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Apuntes de álgebra
Apuntes de álgebra y ecuaciones de primer grado
El álgebra es una parte de las matemáticas que nos permite realizar operaciones 
con cantidades desconocidas, para poder hacer:
1. Generalizaciones.
2. Hallar los valores de las cantidades desconocidas para que se cumplan 
ciertas condiciones. Esto se llama resolver ecuaciones.
Definiciones
Variable:
Se llama variable a cualquier símbolo, generalmente una letra (x, y, ...), con la 
que representamos un número cualquiera.
Expresión algebraica:
Se llama expresión algebraica a una combinación de números y potencias de 
variables mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, etc. 
Por ejemplo 3 ∙ x1, 2 ∙ x ∙ y2 ,
x
y
Ejemplo:
En el mercado tenemos las naranjas a 1€ el kilo, y las manzanas a 0,80€ el kilo. 
Escribir la expresión algebraica que nos da el precio de la compra en función del 
peso de cada fruta.
Solución: 
El peso de cada fruta puede ser cualquiera, luego son variables, con lo que 
al peso de naranjas le llamaremos x y al de las manzanas y.
Si compramos 1 kilo de naranjas el precio será de 1€·1=1€. Si lo que 
compramos son 3 kilos, entonces el precio será 1€·3=3€. Extendiendo este 
razonamiento, si compramos x kilos el precio será 1€·x.
Con el mismo razonamiento para las manzanas, el precio de y kilos de 
manzanas será 0,80€·y.
Y lógicamente el precio de la compra será 1€·x+0,80€·y. Ésta es la 
expresión que buscábamos, nos da el precio total simplemente con sustituir 
x e y por el número de kilos que queramos y operar. Por ejemplo si llevamos
5 kilos de naranjas y 3 de manzanas, sustituimos y nos queda 
1€·5+0,80€·3=7,40€.
Evaluación de una expresión algebraica
Consiste en sustituir las variables por números y realizar la operación completa 
1
Apuntes de álgebra
para dar un resultado.
Ejemplo:
Evaluar la expresión
2x2 y
3+ y
en x=1 e y=2.
Lo que tenemos que hacer es cambiar las x por unos y las y por doses, teniendo 
en cuenta que entre las variables y los números hay siempre un signo de 
multiplicación, con lo que queda
2·12·2
3+2
que operando siguiendo las prioridades 
de las operaciones nos da
4
5
.
Ejercicios de expresiones algebraicas
1. Escribe las expresiones algebraicas que corresponden a los siguientes 
enunciados:
a. El cuadrado de un número.
b. El doble del cuadrado de un número.
c. El cuadrado del doble de un número.
d. El 70% de una cantidad x.
e. El y% de una cantidad.
f. La mitad del sucesor de un número.
g. El sucesor de la mitad de un número.
h. Un número par.
i. Un número impar.
j. El producto de dos pares consecutivos.
k. El producto de dos impares consecutivos.
l. La suma del cuadrado de dos números.
m. El cuadrado de dos números.
n. La raíz de la suma de dos números.
o. La suma de las raíces de dos números.
p. El opuesto de un número.
q. El inverso de un número.
2. En una tienda venden un producto al peso al precio de x €/kg. Escribe las 
expresiones algebraicas correspondientes a los siguientes enunciados:
2
Apuntes de álgebra
a. El precio de y kg.
b. El precio de 12 cajas de 7 kg
c. El precio de y cajas de z kg.
d. El precio por kilo si nos hacen un 20% de descuento.
e. El precio de y kg si nos hacen un z% de descuento.
f. El beneficio por kg si el tendero lo compró a y €/kg.
g. El beneficio de z kg con los datos del enunciado anterior.
h. El beneficio por kg si compró 20 kg por 50€
i. El beneficio por kg si compró y kg por z €.
3. Escribe en los dibujos correspondientes (tienes que hacerlos tú) los elementos 
que se indican:
a. Los ángulos de un triángulo escaleno.
b. Los ángulos de un triángulo isosceles.
c. Los ángulos de un triángulo equilátero.
d. Los lados de un cuadrado.
e. Los lados de un rectangulo cuya base es el doble que la altura.
f. La diagonal de un cuadrado en función de sus lados.
g. El apotema de un hexágono en función del lado y del rádio.
h. La medida del angulo central de un polígono de n lados.
4. Escribe las siguientes igualdades en lenguaje algebraico (antes de escribir la 
igualdad tienes que indicar qué es cada variable)
a. La suma de dos impares consecutivos es 7
b. El producto de dos pares consecutivos es y.
c. La edad de María es un año menos que la edad de Laura.
d. La edad de Pedro dentro de cuatro años será el doble de la edad actual de 
Luis.
e. La edad de Pedro dentro de 7 años será el doble de la edad de Juan dentro 
de 7 años.
f. La edad de Javier es la mitad de la suma de la que tenian Jaime y Mario hace 
5 años.
3
Apuntes de álgebra
5. Evalua las siguientes expresiones para los valores de las variables que se 
indican:
a. 2 · x3 para x=7 b. 2 ·x3 para x=7
c. x2y para x=1 e y=3 d. x2z para x=0,5 y z=2
e. x
2
x1
para x=1 f.  x2 y2 para x=3 e y=4
g. 
x · y
y2−2
para x=0,5 e y=1 h. 2x−3x para x=4
Monomios
Definición
Un monomio es una maltiplicación de un número y potencias naturales de 
variables. Por ejemplo 3 ∙ x 2 , 2 ∙ x ∙ y , −3∙ y
En un monomio se diferencian dos partes:
● Coeficiente: es el número que multiplica, con el signo incluido. Si no hay 
coeficiente, el coeficiente vale 1.
● Parte literal: es lo que nos queda del monomio si le quitamos el 
coeficiente, incluidos los exponentes de las variables.
Tienes que tener en cuenta que un número solo también es un monomio, es decir 
-3 es un monomio que no tiene parte literal.
Ejemplos:
En 3 ∙ x 2 el coeficiente es 3, y la parte literal, que es lo que nos queda si 
quitamos el 3, es x2 (observar que la parte literal no solo es la variable, 
sino la variable con su potencia)
En 2 ∙ x ∙ y el coeficiente es 2, y la parte literal x·y
En -3·y el coeficiente es -3, y la parte literal y
Si en un monomio no aparece el coeficiente entonces el coeficiente es 1. Si solo 
aparece signo entonces es -1.
