Ecuaciones de la Recta (Ejercicios)

Vista previa del material en texto

GUÍA Nº19: EJERCICIOS SOBRE ECUACIONES DE LA 
RECTA EN EL PLANO 
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz. 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
 
1. Determine la ecuación general de la recta que pasa por el punto P (1,-4) y 
su pendiente es igual a 2. 
 
Solución: 
 
Acá nos piden la ecuación general de la recta, es decir, una ecuación de la forma: 
0:  CByAxL 
 
Extraemos los datos del ejercicio: 
 
 P (1, -4) (Es un punto), 
 m= 2 (Esta es la pendiente de la recta pedida) 
 
Entonces, como tenemos un punto y la pendiente de la recta, construiremos una 
ecuación “punto pendiente” )( 11 xxmyy  , y la llevaremos a la “forma 
general” 0:  CByAxL , así: 
 
Sustituimos los datos en la ecuación punto pendiente y simplificamos la 
expresión resultante hasta obtener la ecuación general de la recta: 
 
Se sabe que: x1= 1; y1= -4; m=2 
 
062:
)1)(062(:
0242:
224:
)1(2)4(:
)(: 11






yxL
yxL
yxL
xyL
xyL
xxmyyL
 
 
Entonces la ecuación general de la recta es: 062:  yxL 
Acá debemos multiplicar la expresión por (-1) para 
que la “x” quede siempre positiva. 
 
 
2. Determine la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1 (2,-2) 
y P2 (-1,6). 
 
Solución: 
 
Acá nos piden nuevamente la ecuación general de la recta, es decir, una ecuación 
de la forma: 0:  CByAxL 
 
Extraemos los datos del ejercicio: 
 
 P1 (2,-2) (Es un punto) 
 P2 (-1,6). (Es un punto) 
 
Entonces, como tenemos dos puntos, construiremos una ecuación “punto - 
punto” )( 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 


 , y la llevaremos a la “forma general” 
0:  CByAxL , así: 
 
Sustituimos los datos en la ecuación punto - punto y simplificamos la expresión 
resultante hasta obtener la ecuación general de la recta: 
 
Se sabe que: x1= 2; y1= -2; x2= -1; y2= 6. 
 
02238:
)1)(02238(:
016638:
16863:
)2(8)2(3:
)2(
3
8
2:
)2(
3
26
2:
)2(
21
)2(6
)2(:














yxL
yxL
yxL
xyL
xyL
xyL
xyL
xyL
 
 
 
Entonces la ecuación general de la recta es: 02238:  yxL 
Acá multiplicamos nuevamente la expresión por 
(-1) para que la “x” quede siempre positiva. 
 
 
3. Determine la ecuación de la recta que es paralela a la recta de ecuación : 
0123:1  yxL y pasa por la intersección de las rectas: 
02065:2  yxL y 02334:3  yxL 
 
Solución: 
 
Acá, aunque no lo mencionan, nos piden nuevamente la ecuación general de la 
recta (siempre será así): 0:  CByAxL 
 
Como siempre, extraemos en primer lugar los datos del ejercicio: 
 
 L // 0123:1  yxL (La recta “L” que nos piden determinar es 
paralela a la recta L1). 
 La recta “L” que nos piden pasa por la intersección de las rectas: 
02065:2  yxL y 02334:3  yxL (Es decir que calcularemos el 
punto de intersección entre las dos rectas dadas). 
 
NOTA: Cuando vamos a determinar la ecuación de una recta siempre debemos 
buscar la “pendiente” y al menos un “punto” que pertenezca a la misma. 
 
La pendiente la encontramos con el primer dato, utilizando la condición de 
paralelismo: “Si L1 //L2, entonces sus pendientes son iguales” )//( 2121 mmLL  
¿Qué quiere decir esto? Que si calculamos la pendiente de la recta L1 
automáticamente podremos conocer la pendiente de la recta que nos piden 
determinar. 
 
Calculamos entonces la pendiente de la recta L1: 
 
 Sabemos que para una ecuación de la forma: 0:  CByAxL la pendiente se 
calcula de la siguiente forma: 
B
A
m

 
 Entonces: 
2
3
2
3
11 


 mLmL 
 
Por lo que: 
2
3
mL (esta es la pendiente de la recta que nos piden 
determinar, que por ser paralela a la recta L1 tienen la misma pendiente). 
 
