calculo tomo 1

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Universidad Nacional de Río Cuarto
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Básicas
CÁLCULO I
Tomo I - Teórico-Práctico - 2020
El siguiente texto, en un principio, fue recopilado y organizado sobre la base de la bibliografía 
indicada en el programa, principalmente por el Prof. Hugo Omar Pajello.
Colaboraron en esta tarea: María Ziletti, Fabián Romero, Ezequiel Podversic, Gabriel Paisio, 
Jorge Daghero, María Barlasina, Aldo Chiarvetto, María Beatriz Nieto, Fernando Pajello.
Actualmente el plantel docente a cargo del dictado de la materia, sigue actualizando y amplian-
do el presente material
Docentes de la asignatura:
Barone, Adrián abarone@ing.unrc.edu.ar
Barros, Julio jbarros@ing.unrc.edu.ar 
Daghero, Jorge jdaghero@ing.unrc.edu.ar
Mendez, Alejandra amendez@ing.unrc.edu.ar
Morsetto, Jorge jmorsetto@ing.unrc.edu.ar
Paisio, Gabriel gpaisio@ing.unrc.edu.ar
Podversic, Ezequiel epodversic@ing.unrc.edu.ar
Romero, Fabián fromero@ing.unrc.edu.ar
Stoll, Rodolfo rstoll@ing.unrc.edu.ar 
Ziletti, María mziletti@ing.unrc.edu.ar
Carreras:
Ingeniería en Telecomunicaciones 
Ingeniería Química 
Ingeniería Mecánica 
Ingeniería Electricista 
Indice
1 FUNCIONES
1.1 GENERALIDADES. ...........................................................................9
1.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN .................................11
1.3 CLASIFICACIÓN. NOTACIONES .......................................................13
1.4 ÁLGEBRA DE FUNCIONES. ..............................................................18
1.5 FUNCIONES INVERSAS. .................................................................21
TRABAJO PRACTICO NO 1 ......................................................................22
 
2 FUNCIONES ALGEBRAICAS
2.1 INTRODUCCION ............................................................................27
2.2 FUNCIÓN LINEAL ...........................................................................27
2.3 FUNCIÓN CUADRATICA ...................................................................33
2.4 FUNCION POLINOMICA ...................................................................41
2.5 FUNCION HOMOGRAFICA ................................................................42
2.6 FUNCION IRRACIONAL ...................................................................44
 TRABAJO PRÁCTICO NO 2 ......................................................................45
3 FUNCIONES TRASCENDENTES
3.1 INTRODUCCION ............................................................................49
3.2 FUNCION EXPONENCIAL .................................................................49
3.3 FUNCIÓN LOGARITMO ....................................................................52
3.4 ÁNGULOS .....................................................................................56
3.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................62
3.6 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ..................................................68
3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS ............................................................68
3.8 INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ...........................69
3.9 INVERSAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS ..................................73
 TRABAJO PRÁCTICO NO 3 ......................................................................77
ALGUNOS SIGNOS Y SÍMBOLOS
UTILIZADOS EN MATEMÁTICA
= Igual a
≡ Idéntico a, se define como
> Mayor que 
< Menor que
≥ Mayor o igual que
∈ Pertenece
⊂ Está incluído
∀ Para todo
∧ y
// Paralelo
⇒ Entonces
∃ Existe
∪ Unión
 / Tal que
∑ La sumatoria de
∅ Conjunto Vacío
≠ Diferente
≅ Aproximadamente igual
>> Mucho mayor que
<< Mucho menor que
≤ Menor o igual
∉ No pertenece
1Y No está incluido
∃! Existe un único 
∨ ó
⊥ Perpendicular
⇔ Sí y solo sí
∃ No existe
∩ Intersección
∴ Por lo tanto
∏ La productoria de
ALFABETO GRIEGO
Alfa Α α
Beta Β β
Gamma Γ γ
Delta ∆ δ
Epsilon Ε ε
Zeta Ζ ζ
Eta Η η
Theta Θ θ
Iota Ι ι
Kappa Κ κ
Lambda Λ λ
Mu Μ µ
Nu Ν ν
Xi Ξ ξ
Omicron Ο ο
Pi Π π
Rho Ρ ρ
Sigma Σ σ
Tau Τ τ
Ipsilon Υ υ
Fi Φ φ
Ji Χ χ
Psi Ψ ψ
Omega Ω ω
9
1FUNCIONES
1.1 GENERALIDADES.
Concepto de función:
Una función de un conjunto A en un conjunto B es una aplicación que a cada elemento x 
del conjunto A le hace corresponder un único elemento y en el conjunto B.
Simbólicamente se escribe este hecho:
:
( )
f A B
x y f x
$
$ =
A los elementos x A! tales que ( )y f x= , los llamaremos valores del argumento o 
valores de la variable independiente. Por otra parte, a los elementos y B! tales que 
( )y f x= , los llamaremos valores de la función o valores de la variable dependiente.
Ejemplos: 
• Sea :f Z R$ definida por la expresión ( )y f x x3 2= = + ; en donde, para cada valor 
del argumento x corresponde uno y sólo un valor de la función f. En efecto:
para ( ) .x f1 1 3 1 2 5= = + =
para ( ) ( )x f2 2 3 2 2 4=- - = - + =-
para ( ) ( )x f6 6 3 6 2 20= = + = 
• Sea :f R R$ definida por ( ) ( )cosy g x x= =
para cosx g2 2 2 0
r r r= = =b bl l
para ( ) cosx g 1r r r= = =-] g 
10
1
• Sea :f R R$ definida ( )y h x x x2 53 2= = -
para ( )x h0 0 2 0 5 03 2= = -] ]g g
para , ( , ) , , ,x h1 5 1 5 2 1 5 5 1 5 4 53 2= = - =-^ ^h h
Dominio:
El dominio de una función f, denominado también dominio de definición o dominio de la 
variable independiente, es el conjunto formado por los valores del argumento. En símbolos:
( ) / ! / ( )Dom f x x A y B y f x/ 7! != =" ,
En particular, y dado que la definición de función exige que a todo elemento del conjunto 
de partida le corresponda uno y sólo un elemento del conjunto B, el dominio debe estar 
incluido o ser igual al conjunto A. En símbolos: 
( )Dom f A3
Ejemplo:
Calcular el dominio de definición de la función a valores reales: ( )f x x 252= - 
 Solución:
Observemos primero que el argumento que está dentro de la raíz cuadrada debe dar por 
resultado un número real positivo, es por ello que planteamos:
x 25 02 $-
despejando
x 252 $
y tomando raiz cuadrada a ambos miembros
x 52 $
Si recordamos valor absoluto, podemos ver que el miembro de la izquierda no es otra 
cosa que su definicion
x 5$
resolviendo la inecuacion con módulo tendremos
, , )x x x5 5 5 5,0 ,3 3# $ !- - -^ 6?
Conclusión:
( ) ( ; ; )Dom f 5 5,3 3= - - 5?
Codominio e Imagen:
Al conjunto B de la definición se lo denomina codominio de la función. El conjunto imagen 
de una función f es el conjunto formado por los valores de la función, siendo, en general, un 
subconjunto del codominio B. En símbolos:
( ) / / ( )Im f y y B x A y f x/ 7! != =" ,
( )Im f B3
Ejemplo:
Calcular la imagen de la función a valores reales: ( )f x x 252= - 
Solución:
Sea ( )Imy f! , tenemos que demostrar que existe ( )x Dom f! que verifica ( )y f x=
11
1
Es claro que por la fórmula de definición de la función se cumple que 
y x x0 0 25 0 252 2 2
2
+ + +$ # #- -^ h
( , , )x x x0 25 5 5 52+ + + ,3 3# # !- - - 6?
Observar que cada vez que tomamos y 0$ 
 
obtenemos ( )/ ( )x Dom f y f xd =
Conclusión:
( ) , )Im f 0 3= +6
Funciones reales:
Se llama función de variable real, a toda función cuyo dominio es un subconjunto del con-
junto de los números reales. Se llama función real, a toda función cuyo codominio es un 
subconjunto del conjunto de los números reales. Por otra parte, se denomina función real 
de variable real, a toda función cuyo dominio y codominio son ambos subconjuntos del con-
junto R de los números reales.
Una función real de varia-
ble real puede representarse 
gráficamente en el plano, por 
medio del conjunto de puntos 
que corresponden a los pares 
ordenados ,x y^ h de la función 
f . La primera componente 
del par, x , se mide en el eje 
de abscisas y la segunda com-
ponente del par,
 
( )y f x= , en 
el eje de ordenadas.
En la mayoría de las funcio-
nes, ese conjunto depuntos 
forma una curva en el plano (ver Figura 1.1). 
1.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Si :f A B$ es una función real de variable real, la gráfica o grafo de la misma, es el 
conjunto de los pares ordenados , ( )x f x^ h , considerados como un conjunto de puntos del 
plano R2 .
Algunos gráficos correspondientes a funciones básicas muy comunes y por ende muy 
utilizadas se muestran en la Figura 1.2. Dichas funciones serán analizadas posteriormente
Figura 1.1
Figura 1.2
 
 
 
 
 
 
 
-2 0 2
-2
0
2
Y 
X 
f(x)=x 
 
 
 
 
 
 
-2 0 2
0
2
4
Y
X 
f(x)=x2 
 
 
 
 
 
 
-2 0 2
-2
0
2
Y
X 
f(x)=x3
 
 
 
 
 
 
 
0 2 4
0
2
Y
X
 f(x)=x1/2
 
 
 
 
 
 
 
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
Y
X
f(x)=1/x 
 
 
 
 
 
 
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
Y
X
f(x)=1/x2
12
1 
 
 
 
 
 
-4 -2 0 2 4
0
2
4
Y
X
f(x)= IxI 
 
 
 
 
 
 
-4 -2 0 2
0
2
4
Y
X
f(x)= ex 
 
 
 
 
 
 
0 2 4
-4
-2
0
2
Y
X
f(x)= Ln x
 
 
 
 
 
 
 
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
0
2
Y
X
f(x)= sen x 
 
 
 
 
 
 
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
0
2
Y
X
f(x)= cos x
Queda claro que éstas no son las gráficas de todas las funciones reales de variable real 
que existen. Algunas otras pueden relacionarse con las funciones básicas graficadas, 
considerándolas como generadas a partir de transformaciones realizadas sobre la función 
madre. Estas transformaciones se muestran a continuación:
Tipos Básicos de Transformaciones sobre la gráfica original 
Sea la función ( ) ;y f x con c a0 1> >=
Traslación horizontal de c unidades a la derecha y1 = f(x-c)
Traslación horizontal de c unidades a la izquierda y2 = f(x+c)
Traslación vertical de c unidades hacia abajo y3 = f(x)-c
Traslación vertical de c unidades hacia arriba y4 = f(x)+c
Reflexión respecto del eje x y5 = -f(x)
Reflexión respecto del eje y y6 = f(-x)
Reflexión respecto al origen y7 = -f(-x)
Alarga la grafica verticalmente en un factor a y8=af(x)
Comprime la grafica verticalmente en un factor a y9=(1/a)f(x)
Comprime la grafica horizontalmente en un factor de a y10=f(ax)
Alarga la grafica horizontalmente en un factor de a y11=f(x/a)
Para realizar la representación gráfica de una función ( )y f x= , debe procederse de la 
siguiente manera:
a) En primer lugar, es necesario efectuar un análisis previo de la estructura matemática 
de la función, a los efectos de identificarla con un determinado tipo de curva (recta, 
parábola, etc.). Relacionar así la nueva función a graficar con una función básica y 
establecer qué transformaciones se produjeron sobre la función básica para obtener 
la nueva función.
b) En segundo lugar, deben determinarse los puntos por los cuales la curva corta a los 
ejes de coordenadas. La ordenada al origen, punto de corte con el eje y, se obtiene 
al evaluar f(0), es decir, el valor de la función para una abscisa nula.
El corte de la función con el eje x se obtiene al resolver la ecuación f(x) = 0, dado 
que cuando la gráfica corta al eje de las abscisas, la ordenada es nula. Estos puntos 
también se denominan raíces de la función.
Figura 1.2 (cont.)
13
1
c) En tercer lugar, debe construirse una tabla de valores, en donde; para cada valor asignado 
a la variable independiente, que esté en el dominio de definición de la función, se obtiene 
el correspondiente valor de la función. Cuando se realiza el estudio especificado en los 
incisos a) y b), sólo bastan pocos pares de valores calculados en forma adecuada, para 
tener una idea de la trayectoria de la función.
d) En cuarto lugar, deben representarse en un sistema de ejes cartesianos ortogonales, los 
pares ordenados o puntos (x;f(x)) obtenidos en la tabla de valores.
e) Finalmente, procedemos al trazado de la gráfica, uniendo con una línea continua a los 
puntos anteriormente representados. 
El procedimiento indicado anteriormente es válido para funciones reales de variable real que 
provienen de las funciones básicas mencionadas. Más adelante desarrollaremos métodos 
que nos permitirán construir gráficas de funciones más complejas.
Ejemplo: 
Representar gráficamente la función: ( )y f x x x6 82= = + +
Haciendo un primer análisis, determinamos que la función es cuadrática, por lo que su 
gráfica correspondería a una parábola.
Suponemos que la función básica asociada con la gráfica es y x1 2= y a partir de aquí se 
determinan qué transformaciones ha sufrido la función básica hasta llegar a la expresión 
que queremos graficar. 
Esto se muestra en la Figura 1.3:
y x x
y x x
y x
y x
6 8
6 9 9 8
3 9 8
3 1
2
2
2
2
= + +
= + + - +
= + - +
= + -
]
]
g
g
1.3 CLASIFICACIÓN. NOTACIONES.
Las funciones pueden clasificarse mediante distintos criterios, veamos algunos de ellos:
1) Clasificacion segun el comportamiento de la imagen
Dada una función :f A B$ , o aplicación de enA B ; pueden presentarse los siguientes 
casos particulares: 
Figura 1.3
14
1
a) Aplicación inyectiva:
Una función f o aplicación enA B ”se denomina “inyectiva“o “uno a uno“, cuando para 
valores distintos del dominio corresponden valores distintos de la función. En símbolos:
: , ;es inyectiva sif A B x A x A x x f x f x1 2 1 2 1 2$ + &6 ! !! ! ] ]g g
Gráficamente: No debe ocurrir que dos elementos distintos del dominio tengan la misma 
imagen. El ejemplo de la Figura 1.4 no es una función inyectiva
Ejemplo: 
Sea :f R R$ , tal que ( )y f x 2x= = cuyo gráfico se muestra en la Figura 1.5 y que 
puede comprobarse haciendo una tabla de valores.
Observamos que esta función 
es una función inyectiva pues a 
valores distintos del dominio le 
corresponden distintas imáge-
nes. 
Una manera gráfica de verificar 
que una función es inyectiva es 
la siguiente: trazamos rectas 
horizontales sobre cada punto 
del codominio y éstas deben 
cortar a la gráfica de la función 
en a lo sumo un punto.
Observar que al trazar rec-
tas horizontales que pasen por 
puntos del codominio cortan a 
la gráfica de la función de la Fi-
gura 1.6, en 2 puntos, por lo tanto esta función no es inyectiva.
Figura 1.4
Figura 1.5
Figura 1.6
15
1
b) Aplicación sobreyectiva o suryectiva:
Una función o aplicación f se denomina “sobreyectiva” o “suryectiva” cuando el codominio 
B es igual al conjunto Imagen. En símbolos:
: ( )es sobreyectiva Imf A B f B$ + =
Ejemplo: En la Figura 1.7 se muestra una función que es sobreyectiva pero que no es in-
yectiva.
 
Ejemplo: 
Sea : / ( )f B f x x2
1R 2$ = . Esta función (Figura 1.8) es una aplicación suryectiva si 
B R= + y obsérvese que no es suryectiva si B R=
Una manera gráfica de verificar que una función es suryectiva es la siguiente: trazamos 
rectas horizontales sobre cada punto del codominio y éstas deben cortar a la gráfica de la 
función en por lo menos un punto.
c) Aplicación biyectiva:
Una función o aplicación f se denomina biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva a la 
vez. En este caso, se establece una relación o correspondencia biunívoca entre los elemen-
tos del conjunto A con los elementos del conjunto B . 
Ejemplo: en la Figura 1.9 se muestra una función biyectiva
Figura 1.7
Figura 1.8
16
1
Ejemplo: 
( )y f x x2 1= =- + (Figura 1.10) es biyectiva de R en R .
Una manera gráfica de verificar que una función es biyectiva es la siguiente: trazamos 
rectas horizontales sobre cada punto del codominio y éstas deben cortar a la gráfica de la 
función en un único punto.
Observación: En este curso, sólo nos ocuparemos de las funciones reales de variables 
reales. Una función real de variable real será denotada por:
: , ,f A B A BR R$ 3 3
2) Clasificacion según su expresion analitica
Funciones algebraicas: Son aquellas funciones que en su expresion analitica solo con-
tienen las cuatro operaciones fundamentales, potenciacion y radicacion, como polinomios, 
radicales, racionales.
Ejemplos: 
( )f x x x33 2= +
( )g x x x22= -
( )h x x
x x x
1
5
4
3 2
= +
+ -
Funciones Trascendentes: Son todas aquellas funciones que no son algebraicas
Figura 1.9
Figura 1.10
17
1
• Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, etc.
Ejemplo:
( ) ( )f x tg x=
• Funciones exponenciales y logarítmicas 
Ejemplos: 
( )f x e x3 1= +] g 
( ) ( )logg x x 4= + 
3) Clasificación según la simetría de sus gráficas
PAR Una función y=f(x) se denomina par, cuando para valores opuestos de la variable 
independiente, corresponde el mismo valor de la variable dependiente.
Es decir:
( ) ( )f x f x- =
La gráfica de este tipo de funciones es simétrica respecto del eje de las ordenadas o 
eje y.
Ejemplo: ( )f x x2
1 2= 
IMPAR Una función ( )y f x= se denomina impar, cuando para valores opuestos de la va-
riable independiente, corresponde valores opuestos de la variable dependiente.
Es decir:
( ) ( )f x f x- =-
La gráfica de estas funciones es simétrica respecto del origen del sistema de ejes 
cartesianos ortogonales.
Ejemplo: ( )f x x x5 3= -
Es común que las funciones no presenten ni una ni otra simetria.
4) Clasificacion segun la monotonia de sus graficas
• Se dice que una función ( )y f x= es monótona creciente en el intervalo ,a b6 @ , cuando 
para dos puntos cualesquiera x1 y x2 del intervalo, tal que x x<1 2 , se verifica:
( ) ( )f x f x1 2#
En particular, si ( ) ( )f x f x<1 2 , la función se denomina monótona estrictamente cre-
ciente.
• Se dice que una función ( )y f x= es monótona decreciente en el intervalo ,a b6 @ , 
cuando para dos puntos cualesquiera x1 y x2 del intervalo, tal que x x<1 2 , se verifica:
( ) ( )f x f x1 2$
En particular, si ( ) ( )f x f x>1 2 , la función se denomina monótona estrictamente decre-
ciente.
18
1
5) Funciones definidas por partes
Una función segmentada (función seccionada o función definida por tramos) es una función 
cuya definición o expresion analitica, cambia dependiendo del valor de la variable indepen-
diente. Dicha expresion analitica sera válida solo para el intervalo para el cual fue definida.
Veamos un ejemplo, pero primero definamos:
Se llama partición del intervalo ,a b6 @ , a todo conjunto finito ordenado de puntos de ,a b6 @ 
tal que uno de ellos sea a y otro b . Los puntos de la partición se designan con xi . 
En símbolos:
, , , ,P x x x xn0 1 2 f= " , es una partición en donde: a x x x x x b< < < < <n n0 1 2 1g= =- 
Funciones escalonadas
Una función ( )y f x= definida en ,a b6 @ es una función escalonada, si y sólo si, 
existe una partición , , , ,P x x x xn0 1 2 f= " , de ,a b6 @ , tal que la función f sea constan-
te en cada subintervalo ,x xi i1-6 @ . Un ejemplo se presenta en la Figura 1.11, su expresión 
podría ser:
( )
si
si
si
si
f x
c
d
f
e
x x x
x x x
x x x
x x x
<
<
<
<
i
i
i
i n n
0 1
1 2
2 3
1
h
#
#
#
#
=
-
Z
[
\
]]]]]]]
]]]]]]]
1.4 ÁLGEBRA DE FUNCIONES.
Se define como álgebra de funciones a las operaciones que pueden realizarse entre ellas. 
Estas operaciones definen siempre “nuevas funciones” cuyos dominios estarán formados 
por los elementos comunes a las funciones involucradas, es decir, el dominio de la nueva 
función será la intersección de los dominios de las funciones participantes, menos los ele-
mentos correspondientes a las restricciones propias de la operación.
Las operaciones que podemos detallar son: 
•	 suma de funciones
•	 producto de funciones 
•	 cociente de funciones (deben tenerse en cuenta las restricciones propias de la 
operación)
•	 composición de funciones
Figura 1.11
19
1
Ejemplo:
Sean ( )g x x 3
1= + y ( )h x x 2
1= - y sus respectivas gráficas que se muestran en la 
Figura 1.12:
 Si sumamos estas dos funciones:
( ) ( )y g x h x x x x x
x
3
1
2
1
3 2
2 1= + = + + - = + -
+
] ]g g
generamos una nueva función que tiene como dominio la intersección de los dominios de 
( )g x y ( )h x . El dominio de la nueva funcion es /Dom y x x x x3 2R / /! !!= - -" , . En 
la Figura 1.13 se muestra la grafica de y con linea continua, superpuesta a las graficas de 
( )g x y ( )f x , dibujadas con lineas de trazos.
1.4.1. Composición de Funciones.
Uno de los métodos más usados en la construcción de funciones nuevas, es el denominado 
composición de funciones.
Sean las funciones :f A U$ y :g U B$ , donde ( ) ( )Im f Dom g3 , es decir, donde 
el conjunto imagen f es un subconjunto del dominio g . Para cada valor de x A! , existe 
uno y solo un valor ( )u f x U!= ; y para cada valor de u U! , existe uno y solo un 
valor ( )y g u B!= . De manera, que para cada x A! , corresponde uno y solo un valor 
( ( ))y g f x B!= , y nos queda definida una aplicación de enA B , a la que se denomina 
función compuesta o aplicación compuesta o composición de g con f . Esta operación pue-
de realizarse, en general entre cualquier número de funciones. Se simboliza:
Figura 1.12
Figura 1.13
20
1
:g f A B$%
y se lee “composición con que aplica al conjunto A en el conjunto B “.
O también:
( ( ))g f g f xx% =^ ]h g
que se lee: “ g círculo f“ o “ g compuesta con f “.
Una representación gráfica esquemática sería la que se muestra en la Figura 1.14:
 
En general g f f g% %! , es decir, la operación composición no es conmutativa.
La composición es asociativa:
h g f h g f% % % %=^ ^h h
Si la imagen de f y el dom de g no tienen elementos comunes, es decir ( ) ( )Im f Dom g+ Q= 
entonces; g f% no existe. De forma opuesta, si la imagen de f y el dominio de g tienen 
algún elemento común, es decir ( ) ( )Im f Dom g+ Q! , entonces existe composición (ver 
Figura 1.15)
 
Ejemplo
Sea :f R R$ y :g R R$ 
Definidas por:
( )f x x x2 42= - y ( )g x x3 2= +
 ¿Cual es la expresion de las nuevas funciones que se obtienen de las compuestas?
( ( ))g f g f x g x x x x2 4 3 2 4 2x
2 2% = = - = - +^ ] ]]h g gg
g f x x6 12 2x
2% = - +^ ]h g
( ( ))f g f g x f x x x3 2 2 3 2 4 3 2x
2% = = + = + + +^ ] ] ]]h g g gg
Figura 1.14
Figura 1.15
21
1
f g x x18 12x
2% = +^ ]h g
Puede observarse que ( ) ( )Im f Dom g R+ = y que ( ) ( )ImDom f g R+ = por lo tanto 
ambas composiciones están bien definidas. 
Además se puede observar claramente que la composición no es conmutativa.
1.5 FUNCIONES INVERSAS.
Sea :f A B$ una función que tiene por dominio al conjunto A y por codominio a B . 
Si existe g tal que :g B A$ y que también es función con la propiedad:
g f x x Ax% 6 !=^ ]h g
 f g x x Bx% 6 !=^ ]h g
entonces esta función es única, la llamamos la función inversa de f y la denotaremos por 
g f 1= -
Teorema (Existencia de función inversa)
Sea :f A B$ una función biyectiva entonces, existe f 1- función inversa de f tal que 
:f B A1 $- también biyectiva y que tiene la propiedad:
f f x x Ax
1 % 6 !=-^ ]h g
f f x x Bx
1% 6 !=-^ ]h g 
Ejemplo: 
La función inversa de ( )y f x x3 12= = - es x f y y3
1 41= = +- ^ h para representarla en 
el mismo sistema de ejes, se reescribe: f x x3
1 41 = +- ] g 
Propiedad: Una función real de variable real tiene inversa si es monótona estrictamente 
creciente o decreciente (por lo tanto inyectiva). La suryectividad va a resultar de restringir 
convenientemente el codominio. 
Ejemplo:
Sea la función definida por:
( )f x x3 12= -
Se pide establecer convenientemente el dominio y el codominio de la función de tal forma 
que resulte biyectiva y calcular la función inversa.
La función ( )f x x3 12= - es inyectiva cuando es estrictamente monótona creciente o 
decreciente. Observamos que si , )x 0 3! +6 la función es estrictamente creciente y por 
lo tanto inyectiva. Y si consideramos ( ) , )Im f 1 3= - +6 entonces función resulta suryec-
tiva luego, : , ) , )f 0 1$3 3+ - +6 6 resulta biyectiva y por lo tanto existe la función 
inversa : , ) , )f 1 01 $3 3- + +- 6 6
Para calcular dicha inversa hacemos: y x x y x y3 1 3 1 3
1
3
12 2 2+ += - = + = + . Lle-
gado a este punto observamos que , , )y y3
1
3
1 0 16 3$ !+ - +6 y por lo tanto po-
demos tomar raíz cuadrada a ambos de lados de la igualdad x y3
1
3
12 = + , aho-
ra bien sabemos que: x x x2 = = pues , )x 0 3! +6 de esta forma obtenemos 
x f y y3
1
3
11= = +- ^ h 
En la Figura 1.17, se muestra un ejemplo de una función estrictamente creciente y por lo 
tanto inyectiva a la cual se le puede encontrar inversa; mientras que en la Figura 1.18 la 
22
1
TRABAJO PRÁCTICO No 1
Funciones
Objetivo: interpretar el concepto de función y comprender las representaciones graficas, operar con funciones, 
componerlas. Utilizar el concepto de función inversa
Ejercicio N 1: Exprese la regla dada en forma de función y determine los conjuntos dominio e imagen
a) Elevar al cuadrado y luego restar 5
b) Restar 5 y luego elevar al cuadrado
función no es inyectiva y por ende, no tiene inversa.
Las gráficas de f y de f 1- están estrechamente relacionadas, dado que, los pares orde-
nados o puntos ,x y^ h e ,y x^ h son simétricos uno del otro, con respecto a la recta y x= 
, que es una bisectriz del primero y tercer cuadrante denominada diagonal. Luego, las grá-
ficas de las funciones f y f 1- son simétricas con respecto a la diagonal (ver Figuras 1.19 
y 1.20).
En general, la inversa de una función inyectiva ( )y f x= es ( )x f y1= - , pero como ya 
dijimos se suele escribir, intercambiando las variables para no modificar la ubicación tradi-
cional de los ejes cartesianos, ( )y f x1= - .
Propiedad:
Sea : :f A B g B C$ $/ ambas biyectivas entonces, :g f A C$% es biyectiva y se 
verifica que:
g f f g1 1 1% %=- - -^ h
Figuras 1.16 y 1.17
Figuras 1.18 y 1.19
23
1
(a modo de ejemplo la regla “multiplicar por 3 y luego sumar 1” se expresa como ( )f x x3 1= + )
Ejercicio N 2:
a) construya una función que represente el área de un cuadrado y describa los conjuntos de definición do-
minio e imagen.
b) construya una función que represente el perímetro de un cuadrado en términos de su área.
Ejercicio N 3: Describa el dominio de las siguientes funciones (ver ejemplo *):
a) ( )f x x 2
1
2= - b) ( )f x x
x 1= + c) ( )h x x2 9 2= - 
d) ( )f x x1 1= - - e) ( )g x x
x
3
2 1= -
+
* Ejemplo: y x 1
1
2= -
Como no está definida la división por 0 , x 12 - no puede ser cero , entonces: x 1 02 !- , x 1
2& ! , 
x 1& !! , así el dominio es:
( ) /Dom f x x 1R !!!= " , o ( ) ,Dom f 1 1R= - -" ,
Ejercicio N 4: Una función definida por partes(o trozos) es una función cuya definición (o regla) cambia dependien-
do del valor de la variable independiente. Grafique la siguiente función definida por partes:
( )F t
t
t
si
si
si
t
t
t
3
2 1
1
0
2 0
2
>
< #
#
= -
-
-
-
Z
[
\
]]]]
]]]]
a) en el grafico de la función ubique dentro del dominio los siguientes valores de t y determine sus imágenes.
t 0 1/2 -2 -3 -1/2
F(t)
b) Dé elementos del dominio cuyas imágenes sean: -1, 0, 6.
Ejercicio N 5: Sea la función ( )F t t1
1= +
-
 
a) Dar los conjuntos que representan su dominio de definición y su imagen.
b) Determinar el valor de: ( )F 0 , ( )F 2 y F 2
1b l .
c) Encontrar expresiones para ( )F a y para ( )F a h+ .
*Ejercicio N 6: Una caja sin tapa debe construirse a partir de una pieza rectangular de chapa cortando cuadrados 
idénticos en cada esquina y después doblando los lados. Determinar una función que permita calcular el volumen 
de la caja.
*Ejercicio N 7:
Una empresa italiana ofrece la refrigeración de ambientes mediante suelos radiantes. Como prueba del producto 
ofrece los gráficos siguientes que muestran la evolución de la temperatura interior una vivienda refrigerada mediante 
suelo radiante. Analizando estos graficos contesta.
a) ¿Cuales son los rangos de temperaturas en el exterior de la vivienda (para cada uno de los dos días que están 
representados), y cuales para el interior de la vivienda?
24
1
b) En el momento de más calor del día ¿cual era la temperatura en el interior de la vivienda?
c) ¿En que intervalos de tiempo la temperatura del exterior era menor que la del interior de la vivienda?
Copiado de: http://www.thermarclima.com.ar/klimapav3.htm
Ejercicio N 8: Grafique la función ( )f x x2= y utilizando los tipos básicos de transformaciones encuentre las gra-
ficas de las siguientes funciones:
a) f x x 21 2= -] ]g g
b) f x x 22 2= -] g
c) Determina para las funciones anteriores los cortes con los ejes de coordenados.
Ejercicio N 9: Grafique la función ( )g x 2x= y utilizando los tipos básicos de transformaciones encuentre las gra-
ficas de las siguientes funciones:
a) g x 2 x1 = -] g
b) g x 2x2 =-] g
*Ejercicio N 10: Analizar y decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando cada res-
puesta:
a) Si (1;-2) es un punto de la gráfica ( )y f x1 = , entonces, (-1;-2) es un punto de la gráfica de y f x2 = -] g .
b) Si (-1;-2) es un punto de la gráfica de y g x3 = ] g , entonces, (-1; 2) es un punto de la gráfica de ( )y g x4 =- - .
Ejercicio N 11: Determine cual de las siguientes funciones es par, cual impar y cual no es ni par ni impar. Utilice la 
simetría para trazar la graficade la que resulte par e impar.
( )g x x= ( )f x x x3= - ( )h x x x2= +
*Ejercicio N 12: Dada una función par f(x), si (1;-2) es un punto de su grafica, cual de las siguientes afirmaciones 
es cierta:
a) El punto (-1;-2) es un punto de su grafica.
b) El punto (-1; 2) es un punto de su grafica.
c) No es posible determinar cual es la imagen que corresponde a x=-1.
25
1
*Ejercicio N 13: Utilice un contraejemplo para mostrar que no es posible que una función par sea inyectiva. 
*Ejercicio N 14: Si dos funciones ( )f x y ( )g x son pares ¿que puede decir sobre ( ) ( )f x g x+ ?
Ejercicio N 15: Sean ( )f x x2= y ( )g x x 3= + , calcular:
a) f g x%^ ]h g b) g f x%^ ]h g 
c) f g 2%^ ]h g d) g f 2%^ ]h g
Ejercicio N 16: Sean ( )f x x2= y g x 2x=] g , obtenga la función ( )h x g f x%= ^ ]h g y trace la grafica de ( )h x .
*Ejercicio N 17:
Sean ( )g x
x1
1=
-
 y ( )f x x3= , estudie la posibilidad de componer estas funciones
y en caso afirmativo obtenga:
i) (g o f) (x) dominio e imagen de (g o f)
ii) (f o g) (x) dominio e imagen de (f o g)
Ejercicio N 18: Sean las funciones f(x) y g(x) con los correspondientes dominios:
( )f x x2
1 32= + ( ) , )Dom f 0 3= 6 ( )g x x2 3= -] g ( ) , )Dom g 3 3= 6
a) Represéntelas en un mismo sistema de ejes coordenados y describa que tipo de simetría guardan.
b) Obtenga (g o f) (x) y (f o g) (x)
c) ¿Que relación hay entre estas funciones?
Ejercicio N 19: Determine si las siguientes funciones tienen inversa y calcúlela. Dar Dominio e Imagen de ambas: 
a) ( )f x x
1=
b) ( )f x x3 2
7=- + 
c) ( )f x x
1
2=
27
2FUNCIONES ALGEBRAICAS
2.1 INTRODUCCION
Dentro de la clasificación de funciones hemos visto que una gran subdivisión son las funcio-
nes algebraicas, es decir, aquellas funciones que solo contienen operaciones de suma, resta, 
multiplicación, división, potencia y radicación en su expresión analítica. La intención de este 
capítulo es presentar y analizar algunas funciones que pertenecen a este grupo, junto con 
sus características y sus gráficas.
2.2 FUNCIÓN LINEAL
Llamamos función lineal a una función que se expresa de la forma:
f(x) = y = a x + b
Donde a y b son números reales. a se llama pendiente y b se llama ordenada al origen.
Algunos ejemplos: 
¿Cuál es el valor de a y b en cada uno de los casos?
1) y 2 x 1= − a = 2; b = -1
2) ( )f x 3 x= a = 3; b = 0
3) y 3= a = 0; b = 3
4) 1y 2 x
3
= − + a = - 2; b = 1
3
28
2
x
y
(1;a)
1
(0;0)
a
2.3 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL 
Tratemos ahora de caracterizar el gráfico de una función lineal
1. Si a = 0, la función es y = b
Ya que los puntos del gráfico de esta función son los pares (x;b) para cualquier valor de x, 
estos puntos se encuentran sobre una recta horizontal. Por lo tanto su gráfica es paralela al 
eje x y corta al eje y en (0;b)
Concluimos: “La gráfica de una función lineal 
by = es una recta paralela al eje x que pasa 
por (0;b)”
Nota: Debemos recordar que la recta A es paralela 
a la recta B si y sólo si A no intersecta a B ó A = B.
2. Si 0b = , la función es y = a x
En la siguiente gráfica podemos ver que la representación de esta función es la recta r de-
terminada por el origen (0;0) y el punto A = (1;a)
Para probar esta afirmación debemos demostrar que :
a) Todo punto (x;y) de la recta r satisface y = a x .
b) Todo par de valores (x;y) que satisface y = a x , es 
un punto de la recta r.
Demostración: (puede obviarse en una primera lectura 
aceptando como válidos los dos puntos dados arriba)
a) Todo punto (x;y) de la recta r satisface y = a x .
Notemos que (0;0) es un punto del gráfico de la función y = a x . Por otro lado, B = (x;y) 
es un punto de la recta r distinto del (0;0).
Al observar la figura 2.3 concluimos que OCA y ODB son 
triángulos semejantes (porque sus ángulos son congruen-
tes). Entonces los lados son proporcionales, esto es:
BD AC
OD OC
= ⇒ y a
x 1
= ⇒ y a x= 1 
Esto nos dice que “el punto B = (x;y) pertenece al gráfico 
de la función y=ax (es un punto de la forma (x;f(x))”.
Todo par de valores (x;y) que satisface y = a x , es un punto de la recta r. 
Sea P = (x;y) un punto del gráfico de la función y = a x y A = (1;a)
Observando la figura 2.4 se tiene:
AC a a
1OC
= = ; PM a x a
xOM
= =
De donde concluimos que:
AC PM
OC OM
=
Esto nos dice que OCA y OMP son triángulos seme-
jantes (notar que la proporcionalidad de los cate-
1 El símbolo “⇒ ” significa “implica” y se debe interpretar como que de lo primero se deduce lo segundo. Presta atención a este 
símbolo será usado varias veces a lo largo del trabajo.
Figura 2.1
Figura 2.2
Figura 2.3
Figura 2.4
x
y
(x;b)
x
(0;b)
x
y
A
1
a
x
B
a
C D
y
y
O
x
y
A=(1;a)
1
a
x
P=(x;y)
C M
y=ax
O
29
2
tos y el teorema de Pitágoras implican la proporcionalidad de los catetos y la hipotenusa). 
Por ser triángulos semejantes, los ángulos (comprendidos entre dichos lados) AOC y POM 
son iguales, esto es:
∧∧
= POMAOC
Y como tienen al eje x como lado común, el otro debe coincidir. Por lo tanto “P pertenece a 
la recta determinada por (0;0) y (1;a)”
Esto concluye nuestra demostración.
3. Veamos ahora el caso general y = a x + b
Observemos que para cada x el valor de y se obtie-
ne sumándole b al valor de y definido por la función 
y = a x .
Luego, para obtener la gráfica de y = a x + b , bas-
ta trasladar la gráfica de y = a x (la recta r) tanta 
unidades como indique b en la dirección del eje y 
(traslación vertical).
En la figura 2.5 vemos que la representación gráfica 
de la función lineal y = a x + b , es la recta r1 de-
terminada por los puntos (0;b) y (1;a+b)
Por la misma construcción r1 y r son rectas paralelas.
Para recordar: Al número b de la ecuación y ax b= + se lo llama ordenada al origen. 
Es el valor de la ordenada y cuando x = 0, o sea es la ordenada del punto (0;b).
Significado del parámetro “a” 
Dada dos rectas:
r1: y = 2 x donde a1 = 2
r2: y = 3 x donde a2 = 3
Y con el apoyo de los conocimientos de-
sarrollados hasta ahora podemos dedu-
cir que r1 pasará por los puntos (0;0) y 
(1;2) y r2 pasará por los puntos (0;0) 
y (1;3); esto lo vemos en la figura 2.6.
Podríamos decir que la recta r2 es más 
empinada que r1, o que r2 crece mas rápido que r1, y esto parece tener correspondencia con 
el mayor valor de parámetro “a”.
En general, al considerar las rectas 
r1: de ecuación y = a1 x
r2: de ecuación y = a2 x
Si 0a1 > , 0a2 > , y 12 aa > ⇒ 
si
si
a x a x
a x a x
x
x
0
0
>
<
>
<
2 1
2 1
)
O sea las rectas se cortan en el origen (¿por qué?), r2 está por encima de r1 para los x 
positivos y sus posiciones relativas cambian para los x negativos. Estas consideraciones se 
muestran gráficamente en la figura 2.7:
x
y
1
a
b
O
b
b
b
r
r1
Figura 2.5
x
y
1
(1;2)
O
r1
r2
(1;3)
Figura 2.6
30
2
El número a tiene que ver por lo tanto con la in-
clinación de la recta.
•	 Si 0a > la recta sube al desplazarse en di-
rección de las x positivos ( xay = es una función 
creciente)
Ejemplo 2: 
Consideremos la función lineal x2y =
Observaciones sobre la gráfica:
•	 Tenemos que 0a > (a=2)
•	 Esta recta pasa por el origen y el punto (1;2)
•	 La recta sube del 3er al 1er cuadrante (es una fun-
ción creciente).
¿Qué pasa con la gráfica de xay = si 0a < ?
0x < ⇒ 0xa > ( )0y >
0x > ⇒ 0xa < ( )0y <
0x = ⇒ 0xa = ( )0y =
Estas situaciones se ven en forma genérica en la figura 2.9:
Observaciones sobre la gráfica:
•	 Tenemos que 0a <
•	 Esta recta pasa por el origen.
•	 La recta baja del 2do al 4to cuadrante (es 
una función decreciente).
Ejemplo 3:
Consideremos la función lineal xy −=
La grafica de esta función pasará por los puntos 
(0;0) y (1;-1)
Para recordar: Al número a de la de la ecuación 
y = a x + b se lo llama pendiente de la recta y está 
relacionado con la “inclinación”de la recta.
Hemos mostrado entonces que la representación gráfica de bxay += es una recta. ¿Es 
cierta la afirmación reciproca? Esto es: ¿”Toda línea recta en el plano es el gráfico de alguna 
función lineal”?
Figura 2.7
Figura 2.8
Figura 2.9
x
y
1
(1;a )1
O
r1
r2
(1;a )2
a1
a2
x
y
1 x1 x2
y1
y2
O
x
y
x1 x2
y2
y1
O
x
y
x1 x2
y2
y1
O 1
-1
Figura 2.10
31
2
La respuesta es NO. No existe función (lineal o no) cuyo gráfico sea una recta paralela al eje 
y ( cx = ). El fundamento de esta respuesta es que para que sea función se debe cumplir 
que para cada valor del dominio (en este caso x) debe existir sólo un valor de la imagen (en 
este caso y), y si la recta es vertical para un solo valor de x existen infinitos y.
Veamos ahora algunos ejemplos donde se ponen en juego las definiciones y deducciones 
anteriores.
Ejemplo 4:
Obtener la gráfica de 1x2y +−=
•	 Por lo dicho anteriormente, el gráfico de la función 
lineal es una recta r paralela a al recta de la ecua-
ción x2y −= el gráfico es una recta que pasa por 
el origen y tiene pendiente -2.
•	 La pendiente es 2a −= esto significa avanzamos 
1 en el eje x y descendemos (por el signo “-”) 2 
en el eje y
•	 La ordenada al origen es 1b = (significa que pasa 
por el punto (0;1))
Ejemplo 5:
 Obtener la gráfica de 2x3y +=
a) Razonando en forma similar al ejemplo an-
terior, esta recta tiene ordenada al origen 2 (sig-
nifica que pasa por el punto (0;2)) y pendiente 3 
esto significa avanzamos 1 en el eje x y ascende-
mos 3 en ele eje y
b) Otra forma de resolver este tipo de ejerci-
cios es aplicar el primer postulado de Euclides, que 
dice: “dos puntos distintos uno de otro determinan 
una única recta que pasa por ellos”, por lo tanto 
bastará indicar dos puntos distintos de la recta y 
ésta quedará definida:
Si x=0, entonces y=3·0+2=2, así el punto (0;2) 
pertenece a la recta y además si 1x = , entonces 
y=3·1+2=5, por lo tanto el punto (1;5) pertenece 
a la recta
Para generalizar el concepto anterior: “Conocidos dos puntos 
distintos cualesquiera de una recta, esto es (x1;y1) y (x2;y2); 
¿cuál es su ecuación?”
Respuesta: 
Para poder dar la ecuación de la recta debemos determinar 
cuál es el valor de a y b de la ecuación bxay += . Sabe-
mos que (x;y) pertenece a recta ⇔ verifica bxay += . 
Por lo tanto:
bxay 11 += pues ( ) ∈11 y;x recta
bxay 22 += pues ( ) ∈22 y;x recta
x
y
y=-2x+1
O
1
2
y=-2x
1
x
y
y=3x+2
O
3
y=3x
(0;2)
1
x
y
y=3x+2
O
5
(0;2)
1
Figura 2.11
Figura 2.12
Figura 2.13
32
2
Igualando ambas ecuaciones respecto de b (es decir despejando b de ambas ecuaciones e 
igualando), nos queda que 2211 xayxay −=− 
despejando: 
21
21
xx
yya
−
−
=
Esta importante ecuación nos permitirá determinar la pendiente de una recta conociendo 
dos puntos de ella.
Para calcular el valor de b, bastará reemplazar el valor obtenido de a en cualquiera de las 
ecuaciones anteriores.
Ejemplo 6: 
Obtener la ecuación de la recta que pasa por el origen y el punto (-1;3).
Como conocemos dos puntos de la recta (0;0) y (-1;3) po-
demos hallar la pendiente a considerando:
( ) ( )
( ) ( ) 301
03
a
3;1y;x
0;0y;x
22
11 −=
−−
−
=⇒
−=
=



 a = - 3
Como la recta pasa por el origen: 
 b = 0
Con los dos puntos dados, obtenemos la ecuación de la rec-
ta 0x3y +−= y la gráfica, la cual se muestra en la figura 
2.14
Ejemplo 7: 
Obtener la ecuación de la recta cuya pendiente es igual 
a 2 y pasa por el punto (3;3).
La ecuación de la recta es de la forma bx2y += ; 
determinemos la ordenada al origen b, como el pun-
to (3;3) pertenece a la recta debe verificar la ecuación 
bx2y += , esto es:
3bb63b323 −=⇒+=⇒+⋅=
Por lo tanto la ecuación de la recta buscada es: 
3x2y −= y su gráfica se muestra en la figura 2.15.
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 
Sean las rectas:
r1: 11 bxay +=
r2: 22 bxay +=
Decimos que r r a a1 2 1 2*' = (r1 paralela r2 si y sólo si tienen igual pendiente)2
2 El símbolo “* ” significa “si y sólo si” y se debe interpretar como que lo primero ocurre solamente si ocurre lo segundo y viceversa, 
es decir que si ocurre lo segundo también será válido lo primero.
x
y
3
(0;0)
-1
(-1;3)
y=2x-3
x
y
3
3
(3;3)
(0;-3)
Figura 2.14
Figura 2.15
33
2
Justificación:
Por geometría elemental se ve:
•	 r r1 2' ⇒ los triángulos sombreados 
son congruentes ⇒ 21 aa =
•	 21 aa = ⇒ triángulos congruentes 
⇒ 21
∧∧
α=α ⇒ r r1 2'
Sean:
r1: 11 bxay +=
r2: 22 bxay +=
Decimos que 1a.arr 2121 −=⇔⊥ (r1 perpendicular a r2 si y sólo si el producto de sus 
pendientes es igual a menos uno)
ECUACIÓN IMPLÍCITA DE LA RECTA 
La ecuación bxay += se llama ecuación explícita de la recta. Recordemos que con dichas 
ecuaciones no podemos describir las rectas verticales.
Para expresar las ecuaciones de este tipo de rectas consideremos las ecuaciones implícitas 
de la recta cuya expresión general es:
0CyBxA =++
Consideremos ahora algunos casos particulares de estas ecuaciones.
a) Si 0B ≠ ⇒ 
B
Cx
B
Ay −−= o sea que bxay += que es la ecuación explícita de 
la recta
b) Si 0B = ⇒ 
A
Cx −= o sea que kx = (con 
A
Ck −= ), que es la ecuación de una 
recta vertical
2.3 FUNCIÓN CUADRATICA
Definición: Llamamos función cuadrática a aquella que se expresa de la forma: 
+ +2f(x)= y =ax bx c
Donde a, b, c son números reales y ≠a 0 .
Gráfica de una función cuadrática 
Los valores que adoptan los parámetros a, b, c presentados en la definición determinan la 
función cuadrática cuyo gráfico se denomina parábola.
Completemos la siguiente tabla:
x
y
1
r2
�2
b2
a2
1
r1
b1
a1
�1
Figura 2.16
34
2
Función cuadrática a b c
2f(x) =2x 2 0 0
− +2f(x) = x 2
− + +2f(x) = 2x 3x 1
−2f(x) =x 4
Trataremos de caracterizar el gráfico de función cuadrática = + +2y ax bx c .
Comenzamos considerando la función cuadrática 2f(x) =x , en la cual se cumple:
i. ≥f(x) 0 pues x x0 R
2 6$ !
ii. Es una función par ya que: ( )− = =2 2f(-x) = x x f(x)
Por lo tanto la gráfica es simétrica respecto al eje Y (eje de simetría). Así solo grafi-
camos para ≥x 0 y luego copiamos por simetría.
iii. Si < < ⇒ <20 x 1 x x (pues < ⇒ <x 1 x.x x ) o sea que la parábola está por 
debajo de la recta =y x .
iv. Si > ⇒ >2x 1 x x (¿por qué?) o sea la parábola está por encima de la recta =y x .
v. Además =2x x en = =x 0 y x 1, o sea coinciden en (0,0) y en (1,1).
vi. Si < < ⇒ <1 2 1 20 x x y y pues ( )< ⇒ < 21 2 1 2 2x x x x x así por transitividad 
< ⇒ <2 21 2 1 2x x x x (¿por qué?),
< ⇒ <1 2 1 2x x f(x ) f(x ) esto es, la función es creciente para los >x 0 .
vii. La parábola es de trazo continuo.
La parábola tiene concavidad hacia arriba.
Estas afirmaciones se justificaran al estudiar los analisis de funciones.
Con toda esta información y unos pocos valores obtenidos en la siguiente tabla, daremos 
una gráfica aproximada de = 2y x
x 0 1 2 3 1/2 1/3 3/2
y=x2 0 1 4 9 1/4 1/9 9/4
x
y
ra
m
a
vértice
ej
e 
d
e 
si
m
et
rí
a
O 1 2-2 -1
1
4
ram
a
Ahora veamos la parábola de la ecuación = 2y ax (a!1,b = 0, c = 0)
Figura 2.17
35
2
Tomamos un ejemplo = 2y 2x y realizamos nuevamente una tabla para obtener algunos 
valores:
x 0 1 1/2 1/3 3/2
y = 2x2 0 2 1/2 2/9 9/2
x
y
O 1 2-2 -1
y = 2x2 y = x2
En general se concluye:
i. Si a > 0, la parábola tiene ramas hacia arriba (¿porqué?), y la función = 2y ax toma el 
menor valor (valor mínimo) en el origen de coordenadas.
ii. Si a < 0, la parábola tiene ramas hacia abajo y la función = 2y ax toma el mayor valor 
(valor máximo) en el origen de coordenadas.
Estos valores mínimos y máximos se toman sobre el eje de simetría de la parábola (de 
ecuación =x 0 ) en un punto llamado vértice.
x
y
x
y
vértice
vértice
y=ax (a>0)2
y=ax (a<0)2
iii. El coeficiente del término cuadrático “a” produce:
a) “cierre” de las ramas de la parábola hacia el eje Y, si
Figura 2.18
Figura 2.19
36
2
a 1>
2 2a 1 ax x> ⇒ > 
2 2a 1 ax x< − ⇒ <−
x
y
O 1-1
y = 2x2 y = x2
x
y
y = - 2x2 y = - x2
O 1-1
En esta figura se observa como se cierra la parabola cuando a crece (para a 1> )
b) “apertura” de las ramas hacia el eje X, si
<a 1
< < ⇒ <2 20 a 1 ax x 2 21 a 0 x ax 0− < < ⇒ − < <
x
y
O
y = x2 y =a x2
x
y
O
y = x2 y =a x2
Si consideramos 2y ax c (b 0)= + = observamos que, para cada x, el valor de y se obtie-
ne sumándole c al valor de y definido por la función 2y ax= , lo que produce un desplaza-
miento de esta parábola en sentido vertical, hacia arriba si c>0 o hacia abajo si c<0.
Figura 2.20
Figura 2.21
37
2
x
y
O
y = ax + c2 y =a x2
cc
x
y
O
y = ax + c
 c<0
2 
y =a x2
cc
La figura muestra como se desplaza la parábola elemental al agregar el termino indepen-
diente c
Tratemos de resolver las siguientes situaciones:
¿Cuál es la gráfica de la función cuadrática 2y ax c= + si a<0 y c>0?
¿Cuál es la gráfica de la función cuadrática 2y ax c= + si a<0 y c<0?
Hasta ahora en las ecuaciones consideradas no hay término lineal (b=0) y el eje de simetría 
de la parábola coincide con el eje Y. Nos preguntamos, ¿Qué sucede si el parámetro b es 
distinto de cero?
Podemos empezar el análisis graficando punto a punto la función 2y x x= + :
x 0 1 1/2 -1/2 -1
y = x2 + x 0 2 3/4 -1/4 0
x
y
O 1 2-2 -1
y = x2
1
y = x
La figura muestra la grafica de que puede obtenerse como suma de otras dos 
funciones e 
El gráfico nos muestra que el eje de simetría ya no es el eje Y.
Figura 2.22
Figura 2.23
38
2
Así es que nos propondremos buscar la ecuación de la parábola con vértice (x0,y0) y eje de 
simetría distinto del eje Y.
x
y
x0
y0
( ;y )0x0
P=( ;y)x
Consideremos un nuevo sistema de ejes X , Y
x
y
x0
y0
P( ;y)=Qx (x;y)
x
y
x
y
En el sistema de ejes X e Y , la parábola tiene la ecuación y ax2=r r y como = − 0x x x e 
= − 0y y y , por reemplazo resulta la ecuación referida al sistema original de ejes.
Por lo que vimos cuando estudiamos cónicas, la parábola con vértice en ( )0 0x ,y tiene una 
ecuación:
y y p x x2
1
0 0
2- = -] g
Desarrollando esta expresión resulta:
y y p x x x x2
1 20 2 0 02- = - +] g
y p x p
x x p
x y2
1
2
2
2
2 0 0
2
0= - + +c m
es decir la ecuación de la parábola es una función cuadrática:
y ax bx c2= + +D e m o con a p2
1= b p
x0=- y c p
x y2
0
2
0= + 
Si tenemos la función cuadrática = + +2y ax bx c podemos decir que tiene por gráfico una 
parábola de vértice ( )0 0x ,y donde:
Figura 2.25
Figura 2.24
39
2
−
= − = − = − =
2 2
2
0 0 0
b b 4ac bx y y c ax c
2a 4a 4a
Nota: ahora, c es la ordenada al origen y el desplazamiento vertical lo da y0 (depende de 
los tres parámetros).
Queda en evidencia, de la ecuación del eje de simetría bx
2a
= − que si b 0≠ , el eje de la 
parábola no es el eje Y.
CORTES DE LA PARÁBOLA CON EL EJE X 
Que la parábola de la ecuación = + +2y ax bx c corte el eje X, significa que existe un valor 
x x= que verifica  
2
ax bx c 0+ + = .
Se expresa diciendo que x es la solución de la ecuación de segundo grado 2ax bx c 0+ + = .
Como sabemos que el gráfico de la función cuadrática = + +2y ax bx c es una parábola de 
vértice (x0,y0) podemos rescribirla:
( )− = − 20 0y y a x x
Si y = 0 la expresión anterior queda ( )20 0y a x x− = − y despejando 
0
0
yx x
a
= ± −
reemplazando 0
bx
2a
= − e 
2
0
4ac by
4a
−
= en la expresión anterior obtenemos
2
2
b b 4acx
2a 4a
−
= − ± − o bien 
2b b 4acx
2a
− ± −
=
La parábola corta a lo sumo en dos puntos al eje X, ( x1 , 0 ) y ( x2 , 0 )
2
1
b b 4acx
2a
− − −
= 
2
2
b b 4acx
2a
− + −
=
Los números x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado 
2ax bx c 0+ + =
Recordemos que considerando el valor del discriminante b ac42D = - se pueden destacar 
las siguientes consecuencias:
	Si el discriminante es mayor que cero b ac4 0>2 - , la parábola corta el eje X en dos 
puntos.
	Si el discriminante es igual a cero b ac4 02 - = , la parábola corta el eje X en un solo 
punto
	Si el discriminante es menor que cero b ac4 0<2 - , la parábola no corta al eje X.
Ejemplo:
Obtener la gráfica de la parábola 2y = x x−
a) Como a>0 las ramas van hacia arriba.
b) Como c = 0, la parábola pasa por el origen.
c) Como b 0≠ , el eje de la parábola no coincide con el eje Y; sino que es
40
2 ( )1bx= 2a 2(1)−− = −
es decir la recta vertical 0
1x = 
2
d) El vértice es 0 0(x ,y ) con 
( )
0 0
1b 1x = , x
2a 2(1) 2
−
− = − =
Para determinar el valor de 0y hay dos caminos:
Uno es reemplazar los valores de los parámetros a, b y c en la siguiente ecuación
( )22
0 0
4.1.0 14ac b 1y = , y
4a 4.(1) 4
− −−
= = −
otro es considerar que el punto 0 0(x ,y ) pertenece a la parábola, entonces puedo reempla-
zar el valor de 0x en la ecuación de la función que estamos analizando y x x
2= -
y x x0 02 0= -
2
0 0
1 1 1 1 1y = , y
2 2 4 2 4
  − = − = − 
 
Así las coordenadas del vértice son ( )0 0
1 1x ,y = ,
2 4
 − 
 
e) Buscar los corte de la parábola con el eje X, consiste en hallar el valor que corres-
ponde a la variable x cuando y adopta el valor cero. En general estos valores se obtienen 
despejando la ecuación cuadrática:
22
1
1 ( 1) 4.1.0b b 4acx
2a 2.1
− − −− − −
= =
1
2
x 0
1 1x ,
2
x 1
=
± = 
 =
Nota: en este caso, la ecuación incompleta 2x x 0− = se puede resolver por factoreo:
( )
1
2
x 0
x x 1 0
x 1
=
− = ⇒ 
 =
para mejorar el gráfico podemos calcular algún otro punto y tendremos:
x
y
O
1 2-2 -1
(2;2)(-1;2)
V=(1/2;-1/4)
Nota: en general la ecuación del eje de simetría se puede obtener como 1 2x xx
2
+
= .
Veamos un problema 
Se tiene 1800 m de alambre para construir un corral rectangular de 9 hilos. ¿Cuáles deben 
ser las dimensiones de dicho corral para contener el mayor número de rodeo? (el número 
mayor de animales)
Figura 2.26
41
2
Datos: se necesitan 2 m2/animal.
Solución: Nuestro problema es en realidad determinar las dimensiones de los lados del 
rectángulo de mayor superficie. Es decir nos interesa la superficie (S) que responde a la 
ecuación:
S =x .y (1)
donde:
x e y son la respectiva longitud de los lados del rectángulo.
S es una función de dos cantidades: x e y que modificamos hasta la máxima superficie. 
Entonces decimos que S es una función de dos variables
Como no sabemos trabajar con funciones de dos variables trataremos de relacionar x e y.
Conocemos que el perímetro del corral es de 200 m.(¿porqué?). el perímetro de un rectán-
gulo se obtiene sumando sus lados:
+200 =2x 2y
200 - 2x = y
2
, reemplazando en (1)
−S =x .(100 x)
S x x100 2= -
La función es 2S x 100x= − + y su gráfica es de ramas hacia abajo (a<0), es decir que 
obtengo un máximo en el vértice
Entonces 0 0
b 100x ,x 50 m
2a 2( 1)
= − = − =
−
( ) 2S 50 100 50 ,S 2500 m= − = observar que 0y 50 m=
Concluimos entonces que el corral debe ser cuadrado con 50 m de lado y podría contener 
hasta 1250 animales! ¿No convendrá hacer más de un corral?
2.4 FUNCION POLINOMICA
La función polinómica o función racional entera es una función algebraica de la forma:
01
2
2
3
3
2
2
1
1)( axaxaxaxaxaxaxPy
n
n
n
n
n
n +++++++==
−
−
−
− 
Podemos ver que no difiere en nada de los polinomios estudiados previamente. Podemos 
recordar que el valor de n determinara el grado del polinomio, viendo que si n=1 tendre-
mos una función polinómica de grado uno, es decir la función lineal vista anteriormente. 
Similarmente si n=2 haremos referencia a la función cuadrática que acabamos de estudiar.
Ejemplos de graficas de funciones polinómica pueden ser:
Figura 2.28
Ecuación 1
Figura 2.27
42
2
Supongamos que una función polinómica de grado n tiene n raíces. Esto implica n cortes 
con el eje x. En la gráfica de la función cubica, figura 2.27, podemos ver claramente los tres 
cortes con el eje. Esto no pasa en la segunda gráfica, figura 2.28, donde podemos ver dos 
cortes bien definidos y un corte que no cruzahacia valores positivos. Este tipo de corte, 
donde la gráfica tiene al eje x como tangente, es característico de las raíces múltiples. Si 
factorizamos la función:
y x x x x x x x5 5 5 54 2 2 2 2= - = - = - +] ^ ^g h h
Podemos ver que tenemos dos raíces iguales en cero
¿Qué sucede si realizamos una pequeña transformación en los gráficos anteriores?
En la función cubica, figura 2.29, podemos ver que es solo uno el corte con el eje x, mien-
tras que en la figura del polinomio de grado cuatro (2.30) no hay ningún corte. Siguen sien-
do funciones de grado tres y cuatro respectivamente. Y siguen teniendo 3 y cuatro raíces 
las funciones, solo que ahora la cubica tendrá una raíz real y dos raíces complejas, mientras 
que la función cuarta tendrá cuatro raíces complejas.
Resulta particularmente útil la factorización de las funciones polinómicas para poder deter-
minar las raíces, ya que los métodos analíticos para la resolución de ecuaciones de tercer y 
cuarto grado son complicados. Recordemos que para ecuaciones de quinto grado o mayo-
res, no existe método analítico para la determinación de las raíces.
2.5 FUNCION HOMOGRAFICA
Son funciones homográficas aquellas de la forma 
y cx d
ax b= +
+ 
Evaluando los coeficientes vemos que c no debe valer cero, ya que si esto sucediera esta-
ríamos en presencia de una función lineal y d
a x d
b= + . Otra relación de sus coeficientes 
se desprende del siguiente análisis.
Si realizamos la división tendremos:
ax b+ cx d+
ax c
ad- - c
a
b c
ad-
Recordando la formula de division entera: Dividendo=cociente x divisor +resto y dividien-
do ambos miembros por el divisor divisor
Dividendo cociente divisor
resto= +
Figura 2.30
Figura 2.29
43
2y cx d
ax b
c
a
cx d
b c
ad
c
a
c cx d
bc ad= +
+ = + +
-
= + +
-
] g
Esto significa que si bc ad 0- = la funcion homografica se transforma en una recta cons-
tante y c
a= , por lo que deberemos imponer como condicion que bc ad 0!-
Esta función presenta un cociente por lo que deberemos revisar el dominio. Formaran parte 
del dominio de la función todos los números reales con excepción de aquellos valores que 
sean raíces del denominador o polos. En el caso de la función homográfica, el denomina-
dor es de primer grado y por lo tanto tendrá solo una raíz y será igual a x c
d=- . En las 
proximidades de este valor, la función homográfica está definida y tendrá un denominador 
muy próximo a cero y la función tomará valores grandes, ya sean positivos o negativos. Si 
trazamos una recta que sea paralela al eje y, en x c
d=- , la función parecerá acercarse 
a ella a medida que x se aproxima a c
d- . En este caso, diremos que x c
d=- es una 
asíntota vertical ya que la función se aproxima a ella para valores de infinitamente grandes 
e infinitamente chicos.
Volvamos a la expresión
y cx d
ax b
c
a
c cx d
bc ad= +
+ = +
+
-
^ h
Vemos que el segundo miembro lo podemos analizar como un término constante más un 
término que depende del valor de x. A medida que el valor de x crece, el término variable 
se va haciendo más chico. Esto es, cuando el valor de x crece hacia infinito, la función se 
aproxima a la recta y c
a= . Lo mismo sucede cuando x toma valores cada vez más chicos, 
aproximándose hacia 3- . De esta manera, podemos decir que y c
a= es una asíntota 
horizontal
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
En el gráfico podemos ver la representación de y x
x
4 5
2 3= +
+ , por lo que vemos una asíntota 
horizontal en y 4
2
2
1= = y una asíntota vertical en x 4
5=- , ambas rectas representadas 
por líneas de trazos discontinuos. Conviene remarcar que la representación gráfica de la 
función homográfica está compuesta por ambos trazos continuos y no se trata de la repre-
sentación gráfica de más de una función
La función más conocida de este grupo es aquella donde a=d=0 y b=c=1, esto es y x
1= , 
con dominio /Dom x x x 0R / !!= " , .
Figura 2.31
44
2
x
y
y = 1/x
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Donde las asíntotas son los ejes cartesiano x=0 e y=0.
2.6 FUNCION IRRACIONAL
Cuando además de las cuatro operaciones fundamentales y la potenciación, tenemos raíces 
en la expresión analítica de nuestra función, estamos en presencia de una función irracional. 
Ejemplos de estas funciones son:
En el primer ejemplo tenemos una raíz cuadrada y podemos distinguir algunas cuestiones. 
Como primera medida vemos que incluir ambas ramas de la parábola haría que no estu-
viésemos en presencia de una función. Es por eso que es preciso que elijamos una de las 
ramas para trabajarla como función. Además hemos comentado que para obtener como 
resultado un número real, el radicando debe ser positivo o a lo sumo cero, por lo cual se 
deberá estudiar el subconjunto de los reales donde la raiz cuadrada este definida. En nues-
tro ejemplo, elegimos la rama y x 1=+ - para trabajar como función y para determinar 
el dominio planteamos:
x
x
1 0
1
$
$
-
Es decir que el dominio de la función estará dado por los valores mayores o iguales a uno, 
dato que concuerda con lo que podemos observar en el gráfico. Lo discutido sobre la raíz 
cuadrada, puede generalizarse para cualquier función irracional de índice par. 
Figura 2.32
Figura 2.33
Figura 2.34
45
2
Veamos el segundo ejemplo. En el caso de la raíz cubica podemos ver que no existe ningu-
na restricción con solo analizar su gráfica. Si pensamos que esta puede tomar argumentos 
tanto positivos como negativos y obtener resultados de cualquier naturaleza, podemos 
afirmar que esta función no presentara restricciones a su dominio siendo una función que 
va de R R$ . Esta característica será compartida con todas las funciones irracionales 
de índice impar.
TRABAJO PRÁCTICO NO 2
Funciones Algebraicas
Ejercicio N 1: Dadas las siguientes funciones lineales, se pide graficarlas señalando los cortes con los ejes y la 
pendiente:
a) 32)( +−= xxf
b) 52
1)( −= xxf
c) xxf 32)( −=
Ejercicio N 2: Graficar los siguientes pares de funciones en el mismo sistema de ejes cartesianos: 32)( +−= xxf 
y 43)( −= xxg
a) Indicar si las rectas graficadas se cortan y cuál es el punto de intersección
b) Determinar analíticamente la intersección dichas funciones.
Ejercicio N 3: En cada caso, Encontrar las fórmulas de las funciones lineales tal que:
a) La pendiente de la recta R1 sea 
3
1
−=m y que pase por el punto ( )2,1 −=p
b) La recta R2 que pase por los puntos ( )3,1−=p y ( )2,2 −=q
c) La recta R3 que corte a los ejes coordenados en ( )5,0 y ( )0,2−
*Ejercicio N 4:
Una computadora adquirida a un costo de $ 6000.- en 2004 tendrá un valor de desecho de $ 1200.- al final de 4 
años. Suponga que el equipo se deprecia linealmente:
a) Escriba la función que describe el valor de la computadora al final de t años.
b) Cuánto valdrá el equipo después de 3 años
c) Determine la tasa de depreciación (pendiente de la recta)
d) Trace la gráfica de la función obtenida en el ítem a
Ejercicio N 5: Sean ( )f x ax b= + y ( )g x cx d= + 0, ≠ca demostrar que fgh = es una función lineal.
46
2
Ejercicio N 6: Utilizando los tipos básicos de transformaciones graficar las siguientes funciones cuadráticas:
a) 1)( 2 +−= xxg
b) 
2)1()( +−= xxl
c) 2
3)1(2)( 2 −−= xxt
Ejercicio N 7: Llevando a la forma canónica de la parábola y utilizando los tipos básicos de transformaciones gra-
ficar las siguientes funciones cuadráticas. Para cada una de ellas determinar: los cortes con los ejes cartesianos, el 
vértice y el eje de simetría
a) 12)( 2 −+= xxxf
b) 2
2
1)( 2 +−= xxxh
* Ejercicio N° 8: En el mismo sistema de ejes cartesianos graficar 



−=
+−=
32)(
5)( 2
xxf
xxh
a) Señalar los puntos de intersección entre la recta y la parábola
b) Determinar en forma analítica los puntos de intersección entre la recta y la parábola.
* Ejercicio 9: Si una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/seg. alcanza una 
altura h medida en metros en t segundos deacuerdo a la siguiente fórmula:
( )h t t gt20 2
1 2= -
a) Establecer el dominio de h y graficar la altura de la pelota en función del tiempo. 
b) Calcular el tiempo para el cual la pelota se encuentra a 15 m, 20.38 m y 25 m de altura 
c) Calcular la altura cuando segt 5.0=
Nota: Considere la aceleración de la gravedad igual a 9.81m/seg2. 
Ejercicio N° 10: Para las siguientes funciones polinómicas, utilizar su factorización para construir los intervalos de 
positividad y a partir de esta información esbozar la gráfica. 
a) ( ) ( )( )( )f x x x x2 1 3= + - -
b) ( )g x x x x2 33 2= - -
c) ( )h x x x x2 4 83 2= - + -
* Ejercicio N° 11: Una caja de cartón tiene una base cuadrada. Cada lado de la base tiene x centímetros de lon-
gitud. La longitud total de los 12 lados de la caja es 144 cm
a) Muestre que el volumen de la caja está dado por ( ) ( )V x x x2 182= -
b) Cuál es el dominio de V ? (Use el hecho que las longitudes y el volumen deben ser positivos).
c) Dibuje la gráfica de la función V y utilícela para estimar el volumen máximo de la misma.
Ejercicio N° 12: Teniendo en cuenta la representación gráfica de la función 
x
xf 1)( =
 
y mediante desplazamien-
tos graficar las siguientes funciones indicando el dominio, el conjunto imagen, intervalos de positividad, intervalos 
de negatividad y sus raíces:
47
2
a) ( )f x x 4
2= -] g
b) ( )f x x 2
1 3= + +] g
c) ( )f x x
x
3 2
2 1= -
+
 (Ver ejemplo del teórico)
Ejercicio N° 13: Teniendo en cuenta la representación gráfica de la función xxf =)( y mediante desplaza-
mientos graficar las siguientes funciones:
a) ( )f x x 5= +
b) ( )g x x 3= - +
c) ( )t x x 23= +
49
3FUNCIONES TRASCENDENTES
3.1 INTRODUCCION
Luego de ver las funciones algebraicas, nos queda por ver todas aquellas funciones que no 
lo son. Se llama función trascendental a una función no expresable como una combinación 
finita de operaciones algebraicas; es decir cualquier función que no se puede ser represen-
tada por una ecuación polinómica. La intención es este capítulo es ver algunas funciones 
que pertenecen a este grupo, junto con sus características y sus gráficas.
3.2 FUNCION EXPONENCIAL
Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma:
( ) xayxf == con 0>a y 1≠a , donde ( ):f x 0>R R$
Antes de trabajar específicamente, con las funciones exponenciales, recordemos algunos 
conceptos ya aprendidos, que pueden servirnos para entender mejor las funciones expo-
nenciales:
Sea xa con 0>a y 1≠a
Esta operación verifica lo siguiente:
1) Es distributiva con respecto al producto y al cociente
( ) nbnanba .. = ; 
nb
nan
b
a
=





2) Propiedad de los exponentes
mnamana +=. ; mna
mna .=




50
3
3) Si p y q son números racionales, entonces si p q
a a si a
a a si a
1
1
<
< >
> <
p q
p q& )
4) Si a b
a b si n
a b si n
0
0
0
< <
< >
> <
n n
n n& ) 
Hasta aquí hemos recordado propiedades de las potencias para comprender mejor la fun-
ción exponencial. Después de este repaso, estamos en condiciones de definir la función 
exponencial.
A partir de la definición de función exponencial, podríamos preguntarnos: ¿Por qué se es-
pecifica que a ≠ 1?. ¿ Por qué no consideramos a < 0?.
Dejemos estos interrogantes para que posteriormente intenten responderlos.
Veamos primero cuales son las posibles graficas si 1>a :
Graficaremos una función exponencial en particular y luego intentaremos generalizar los 
resultados obtenidos al resto de los posibles valores de 1>a . Trabajemos, por ejemplo, 
con xy 2= o ( ) xxf 2=
Consideremos algunos valores:
x y = 2x
0 1
1 2
2 4
3 8
-1
1
2
-2
1
4
2 22
3 32
Si graficamos esta función en un sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales ob-
tenemos la gráfica mostrada a continuación:
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
y= 2 x
y=1
Podríamos resumir algunas características de la gráfica anterior:
a) El signo de y es siempre positivo
b) Si xx ′< ⇒ xx 22 ′< por propiedad 3. Esto nos dice que la función exponencial 
de base mayor que uno, es creciente. Por ser y = 2x una función creciente, es inyec-
tiva.
Figura 3.1
51
3c) 
0<x ⇒ 122 0x =< , así la función está entre 0 y 1 para 0<x .
d) 0>x ⇒ 122
0x => , así la función es mayor que uno para 0>x .
e) 120 = . La función corta al eje de las ordenadas en 1=y
Ahora para generalizar comparemos esta grafica con algún otro valor de a
Si a
a si x
a si x
1 2
2 0
2 0
< <
< >
> <
x x
x x& ) (ver propiedad 4).
Si a
a si x
a si x
2
2 0
2 0
<
< >
> <
x x
x x& ) (ver propiedad 4).
Además, en general, tienen el mismo tipo de gráfico y pasan todos por (0,1).
La gráfica mostrando estos aspectos se muestra a continuación:
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Funciones exponenciales
y = 1
a = 2
1 < a < 2
a > 2
 
Resumiendo
Sea ( )xf la función exponencial ( ) 0: >ℜ→ℜxf . Con ( ) xaxf = y 1>a Enton-
ces su gráfico:
•	 pasa por (0,1)
•	 es creciente (inyectiva) y suryectiva.
•	 su gráfica es curvada hacia el eje y positivo
•	 ( )xfy = es menor que uno y siempre positivo para x < 0, acercándose indefini-damente al eje x cuando x se hace grande negativamente
•	 mayor que uno para x > 0, tomando valores muy grandes para x grande posi-
tivamente.
¿Cuáles serían las correspondientes conclusiones para 10 << a ?
Ahora trabajaremos con un ejemplo donde 10 << a , graficaremos ( )
x
xfy 




==
2
1
x 0 1 2 3 -1 -2 -3
y 2
1 x= b l 1 12
1
4
1
8 2 4 8
De este gráfico podemos deducir las siguientes conclusiones:
a) Siempre y > 0,
Figura 3.2
52
3 b) Si x < x’ &    <      
x ' x1 1
2 2
, esto nos dice que la función exponencial de base menor 
que 1 es decreciente.
c) x < 0 &    <   
   
0 x1 1
2 2
 o sea   > 
 
x1
2
1 , así la función es mayor que uno para valores 
de x negativos.
d) x > 0 &    <   
   
x 01 1
2 2
 o sea   < 
 
x1
2
1 , así la función está entre cero y uno para valores 
de x positivos.
e) Sin justificar, diremos que es de trazo continuo, inyectiva (decreciente) y suryectiva 
como función de ( ) 0: >ℜ→ℜxf .
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y = b
x
0 < b < 1
3.3 FUNCIÓN LOGARITMO 
Veamos un problema: Puede observarse experimentalmente que el número de bacterias 
presentes en un cultivo se duplica cada hora. Si hay 1000 bacterias al iniciar el experimento 
el investigador obtiene las siguientes lecturas:
t 0 1 2 3 4
f(t) 1000 2000 4000 8000 16000
Donde t es el tiempo expresado en horas y f(t) es el número de bacterias presente en el 
cultivo en el tiempo t.
Podemos escribir la tabla anterior de la siguiente forma:
t 0 1 2 3 4
f(t) 1000x20 1000x21 1000x22 1000x23 1000x24
Así tenemos que:
f(t) = 1000 2t
Esta función hace posible predecir el número de bacterias presente en el cultivo en cual-
quier tiempo t. ¿Cuántas bacterias habrá luego de 10 hs. de experimento? 
La función que expresa el número de bacterias en un cultivo en función del tiempo: y = 
1000 . t2 , tiene como gráfica una exponencial.
Figura 3.3
53
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t (tiempo)
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
y
y = 1000 2 t
- Dado “t” podemos leer el “y”
- Inversamente puede interesarnos saber: ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que 
el número de bacterias se eleve a 12500?
Aquí entonces, dado el valor de “y” nos interesa conocer “t” (que es el exponente)
El problema de determinar el exponente nos lleva a estudiar la función logaritmo.
Vimos que:
0:f >ℜ→ℜ donde ( ) xx afy == con 0ay1a >≠ es inyectiva y suryec-
tiva, por lo tanto existe su inversa.
Si xay = entonces ( ) xf 1y =−
y llamando a f –1 la función logaritmo de base a, damos la siguiente definición.
xay log= ⇔ xya =
Llamamos a “ y ” el “logaritmo en base a del número real positivo x ”, es decir la función 
logaritmo es aquella que, dado 0>ℜ∈x, hace corresponder el único real y tal que 
xya =
Ejemplo 1
log3 9 = 2 pues 32 = 9
log1/2 4 = -2 pues 4
2
2
1
=
−






De todos los valores posibles para la base a , hay dos de ellos que son ampliamente usados, 
estos son el número 10 y el número e y tienen notaciones especiales:
•	 Si la base es 10, la notación es la siguiente: xlogxlogy 10 == ; se lee “logaritmo 
decimal”. Observa que no se coloca la base y se sobre entiende que esta es el número 
10 (ya hemos utilizados esta estrategia; pensemos, por ejemplo, como escribimos la 
raíz cuadrada, donde no ponemos el índice 2)
•	 Si la base es ...718.2=e (un número irracional), la notación es la siguiente: 
xlnxlogy e == ; se lee “logaritmo natural o neperiano”.
Los logaritmos de estas dos bases son los que generalmente se resuelven con la calculadora 
y antiguamente estaban tabulados.
Veamos ahora algunas posibles graficas de la función logaritmo. Donde aparecerán dos 
tipos de graficas dependiendo de si 1>a o 10 << a
Figura 3.4
54
3
Por ser la función logaritmo la inversa de la función exponencial sabemos que sus gráficas 
son simétricas respecto de la diagonal y = x.
Así, para 1a > :
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
t
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y = log a ( t )
(1;0)
Resumiendo:
g(x): R > 0 → R
( )xa gyxlog == ⇔ ay = x es: 
•	 Creciente
•	 Negativa para 0 < x < 1
•	 loga 1 = 0
•	 Positiva para x > 1
•	 Se acerca al eje y (negativo) si x se aproxima a cero.
Para 10 << a :
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
t
-2
-1
1
2
3
y
y = log a ( t )
(1;0)
Resumiendo:
g(x): R > 0 → R
( )xa gyxlog == ⇔ ay = x es: 
•	 Decreciente
•	 Positiva para 0 < x < 1
•	 loga 1 = 0
Figura 3.5
Figura 3.6
55
3
•	 Negativa para x > 1
•	 Se acerca al eje y (positivo) si x se aproxima a cero.
Propiedades de la función logaritmo
1- loga(x1. x2) = loga x1 + loga x2
2- loga (x)t= t . loga x
3- loga 





2
1
x
x = loga x1 - loga x2
Demostración de la propiedad 1
Llamemos loga x1 = m ⇔ am = x1
 loga x2 = n ⇔ an = x2
luego
 x1 . x2 = am. an = a m+n (por propiedad de los exponentes)
Así
loga ( x1 . x2) = m + n = loga x1 + loga x2
Demostración de la propiedad 2
Si
loga x = m ⇒ am = x ⇒ (am)t = xt ⇒ am.t = xt ⇒ 
⇒ loga (xt) = t . m = t . loga x
Demostración de la propiedad 3: Queda como ejercicio para el lector
Ejercicio: ¿A qué es igual loga (ax)?, y ¿ a (loga x) ?
Ejemplo 2
¿Cuál es la solución de la “ecuación exponencial” 3x = 21?
Ya que 3x = 21 ⇒ log 3 3x = log 3 21
 x . log 3 3 = log 3 21
 x = log 3 21
para determinar el valor de x es necesario hacer un cambio de base.
Algunas veces es necesario “cambiar la base” a del logaritmo ( logax). Esto es, queremos 
logax para algún b > 0, b ≠ 1.
Así, llamando m = logbx:
m = logbx ⇔ bm = x , luego
56
3
log a b m = log a x
y por propiedad de la función logaritmo tenemos:
logax = m. logab ⇒ m = balog
xalog
y recordando que: m = logbx
se tiene:
ba
xaxb log
log
log =
fórmula que expresa el log b x, en términos de la base conocida a.
Concluyamos el ejemplo 2:
( )
( )
log
log
log
21
3
21
3
10
10
=] g , de donde usando la calculadora: ,
,
,log 21 0 4771
1 3222
2 77124373 ,=] g 
así x = 2.7712437
Verifique que 3x = 21
Ejemplo 3
Si queremos obtener log 24 ^ h tenemos:
log
log
log
2 4
2
2
2
1
4
1
4
2
2
= = =^ ^]h g
h
Ejemplo 4
Volviendo al ejemplo 2 de la sección anterior intentemos responder la pregunta ya plan-
teada de: ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que el número de bacterias se eleve a 12500?
El tiempo para que el n° de bacterias sea 12500, nos lleva a:
. ,12500 1000 2 2 1000
12500 12 5t t&= = =
 
Veremos al estudiar los temas de derivadas e integrales, que la función exponencial de base 
e: y=ex y la función logaritmo natural y=ln x tienen un uso muy frecuente.
3.4 ÁNGULOS
Ya hemos trabajado con ángulos pero nuevamente para evitar confusiones es tiempo que 
establezcamos una definición para este sencillo concepto:
Ángulo es el conjunto de puntos barridos al girar una semirecta (o rayo) sobre su punto 
de origen desde su posición inicial hasta una posición final.
rayo
punto de
origen
vértice lado inicial
lad
o f
ina
l
vértice lado final
lad
o i
nic
ial
Definición de ángulo. Ejemplos.
. ( ) ( , )
( )
( , )
,ln ln
ln
ln
t t t dias2 12 5
2
12 5
3 64&= = =
Figura 3.7
57
3
Si revisas la definición notarás que no se restringe, por ningún motivo, ni la magnitud ni 
el sentido de la rotación, y que es posible también hacer que el rayo gire varias vueltas o 
revoluciones en cualquier sentido.
La medida del ángulo deberá representar la magnitud del giro, y ya está establecido por 
convención que será considerada positiva si la rotación se efectúa en sentido contrario a las 
manecillas del reloj, y negativa si es en el otro sentido.
A modo de ejemplo en la Figura 3 mostramos tres ángulos distintos, el ángulo α (alfa) es 
positivo, β (beta) es negativo y γ (gama) es positivo. Notemos que α, β y γ tienen el mismo 
lado inicial y final, pero sin embargo α, β y γ son diferentes, ya que la “cantidad” de rotación 
necesaria para ir desde el lado inicial hasta el lado final es, por ejemplo, mayor para γ que 
para α.
lado inicial
lad
o f
ina
l
lado inicial
lad
o f
ina
l
α
β lado inical
lad
o f
ina
l
γ
Ejemplos
Podemos ubicar el vértice del ángulo coincidiendo con el origen de un sistema de coordena-
das rectangulares, y su lado inicial coincidiendo con el eje x positivo.
Un sistema de coordenadas, determina en el plano cuatro regiones llamadas CUADRANTES, 
denominados 1ro, 2do, 3ro y 4to cuadrante como se ubican en la Figura 4:
lado inical
la
do
 fi
na
l
θ
1 
cuadrante
er
O
3 
cuadrante
er
2 
cuadrante
do
4 
cuadrante
to
Ángulo ubicado en un sistema de coordenadas
Entonces según en que cuadrante se ubique el lado final diremos que el ángulo está en ese 
cuadrante, en la Figura 4, por ejemplo, el ángulo θ está en el 1er cuadrante.
Si el lado final del ángulo está en el eje x o en el eje y, en tal caso, decimos que θ es un 
ángulo cuadrantal. 
Para medir la rotación necesaria para que el lado inicial coincida con el final se utilizan 
comúnmente dos unidades de medición: grados (del sistema sexagesimal) y radianes (en 
el sistema circular).
• Grados:
Aquí el ángulo formado por la rotación, en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el 
lado inicial hasta que coincida con el mismo (1 vuelta o revolución) se dice que mide 360 
grados, y se escribe 360º.
Figura 3.8
Figura 3.9
58
3
Así:
•	 Un grado (1º) es 
360
1 parte de una vuelta.
•	 Un ángulo recto ó 
4
1 de vuelta es 90º.
•	 Un ángulo llano ó 
2
1 vuelta es 180º.
Recordemos que en el sistema sexagesimal son submúltiplos del grado el minuto y el se-
gundo, tal como se muestra en la Tabla 1:
Minuto sexagesimal Segundo sexagesimal
1 60
1=l c 1 60
1=m l
Submúltiplos del sistema sexagesimal
¿Sabías que…
 este sistema de medición es muy antiguo, proviene de los babilonios; ellos 
pensaban que el año tenía 360 días, lo que los llevó a utilizar como unidad angular la 360 
ava parte de una ángulo de un giro.
• Radianes:
Como vimos anteriormente el SI tiene como unidad de medida de ángulos el radián.
¿Qué es un radián?
Para poder definir el radián analicemos lo siguiente: 
En las circunferencias concéntricas de la gráfica observamos los arcos ab y 'b'a que co-
rresponden al ángulo central θ.
o
a a’
b’
b
Por tener en común el ángulo, las razones entre las longitudes de los arcos y los radios 
correspondientes son iguales, se puede entonces formar la siguiente igualdad de razones 
(proporción):
oa
ab
o a
a b= l l
l l
Estas razones sólo dependen de la amplitud del ángulo θ, y esto nos da la posibilidad de 
tomarla como medida