Diagramas de Venn - Euler

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GUÍA Nº12: DIAGRAMAS DE VENN - EULER.
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz.
 DEFINICIÓN:
Se llama diagrama de Venn – Euler a la representación gráfica de las operaciones
entre dos o más conjuntos. La estructura de éstos es la siguiente:
Donde:
A: Conjunto no vacío.
U: Conjunto Universal.
 POSICIONES RELATIVAS ENTRE CONJUNTOS:
a. Conjuntos Solapados: Son aquellos que poseen una intersección, y se
representan de la siguiente manera:
Para los conjuntos solapados se cumple que: BA
b. Conjuntos Disyuntos o Disjuntos: Son aquellos que no poseen una
intersección, y se representan de la siguiente manera:
Para los conjuntos disyuntos o disjuntos se cumple que: BA
c. Inclusión de Conjuntos: Son aquellos en los que un conjunto es
subconjunto de otro:
Para la inclusión de conjuntos se cumple que: BA
 DIAGRAMAS DE VENN – EULER PARA LAS OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS:
a. Para la Unión: Tomando en cuenta la definición dada anteriormente, se
sombreará todo el conjunto “A” y todo el conjunto “B”, quedando
representado de la siguiente manera:
b. Para la Intersección: Tomando en cuenta la definición dada
anteriormente, se sombreará lo que pertenece simultáneamente al
conjunto “A” y al conjunto “B”, quedando representado de la siguiente
manera:
c. Para el Complemento: Tomando en cuenta la definición dada
anteriormente, se sombreará lo que pertenece al conjunto Universal “U”,
pero que no pertenece al conjunto “A”, quedando representado de la
siguiente manera:
d. Para el Diferencia: Tomando en cuenta la definición dada
anteriormente, para la diferencia BA se sombreará lo que pertenece al
conjunto “A”, pero que no pertenece al conjunto “B”, quedando
representado de la siguiente manera:
AC
Ahora, para la para la diferencia AB  se sombreará lo que pertenece al conjunto
“B”, pero que no pertenece al conjunto “A”, quedando representado de la
siguiente manera:
e. Para la Diferencia Simétrica: Tomando en cuenta la definición dada
anteriormente, para la diferencia simétrica )()( BABABA  se
sombreará lo que pertenece a la unión BA , pero que no pertenece a la
intersección BA , quedando representado de la siguiente manera:
Acá se puede ver que se cumple la definición de la diferencia simétrica:
)()( ABBABA 
EJERCICIOS RESUELTOS:
Los ejercicios de esta temática los dividiremos en dos tipos:
 EJERCICIOS RESUELTOS – TIPO 1:
Dibuje, EN UN MISMO UNIVERSO, el diagrama de Venn – Euler
correspondiente a las siguientes premisas:
1. BA ; CB ; CA
Solución:
En este tipo de ejercicios lo que se nos pide básicamente es ubicar los conjuntos
EN UN MISMO UNIVERSO (Esto quiere decir, en un mismo recuadro), de tal
manera que se cumplan las premisas, tomando en cuenta las posiciones relativas
entre los mismos (Solapados, Disyuntos o Inclusión). Para ello utilizaremos las
definiciones que están al principio de esta guía relacionadas con este tópico.
Ahora, lo primero que tenemos que hacer SIEMPRE en este tipo de ejercicios es
saber cuántos conjuntos tenemos. Si vemos el planteamiento (premisas) acá
tenemos tres (3) conjuntos que son: “A”, “B” Y “C”.
Luego de esto, observar las posiciones relativas entre los mismos, tomando en
cuenta cada premisa dada:
 Premisa 1: BA : Esto significa que “A” y “B” son solapados (Tienen
intersección).
 Premisa 2: CB : Esto significa que “B” y “C” son solapados (Tienen
intersección).
 Premisa 3: CA : Esto significa que “A” y “C” son disyuntos (No
tienen intersección).
Visto esto, entonces el diagrama quedaría estructurado de la siguiente manera:
Como se puede observar en el diagrama obtenido, “A” y “B” tienen una
intersección, “B” y “C” tienen una intersección, pero “A” y “C” no se intersectan.