En x·y el coeficiente es 1, y la parte literal x·y
En −x2 el coeficiente es -1, y la parte literal x2
Grado de un monomio:
Se define el grado de un monomio como la suma de las potencias a las que están 
elevadas la variables. Si solo hay una variable y no está elevada a ningún número,
el monomio es de grado 1, si es un número solo el grado es 0. Ejemplos:
3∙ x5 tiene grado 5 x2 y4 tiene grado 6 x tiene grado 1 -7 tiene grado 0
−4 xy tiene grado 2
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Apuntes de álgebra
Operaciones con monomios
Suma:
No todos los monomios se pueden sumar. Para poder sumar dos monomios, 
ambos han de tener la misma parte literal, incluidos los exponentes, 
aunque las variables estén en diferente orden. Por ejemplo 3·x+2·y no se 
puede hacer, porque no tienen la misma parte literal, 3 ∙ x 52 ∙ x 2 tampoco, por la 
misma razón.
En caso de que no se puedan sumar se deja la expresión como está.
Si ambos monomios tienen la misma parte literal entonces se pueden sumar, y se 
procede de la siguiente manera: se suman los coeficientes, y como parte 
literal se pone la parte literal común a los dos monomios.
Ejemplos:
3 ∙ x2 ∙ x=32∙ x=5 ∙ x 2 ∙ x2x 2=21 ∙ x2
−5∙ x32 ∙ x3=−52 ∙ x3=−3∙ x3 4 ∙ x−2 ∙ x=4−2∙ x=2 ∙ x
Resta:
Tiene la misma restricción que la suma, y el mecanismo es similar pero aplicando 
las reglas de la resta de enteros.
Multiplicación de un número por un monomio:
Para multiplicar un número por un monomio se multiplica el número por el 
coeficiente, y la parte literal se deja como está.
Ejemplos:
2 ∙ 3∙ x =6 ∙ x 4 ∙ x 2 ∙−2=−2 ∙4∙ x 2=−8 ∙ x2
Multiplicación de dos monomios:
Para multiplicar dos monomios tenemos que multiplicar por separado los 
coeficientes y las partes literales. En la multiplicación de las partes literales
tenemos que utilizar las propiedades de las potencias, en concreto la del 
producto de potencias de la misma base. El resultado de la operación es un 
monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte 
literal es el producto de las partes literales.
Ejemplos:
2x ·3x2=2·3  x · x2=6x12=6x3 3x2 y  ·−4 x2 y 3=−4 ·3 x2 · x2 · y · y3=−12 x4 y 4
5
Apuntes de álgebra
División de un monomio entre un número:
Para dividirun monomio por un número se divide el coeficiente entre el 
número, y la parte literal se deja como está. Si el resultado de la división no 
es un entero exacto se suele dejar en forma de fracción.
Ejemplos:
12 ∙ x 2
3
=4 ∙ x2
−10 ∙ x
5
=−2 ∙ x
5∙ x
3
=
5
3
∙ x
División de monomios
La división de monomios es la operación más compleja que se puede hacer con 
monomios. Su mecanismo es similar al de la multiplicación, es decir dividimos 
por un lado los coeficientes y por otro las partes literales. En la división de
las partes literales tenemos que aplicar la propiedad del cociente de 
potencias de la misma base, con lo que tienes que agrupar las variables que 
son iguales en la parte literal. El resultado de la división de monomios nos 
siempre es un monomio, ya que al aplicar la propiedad del cociente de potencias 
de la misma base pueden aparecer exponentes negativos.
Ejemplos:
4x4
2x
=
4
2
·
x4
x
=2x 4−1=2x3
12 x2 y
4 x y2
=
12
4
·
x2
x
·
y
y2
=3 x y−1
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Apuntes de álgebra
Ejercicios de monomios
 1. Copia y completa la siguiente tabla:
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
4 x 4 x 1
−2x3 -2 x2 2
-5 -5 No hay 0
4 x2 y 3 x2 y3 5
-2 No hay
−7 xy4 xy4 5
3x
2
3
2
−x3
xy
2
1
2
-5 x4 y2
3
4
x3
 2. Identifica cueles de los siguientes monomios tienen la misma parte literal:
a) 3x
b) 2x2
c) −5x2 y
d) −xy2 z
i) −9x2
ii) −x
iii) 
2y2 zx
3
iv) 3 x2 y
 3. Realiza las siguientes sumas y restas de monomios cuando sea posible, y si no 
escribe la operación tal y como está.
 a) 3x4x b) −2x2x2 c) 2 y4y d) 7 z−12 z e) −4 x5−2 x5
 f) 5x−3x2
 g) 
9 xy−4 yx
 h) 
7 x2 y−9x y2
 i) 
13 xy25 y2 x
 j) 
x
2

2x
3
 k) 
0,5 x3−3 x3
 l) 4 x2−22 x m) 
2
5
x− x n) 
3
4
xy
1
2
xyz
 o) 
5 xy2 z2−9 x z2 y 2
 4. Reduce las siguientes sumas y restas combinadas monomios operando solo los
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Apuntes de álgebra
que tengan igual parte literal. Empieza siempre por el mayor grado, como en el
ejemplo, y recuerda que todo lo que no utilices lo tienes que copiar igual:
 a) 3x−5−2x b) 2−3x4x7−x
 c) −5x2−34x−3x9−x d) x2−4x2−4x−32 x2−3 x2
 e) 4x2−2x3x−57 x f) 2x3−3 x24 x23 x3−x
 g) −52x−3x4x1 h) 2x23x24x−6x3−5
 5. Simplifica las siguientes sumas y restas de monomios con paréntesis. Intenta 
hacer todas las operaciones posibles antes de quitar los paréntesis, y cuando 
no puedas hacer más recuerda que si tienen un menos delante tienes que 
cambiar todo lo de dentro de signo al quitarlos.
