Semestral Uni - Trigonometría semana 08 (1)

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Identidades trigonométricas de 
ángulos múltiples
Trigonometría
Tenemos:
sen x + y = senxcosy + cosxseny… (I)
sen x − y = senxcosy − cosxseny… (II)
Sumando (I) y (II):
sen x + y + sen x − y = 2senxcosy… (III)
Hacemos un cambio de variable:
Reemplazando en (III), se tiene:
En logaritmos tenemos muchas
propiedades que nos facilitan las
operaciones entre números grandes. Por
ejemplo:
𝑙𝑜𝑔 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔 𝐴 + 𝑙𝑜𝑔 𝐵
En las razones trigonométricas de forma
similar se pueden multiplicar seno o
cosenos de diferentes ángulos y esto se
reduce a una suma o diferencia de senos
o cosenos de ángulos compuestos. Por
ejemplo:
sen 𝑥 cos 𝑦 =
sen 𝑥 + 𝑦 + sen 𝑥 − 𝑦
2
Ahora veamos como se expresa una 
suma de senos a producto
𝑥 + 𝑦 = 𝛼
𝑥 − 𝑦 = 𝜃
𝑥 =
𝛼 + 𝜃
2
𝑦 =
𝛼 − 𝜃
2
senα + senθ = 2sen
α + θ
2
cos
α − θ
2
IDENTIDADES DE TRANSFORMACIÓN TRIGONOMÉTRICA
DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛
𝛼 + 𝜃
2
𝑐𝑜𝑠
𝛼 − 𝜃
2
𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠
𝛼 + 𝜃
2
𝑠𝑒𝑛
𝛼 − 𝜃
2
𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠
𝛼 + 𝜃
2
𝑐𝑜𝑠
𝛼 − 𝜃
2
𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −2𝑠𝑒𝑛
𝛼 + 𝜃
2
𝑠𝑒𝑛
𝛼 − 𝜃
2
Aplicación 1 
Simplificar la siguiente expresión:
𝐹 =
sen 𝑥 + sen 2𝑥 + sen 3𝑥
sen
3𝑥
2 cos
𝑥
2
Resolución
∴ 𝑭 = 𝟒𝐜𝐨𝐬𝒙
𝐹 =
2 sen
3𝑥
2 cos
𝑥
2 + 2 sen
3𝑥
2 cos
3𝑥
2
sen
3𝑥
2 cos
𝑥
2
𝐹 =
2 sen
3𝑥
2 𝒄𝒐𝒔
𝒙
𝟐 + 𝒄𝒐𝒔
𝟑𝒙
𝟐
sen
3𝑥
2
cos
𝑥
2
𝐹 =
4 sen
3𝑥
2 𝐜𝐨𝐬
𝒙
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙
sen
3𝑥
2 cos
𝑥
2
2 cos 𝑥 cos
𝑥
2
DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
2𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝜃
Propiedades adicionales:
2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝜃
2𝑠𝑒𝑛𝛼𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝜃
Aplicación 2 
Calcule
𝐹 = 2 cos 40° − 4 sen 50° cos 80°
A) −1 B)
−1
2
C) 0 D)
1
2
E) 0
Resolución
𝐹 = 2 cos 40° − 2 sen 130° + sen −30°
𝐹 = 2 cos 40° − 2 sen 130° + 2 sen 30°
𝐹 = 2 sen 30°
𝐬𝐞𝐧𝟓𝟎°𝐬𝐞𝐧𝟓𝟎°
∴ 𝑭 = 𝟏
Si 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180° se establece
sen𝐴 + sen𝐵 + sen𝐶 = 4 cos
𝐴
2
cos
𝐵
2
cos
𝐶
2
cos𝐴 + cos𝐵 + cos 𝐶 = 4 sen
𝐴
2
sen
𝐵
2
sen
𝐶
2
+ 1
𝐹 = 2 cos 40° − 2 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟓𝟎° 𝒄𝒐𝒔𝟖𝟎°
−sen30°
Si 𝑥 + 𝑦 = 90° → sen 𝑥 = cos 𝑦
Si 𝑥 + 𝑦 = 180° → sen 𝑥 = sen 𝑦
𝐬𝐞𝐧 −𝜽 = −𝐬𝐞𝐧𝜽
Calcular el valor de
𝐸 =
cos3 80° + cos3 20°
cos 10° cos 20° cos 80°
Resolución
Aplicación 3 
Aplicación 4
Si 𝜃 es la medida de un ángulo agudo, que
cumple:
tan 𝜃 =
3 sen 10° + 2 cos 70°
cos 20° − cos 40°
Calcule 𝜃
Resolución
𝐸 =
𝟒 cos3 80° + 𝟒 cos3 20°
𝟒 cos 10° cos 20° 𝐜𝐨𝐬 𝟖𝟎°