Por lo tanto, se cumplen las premisas dadas.
NOTA: EN ESTE TIPO DE EJERCICIOS NO ES NECESARIO SOMBREAR
NINGUNA ZONA DEL DIAGRAMA, SOLO UBICAR LOS CONJUNTOS
DENTRO DEL UNIVERSO.
2. BA ; CA ; BC 
Solución:
En este tipo de ejercicios lo que se nos pide básicamente es ubicar los conjuntos
EN UN MISMO UNIVERSO (Esto quiere decir, en un mismo recuadro), de tal
manera que se cumplan las premisas, tomando en cuenta las posiciones relativas
entre los mismos (Solapados, Disyuntos o Inclusión). Para ello utilizaremos las
definiciones que están al principio de esta guía relacionadas con este tópico.
Ahora, si vemos el planteamiento (premisas) acá tenemos tres (3) conjuntos que
son: “A”, “B” Y “C”.
Luego de esto, observamos las posiciones relativas entre los mismos, tomando en
cuenta cada premisa dada:
 Premisa 1: BA : Esto significa que “A” y “B” son solapados (Tienen
intersección).
 Premisa 2: CA : Esto significa que “A” y “C” son solapados (Tienen
intersección).
 Premisa 3: BC  : Esto significa que “C” y “B” tienen una inclusión (En
este caso, “C” es subconjunto de “B”. Por lo tanto, “C” se dibujará dentro de
“B” ).
Visto esto, entonces el diagrama quedaría estructurado de la siguiente manera:
Como se puede observar en el diagrama obtenido, “A” y “B” tienen una
intersección, “C” está dentro de “B”, pero intersectado con “A”. Por lo tanto, se
cumplen las premisas dadas.
3. CA ; BA ; CB
Solución:
En este tipo de ejercicios lo que se nos pide básicamente es ubicar los conjuntos
EN UN MISMO UNIVERSO (Esto quiere decir, en un mismo recuadro), de tal
manera que se cumplan las premisas, tomando en cuenta las posiciones relativas
entre los mismos (Solapados, Disyuntos o Inclusión). Para ello utilizaremos las
definiciones que están al principio de esta guía relacionadas con este tópico.
Ahora, si vemos el planteamiento (premisas) acá tenemos tres (3) conjuntos que
son: “A”, “B” Y “C”.
Luego de esto, observamos las posiciones relativas entre los mismos, tomando en
cuenta cada premisa dada:
 Premisa 1: CA : Esto significa que “A” y “C” son solapados (Tienen
intersección).
 Premisa 2: BA : Esto significa que “A” y “B” son disyuntos (No
tienen intersección).
 Premisa 3: CB : Esto significa que “B” y “C” son disyuntos (No
tienen intersección).
Visto esto, entonces el diagrama quedaría estructurado de la siguiente manera:
Como se puede observar en el diagrama obtenido, “A” y “C” tienen una
intersección, pero “B” no se interseecta ni con “A” ni con “C”. Por lo tanto, se
cumplen las premisas dadas.
4. CA ; AB  ; )( CAD  ; CB ; DB
Solución:
En este ejercicio, si vemos el planteamiento (premisas) acá tenemos cuatro (4)
conjuntos que son: “A”, “B”, “C” y “D”.
Ahora, observamos las posiciones relativas entre los mismos, tomando en cuenta
cada premisa dada:
 Premisa 1: CA : Esto significa que “A” y “C” son solapados (Tienen
intersección).
 Premisa 2: AB  : Esto significa que “B” y “A” tienen una inclusión (En
este caso, “B” es subconjunto de “A”. Por lo tanto, “B” se dibujará dentro de
“A” ).
 Premisa 3: )( CAD  : Esto significa que “D” y la intersección “A” y “C”
tienen una inclusión (En este caso, “D” es subconjunto de la intersección
“A” y “C”. Por lo tanto, “D” se dibujará dentro de la intersección “A” y “C”).
 Premisa 4: CB : Esto significa que “B” y “C” son disyuntos (No
tienen intersección).
 Premisa 5: DB : Esto significa que “B” y “D” son disyuntos (No
tienen intersección).
Visto esto, entonces el diagrama quedaría estructurado de la siguiente manera:
Como se puede observar en el diagrama obtenido, “A” y “C” tienen una
intersección, pero “B” no se interseecta ni con “C” ni con “D”. Además de esto,
“D” está dentro de la intersección “A” y “C”. Por lo tanto, se cumplen las premisas
dadas.
5. DA ; DC ;  AC ;  )( DAB
Solución:
En este ejercicio, si vemos el planteamiento (premisas), al igual que el ejercicio
anterior, acá tenemos cuatro (4) conjuntos que son: “A”, “B”, “C” y “D”.
Ahora, observamos las posiciones relativas entre los mismos, tomando en cuenta
cada premisa dada:
 Premisa 1: DA : Esto significa que “A” y “D” son solapados (Tienen
intersección).
 Premisa 2: DC : En estos casos donde nos aparezcan diferencias,
debemos transformarlasen una intersección haciendo uso de la propiedad
de la diferencia: cBABA  ; para poder establecer las posiciones
relativas entre los conjuntos dados. En este caso lo haremos así:




cDC
DC
¿Cómo se interpreta esto?: Si leemos lo que resultó al aplicar la propiedad,
dice: “C” intersectado con el complemento de “D” es igual a vacío. Lo que
quiere decir, que “C” y el complemento de D no tienen intersección. Allí lo
que se puede deducir es que como “C” no puede intersectarse con el
complemento de “D” (fuera de “D”), entonces debe estar obligatoriamente
estar dentro de D, por lo que, en este caso tendríamos la inclusión: DC  .
 Premisa 3:  AC : Esto significa que “C” y “A” son disyuntos (No
tienen intersección).
 Premisa 4:  )( DAB : Esto significa que “B” y la unión de “A” y “D”
son disyuntos (No tienen intersección). Es decir que ningún elemento de
“B” puede estar en contacto con nada que esté relacionado con “A” y con
“D”.
Visto esto, entonces el diagrama quedaría estructurado de la siguiente manera:
Como se puede observar en el diagrama obtenido, “A” y “B” tienen una
intersección, pero “B” no se interseecta ni con la unión de “A” y “D”, ni mucho
menos con “C”. Además de esto, “C” está dentro de “D”. Por lo tanto, se cumplen
las premisas dadas.
 EJERCICIOS RESUELTOS – TIPO 2:
Determine si se cumplen o no las siguientes igualdades, haciendo uso de
Diagramas de Venn - Euler:
1. )()()( CBCACBA 
Solución:
En este tipo de ejercicios lo que se nos pide básicamente es SOMBREAR LA
ZONA QUE CORRESPONDE CON AMBAS IGUALDADES en dos diagramas de
Venn – Euler (uno por cada lado de la igualdad), y ver si el resultado es el mismo
en ambos diagramas.
Ahora, lo primero que tenemos que hacer SIEMPRE en este tipo de ejercicios es
saber que acá trabajaremos con diagramas SOLAPADOS, es decir, en los que se
intersecten TODOS los conjuntos en estudio, que, para este ejercicio en
específico son tres (3): “A”, “B” y “C”.
En primer lugar haremos por separado los diagramas de Venn – Euler de cada
lado de la igualdad, así:
 Para la operación: CBA  )(
Acá lo que nos piden sombrear es la zona que corresponde a la intersección de
“A” y “B”; Y esto unirlo con el conjunto “C” (Es decir, sombrear además al
conjunto “C”). Dicho esto, entonces el diagrama quedaría de la siguiente manera:
 Para la operación: )()( CBCA 
Acá lo que nos piden sombrear es la zona que corresponde a la intersección de la
unión de “A” y “B”, y la unión de “B” y “C”. Dicho esto, entonces el diagrama
quedaría de la siguiente manera:
Como se puede observar, si mezclamos los colores rojo (unión de “A” y “B”), y
amarillo (unión de “B” y “C”). Nos queda la intersección en color naranja.