 a) 3x−2x5x  b) 2x−35x−2
 c) 3x2−2x5 x2−3x29 d) x−2x23x2−2x−x24x
 e) −3 x2−2xx23x−2x23x2 f) −x23x−2x25x−3− x7 x2−3x−9−12
 g) 2x2−2x−22x2−2 h) 3x2−5x3−2x33x2−x32x −x3
 6. Realiza las siguientes sumas y restas de monomios con coeficientes 
fraccionarios. Recuerda que para sumar y restar fracciones tienes que hacer 
denominador común. Puedes hacerlo solo de los coeficientes de los monomios 
con la misma parte literar o de todos los coeficientes (en algunos casos será 
más fácil lo primero y en otros lo segundo, presta atención a todos los 
denominadores) Recuerda que en el resultado final solo pueden aparecer 
fracciones simplificadas. Recuerda también que si la parte literal está en el 
numerador es lo mismo que si esta al lado  3xy
2
2
≡
3
2
xy2
 a) 
2
3
x−
x
2
 b) x
2
5
−
x
3
1
 c) 
1
4
x2−
2
5
x3−
x
2

2x2
5
 d) 
1
2
x−x23−x2− x3 13 x2
8
3x 2x2 5x −4 −7x 4x2 = 6x2 3x 5x −4 −7x = 6x2 x −4
Apuntes de álgebra
 e) x3−
x2
2

3x3
4
−2x
x
3
−
2
3
x2 f)  23 x− 14 x2−x − x
2
3

2x
3
−4−
2
3
x2
 g) 
1
4
x−
2
3
x
2

1
7
x−
2
5
x
2
 h) 
13
25
x
2
−
4
9
x
1
2

7
10
x
2

x
6
−
7
4
 7. Realiza los siguientes productos de monomios.
 a) 2x ·3x  b) −3 x2·5x  c) −4 x3·−5x2 d) −3xyz ·−2zyx2
 e) −5x ·3x4 f) 2xy
2
· 
1
3
x
2
y  g) 2xy ·4xy2 h) 3x ·−2x2·−5x2
 i) 1,25 x
2
·
x
2
 j) 0,25 x ·1,3 x4 k) 
2x
3
·5 x2 ·
4x2
5
 l) 4xy 4 ·3 x2 y z2
 m) 2x3·5 x2 n) 52 x2 y  o) 5x2 y3 z 2 y2 z2 p) −2x3·−5x · −3 x2
 q) −3x2 y2· 2x r) 
3x
2
·
5x2
3
 s) 
5x4
2
· 
−3y
4
 t) 5· −x y 
 8. Realiza los siguientes cocientes de monomios. Si el cociente de los coeficientes
no es exacto dejalo como fracción simplificada. Recuerda que
a
b
≡a: b
 a) 
6x
3x
 b) −3 x2: 5x c) 
12x3
4x
 d) 
8xy2
2y
 e) 
−3x2 y2
2x
 f) 
x4
3x2
 g)  13 x2: 2x  h) 
2x2 y3
4xy2
 i) 
25xyzt
5yt
 j) 
12x3
5
·
8x2
3
 k) 10x
2
5x
 l) 
8xy
6x
 m) 
6xy
4x
 n) 
−4 x y2 z3
10 x2 y z
 o) 
10x3 y4 z3
3 x2 y2 z2
 p) 
12x2
4x
 q) 
−4 x y2 z3
10 x2 y z
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Apuntes de álgebra
Polinomios
Definición
Se define un polinomio como una suma de monomios, generalmente con distinta 
parte literal. Por ejemplo: −3∙ x22 ∙ x1
Para indicar un polinomio y escribir menos, se le suele nombrar con una letra 
mayuscula que a veces va seguida de las variables del polinomio entre 
paréntesis: así A=−3x22x1 o así A x=−3x22x1
Da tal manera que donde ponga A o A x sabemos que a la hora de realizar 
operaciones lo tenemos que sustituir por el polinomio correspondiente.
Grado de un polinomio:
Se define el grado de un polinomio como el mayor grado de los polinomios que lo 
forman. Por ejemplo: −3∙ x22 ∙ x1 tiene grado 2, porque el monomio de mayor 
grado tiene grado 2. Otro ejemplo: 5·x+3 es de grado 1.
Raíz de un polinomio
Dado un polinomio P(x) se dice que un número a es raíz del polinomio si al 
evaluarlo en ese número el resultado es 0, es decir si P(a)=0
Ejemplo:
2 es raíz de P(x)=x3−2 x2+x−2 porque P(2) = 23−2 ·22+2−2 = 8−2 ·4+2−2 = 0
pero
-1 no es raíz de P(x)=x3−2 x2+x−2 porque
P(2) = (−1)3−2·(−1)2+(−1)−2 = −1−2 ·1−1−2 = −6 que es distinto de 0.
Operaciones con polinomios
Excepto en el caso de la reducción, en el que solo interviene un polinomio, para 
indicar las operaciones se pone el nombre del polinomio AB o los polinomios 
encerrados entre paréntesis 3 x2−x1−2 x25x−2 Si no aparecen los paréntesis
la operación es entre monomios, y es otra cosa completamente distinta.
Reducción de un polinomio
Reducir un polinomio consiste en sumar todos los monomios que tengan la misma
parte literal y reescribir el polinomio ordenando los monomios de mayor a menor 
grado.
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Apuntes de álgebra
Ejemplos:
x3−3x22−3x25x−2=x3−6x25x 4−x32x−3x25x4=5x4−x3−3x22x4
Suma de polinomios
Consiste en juntar todos los monomios y reducir.
Ejemplo:
−x23 ∙ x1x−3=−x 23∙ x1 x−3=−x 24 ∙ x−2
Resta de polinomios
Consiste en sumar el que está a la izquierda del menos con el que está a la 
derecha del menos cambiandolo de signo.
Ejemplo:
−x23 ∙ x1−x−3=−x 23∙ x1− x3=−x 22 ∙ x4
Producto de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio hay que multiplicar el monomio por
todos los monomios del polinomio. Es decir, aplicamos la propiedad distributiba 
del producto respecto de la suma.