 
Ahora calcularemos el punto de intersección de las rectas L2 y L3 , con el siguiente 
sistema de ecuaciones lineales así: 
 






)(02334
)(02065
IIyx
Iyx
 
 
Acá utilizaremos el método de reducción, pero podemos utilizar el de igualación 
o sustitución si así lo deseamos (El resultado será siempre el mismo). 
 
Multiplicamos por (2) la ecuación (II) para poder simplificar mejor el sistema: 
 











04668
02065
)2)(02334(
02065
yx
yx
yx
yx
 
 
026013
04668
02065






yx
yx
yx
 
 
Determinamos entonces el valor de “x”: 
 
2
13/26
2613
02613
026013





x
x
x
x
yx
 
 
Ahora tomamos la ecuación (I) y sustituimos en ella a “x=-2”, así: 
5
6/30
306
0306
020610
0206)2(5
02065







y
y
y
y
y
y
yx
 
 
 
Por lo que el punto de intersección de las rectas L2 y L3 es: Pi (-2,5) 
Ahora con el valor de la pendiente: 2
3
mL y el punto de intersección que 
acabamos de calcular, construiremos una ecuación “punto pendiente” 
)( 11 xxmyy  , y la llevaremos a la “forma general” 0:  CByAxL , así: 
 
Sustituimos los datos en la ecuación punto pendiente y simplificamos la 
expresión resultante hasta obtener la ecuación general de la recta: 
 
Se sabe que: x1= -2; y1= 5; m=3/2 
 
01623:
)1)(01623(:
061023:
63102:
)2(3)5(2:
)]2([
2
3
5:
)(: 11







yxL
yxL
yxL
xyL
xyL
xyL
xxmyyL
 
 
Entonces la ecuación general de la recta es: 01623:  yxL 
 
4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por el vértice de la 
parábola: 96: 2  xxyP y es perpendicular a la recta de ecuación: 
0725:1  yxL 
 
Solución: 
 
Acá nos piden nuevamente la ecuación general de la recta: 0:  CByAxL 
 
Como siempre, extraemos en primer lugar los datos del ejercicio: 
 
 La recta “L” que nos piden pasa por el vértice de la parábola 
96: 2  xxyP (Es decir que calcularemos un punto dado por 
dicho vértice). 
 L ⊥ 0735:1  yxL (La recta “L” que nos piden determinar es 
perpendicular a la recta L1). 
Acá multiplicamos nuevamente la expresión por 
(-1) para que la “x” quede siempre positiva. 
 
 
NOTA: Recordar que cuando vamos a determinar la ecuación de una recta 
siempre debemos buscar la “pendiente” y al menos un “punto” que pertenezca a 
la misma. 
 
En primer lugar calcularemos el vértice de la parábola 96: 2  xxyP , con el 
procedimiento visto en el contenido de función cuadrática. 
 
Vértice: 




 

a
bac
a
b
V
4
4
;
2
2
 (a=1, b=-6, c=9, ver la función) 
 











 






 

4
0
,3
4
3636
;
2
6
)1(4
)6()9)(1(4
;
)1(2
)6( 2
V
V
 
, por lo que:  0;3V 
 
La pendiente la encontramos con el segundo dato, utilizando la condición de 
perpendicularidad: “Si L1 ⊥ L2, entonces el producto de sus pendientes es iguala a 
-1” )1( 2121  mmLL 
 
Si ajustamos la condición de perpendicularidad al caso que estamos trabajando 
en este ejercicio nos queda: )1( 11  mmLL 
 
Calculamos entonces la pendiente de la recta 0735:1  yxL , para poder 
calcular la pendiente de la recta L: 
 
 Sabemos que para una ecuación de la forma: 0:  CByAxL la pendiente se 
calcula de la siguiente forma: 
B
A
m

 
 Entonces: 
3
5
3
)5(
11 

 mLmL 
Ahora utilizando la condición de perpendicularidad nos queda que: 
 
 
1
1
1
1
m
m
mm



 Acá despejamos “m”, que es la pendiente que necesitamos calcular. 
5
3
3/5
11
1




 m
m
m (Aquí se aplicó una división de fracciones o doble “c”) 
 
 
Por lo que: 
5
3
mL (esta es la pendiente de la recta que nos piden 
determinar, que es perpendicular a la recta L1). 
 
