vectores (1)

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1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1
Vectores.
1. Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
Trigonometrı́a.
Resolución de ecuaciones de primer grado.
Serı́a conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.
2. Vectores.
Definición: Un vector es un segmento orientado en el espacio. Se caracteriza por tener:
Una dirección, definida por la recta sobre la que se apoya el segmento.
Un sentido, definido por una flecha en el extremo del vector.
Una magnitud o módulo, definido por la longitud del segmento.
Los vectores se suelen representar como flechas de mayor o menor longitud.
Por ejemplo:
Dado un sistema de coordenadas, los vectores se pueden representar usando dichas coordenadas:
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
(3,2)
(-2,-1)
x
y
3 OPERACIONES CON VECTORES. 2
Donde se usa la notación de pares(x, y) para representar los puntos. Por ejemplo,(3, 2) representa el punto
conx = 3 ey = 2. Los vectores se suelen indicar poniendo una flecha encima delas letras que los representan:
~v = (3, 2).
3. Operaciones con vectores.
3.1. Suma.
Para sumar dos vectores se realizará la suma componente a componente, por ejemplo:
~v = (2, 3)
~u = (1,−2)
}
⇒ ~v + ~u = (2, 3) + (1,−2) = (2 + 1, 3 + (−2)) = (3, 1)
Otra forma de proceder es realizar la suma gráficamente, para ello:
❶ Se dibujan los vectores en un sistema de coordenadas.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
~v
~u
❷ Se traza una paralela al vector~u por el extremo del vector~v y viceversa.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
~v
~u
3 OPERACIONES CON VECTORES. 3
❸ El punto donde se cortan ambas rectas será el extremo del vector que se desea encontrar, sólo hay que unirlo
con el origen de coordenadas.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
~v
~u
~v + ~u
Ejercicios:
1. Realizar las siguientes sumas de vectores~v+~u de forma numérica, comprobar el resultado gráficamente:
a) ~v = (1, 2), ~u = (1,−2)
b) ~v = (−1,−2), ~u = (1, 2)
c) ~v = (−2,−1), ~u = (−1, 3)
d) ~v = (2, 1), ~u = (−2, 1)
3.2. Resta de vectores.
Sólo hay que sumar a uno de los vectores el opuesto de el otro vector.
Definición: Se denomina opuesto de un vector a un vector con el mismo módulo, misma dirección y sentido
opuesto. Las coordenadas del vector opuesto son las mismas del vector pero con los signos cambiados.
~v = (2, 3)
~u = (1,−2)
}
⇒ ~v − ~u = (2, 3) − (1,−2) = (2 − 1, 3 − (−2)) = (1, 5)
Gráficamente es el vector que se obtiene de unir los extremosde los dos vectores. El sentido del vector resta
será desde el vector sustraendo al vector minuendo.
3 OPERACIONES CON VECTORES. 4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
~v − ~u
~v
~u
Ejercicios:
1. Realizar las siguientes sumas de vectores~v−~u de forma numérica, comprobar el resultado gráficamente:
a) ~v = (1, 2), ~u = (1,−2)
b) ~v = (−1,−2), ~u = (1, 2)
c) ~v = (−2,−1), ~u = (−1, 3)
d) ~v = (2, 1), ~u = (−2, 1)
3.3. Producto de un vector por un escalar.
El resultado de multiplicar un vector por un número (escalar) es igual al resultado de multiplicar cada una
de las coordenadas del vector por el escalar.
3 · ~v = 3 · (2, 3) = (3 · 2, 3 · 3) = (6, 9)
Gráficamente representa “alargar”, el vector~v, hasta obtener un vector3 veces más largo.
En el caso de multiplicar por un número negativo, gráficamente representa cambiar el sentido al vector y ‘alar-
garlo’.
Si se multiplica a el vector por un número entre 0 y 1, lo que sehace es acortar el vector.
Ejercicios: Realizar las siguientes sumas de vectores de forma numérica, comprobar el resultado gráficamente:
~v = (1, 2), ~u = (2,−1), ~w = (3,−2)
1. ~v − ~u + ~w
2. ~v + ~u − 2~w
3. ~v − 3~u − 2~w
3 OPERACIONES CON VECTORES. 5
4. 3~v − 3~u − 2~w
3.4. Producto escalar de vectores.
Se denomina producto escalar de vectores al número que se obtiene de multiplicar dos vectores componente
a componente y sumar los resultados:
~v = (2, 3)
~u = (1,−2)
}
⇒ ~v · ~u = (2, 3) · (1,−2) = 2 · 1 + 3 · (−2) = 2 + (−6) = −4
Ejercicios:
1. Realizar las siguientes productos escalares,~v · ~u, de vectores:
a) ~v = (1, 2), ~u = (1,−2)
b) ~v = (−1,−2), ~u = (1, 2)
c) ~v = (−2,−1), ~u = (−1, 3)
d) ~v = (2, 1), ~u = (−2, 1)
Solución: -3, -5, -1, -3
3.4.1. Módulo de un vector.
El módulo se representa poniendo al vector entre dos ĺıneas verticales|~v|. Para calcular el módulo (o
magnitud) de un vector hay que calcular la raı́z cuadrada delproducto escalar del vector por sı́ mismo:
|~v| =
√
~v · ~v
Gráficamente representa la longitud del vector. Por ejemplo:
|~v| =
√
(2, 3) · (2, 3) =
√
4 + 9 =
√
13
Ejercicios: Calcular el módulo de los siguientes vectores:~v = (1, 2), ~u = (1,−2), ~v = (−1,−2), ~v =
(−2,−1), ~v = (2, 1), ~u = (−2, 1)
Solución: Todos tienen módulo igual a
√
5
Usando el teorema de Pitágoras encontrar una forma alternativa de calcular el módulo de un vector.
3 OPERACIONES CON VECTORES. 6
3.4.2. Relaci ón entre el producto escalar y el ángulo que forman dos vectores.
La siguiente expresión relaciona el producto escalar con el ángulo que forman los vectores entre sı́:
~v · ~u = |~v| · |~u| cos(α)
Dondeα es el ángulo que forman entre sı́ los vectores~u y ~v.
Por ejemplo: Calcular el ángulo que forman los vectores~v = (2, 3) y ~u = (1,−2):
~v · ~u = −4
|~v| =
√
13
|~u| =
√
(1,−2) · (1,−2) =
√
1 + 4 =
√
5
~v · ~u = |~v| · |~u| cos(α) ⇒ −4 =
√
13
√
5 cos(α) ⇒ cos(α) = −4√
13
√
5
⇒ α = arccos
( −4√
13
√
5
)
= 119,75o
Ejercicios:
1. Cuando dos vectores forman un ángulo de 90o, el producto escalar de los mismos vale 0. Verificar que
los siguientes vectores forman un ángulo de 90o entre sı́:
a) ~v = (1, 0), ~u = (0,−2)
b) ~v = (2,−2), ~u = (1, 1)
c) ~v = (−1,−1), ~u = (−2, 2)
2. Calcular el ángulo entre los siguientes vectores:
a) ~v = (1, 0), ~u = (0,−2)
b) ~v = (1, 0), ~u = (2, 2)
c) ~v = (−2, 0), ~u = (3, 3)
d) ~v = (2, 1), ~u = (−4,−2)
Solución: 90o, 45o, 135o, 180o