Ejemplos:
2x · 3x25x4=2x ·3x22x ·5x2x ·4=6x310 x28x
4x23x2· −x=4x2 ·−x 3x · −x 2· −x=−4x3−3x2−2x
Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios tenemos que multiplicar cada monomio del 
primero por el segundo polinomio. Es decir, tenemos que multiplicar todos los 
monomios del primero por todos los monomios del segundo. Después de hacer 
esto se reduce el polinomio resultante.
Ejemplos
2x1· x3 =2x · x3 1· x3 =2x26x x3=2x27x3
x−2x2−3x−1= x ·x2−3x−1−2 ·x2−3x−1= x3−3 x2−x−2x26x2=x3−5x25x2
División de polinomios
La división de polinomios es la más larga y complicada de las cuatro operaciones 
básicas, y la mejor manera de explicarla es con un ejemplo. El requisito que 
deben cumplir los polinomios es que el grado del dividendo sea mayor o igual que
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Apuntes de álgebra
el del divisor, en otro caso la división no se puede hacer y se dejará indicada.
2x1
x2
No se puede hacer, ya que el grado del dividendo es 1 y el del divisor es 
2.
2x3−4 x2x−1:  x22 Sí se puede hacer porque el grado deldividendo es 3 y el 
del divisor 2. Esta es la que vamos a hacer de ejemplo por pasos:
1. Colocamos los polinomios como una división normal, con sus cajitas, y sin 
poner los signos + del dividendo:
2x3 −4x2 x −1 x22
2. Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo entre el monomio de 
mayor grado del divisor:
2x3
x2
=2x
3. Lo ponemos en el cociente:
2x3 −4x2 x −1 x22
2x
4. Lo multiplicamos por cada uno de los monomios del divisor, el el resultado 
de cada producto lo colocamos en la columna del dividendo correspondiente
a su grado: 2x · x2=2x3 va en la columna de los cubos, y 2x ·2=4x en la 
columna de grado 1.
2x3 −4x2 x −1 x22
2x3 4x 2x
5. Restamos, si no hay nada que restar escribimos lo mismo que había
2x3 −4x2 x −1 x22
 2x3 4x 2x
0 −4x2 −3x −1
6. Comprobamos que el grado del resto es mayor o igual que el del divisor. Si 
no lo es hemos terminado con la división. En este caso es mayor o igual, con
lo que continuamos repitiendo desde el paso 2. En este caso hay que hacer
−4x2
x2
=−4
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Apuntes de álgebra
2x3 −4x2 x −1 x22
 2x3 4x 2x−4
0 −4x2 −3x −1
7. Repetimos los pasos 4 y 5:
2x3 −4x2 x −1 x22
 2x3 4x 2x−4
0 −4x2 −3x −1
 −4x2 −8
0 −3x 7
8. En este caso el grado del resto es menor que el del divisor, con lo que 
hemos terminado la división. Y nos ha quedado:
a. Dividendo: 2x3−4x2x−1
b. Divisor: x22
c. Cociente: 2x−4
d. Resto: −3x7
Este resultado se puede escribir de dos maneras, dependiendo de para qué lo 
tengamos que utilizar:
• 2x3−4x2x−1=x22·2x−4 −3x7 (dividendo igual a divisor por cociente 
más resto)
•
2x3−4x2x−1
x22
=2x−4
−3x7
x22
Extracción de factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva al revés. Es decir, la propiedad 
distributiva dice que a ·(b+c)=a ·b+a · c y normalmente la aplicamos de izquierda a 
derecha. Sacar factor común consiste en aplicarla de derecha a izquierda, 
partiendo de una expresión de la forma a ·b+a ·c tenemos que escribir una 
expresión equivalente de la forma a ·(b+c)
Para extraer factor común de un polinomio tenemos que dar dos pasos:
1. Buscar todos los máximos divisores comunes a todos los monomios del 
polinomio. Para los coeficientes es fácil, y para las variables tenemos que 
ver si una variable está en todos los monomios y si es así la cogemos con el 
menor exponente. Todos estos máximos divisores juntos forman el factor 
común.
2. Escribimos el polinomio como el producto del factor común por el polinomio 
resultante de dividir cada monomio entre el factor común.
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Apuntes de álgebra
Vamos a ver un par de ejemplos:
Sacar factor común de 4x2+2 x+6
Se ve que todos los coeficientes son divisibles entre 2, y para las variables no hay 
ninguna común, puesto que el 6 no tiene variable. Entonces el factor común es 2, 
y el resultado es el siguiente:
4x2+2 x+6=2 ·(2x2+x+3) Donde cada monomio del paréntesis es el resultado de 
dividir los monomios originales entre el factor común. Es obligatorio escribir el 
paréntesis.
Sacar factor común de 24 x2 y2+6x2 y−12 x3
Aquí vemos que el máximo común divisor de los coeficientes es 6, que todos los 
monomios tienen x y que su menor exponente es 2. Entonces el factor común es
6x2 y el resultado:
24 x2 y2+6x2 y−12 x3=6x2 ·(4y 2+ y−2x)
Identidades notables
Existen algunas multiplicaciones con polinomios que aparecen mucho en 
matemáticas, así como en física, química, tecnología, y muchas otras disciplinas. 
Como aparecen a menudo y se tarda en hacerlas lo que se hace es memorizar la 
forma del resultado y luego sustituir por los valores que correspondan.
Suma al cuadrado
Es un polinomio de dos monomios positivos elevado al cuadrado, y lo 
desarrollamos multiplicandolo por si mismo:
ab 2=ab ·ab=a2abbab2=a2b22ab
Y lo que queremos memorizar es la forma del resultado, luego lo que hay que 
memorizar es:
ab2=a2b22ab
O bien la frase: la suma al cuadrado es igual al cuadrado del primero más 
el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo.
Para aplicarlo directamente:
x12= x2122· x ·1=x22x1 ; 3x42=3x 2422 ·3x ·4=9x224x16
Diferencia al cuadrado
Es un polinomio de dos monomios, el primero positivo y el segundo negativo, 
elevado al cuadrado, y lo desarrollamos multiplicandolo por si mismo:
a−b 2=a−b ·a−b=a2−ab−bab2=a2b2−2ab
14
Apuntes de álgebra
Y lo que queremos memorizar es la forma del resultado, luego lo que hay que 
memorizar es:
a−b2=a2b2−2ab
O bien la frase: la diferencia al cuadrado es igual al cuadrado del primero 
más el cuadrado del segundo menos el doble del primero por el segundo.
Para aplicarlo directamente:
x−12= x212−2· x ·1=x2−2x1 ; 3x−42=3x 242−2 ·3x ·4=9x2−24x16
Suma por diferencia
Es el producto de dos polinomios de dos monomios, que solo se diferencian en el 
signo de uno de los monomios. Desarrollandolo:
ab ·a−b=a2−abba−b2=a2−b2
Y lo que queremos memorizar es la forma del resultado, luego lo que hay que 
memorizar es:
ab · a−b=a2−b2
O bien la frase: suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
Para aplicarlo directamente:
x1x−1=x2−12=x2−1 ; 3x43x−4 =3x 2−42=9x2−16
Regla de Ruffini
Es un método muy rápido para realizar divisiones de polinomios en las que el 
divisor tiene la forma x±a y el mecanismo se entiende muy bien con un ejemplo.
Vamos a dividir el polinomio x3+2x2−6x−4 entre x−2 paso a paso:
1. Colocamos los coeficientes del dividendo y el opuesto del término 
independiente del divisor de la siguiente manera:
2. Bajamos el primer coeficiente del dividendo, es decir el 1.
15
1 2 -6 4
2
Coeficientes del 
dividendo
Opuesto del 
termino 
independiente 
del divisor
Apuntes de álgebra
1 2 -6 -4
2
1
3. Multiplicamos el opuesto del término independiente del divisor por el 
número que hemos bajado: 2·1 = 2, y ponemos este resultado debajo del 
siguiente coeficiente.
1 2 -6 -4
2 2
1
4. Sumamos:
1 2 -6 -4
2 2
1 4
5. Repetimos el paso 3 con el número que hemos obtenido, 2·4 = 8, y lo 
situamos debajo del siguiente:
1 2 -6 -4
2 2 8
1 4
6. Sumamos:
1 2 -6 -4
2 2 8
1 4 2
7. Volvemos a repetir los pasos 3 y 4:
1 2 -6 -4
2 2 8 4
1 4 2 0
Y como ya no quedan más números se ha terminado la división por Ruffini, ahora 
tenemos que interpretar lo que nos ha salido.
1 2 -6 -4
2 2 8 4
1 4 2 0
El último número (que está encuadrado con línea discontinua) es el resto de la 
división, que en este caso es exacta.
16
Apuntes de álgebra
El resto de los números son los coeficientes del cociente. Cuando dividimos con 
Ruffini el cociente siempre es de un grado menos que el dividendo. En este caso 
el dividendo es de grado 3, con lo que el cociente es de grado 2 y tiene de 
coeficientes 1, 4 y 2.
Con lo cual tenemos que (x3+2x2−6x−4) :( x−2)=x2+ 4x+2 , o en la forma 
“dividendo es igual a divisor por cociente más resto”:
x3+2 x2−6x−4=( x−2) ·( x2+4x+2)+0
Otro ejemplo:
(x4−2x3+x2− x−1) :(x+1)
1 -2 1 -1 -1
-1 -1 3 -4 5
1 -3 4 -5 4
Que en la forma “dividendo es igual a divisor por cociente más resto” queda:
x4−2 x3+ x2−x−1=( x+1) ·( x3−3x2+4x−5)+ 4
Divisibilidad de polinomios
Hemos visto que, al igual que con los números, con los polinomios tenemos la 
operación de división. Con lo cual es lógico que con los polinomios también haya 
múltiplos y divisores.
Se dice que el polinomio Q(x) es divisor del polinomio P(x) si existe un 
polinomio C (x ) tal que P(x)=Q(x) ·C (x) , es decir la división
P(x)
Q(x )
tiene de resto
0.
Se dice que el polinomio P(x) es múltiplo del polinomio Q(x) si existe un 
polinomio C (x ) tal que P(x)=Q(x) ·C (x) , es decir la división
P(x)
Q(x )
tiene de resto
0.
En cualquiera de los dos casos se dice que P(x) es divisible entre Q(x) .
Si un polinomio no tiene divisores se dice que es un polinomio irreductible. 
Todos los polinomios de grado 1 y 0 (los polinomios de grado 0 son los 
números) son irreductibles.
(Un polinomio irreductible es el equivalente a un número primo)
Grados en la división de polinomios
Grados del dividendo, divisor,cociente y resto
Tenemos un polinomio P(x) que tiene grado n, y otro polinomio Q(x) que tiene 
grado m (n > m, para que podamos hacer la división)
17
Apuntes de álgebra
El cociente de la división
P(x)
Q(x )
siempre tiene grado n-m, y el resto tiene grado 
menor que m.
Ejemplo:
Si el dividendo tiene grado 7 y el divisor grado 3, el cociente tiene grado 4 y el 
resto tiene grado menor que 3 (puede ser 2, 1 o 0)
Si el dividendo tiene grado 3 y el divisor grado 1, el cociente tiene grado 2 y el 
resto grado 0 (es decir es un número)
Grados de los divisores
Si un polinomio es producto de otros dos, o más, polinomios el grado del 
polinomio resultante es igual a la suma de los grados de los polinomios del 
producto.
Teorema del resto
Si un polinomio P(x) tiene como raíz al número a entonces P(x) es divisible 
entre x−a
Demostración
Si dividimos P(x) entre x−a obtendremos un cociente C (x ) y un resto R , que 
al ser el divisor de grado 1 solo puede tener grado 0. Es decir el resto es un 
número.
Sabemos que la división se puede escribir como “dividendo igual a divisor por 
cociente más resto”, con lo cual tenemos que P(x)=(x−a)·C (x )+R
Si evaluamos esta expresión en a nos queda
P(a)= (a−a)·C (a)+R = 0·C (a)+R = R
Como a es raíz del polinomio sabemos que P(a)=0 . Luego tiene que ocurrir que
R=0 y si R es 0 es porque la división es exacta.
Aplicación del teorema del resto
El teorema del resto nos sirve para encontrar divisores de un polinomio 
resolviendo una ecuación.
Ejemplo:
Encontrar los divisores del polinomio P(x)=x2−5x−6
El teorema del resto nos dice que si un valor a hace que el polinomio valga 0, 
entonces x−a es divisor. Luego solo tenemos que encontrar los valores de x que 
verifiquen x2−5x−6=0 Es decir tenemos que resolver la ecuación de segundo 
grado, y aplicando la formula obtenemos:
18
Apuntes de álgebra
5±√25−4 ·1· (−6)
2
=
5±7
2
={x1 = −1x2 = 6
Es decir, los valores -1 y 6 hacen que el polinomio sea 0, y según el teorema del 
resto el polinomio es divisible entre x−6 y x+1
Es decir, x−6 y x+1 son divisores del polinomio, y como entre los grados de los 
dos suman el grado del polinomio podemos escribir
P (x)= x2−5x−6 = (x+1)( x−6)
Consecuencia
Si la ecuación correspondiente a un polinomio de segundo grado no tiene solución
entonces el polinomios es irreductible.
Relación entre términos independientes de múltiplos y 
divisores
Si un polinomio es divisible entre x±a y el número a es entero, entonces a es 
divisor del término independiente del polinomio.
Descomposición factorial de polinomios
Hemos visto que los polinomios tienen la operación de división, al igual que los 
números, que hay polinomios divisibles y polinomios irreductibles, al igual que 
números compuestos y primos, luego es lógico que los polinomios se puedan 
descomponer igual que los números.
Descomponer un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios 
irreductibles. En los casos que vamos a estudiar los polinomios irreductibles serán 
de grados 0, 1 ó como mucho 2. Nunca van a tener un grado mayor.
El mecanismo para descomponer un polinomio tiene los siguientes pasos, y se 
deben dar en este orden, si se cambia el resultado puede no ser correcto.
1. Extraemos factor común del polinomio, si es posible.
2. Si el polinomio resultante es de grado 2 pasamos al paso 5.
3. Buscamos, por Ruffini un divisor de la forma x±a . Para esto tanteamos con 
divisores del termino independiente del polinomio.
4. Si el cociente de la división anterior es de grado mayor que dos repetimos el
paso 3 con este cociente. Cada vez que repetimos el paso 3 obtenemos un 
divisor de la forma x±a . (el número a se puede repetir varias veces)
5. Tenemos un polinomio de la forma P(x)=ax2+bx+c , resolvemos la ecuación
ax2+bx+c=0
6. Dependiendo de el número de soluciones que nos dé tenemos varios casos.
19
Apuntes de álgebra
6.1. Si hay dos soluciones x1 y x2 el producto de factores que nos queda 
es a ·(x−x1) ·(x−x2)
6.2. Si solo hay una solución x1 el producto de factores que nos queda es
a ·(x−x1)
2
6.3. Si no hay solución el polinomio P(x)=ax2+bx+c es irreductible.
Vamos a verlo con un ejemplo:
Descomponer 2x4−2x3−10x2−6x
1. Extraemos factor común. Se ve que todos los coeficientes son divisibles 
entre 2; y que todos los monomios tienen la variable x, cuyo menor 
exponente es 1. Con lo cual el factor común es 2x y nos queda
2x4−2x3−10x2−6x=2x ·x3−x2−5x−3
2. El polinomio del paréntesis es de tercer grado, luego tenemos que intentar 
dividirlo por Ruffini. El término independiente es -6, con lo que tendremos 
que intentarlo con ±1, ±2, ±3 y ±6 , hasta que con uno de ellos salga 0. 
Probamos con -1:
1 -1 -5 -3
-1 -1 2 3
1 -2 -3 0
Como el resto es 0 la división es exacta, y ya tenemos otro factor x1
(recuerda que con Ruffini hay que cambiar el número de signo)
3. El polinomio que nos queda x2−2x−3 es de segundo grado, con lo que 
resolvamos la ecuación. Identificamos los coeficientes que son
a=1, b=−2, c=−3 y aplicamos la formula
2± 4−4 ·1 ·−3
2
=
2±4
2
={x1=−1x2=3
Entonces los factores que nos faltan son 1· x1·x−3
4. Y recopilando todos los factores 2x , x1 , 1· x1· x−3 tenemos que la
descomposición del polinomio es (organizandolo un poco):
2x4−2x3−10x2−6x = 2x · x1 ·1· x1· x−3 = 2x · x12 · x−3
Ejercicios de polinomios
1. Reduce al máximo posible las siguientes expresiones:
a. x2−3x−7−3 x24 x2 b. 3 x2−x2x3−3 x5 x3−3 x212
c. 2x2− x5−−2x23x−2 d. 5 x3−2x24x3− xx3−2 x29
2. Realiza los siguientes productos de polinomios
20
Apuntes de álgebra
a. x22 x3x3− x2−2x1 b. 2x4 x2−32x2−2x3
c. 3x2−5 x 2x34 x2−x2 d. x4−2 x22x2−2x3
3. Dados los polinómios A=3x27 x−5 B=x3 C=4−2 x calcula:
(Recuerda que a la hora de sustituir el nombre de un polinomio por su expresión 
tienes que ponerla entre paréntesis, excepto si está sumando)
a. AB−C b. A−B ·C c. AB2
4. Dados los polinómios A=2x1 B=x2− x3 C=1−2 x calcula (3 puntos):
a. AB− x ·C b. A−B ·C c. C2−B
5. Opera y reduce lo máximo posible:
a. 
1−2x
3
−
2
6
x2−3 x
1
2
−x b. 2 x
2−3 x2· x3−4 
c. x2 x3−3 x5− x ·2 x4x3−3 x25 x d. 
−2
6
x2−
1−2x
3
  5 x
3
2
−2 x
e. x22 x−5·x2−31 f. 2 x2 −2 x3−x25 x5 −x ·  x4−2x33 x25 x 
6. Faltan divisiones (coger de 4º)
7. Extrae factor común en los siguientes polinomios.
a. 5 x315x2 b. 4 x3−2x25 x c. 8 x3 y4−4 x2 y d. 2a2b3−a2b3
e. 5 x315x2 f. 4 x3−2 x25 x g. 8 x3 y4−4 x2 y h. 2a2b3−a2b3
8. Desarrolla las siguientes identidades notables.
a. x22 b. 3x−12 c. x22x2 d. x2x−2
e. 2x22 f. 5x− y 2 g. 3x22x 2 h. x
1
2
x−
1
2

i. 6x2x26x−2x2 j. x2 y5 y32 k. 3xy2−2x2 y 2 l.  23 x− 16y2 
2
1. 