Tenemos que: 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜶 = 𝟑𝐜𝐨𝐬𝜶 + 𝐜𝐨𝐬𝟑𝜶
𝐸 =
𝟑 𝐜𝐨𝐬𝟖𝟎° + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟒𝟎° + 𝟑𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟎° + 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎°
2 2 cos 10° 𝐬𝐞𝐧𝟏𝟎° cos 20°
𝐸 =
3 𝒄𝒐𝒔𝟖𝟎° + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎°
2 𝐬𝐞𝐧𝟐𝟎° cos 20°
𝐸 =
3 2 𝒄𝒐𝒔𝟓𝟎° cos 30°
𝐬𝐞𝐧𝟒𝟎°
=
6 𝐬𝐞𝐧𝟒𝟎° cos 30°
sen 40°
∴ 𝑬 = 𝟑 𝟑
tan 𝜃 =
2 ∙
𝟑
𝟐 sen10° + 2 cos 70°
−𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎° 𝐬𝐞𝐧 −𝟏𝟎°
tan 𝜃 =
2 𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎° sen 10° + 2 cos 70°
2 sen 30° sen 10°
tan 𝜃 =
𝐜𝐨𝐬𝟓𝟎° − 𝐜𝐨𝐬𝟕𝟎° + 2 cos 70°
sen 10°
tan 𝜃 =
cos 50° + cos 70°
sen 10°
=
𝟐𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎° 𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°
sen 10°
tan 𝜃 = cot 10°
∴ 𝜽 = 𝟖𝟎°
Observar que 𝐜𝐨𝐬𝟐𝟒𝟎° = 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎° + 𝟔𝟎° = −𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎°
Sumatorias y productorias
notables
cos
𝜋
7
+ cos
3𝜋
7
+ cos
5𝜋
7
=
1
2
cos
2𝜋
7
+ cos
4𝜋
7
+ cos
6𝜋
7
= −
1
2
sen
𝜋
7
∙ sen
2𝜋
7
∙ sen
3𝜋
7
=
7
8
cos
𝜋
7
∙ cos
2𝜋
7
∙ cos
3𝜋
7
=
1
8
Calcule el valor de la siguiente
expresión
𝑅 = sen
2𝜋
7
+ sen
4𝜋
7
− sen
𝜋
7
A)
7
2
B)
7
4
C)
7
6
D)
7
8
E)
7
16
Resolución
Aplicación 5
𝑅 = sen
2𝜋
7
+ sen
4𝜋
7
− sen
𝜋
7
𝑅 = 𝟐𝒔𝒆𝒏
𝟑𝝅
𝟕
𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟕
− sen
6𝜋
7
𝑅 = 2 sen
3𝜋
7
cos
𝜋
7
− 𝟐𝒔𝒆𝒏
𝟑𝝅
𝟕
𝐜𝐨𝐬
𝟑𝝅
𝟕
𝑅 = 2 sen
3𝜋
7
cos
𝜋
7
− cos
3𝜋
7
−2 sen
2𝜋
7
sen −
𝜋
7
𝑅 = 4 𝒔𝒆𝒏
𝟑𝝅
𝟕
𝒔𝒆𝒏
𝟐𝝅
𝟕
𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟕
𝑅 = 4
𝟕
𝟖
Tener en cuenta: sen 2𝜃 = 2 sen 𝜃 cos 𝜃
Tener en cuenta: sen −𝜃 = − sen 𝜃
∴ 𝑹 =
𝟕
𝟐
Si 𝑥 + 𝑦 = 𝜋 → sen 𝑥 = sen 𝑦
𝑅 = sen
2𝜋
7
+ sen
4𝜋
7
− 𝒔𝒆𝒏
𝟔𝝅
𝟕
Reto I
Simplificar la expresión 
cos 𝑦 + cos 𝑦 − 2𝑥
cos2 𝑥 cos 𝑦 +
1
2 sen 2𝑥 sen 𝑦
A) cos 𝑥 B) 1 C) cos 𝑦 − 𝑥
D) 2 E) −cos 𝑥
UNI 2014 II
Calcule
M = sen4θ + sen42θ+ sen43θ
Si θ =
𝜋
7
A)
21
13
B)
21
14
C)
21
15
D)
21
16
E)
21
17
Reto II
Calcule
sen
𝜋
7
cos
2𝜋
7
cos
4𝜋
7
+
sen
2𝜋
7
cos
𝜋
7
cos
4𝜋
7
+
sen
4𝜋
7
cos
𝜋
7
cos
2𝜋
7
A) −4 B) 7 C) − 7
D) 2 7 E) −2 7
“Lo importante es no dejar de 
hacerse preguntas.”
Asociación Fondo de Investigadores y Editores (2016). Trigonometría esencial. Lumbreras editores.
Asociación Fondo de Investigadores y Editores (2018). Trigonometría una visión analítica de las funciones. Lumbreras 
editores.
Centro pre universitario de la UNI (2020). Boletines y seminarios. 
Stewart, E., Lothar, R. y Watson, S. (2012). Precálculo. Matemática para el cálculo. CENGAGE Learning, sexta edición.
REFERENCIAS
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe