FUNCIÓN INVERSA

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FUNCIÓN INVERSA 
Sea f una función definida por : una función biyectiva, entonces, la función 
denotada por , tal que  : se denomina función inversa y cumple la siguiente 
regla: 
Una función es inversa de otra función cuando sus respectivas gráficas son inversas, es 
decir, son simétricas respecto de la bisectriz del 1er y 3er cuadrantes. 
 
En este ejemplo las funciones f(x) y g(x) son funciones inversas. 
Otra forma de averiguar que dos funciones son inversas es comprobando que si para 
cualquier punto (a, b) que pertenece a la gráfica de la primera función, entonces el punto (b, a) 
pertenece a la gráfica de la segunda. 
Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función . 
Procedimiento para el cálculo de la expresión de la función inversa: 
1. Sustituimos f(x) por (y) 
2. Intercambiamos la variable independiente (x) y la dependiente (y). 
3. Despejamos la variable (y) 
4. Sustituimos (y) por f−1(x). 
 
Sea   , / , . 
1. Sustituimos f(x) por (y) 
2 3
1 
2. Intercambiamos la variable independiente (x) y la dependiente (y). 
2 3
1 
 
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3. Despejamos la variable (y) 
 Eliminando denominadores 
 Aplicando la propiedad distributiva 
inos semejantes 
 Aplicando
 Agrupando térm
 factor común 
 Despejando y 
4. Sustituimos (y) por f−1(x). 
 
Se puede comprobar el resultado tomando como ejemplo x = 2, o cualquier otro 
número perteneciente al dominio 
NOTA: Para determinar la función inversa primero debemos demostrar que la función dada 
es BIYECTIVA, en caso de no serlo la función inversa no existe. Para efectos de esta asignatura 
sólo determinaremos la expresión que genera la inversa en caso de que ésta existiera. 
 
 
FUNCIÓN COMPUESTA 
 
Una función compuesta es una función formada la aplicación sucesiva de dos o más 
funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al 
resultado del cálculo anterior se le aplica la función siguiente y así sucesivamente. 
Formalmente, dadas f: X→Y y g: Y→Z, donde el rango de f es un subconjunto del dominio 
de g, se define la función compuesta (gοf): X→Z como para todos los 
elementos x de X. 
 
 
A g ο f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra siguiendo el orden 
en que se aplican las funciones a su argumento, pero se escribe en orden inverso. 
( )2 7f = 
1
(7) 2f
− = 
 
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gof, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, 
(gof)(a)=@ 
 
Dadas las funciones: 
( )
1
2 1x
f
x
=
−
 ( )
2 1
2 1x
xg
x
−
=
+
 ( )
1
xh x
= 
Calcular: ( )( ( )) xh g f 
 
Calculamos primero ( )( )xg f 
( )
( )xf⎡ ⎤⎣ ⎦
=g f g 
( )
1f
g g⎡ ⎤ ⎛=
2 1
x
x
⎞
⎣ ⎦ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
1
2 1 2x⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜
⎝
1⎛ ⎞ −2 1
1 1
2 1
g
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠=
+⎟− ⎠
 2 1x −
1
2 1 2 1x
g
x⎛ ⎞⎜ ⎟−
=
+
 2 3x
⎝ ⎠
− +
A continuación calculamos )( ( )h g f 
( )
( )( )( ( )) xx fh g f h g
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
( )( ) 2 3
2 1
x
xf
x
h g h − +⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 3
2 1
1
2 3
2 1
x
x
h x
x
− +⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
=
− +
+
 
2 3
2 1
2 1
2 3xx
xh
x− +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
+
=
− +
 
Por tanto ( )
2 1( ( ))
2 3x
xh g f
x
+
=
− +
 
 
 
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Comprobando para el valor de x=0 . Luego introducimos este valor en 
g(x) y obtenemos g(-1) = 3, luego este resultado lo sustituimos en h(x) y h(3) = 1/3. 
Si sustituimos el valor original x=0 en la función compuesta obtenemos 
ho(gof)(0)=1/3 
 
Propiedades 
composición de funciones es asociativa, es decir: 1. La 
 
2. La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir: 
 
3. La inversa de la composición de dos funciones es la composición de las inversas en 
orden contrario: 
 
 
 
 
Sean ( ) ( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
=∧∈=
23
54,/, )(
2
x
xfRyxyxf x y 
Determine: b) (gof)(x) 
a)
( ) ( ){ }123,/, 2)(2 +−=∧∈= xxgRyxyxg x 
1
)()
−
xfa
43
521
)( −
+
=−
x
xf x b) (gof)(x)= ( )2
2
23
999433
−
++
x
x