Ahora con el valor de la pendiente: 5
3
mL
 
y el punto que acabamos de calcular
 0;3V , construiremos una ecuación “punto pendiente” )( 11 xxmyy  , y la 
llevaremos a la “forma general” 0:  CByAxL , así: 
 
Sustituimos los datos en la ecuación punto pendiente y simplificamos la 
expresión resultante hasta obtener la ecuación general de la recta: 
 
Se sabe que: x1= 3; y1= 0; m=-3/5 
 
0953:
935:
)3(35:
)3(
5
3
:
)3(5
3
0:
)(: 11






yxL
xyL
xyL
xyL
xyL
xxmyyL
 
 
Entonces la ecuación general de la recta es: 0953:  yxL 
 
5. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del 
segmento de recta limitado por los puntos: P1 (3,9) y P2 (-1,5), y que 
además pasa por el punto P3 (-4,4). 
 
Solución: 
 
Extraemos en primer lugar los datos del ejercicio: 
 
 La recta “L” que nos piden pasa por el punto medio del segmento de recta 
limitado por los puntos: P1 (3,9) y P2 (-1,5) (Es decir que debemos 
calcular ese punto medio para obtener uno de los puntos por donde 
pasará la recta que pretendemos calcular). 
 La recta “L” que nos piden determinar pasa por el punto P3 (-4,4). 
 
Calculamos en primer lugar el punto medio del segmento de recta limitado por 
los puntos: P1 (3,9) y P2 (-1,5), así: 
 
)7,1(
2
14
;
2
2
2
59
;
2
13
2
59
;
2
)1(3
2
;
2
2121











 






 






 

PmPmPm
Pm
yyxx
Pm
 
 
Este representa uno de los puntos por donde pasará la recta “L” que pretendemos 
determinar. 
 
 Entonces, como tenemos dos puntos: )7,1(Pm y P3 (-4,4) dado en ele 
ejercicio, construiremos una ecuación “punto - punto” 
)( 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 


 , y la llevaremos a la “forma general” 
0:  CByAxL , así: 
 
Sustituimos los datos en la ecuación punto - punto y simplificamos la expresión 
resultante hasta obtener la ecuación general de la recta: 
 
Se sabe que: x1= 1; y1= 7; x2= -4; y2= 4. 
 
03853:
)1)(03853(:
033553:
33355:
)1(3)7(5:
)1(
5
3
7:
)1(
5
3
7:
)1(
14
74
7:














yxL
yxL
yxL
xyL
xyL
xyL
xyL
xyL
 
 
Entonces la ecuación general de la recta es: 03853:  yxL 
Acá multiplicamos nuevamente la expresión por 
(-1) para que la “x” quede siempre positiva. 
 
 
Ejercicios Propuestos: 
 
1. Determine la ecuación general de la recta que pasa por el punto P1 (-2,3) y 
su pendiente es igual a 5. 
 
2. Determine la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1 (3, -2) 
y P2 (5,4). 
 
3. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (5,-3) y es 
paralela a la recta de ecuación L: 2x-y-19=0 
 
4. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, 2) y es 
perpendicular a la recta L: -x+2y-15=0 
 
5. Determine la ecuación general de la recta que pasa por el punto de 
intersección de las rectas L1: x-2y+4=0 y L2: x+y-2=0 y tiene una pendiente 
igual a -5. 
 
6. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el punto de 
intersección de las rectas L1: 6x-7y+18=0 y L2: 3x+2y-13=0, y que es paralela 
a la recta de ecuación: L3: 5x-9y+2=0 
 
7. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el punto de 
intersección de las rectas L1: 2x+y-2=0 y L2: 3x-y-13=0, y que es 
perpendicular a la recta de ecuación: L3: 2x+5y-3=0 
 
Ejercicios combinados de recta y parábola 
 
1. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el vértice de la 
parábola y=x2+2x+1 y el punto P1(4,2) 
 
2. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el vértice de la 
parábola y=x2-4x y es paralela a la recta L1: -2x+3y-2=0 
 
3. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el vértice de la 
parábola y=x2-4x y es perpendicular a la recta L1: 3x-2y-5=0 
 
 
 
 
 
4. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el vértice de la 
parábola y=2x2-x+1 y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos 
P1(2,0) y P2(-1,3). 
 
5. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el vértice de la 
parábola y=x2+6x+12 y su pendiente es igual a -3.