Semestral Uni - Trigonometría semana 09

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Identidades trigonométricas de 
ángulos múltiples
Trigonometría
DEFINICIÓN DE LA C.T.
𝑥2 + 𝑦2 = 1
𝑋
𝑌
θ ∈ ℝ; 𝜃 ≥ 0
(0; −1)
θrad
𝑋
𝑌
𝐶. 𝑇
Origen 
de arcos
𝜃
𝛽
βrad
(1; 0)
(0; 1)
(−1; 0)
1
(𝑥; 𝑦)
Todo punto (𝑥; 𝑦)
en la circunferencia satisface la 
ecuación
β ∈ ℝ; 𝛽 < 0
𝐴
M
N
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Ejemplos:
𝑋
C. T
2 rad
−1
π
2
≈ 1,57
π ≈ 3,14
3π
2
≈ 4,71
2π ≈ 6,28
2
−1𝑟𝑎𝑑
𝑌
1
1
Observar que 𝜃; 𝛽 son arcos 
dirigidos y además:
Consideramos los arcos cuadrantales 
para ubicar cualquier número real en 
la CT
Extremos 
de arco
ARCOS DIRIGIDOS
Extremos 
de arco
SENO
Sea 𝜽 ∈ ℝ y 𝑷(𝒙; 𝒚) el 
extremo de arco. Se 
define la ordenada 𝒚
como senθ
𝑋
𝑌
C. T
θ
A(1;0)
𝑷(𝒙 ; 𝒚)
𝐲 = 𝐬𝐞𝐧𝛉
COSENO
Sea 𝜽 ∈ ℝ y 𝑷(𝒙; 𝒚) el 
extremo de arco. Se 
define la abscisa 𝒙
como cosθ.
𝑋
𝑌
C. T
θ
A(1;0)
𝑷(𝒙 ; 𝒚)
𝐱 = 𝐜𝐨𝐬𝛉
ൗ𝜋 6
ൗ𝜋 4
ൗ𝜋 3
ൗ5𝜋 6
ൗ3𝜋 4
ൗ2𝜋 3
ൗ7𝜋 6
ൗ5𝜋 4
ൗ4𝜋 3
ൗ11𝜋 6
ൗ7𝜋 4
ൗ5𝜋 3
(1; 0)
Ejemplos
3
2
;
1
2
1
2
;
3
2
2
2
;
2
2
−1
2
;
3
2
−
2
2
;
2
2
−
3
2
;
1
2
−1
2
;
− 3
2
−
2
2
;−
2
2
−
3
2
;−
1
2
1
2
;
− 3
2
2
2
;−
2
2
3
2
;−
1
2
REPRESENTACIÓN DEL SENO Y COSENO DE UN ARCO EN LA CT
𝑋
𝑌
C. T
𝜃
senθ
−senβ
X
Y
C. T
α
senα
−senφ
φ
β
cosθ
−cosβ
−cosα
cosφ
(cosθ; senθ)
(cosφ; senφ)(cosβ; senβ)
(cosα; senα)
Recordar
𝑋
𝑌
𝑃(𝑥; 𝑦)
𝑥
𝑦
𝑥 < 0 → 𝑥 = −𝑥
𝑦 > 0 → 𝑦 = 𝑦
Donde
(0; 𝑦)
(𝑥; 0)
TANGENTE 
𝑋
𝑌
𝐶. 𝑇
𝛼
𝛽
M(1; 𝑦1)
A
Q(1; 𝑦2)
OBSERVACIÓN
𝑋
𝑌
𝐶. 𝑇
𝛼
𝛽
𝜃
𝜑
N
M
A
P
Q
AN = tanθ
AQ = −tanα
AM = tanβ
AP = −tanφ
Eje de tangentes
Eje de tangentes
Para todo 𝜃 ≠
(2𝑛+1)𝜋
2
se define la tangente, 
como tan 𝜃 =
sen 𝜃
cos 𝜃
; tan 𝜃 ∈ ℝ
Gráficamente
𝑦1 = tan𝛽
𝑦2 = tan𝛼
−senβ
−cosβ
1
𝑦1
Por 
semejanza de 
triángulos
𝑦1
1
=
−sen𝛽
− cos𝛽
COTANGENTE 
𝑋
𝑌
𝐶. 𝑇
𝛼
𝛽
M(cotβ; 1)
A
Q(cotα; 1)
Eje de 
cotan-
gentes
Para todo 𝜃 ≠ 𝑛𝜋 se define la cotangente 
como cot 𝜃 =
cos 𝜃
sen 𝜃
; cot 𝜃 ∈ ℝ. 
Gráficamente
SECANTE
Para todo 𝜃 ≠
(2𝑛+1)𝜋
2
se define la secante; 
es decir: sec 𝜃 =
1
cos 𝜃
𝑋
𝑌
𝐶. 𝑇
𝛼
𝛽
M(sec α ; 0)
A
Gráficamente
N(sec 𝛽 ; 0)
COSECANTE 
Para todo 𝜃 ≠ 𝑛𝜋 se define la cosecante. 
Además csc 𝜃 =
1
sen 𝜃
Gráficamente
𝑋
𝑌
𝐶. 𝑇
𝛼
𝛽
M(csc α ; 0)
A
N(csc 𝛽 ; 0)
𝑋
𝑌
C. T
𝜃
En la C.T mostrada, θ es un ángulo
negativo en posición normal. Si PQ es
perpendicular a MN, halle las
coordenadas de Q x0; y0 y de como
respuesta x0 − y0
Aplicación (UNI 2019-I)
Q
P
N
M
Resolución
𝑋
𝑌
C. T
𝜃
Q
P
N
M
cosθ − senθ
𝑋
𝑌
C. T
θ
En la circunferencia trigonométrica, 
el arco θ ∈
π
2
; π , calcule el área de
región sombreada
Reto (UNI 2012-II)
A)
1
2
1 − cosθ
2 − cosθ
B)
1
2
2 − cosθ
1 − cosθ
C)
1
2
2 − cosθ
1 − cosθ
M
O
𝑋
𝑌
C. T
θ
Del gráfico mostrado, halle el mínimo 
valor que adopta el área de la región 
sombreada
A) 2 2 − 1 B) 2 − 1 C) 2( 2 + 1)
D) 2( 2 − 1) E) 1 + 2
O
Reto
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