃 =
2𝑡𝑎𝑛𝜃
1 − 𝑡𝑎𝑛2𝜃
A B
C
2θ
𝟐𝒕𝒂𝒏𝜽
𝟏 − 𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽
𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽
Triángulo del ángulo doble
IDENTIDADES AUXILIARES
𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 2𝑐𝑠𝑐2𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 2𝑐𝑜𝑡2𝜃
𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
= csc 𝜃 + cot 𝜃 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
= csc 𝜃 − cot 𝜃
En un triángulo ABC recto en A, el valor 
de la expresión .
P =
(a − b)2+4absen2
C
2
(a + b)2−2bccot
C
2
donde a, b y c son
Los lados del triángulo, es igual a: 
A) − 2 B) − 1 C)1
D) 2 E) 4
UNI 2011-I
Resolución
B A
C
b
c
a
P =
a2 + b2 − 𝟐𝐚𝐛 + 𝟒𝐚𝐛sen2
C
2
a2 + b2 + 2ab − 2bccot
C
2
𝐜𝐬𝐜 𝑪 + 𝐜𝐨𝐭 𝑪
P =
a2 + b2 − 𝟐𝐚𝐛
a2 + b2 + 2ab − 2bc csc 𝐶 + cot 𝐶
P =
a2 + b2 − 2ab
a2 + b2 + 2ab − 2bc
𝐚
𝐜 +
𝐛
𝐜
P =
a2 + b2 − 2ab
b
a
a2 + b2 + 2ab − 2ab − 2𝑏2
∴ 𝐏 =
𝐚𝟐 − 𝐛𝟐
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
= 𝟏
𝐜𝐨𝐬𝑪
𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐
𝑪
𝟐
SENO Y COSENO DE ÁNGULO TRIPLE
𝐬𝐞𝐧 𝟑𝜽 = 𝟑 𝐬𝐞𝐧𝛉 − 𝟒 𝐬𝐞𝐧𝟑 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝟑𝜽 = 𝟒 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝜽 − 𝟑𝐜𝐨𝐬𝛉
FÓRMULA DE DEGRADACIÓN
UNI 2015-II
Calcule el valor de
M = sec80o + 8cos280o
A) 4 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12
4 𝑠e𝑛3 𝜃 = 3 senθ − sen 3θ
4 𝑐𝑜𝑠3 𝜃 = 3 cos θ + cos 3θ
❑ 𝐬𝐞𝐧𝟑𝒙 = 𝐬𝐞𝐧𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝟏
❑ 𝐬𝐞𝐧𝟑𝒙 = 𝟒 𝐬𝐞𝐧𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝟔𝟎° − 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝟔𝟎° + 𝒙
❑ 𝐜𝐨𝐬𝟑𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝟏
❑ 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱 = 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° − 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° + 𝐱
IDENTIDADES AUXILIARES
Resolución
Pasando a senos y cosenos:
Observación
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟒𝟎° = 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎° + 𝟔𝟎°
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟒𝟎° = −𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎° = −
𝟏
𝟐
M =
1 + 2 3 cos 80° −
𝟏
𝟐
cos 80°
M =
1
cos 80°
+ 8cos280o
M =
1 + 8cos380o
cos 80°
M =
1 + 2 3 cos 80° + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝟒𝟎°
cos 80°
=
6 cos 80°
cos 80°
= 6
UNI 2009-I
Simplificando la siguiente expresión
K = sen23A csc2A + cos23Asec2A + 2cos 4A
A) 6cos22A B) 6 cos 2𝐴 C) 6sen2A
D) 12sen A E) 12cos22A
Resolución
En la expresión 
𝐾 =
𝐬𝐞𝐧𝟑𝐀
𝐬𝐞𝐧𝐀
2
+
𝐜𝐨𝐬𝟑𝑨
𝐜𝐨𝐬𝑨
2
+ 2 cos 4𝐴
𝐾 = 2 cos 2𝐴 + 1 2 + 2 cos 2𝐴 − 1 2 + 2 cos 4𝐴
𝟐 𝟒 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐𝑨 + 𝟏
𝐾 = 8 cos2 2𝐴 + 2 + 2 cos 4𝐴
𝐾 = 8 cos2 2𝐴 + 2 1 + cos 4𝐴
𝐾 = 8 cos2 2𝐴 + 4 cos2 2𝐴 = 𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝑨
TANGENTE DEL ÁNGULO TRIPLE
𝐭𝐚𝐧𝟑𝛉 =
𝟑𝐭𝐚𝐧𝛉 − 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝛉
𝟏 − 𝟑𝐭𝐚𝐧𝟐𝛉
❑ tan 3𝑥 = tan 𝑥
2 cos 2𝑥+1
2 cos 2𝑥−1
❑ tan 3𝑥 = tan 𝑥 tan 60° − 𝑥 tan 60° + 𝑥
IDENTIDADES AUXILIARES
Aplicación
Del gráfico, calcular el valor de 𝜃
A) 30° B) 20° C) 40°
D)70° E) 60°
Resolución
Piden 𝜃
𝑎
𝛼
En el triángulo BEC
A C
B
E
M
10°
10°
𝜃
30°
A C
B
E
M
10°
10°
𝜃
30°
En el triángulo AEB
En el triángulo AEM
En el triángulo MEC
tan 𝛼 = cot 30° cot 20° tan 10°
𝐭𝐚𝐧𝟐𝟎°
tan 𝛼 = 𝒄𝒐𝒕𝟏𝟎° 𝒄𝒐𝒕 𝟓𝟎° 𝒄𝒐𝒕 𝟕𝟎° cot 20° tan 10°
tan𝛼 = cot 50°
∴ 𝜶 = 𝟒𝟎°
𝐵𝐸 = 𝑎 cot 30°
𝐴𝐸 = 𝑎 cot 30° cot 20°
𝑀𝐸 = 𝑎 cot 30° cot 20° tan 10°
tan𝛼 =
𝑎 cot 30° cot 20° tan 10°
𝑎
Aplicación
Determinar el valor de m+n+p
Si
sen 3𝑥 sen3 𝑥 + cos 3𝑥 cos3 𝑥 = 𝑚 cos𝑛 𝑝𝑥
A) −2 B) −1 C) 0
D) 1 E) 2
Resolución
Piden: 𝑚 + 𝑛 + 𝑝
−3 cos 2𝑥 + 4 cos3 2𝑥
4 cos3 2𝑥 = 4𝑚 cos𝑛(𝑝𝑥)→∴ 𝒎+ 𝒏 + 𝒑 = 𝟔
sen 3𝑥 ∙ sen3 𝑥 + cos 3𝑥 ∙ cos3 𝑥 = 𝑚 cos𝑛 𝑝𝑥
3 cos 2𝑥 + cos 6𝑥 = 4𝑚 cos𝑛 𝑝𝑥
sen 3𝑥 sen3 𝑥 + cos 3𝑥 cos3 𝑥 = 𝑚 cos𝑛 𝑝𝑥
sen 3𝑥 3 sen 𝑥 − sen3𝑥 + cos 3𝑥 3 cos 𝑥 + cos 3𝑥 = 4𝑚 cos𝑛 𝑝𝑥
4 4 4
3 cos 3𝑥 cos 𝑥 + sen 3𝑥 sen 𝑥 + cos2 3𝑥 − sen2 3𝑥 = 4𝑚 cos𝑛 𝑝𝑥
Reto I
En un triángulo ABC, se cumple que
tan𝐴 =
cos 4°
cos 60° sen 8°
−
sen 8°
1 − cos 8°
𝛼 ∈ 0°; 4° , calcule 4 sen 9𝛼
A) 3 − 1 B) 5 − 1 C) 5 − 1
D) 3 + 1 E) 4
Reto II
Si sen 𝑥 −
𝜋
3
= −
2
3
entonces el valor de
27 2 sen 3𝑥
Es
A) 19 B) 21 C) 38
D) 45 E) 57
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe