TEMA-08-DE-TRIGONOMETRIA-TRANSFOR-FT-INVERSAS

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Curso: Trigonometría Ciclo Invierno 2020 
 TEMA N° 08 
 
 
 
Jr. Cuzco Nº 323 – Piura. Celular: 984071898 – 984071949 - 933013077 
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TRANSFORMACIONES 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
1) A producto 
2
NM
Cos
2
NM
 Sen 2 N Sen M Sen

 
2
NM
Cos
2
NM
 Sen 2 N Sen M Sen

 
2
NM
Cos
2
NM
 Cos 2 N Cos M Cos

 
2
NM
Sen
2
NM
 Sen 2- N Cos M Cos

 
 
2) A suma o diferencia 
2 Cos A Cos B = Cos (A + B) + Cos (A – B) 
2 Sen A Sen B = Cos (A – B) – Cos (A + B) 
2 Sen A Cos B = Sen (A + B) + Sen (A – B) 
Tan A  Tan B = 
CosB.CosA
)BA(Sen 
 
Cot A + Cot B = 
SenB.SenA
)BA(Sen 
 
Cot A – Cot B = 
SenBSenA
)AB(Sen


 
 
3) Degradaciones o formas lineales 
1) 
2
2x Cos1
xSen2

 
 * 
2
2x Cos1
xCos2

 
 
2) 
4
x3SenSenx3
xSen3

 
 * 
4
x3CosCosx3
xCos3

 
 
3) 
8
x4Cosx2Cos43
xSen4

 
 * 
8
x4Cosx2Cos43
xCos4

 
 
4) 
16
x5Senx3Sen5Senx10
xSen5

 
 * 
16
x5Cosx3Cos5Cosx10
xCos5

 
 
5) 
32
x6Cosx4Cos6x2Cos1510
xSen6

 
* 
32
x6Cosx4Cos6x2Cos1510
xCos6

 
 
4) Series trigonométricas 
 
1) A = Sena + Sen(a+r) + Sen(a+2r) + ... 
+ Sen[a + (n – 1)r] 
 
 
 
 
 
 
 
ao : 1er ángulo 
r : razón 
n : número de términos 
an : último ángulo 
 
2) A= Cosa + Cos(a+r) + Cos(a+2r) + ... 
+ Cos [a + (n – 1)r] 
 
 
 
 
 
 
 
2
r
Sen
2
nr
Sen
2
aa
Sen
A
no 




 

2
rSen
2
nrSen
2
aa
Cos
A
no







 

 … La clave para tu ingreso 
 
 
TRIGONOMETRÍA 2 … La clave para tu ingreso 
ao : 1er ángulo 
r : razón 
n : número de términos 
an : último ángulo 
 
5) Identidades bajo condición de arco 
 
Si: A + B + C = 180º 
Sen A + Sen B + Sen C = 
2
C
Cos
2
B
Cos
2
A
Cos4 
Cos A + Cos B + Cos C – 1 = 
2
C
Sen
2
B
Sen
2
A
Sen4 
Tg A + Tg B + Tg C = Tg A Tg B Tg C 
Sen A + Sen B – Sen C = 
2
C
Cos
2
B
Sen
2
A
Sen4 
Sen A – Sen B + Sen C = 
2
C
Sen
2
B
Cos
2
A
Sen4 
Sen A + Sen B + Sen C = 
2
C
Sen
2
B
Sen
2
A
Cos4 
 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 
 
1) Simplifica: 
 J = 
x3senxcos.x4sen2
senxx3cos.x2sen2


 
 
Solución: 
Tenemos: 
J = 
x3senxcos.x4sen2
senxx3cos.x2sen2


 
 
Transformando: 
J = 
x3sen)xx4(sen)xx4(sen
senx)x3x2(sen)x3x2(sen


 
J = 
x3senx3senx5sen
senx)x(senx5sen


 
sen(-x) = -senx 
J = 
x3senx3senx5sen
senxsenxx5sen


 
 
Reduciendo: 
J = 
x5sen
x5sen
 
 
 1J  
 
2) Reduce : 
J = 
x7cosx2cos.x5cos2
x5senxcos.x4sen2


 
 
Solución : 
En la expresión: 
J = 
x7cosx2cos.x5cos2
x5senxcos.x4sen2


 
 
Transformando: 
J = 
x7cos)x2x5cos()x2x5cos(
x5sen)xx4(sen)xx4(sen


 
 
Operando: 
J =
x3cos
x3sen
x7cosx3cosx7cos
x5senx3senx5sen



 
 
 3J tan x 
 
3) Reduce : 
J =
x6cos
xcos.x7cossenx.x5sen 
 
 
Solución : 
En la expresión : 
J = 
x6cos
xcos.x7cossenx.x5sen 
 
 
Multiplicamos x 2 : 
2J = 
x6cos
xcos.x7cos2senx.x5sen2 
 
 
transformando : 
 2J=
x6cos
)xx7cos()xx7cos()xx5(xcos)xx5(xcos 
 
2J = 
x6cos
x6cosx8cosx6cosx4cos 
 
 
reduciendo : 
2J=
x6cos
x4cosx8cos 
 
 
transformando a producto : 
cos8x+cos4x=2cos 




 
2
x4x8
cos 




 
2
x4x8
 
2J = 
x6cos
x2cos.x6cos2
 
simplificando : 
 2J cos x 
 
4) Simplifica : 
J=sen3x.cos2x+sen3x.cos4x+senx.cos6x 
 
Solución : 
En la expresión : 
J=sen3x.cos2x+sen3x.cos4x+senx.cos6x 
 
Multiplicamos x 2 : 
22J=        x6cos.senx2x4cos.x3sen2x2cos.x3sen2  
transformando : 
2J=sen5x+senx+sen7x-senx + sen7x-sen5x 
 
 … La clave para tu ingreso 
 
 
TRIGONOMETRÍA 3 … La clave para tu ingreso 
reduciendo : 
2J = 2sen7x 
 
 7J sen x 
 
5) Reduce : 
J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx 
 
Solución : 
En la expresión : 
J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx 
Multiplicamos x 2 : 
2J=2cos5x.cos2x+2sen6x.senx-2cos4x.cosx 
 
transformando : 
2J = cos7x + cos3x + cos5x – cos7x – 
(cos5x+ cos3x) 
 
2J = cos7x + cos3x + cos5x – cos7x – 
 cos5x – cos3x 
reduciendo : 
2J = 0  0J  
 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
INVERSAS 
 
 
1) Noción de Función Inversa 
Si la función tiene la propiedad de que la imagen es 
exclusiva o sea que cada imagen en el recorrido lo 
es de un solo elemento del dominio, se dice 
entonces que esta función establece una 
correspondencia biunívoca o biyectiva entre los 
elementos del dominio y los del recorrido. 
 
Cuando tal es el caso, se puede definir una nueva 
función, inversa de la función original cuyo 
recorrido sea el dominio de la primera, se dice 
entonces que cada función es la inversa de la otra. 
 
2) Función Inyectiva: 
Una función es inyectiva o univalente si y sólo si 
para todo x1, x2  Dom F se cumple: f(x1) = f(x2)  
x1 = x2 
 
Llamada también función uno a uno o univalente. 
Ejemplo: f(x) = x + 1 es inyectiva. 
 
Aplicando la definición: 
f(x1) = f(x2)  x1 = x2 
x1 + 1 = x2 + 1  x1 = x2 
 
Interpretación geométrica de una función 
inyectiva 
 
Una función “f” es inyectiva si cualquier recta 
horizontal corta a la gráfica “f” a lo más en un 
punto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Función sobreyectiva 
Una función f se llama sobrayectiva, suryectiva o 
sobre si el conjunto de llegada coincide con el 
rango de f. También podemos definirla de la 
siguiente forma. 
 
Dada la función f. 
A  B si  y  B  x  A / (x, y)  f 
  f es sobreyectiva 
Ejemplo: La función f: 0, /2  [0; 1]; f(x) = Sen x 
 No es sobreyectiva dado que si: 
 
0 < x < /2  0 < Sen x < 1 
Es decir 0 < f(x) < 1  Ran f = 0, 1 
Se observa que el conjunto de llegada no coincide 
con el Ran(f) = 0, 1 
 
4) Función biyectiva 
Una función “f” se llama biyectiva. 
Si f es inyectiva y sobreyectiva. 
 
Productorias: 
3 5 2 1 1
...
2 1 2 1 2 1 2 1 2
n
Cos Cos Cos Cos
n n n n
  

 
     
    
 
2 4 6 2 1
...
2 1 2 1 2 1 2 1 2
n
Cos Cos Cos Cos
n n n n
  

 
      
    
 
2 3 1
...
2 1 2 1 2 1 2 1 2n
n
Cos Cos Cos Cos
n n n n
   
    
   
 
2 3 2 1
...
2 1 2 1 2 1 2 1 2n
n n
Sen Sen Sen Sen
n n n n
    
    
   
 
 
5) Definición de función inversa 
Si una función f es biyectiva es decir, es univalente 
y suryectiva, entonces existe su función inversa 
denotada por f* o f
–1
. 
 
 
 
 y 
 x
2
 +1 
 
 
 x 
 
 
 
No es inyectiva 
 y 
 y=x
3
+1 
 
 
 x 
 
 
 
 
Si es inyectiva 
 … La clave para tu ingreso 
 
 
TRIGONOMETRÍA 4 … La clave para tu ingreso 
Obtención de la función inversa 
Dada una función f biyectiva la función inversa f* se 
obtiene intercambiando “x” por “y”  “y” por “x” 
verificándose que: 
 
Dom f
–1
 = Ran f 
Ran f
–1
 = Dom f 
 
Obtención de la gráfica de la función inversa 
Dada la gráfica de una función “f”, para obtener la 
gráfica de su respectiva función inversa f* se 
procede de la siguiente manera. 
 
i) Se traza la recta y = x (recta que es eje de 
simetría entre f y f*). 
ii) Se refleja la gráfica “f” respecto al eje de 
simetría. 
iii) La gráfica reflejada es su gráfica de la función 
f
–1
. 
 
Las funciones trigonométricas por ser periódicas no 
son univalentes, sin embargo al restringir sus 
dominios, se logra que sean inyectivas. 
 
Dichas restricciones se muestran a continuación: 
 
Función Dominio Rango 
y = Sen x [/2, /2] [1, 1] 
y = Cos x [0, ] [1, 1] 
y = Tan x /2, /2 R 
y = Cot x 0,  R 
y = Sec x [0, ] – /2 R – [1, 1] 
y = Csc x [/2, /2] – 0 R – [1, 1] 
 
Notación para una función inversa. 
 
Sea ft() = n   = Arc FT(n) = FT
–1
 (n) 
Entonces si: y= FT (x)  x = Arc FT (y) 
 
Luego: )x(T.ArcFY  
 
Sea: 
Función original Función inversa 
 Sen  = N  = Arc Sen N 
Entonces se lee: “” es el arco cuyo seno es “N”. 
 
6) Funciones Trigonométricas Inversas: Notación, Dominio y Rango 
 
F.T.I Notación 
Dominio Rango 
Arco SenoArc Sen Sen
-1
 [-1,1] [-/2, /2] 
Arco Coseno Arc Cos Cos
-1
 [-1,1] [0, ] 
Arco Tangente Arc Tg Tg
-1
 <-, +> -/2, /2 
Arco Cotangente * Arc Ctg Ctg
-1 
<-, +> <0, > 
Arco Secante Arc Sec Sec
-1
 <-, -1]  [ 1, +> [0, /2 >  < /2, ] 
Arco Cosecante Arc Csc Csc
-1 
<-, -1]  [ 1, +> [-/2, 0 >  < 0, /2] 
 
* A veces se considera Rango (Arc Ctg) = /2, 2] – {0} 
 
 
7) Propiedades de las Funciones Trigonométricas 
Inversas 
 
a) F.T. (Arc F. Tx) = x  x  Dom (Arc F.T) 
 Arc F.T (F.T ) =     Rang (Arc F.T) 
 
 Arc Sen (-x) = -Arc Sen x 
 Arc Cos (-x) =  - Arc Cos x 
 Arc Tg (-x) = -Arc Tg x variables 
 Arc Ctg (-x) =  - Arc Ctg x negativos 
 Arc Sec (-x) =  - Arc Sec x 
 Arc Csc (-x) = -Arc Csc x 
 
 
 
 
 
b) Arc. Sen x = Arc . Csc  
x
1  x  [-1, 1] - {0} 
 Arc. Cos x = Arc. Sec  
x
1  x  [-1, 1] - {0} 
 Arc. Tg x = Arc . Ctg  
x
1  x  ,0 
Arc. Tg x = Arc . Cot 
x
1 –   x  , 0 
Arc. Cot x = Arc . Tan  
x
1  x  0,  
Arc. Ctg x =  + Arc Tan 
x
1  x  , 0 
Arc. Sec x = Arc Cos 
x
1  x  R – 1, 1 
Arc. Csc x = Arc Sen  
x
1  x  R – 1, 1 
 
 
 
 
 