21
Apuntes de álgebra
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es una fracción cuyo numerador y denominador son 
polinomios, y al igual que las fracciones numéricas se puede operar con ellas, e 
incluso se pueden simplificar.
Simplificación de fracciones algeraicas
Para simplificar fracciones algebraicas tenemos que descomponer numerador y 
denominador, y dividimos los factores comunes (recuerda que los factores están 
multiplicando, en
x3
x
no se pueden simplificar las x)
Ejemplo:
Simplificar la fracción
x3−x
x22x1
Descomponemos en factores el numerador y el denominador, y sale:
• x3−x = x · x1·x−1
• x22x1 = x12
Es decir la fracción es
x ·x1· x−1
x12
y tiene de factores comunes x1 con lo 
que queda
x · x1· x−1
x12
=
x · x−1
x1
Suma (y resta) de fracciones algebraicas
Sucede lo mismo que con las fracciones numéricas, que solo podemos sumar 
fracciones con el mismo denominador, con lo que si no tienen el mismo 
denominador hay que hacer demoninador común, y se hace exactamente igual 
que con los números, descomponiendo los denominadores y cogiendo factores 
comunes y no comunes con el mayor exponente; es decir hacemos el mínimo 
común múltiplo.
Ejemplo:
Realiza la siguiente suma:
xx2−1

2x
x22x1
1. Descomponemos los denominadores:
• x2−1 = x1·x−1
• x22x1 = x12
2. El mínimo común multiplo es x12·x−1
22
Apuntes de álgebra
3. Rescribimos la suma de fracciones con el denominador común (si escribes 
las fracciones originales con el denominador descompuesto es más fácil 
escribir las fracciones con el denominador común)
x
x1· x−1

2x
x12
=
x ·x1
x12 ·x−1

2x ·x−1
x12 · x−1
4. Resolvemos los numeradores y sumamos
x · x1
x12 ·x−1

2x ·x−1
x12 ·x−1
=
x2 x
x12 ·x−1

2x2−2x
x12 ·x−1
=
3x2− x
x12 ·x−1
5. Simplificamos, si es posible
3x2−x
x12 ·x−1
=
x ·3x−1
x12·x−1
En este caso se ve que el numerador y el denominador no tienen factores 
comúnes, con lo que no es posible simplificar.
Producto de fraciones algebraicas
Es igual que con las fraciones numéricas, multiplicamos numerador por 
numerador y denominador por denominador, y simplificamos. Lo mejor es no 
hacer las multiplicaciones completas, porque luego hay que descomponer para 
simplificar y sería hacer el doble de trabajo.
Ejemplo:
Realiza 2x
x1
·
x2x
x−2
Multiplicamos las fracciones 2x
x1
·
x2x
x−2
=
2x ·x2x
x1x−2
, descomponemos el 
resultado 2x · x
2
 x
x1x−2
=
2x2x1
x1x−2
y simplificamos 2x
2
x1
x1x−2
=
2x2
x−2
Entonces el resultado de la multiplicación es 2x
x1
·
x2x
x−2
=
2x2
x−2
División de fracciones algebraicas
Al igual que en el caso de la multiplicación, la división de fracciones algebraicas 
es igual que la división de fracciones numéricas: multiplicamos en cruz y 
simplificamos. Como en el caso de la multiplicación lo mejor es no hacer las 
multiplicaciones completas, porque luego hay que descomponer para simplificar y
sería hacer el doble de trabajo.
23
Apuntes de álgebra
Ecuaciones de primer grado
Lo mejor es empezar por definir lo que es una ecuación: una ecuación es una 
expresión algebraica que tiene que cumplir una condición, que viene expresada 
por un igual. Ejemplos:
5 ∙ x2=3 3 ∙ x−5=2 ∙ x+1
x
y
=4
Una ecuación de primer grado es una ecuación en la que solo participan 
polinomios de grado 1. En los ejemplos del párrafo anterior solo sería una 
ecuación de primer grado la segunda, ya que en la primera hay un polinomio de 
grado 2 y en la tercera aparece una expresión que no es un polinomio.
Se llaman miembros de una ecuación a cada una de las expresiones que están 
a los lados del igual. En 3 ∙ x−5=2 ∙ x+1 el miembro izquierdo (o primer miembro) 
es 3·x-5, y el miembro derecho (o segundo miembro) es 2·x+1.
Se llama término de una ecuación a cada uno de los monomios que aparecen 
en ella. En el ejemplo anterior los miembros son 3·x, -5, 2·x, y 1. 3·x y -5 son los
términos del primer miembro y 2·x y 1 los términos del segundo miembro.
Soluciones una ecuación consiste en encontrar los valores de las variables que 
hacer que se cumpla la condición. A los valores de las variables que hacen que se 
cumpla la igualdad se les llama soluciones de la ecuación. Por ejemplo: la solución
de 3·x+1=10 es x=9, ya que si sustituimos la x por 9 nos queda: 3·3+1=10, con 
lo cual la igualdad se cumple.
Ecuaciones equivalentes: se llaman ecuaciones equivalentes a las que tienen 
las misma soluciones. Por ejemplo: x=1 y 2·x=2 tienen la misma solución.
Regla 1 para obtener ecuaciones equivalentes: si a una ecuación le 
sumamos, o restamos, el mismo término a ambos miembros, obtenemos una 
ecuación equivalente. Por ejemplo, 3·x+1=5·x, si sumamos 7 a ambos miembros
nos queda la ecuación 3·x+8=5·x+7, que tiene la misma solución, es decir es 
una ecuación equivalente a la primera. Si a 3·x+1=5·x le restamos 5·x a ambos 
miembros nos queda la ecuación equivalente 3·x+1-5·x=5·x-5·x, que aplicando 
las operaciones con monomios se convierte en -2·x+1=0, y tiene la misma 
solución que 3·x+1=5·x.