Ahora, comparamos ambos diagramas así:
CBA  )( )()( CBCA 
Si observamos la zona sombreada de la operación CBA  )( (en rojo) y la zona
sombreada de la solución de la operación: )()( CBCA  , (en naranja) nos
damos cuenta que son iguales. Por lo tanto, se concluye que: SE CUMPLE LA
IGUALDAD.
NÓTESE QUE EN TODO MOMENTO SE HA TRABAJADO CON
“CONJUNTOS SOLAPADOS”.
2. BAABB C  )(
Solución:
En este ejercicio los conjuntos en estudio son dos (2): “A” y “B”.
Ahora, haremos por separado los diagramas de Venn – Euler de cada lado de la
igualdad, así:
 Para la operación: )( ABB C 
Acá lo que nos piden sombrear es la zona que corresponde a la intersección de
“B” y la unión de “A” y el complemento de “B. Dicho esto, entonces el diagrama
quedaría de la siguiente manera:
(EN LA PRÓXIMA PÁGINA)
Como se puede observar, si mezclamos los colores amarillo (unión de “A” y el
complemento de “B”), y rojo (conjunto “B”). Nos queda la intersección en color
naranja.
 Para la operación: BA
Acá lo que nos piden sombrear es la zona que corresponde a la intersección de
“A” y “B”. Si ubicamos en la teoría sobre este tema ubicada al principio de esta
guía, entonces el diagrama quedaría de la siguiente manera:
Ahora, comparamos ambos diagramas así:
)( ABB C  BA
Si observamos la zona sombreada de la operación )( ABB C  (en naranja) y la
zona sombreada de la solución de la operación: BA , (también en naranja) nos
damos cuenta que son iguales. Por lo tanto, se concluye que: SE CUMPLE LA
IGUALDAD.
NÓTESE QUE EN TODO MOMENTO SE HA TRABAJADO CON
“CONJUNTOS SOLAPADOS”. (RECORDAR ESTO SIEMPRE)
3. CBABAC c  )()(
 Para la operación: cBAC )( 
Acá lo que nos piden sombrear es la zona que corresponde a la intersección de
“C” y el complemento de la unión de “A” y “B”. Dicho esto, entonces el diagrama
quedaría de la siguiente manera:
Como se puede observar, si mezclamos los colores amarillo (el complemento de
la unión de “A” y “B”), y rojo (conjunto “C”). Nos queda la intersección en color
naranja.
 Para la operación: CBA  )(
Acá lo que nos piden sombrear es la zona que corresponde a la diferencia entre
intersección de “A” y “B” y el conjunto “C”. En otras palabras, se trata de
sombrear, a lo que está en la intersección entre “A” y “B”, pero que no esté en “C”.
Dicho lo anterior, entonces el diagrama quedaría de la siguiente manera:
Ahora, comparamos ambos diagramas así:
cBAC )(  CBA  )(
Si nos damos cuenta, la zona sombreada de la operación cBAC )(  (en
naranja) y la zona sombreada de la solución de la operación: CBA  )( ,
(también en naranja) nos damos cuenta que NO son iguales. Por lo tanto, se
concluye que: NO SE CUMPLE LA IGUALDAD.
Ejercicios Propuestos:
 EJERCICIOS PROPUESTOS – TIPO 1:
Dibuje, EN UN MISMO UNIVERSO, el diagrama de Venn – Euler
correspondiente a las siguientes premisas:
1. BA ; CB ; CA
2. CB ; ACB  )(
3. BBA  ; CA
4. CA ; )( CAB  ;  )( CAB
5. DB ; BA ; CA ;  AB ; )( DBC 
6. CB ; BA ;  AC ; )( CBD  ;  AD
 EJERCICIOS PROPUESTOS – TIPO 2:
Determine si se cumplen o no las siguientes igualdades, haciendo uso de
Diagramas de Venn - Euler:
1. ABAB c 
2. ccc ABAB 
3. ABBA ccc  )(
4. )()()( CABACBA 
5. CBABAC ccc  )()(
6. BCACAB cc  )()(