Identidades 
aditivas y 
recíprocas 
 … La clave para tu ingreso 
 
 
TRIGONOMETRÍA 5 … La clave para tu ingreso 
/ 2
/ 2
01 1
x
y
y ArcSenx
y
x
0 11
/ 2

y ArcCosx
/ 2
/ 2
0
y
x
y ArcTgx

/ 2
0
y
x
y ArcCtgx
y
x

/ 2
01 1
y ArcSecx
y
x
/ 2
/ 2
01 1
y ArcCscx
 c) Arc Sen x + Arc Cos x = 
2

  x  [-1, 1] 
 Arc Tg x + Arc Ctg x = 
2

  x  R - {0} 
 Arc Sec x+Arc Csc x=
2

  x  1,   ,1 
 
 d) Arc Tg(m) + Arc Tg (n) = Arc Tg 







K
m.m1
nm
 
 
 Donde el valor de k depende de m y n. 
Si m.n < 1  K = 0 
Si m.n > 1 y m > 0  K = 1 
Si m.n > 1 y m < 0  K = -1 
 
e) Arc Sen x  Arc Sen y = Arc Sen 
22 x1yy1x 




  
 
Arc Cos x  Arc Cos y = Arc Cos 





  22 )y1)(x1(xy 
 Arc Tg x  Arc Tg y = Arc Tg 






 
xy1
yx

 
 
Estas fórmulas son válidas siempre que la suma o 
la diferencia pertenece al rango de la inversa 
respectiva. 
 
 
8) Gráficas de Funciones Inversas 
 
FUNCIÓN ARCO SENO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1,1
2 2
ArcSenx x
 
     
 
FUNCIÓN ARCO COSENO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1,1ArcCosx x     
 
 
FUNCIÓN ARCO TANGENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,
2 2
ArcTgx x
 
      
 
FUNCIÓN ARCO COTANGENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 ,ArcCtgx x      
 
FUNCIÓN ARCO SECANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   0 , 1 1,
2 2
ArcsSecx ArcSecx x
 
           
 
FUNCIÓN ARCO COSECANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   0 0 , 1 1,
2 2
ArcCscx ArcCscx x
 
           
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 
 
1) Calcula. 
 = arcsen
2
1
 + arccos
2
2
 
Solución: 
Tenemos: 
 = arcsen
2
1
 + arccos
2
2
=  +  
 
 
  
 … La clave para tu ingreso 
 
 
TRIGONOMETRÍA 6 … La clave para tu ingreso 
Hacemos: 
arcsen
2
1
 =   “ es un arco cuyo 
 seno vale ½” 
   = 
6
π
... (30°) 
arccos
2
2
= “ es un arco cuyo coseno 
 vale 
2
2
” 
   = 
4
π
... (45°) 
Luego:  = 
46
ππ
  = 
12
5π
 
 
2) Calcula :  = arctan 3 - arctan
3
3
 
Solución: 
Tenemos: 
 = arctan 3 - arctan
3
3
=  -  
 
 
Hacemos: 
 = arctan 3  “ es un arco cuyo tangente 
 vale 3 ” 
   = 
3

... (60°) 
 = arccos
3
3
“ es un arco cuyo tangente 
 vale 
3
3
” 
   = 
6
π
... (30°) 
Luego:  = 
63
ππ
  = 
6
π
 
 
3) Calcula. 
 = arcsen









2
3
 - arccos 






2
1
 
Solución: 
Tenemos: 
 = arcsen









2
3
 - arccos 






2
1
=  +  
 
 
Hacemos: 
 = arcsen









2
3 = - arcsen








2
3 = -
3
π
 
 = arccos







2
1
= - arccos






2
1 +  = 
 -
3
π
+  =
3
2π
 
Luego:  = -
3
2
3
ππ
  = 
3
π
 
 
4) Calcula: 
 = arccos









2
3 - arctan  3 
Solución: 
Tenemos: 
 = arccos









2
3
 - arctan  3 =  -  
 
 
Hacemos: 
 = arccos









2
3
= - arccos








2
3
+  = 
 
6
5
6
π
π
π
 
 = arctan  3 = - arctan  3 = -
3
π
 
Luego:  =  +  = 






36
5 ππ
  = 
6
7π
 
 
5) Calcula : J = tan(arccos1/5) 
 
Solución: 
En la igualdad J = tan(arccos1/5) 
Por lo general se recomienda hacer cambios de 
variable; así: 
J = tan(arccos1/5)  J = tan 
 
 
Pero: 
 = arccos
5
1
 cos =
5
1
 
como piden: 
J = tan  J = 2 6 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
2 
 5 
 1