Consecuencia: si en una ecuación cambiamos un término de miembro tenemos 
que cambiarle de signo para que la ecuación sea equivalente: en 2·x=1+x 
podemos cambiar la x del segundo miembro al primero cambiándola de signo, y 
nos quedaría 2·x-x=1, y tras sumar los monomios x=1
Regla 2 para obtener ecuaciones equivalentes: si en una ecuación 
multiplicamos, o dividimos, ambos miembros por un número distinto de cero, 
obtenemos una ecuación equivalente. Ejemplo: 3·x=9, si multiplicamos ambos 
miembros por 2 obtenemos la ecuación equivalente 6·x=18. Si 3·x=9 dividimos 
ambos miembros por 3 nos queda x=3, que es equivalente.
24
Apuntes de álgebra
Método para resolver ecuaciones de primer grado SIN fracciones: esto se 
va a ver con un ejemplo, 3·x+1=5·x-1.
1. Se ponen en un miembro todos los términos que tengan x y en el otro los 
que no la tengan, teniendo en cuenta que cuando un término cambia de 
miembro tiene que cambiar de signo. En el ejemplo que tenemos nos 
llevaremos el 5·x de la derecha a la izquierda y el 1 de la izquierda a la 
derecha, y teniendo en cuenta el cambio de signo nos queda: 3·x-5·x=-1-
1.
2. Se suman todos los monomios que se puedan sumar, con lo que en el 
ejemplo nos quedará -2·x=-2.
3. Finalmente se dividen ambos miembros de la ecuación por el coeficiente 
del monomio que tiene la x, y el valor que nos quede en el miembro en el 
que no está la x es la solución. En el ejemplo el coeficiente de -2·x es -2, 
con lo que dividimos ambos miembros por -2:
−2 ∙ x
−2
=
−2
−2
, y tras hacer las 
divisiones nos queda x=1, que es la solución de la ecuación 3·x+1=5·x-1.
Podemos comprobarlo sustituyendo x por el valor de la solución: 
3·1+1=5·1-1, y operando nos da 4=4, es decir se cumple la condición si 
x=1.
Método para resolver ecuaciones de primer grado CON fracciones: si en la
ecuación hay algún término en el que aparezcan fracciones se hará lo siguiente:
1. Se ponen todos los términos enteros en forma de fracción, es decir con 
denominador 1.
2. Se reducen todas las fracciones a denominador común.
3. Nos quedamos con los numeradores y procedemos como en el caso de sin 
fracciones.
Ejemplo:
2
3
∙ x+
1
4
=x+3 . Lo reescribimos con todos los términos en forma de 
fracción
2 ∙ x
3
+
1
4
=
x
1
+
3
1
, y hacemos denominador común. El mínimo común 
múltiplo de 1, 3 y 4 es 12, con lo que el nuevo denominador será 12:
8 ∙ x
12
+
3
12
=
12 ∙ x
12
+
36
12
, y nos quedamos solo con los numeradores, con lo que la 
ecuación nos queda 8·x+3=12·x+36. Aplicando los pasos del punto anterior sale: 
paso1: 8·x-12·x=36-3, paso 2: -4·x=33, paso 3: x=
33
−4
=−
33
4
. Con lo que la 
solución de la ecuación es x=−
33
4
Método para hacer ecuaciones en las que aparecen paréntesis: si en la 
ecuación aparecen términos entre paréntesis debemos hacer lo siguiente:
25
Apuntes de álgebra
1. Operar dentro del paréntesis todo lo que sea posible, ya que habrá 
monomios que no podamos sumar.
2. Quitar el paréntesis, haciendo la operación que se indique según estas 
reglas:
1. Si delante del paréntesis hay un signo “+” se quita el paréntesis sin 
hacer nada más: 3+(x-2)=3+x-2.
2. Si hay un signo menos se quita el paréntesis cambiando de signo a 
cada uno de los términos que hay dentro del paréntesis: 2-(2·x-5)=2-
2·x+5; 4-(-3·x+2)=4+3·x-2
3. Si lo que hay es un número multiplicando, entonces se multiplica el 
número (incluido el signo) por todos y cada uno de los términos que 
hay dentro del paréntesis: 5·(3-x)=15-5·x; 2-3·(2·x+1)=2-6·x-3; 1-5·(-
x-2)=1+5·x+10
3. Se procede como en los casos anteriores, dependiendo de si hay o no 
fracciones.
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	Apuntes de álgebra y ecuaciones de primer grado
	Definiciones
	Variable:
	Expresión algebraica:
	Ejemplo:
	Evaluación de una expresión algebraica
	Ejercicios de expresiones algebraicas
	Monomios
	Definición
	Ejemplos:
	Grado de un monomio:
	Operaciones con monomios
	Suma:
	Ejemplos:
	Resta:
	Multiplicación de un número por un monomio:
	Ejemplos:
	Multiplicación de dos monomios:
	Ejemplos:
	División de un monomio entre un número:
	Ejemplos:
	División de monomios
	Ejemplos:Ejercicios de monomios
	Polinomios
	Definición
	Grado de un polinomio:
	Raíz de un polinomio
	Operaciones con polinomios
	Reducción de un polinomio
	Ejemplos:
	Suma de polinomios
	Ejemplo:
	Resta de polinomios
	Ejemplo:
	Producto de un monomio por un polinomio
	Ejemplos:
	Producto de polinomios
	Ejemplos
	División de polinomios
	Extracción de factor común
	Identidades notables
	Suma al cuadrado
	Diferencia al cuadrado
	Suma por diferencia
	Regla de Ruffini
	Divisibilidad de polinomios
	Grados en la división de polinomios
	Grados del dividendo, divisor, cociente y resto
	Grados de los divisores
	Teorema del resto
	Demostración
	Aplicación del teorema del resto
	Consecuencia
	Relación entre términos independientes de múltiplos y divisores
	Descomposición factorial de polinomios
	Ejercicios de polinomios
	Fracciones algebraicas
	Simplificación de fracciones algeraicas
	Ejemplo:
	Suma (y resta) de fracciones algebraicas
	Ejemplo:
	Producto de fraciones algebraicas
	Ejemplo:
	División de fracciones algebraicas