calculo tomo 3

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Universidad Nacional de Río Cuarto 
 
Facultad de Ingeniería 
 
Departamento de Ciencias Básicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO I 
 
Tomo III - Teórico-Práctico - 2020
 
 
 
 
El siguiente texto, en un principio, fue recopilado y organizado sobre la base de la 
bibliografía indicada en el programa, principalmente por el Prof. Hugo Omar Pajello. 
 
Colaboraron en esta tarea: María Ziletti, Fabián Romero, Ezequiel Podversic, Gabriel Paisio, 
Jorge Daghero, María Barlasina, Aldo Chiarvetto, María Beatriz Nieto, Fernando Pajello. 
 
Actualmente el plantel docente a cargo del dictado de la materia, sigue actualizando y 
ampliando el presente material 
 
Docentes de la asignatura: 
 
 Barone, Adrián abarone@ing.unrc.edu.ar 
 Barros, Julio jbarros@ing.unrc.edu.ar 
 Daghero, Jorge jdaghero@ing.unrc.edu.ar 
 Mendez, Alejandra amendez@ing.unrc.edu.ar 
 Morsetto, Jorge jmorsetto@ing.unrc.edu.ar 
 Paisio, Gabriel gpaisio@ing.unrc.edu.ar 
 Podversic, Ezequiel epodversic@ing.unrc.edu.ar 
 Romero, Fabián fromero@ing.unrc.edu.ar 
 Stoll, Rodolfo rstoll@ing.unrc.edu.ar 
 Ziletti, María mziletti@ing.unrc.edu.ar 
 
 
Carreras: 
Ingeniería en Telecomunicaciones 
Ingeniería Química 
Ingeniería Mecánica 
Ingeniería Electricista 
 
 
 
 
Índice 
CÁLCULO I ............................................................................................................................ 1 
Unidad 5 ......................................................................................................................... 7 
1 INTEGRALES INDEFINIDAS O PRIMITIVAS ..................................................... 9 
1.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 9 
1.2 DEFINICIÓN ........................................................................................................................ 9 
1.3 NOTACIÓN DE LEIBNIZ .................................................................................................. 10 
1.4 FUNCIONES CON PRIMITIVA INMEDIATA .................................................................. 10 
1.5 MÉTODOS GENERALES DEL CÁLCULO DE PRIMITIVAS .......................................... 11 
1.6 CÁLCULO DE PRIMITIVAS POR DESCOMPOSICIÓN .................................................. 11 
1.7 CÁLCULO DE PRIMITIVAS POR PARTE........................................................................ 12 
1.8 CÁLCULO DE PRIMITIVAS POR SUSTITUCIÓN DE VARIABLE ................................. 15 
2
 MÉTODOS ESPECIALES DE CÁLCULO DE PRIMITIVAS .............................. 19 
2.1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS DE FRACCIONES RACIONALES ..................................... 19 
2.2 FRACCIONES RACIONALES, CASO DE RAÍCES REALES Y DISTINTAS ................... 21 
2.3 FRACCIONES RACIONALES: CASO DE RAÍCES REALES E IGUALES. ...................... 23 
2.4 FRACCIONES RACIONALES: CASO DE RAÍCES, IMAGINARIAS. .............................. 26 
2.5 CÁLCULO DE PRIMITIVAS DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES. ................ 27 
3 INTEGRALES DEFINIDAS .................................................................................... 29 
3.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 29 
3.2 DEFINICIÓN DE CAUCHY ............................................................................................... 29 
3.3 DEFINICIÓN DE RIEMANN. ............................................................................................ 31 
3.4 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL. REGLA DE BARROW. .......... 32 
3.5 INTEGRAL Y PRIMITIVAS .............................................................................................. 35 
3.6 PROPIEDADES INMEDIATAS DE LAS INTEGRALES. .................................................. 35 
 TEOREMAS GENERALES DEL CÁLCULO INTEGRAL ..................................... 41 
4.1 TEOREMA 1 ...................................................................................................................... 41 
4.2 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO. ............................................................................... 42 
4.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL ....................................... 44 
 CALCULO DE SUPERFICIES PLANAS ............................................................... 47 
 COORDENADAS CARTESIANAS Y POLARES .................................................. 51 
6.1 LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA PLANA EN COORDENADAS CARTESIANAS.
 ................................................................................................................................................. 52 
6.2 LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA PLANA EN COORDENADAS POLARES. ........ 55 
 CÁLCULO DE SUPERFICIES PLANAS EN COORDENADAS POLARES. ... 59 
 INTEGRALES IMPROPIAS .................................................................................... 63 
8.1 INTRODUCCIÓN............................................................................................................... 63 
8.2 INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE. ...................................................... 63 
8.3 INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE. ..................................................... 65 
 SOLIDOS DE REVOLUCION............................................................................... 67 
9.1 SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN....................................................................................... 67 
9.2 VOLUMEN DE REVOLUCIÓN ......................................................................................... 69 
Unidad 6 ....................................................................................................................... 73 
 SUCESIONES .......................................................................................................... 75 
1.1 LÍMITE DE UNA SUCESIÓN ............................................................................................ 75 
 
 
1.2 SUCESIONES MONÓTONAS ACOTADAS ...................................................................... 77 
 SERIES .................................................................................................................... 79 
2.1 CONVERGENCIA DE LAS SERIES .................................................................................. 81 
2.2 CONDICIÓN NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA (CRITERIO 
INCOMPLETO) ....................................................................................................................... 82 
2.3 SERIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE .................................................................. 83 
2.4 SERIE GEOMÉTRICA ....................................................................................................... 83 
2.5 SERIE “P” .......................................................................................................................... 85 
 CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES ............................................... 87 
3.1 CRITERIO DE COMPARACIÓN ....................................................................................... 87 
3.2 CRITERIO DE CONVERGENCIA DE CAUCHY (O DE LA RAÍZ) .................................. 88 
3.3 CRITERIO DE CONVERGENCIA DE D´ALEMBERT ( O DEL COCIENTE)................... 90 
3.4 CRITERIO DE LA INTEGRAL DE CAUCHY ................................................................... 92 
 SERIES FUNCIONALES ....................................................................................... 95 
4.1 SERIE DE POTENCIAS ..................................................................................................... 95 
 DESARROLLO DE FUNCIONES EN SERIES DE POTENCIA ......................... 99 
ALGUNOS EJEMPLOS ......................................................................................................... 102TTrraabbaajjooss PPrrááccttiiccooss .................................................................................................... 107 
Trabajo Práctico No 9 ..................................................................................................... 109 
Trabajo Práctico No 10 ................................................................................................... 111 
Trabajo Práctico No 11 ................................................................................................... 115 
Trabajo Práctico No 12 ................................................................................................... 121 
Trabajo Práctico No 13 ................................................................................................... 125 
RReessuullttaaddooss ................................................................................................................... 131 
TRABAJO PRACTICO Nº 9................................................................................................... 133 
TRABAJO PRACTICO Nº 10 ................................................................................................. 135 
TRABAJO PRACTICO Nº 11 ................................................................................................. 137 
TRABAJO PRACTICO Nº 12 ................................................................................................. 141 
TRABAJO PRACTICO Nº 13 ................................................................................................. 143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad 5 
 
 
 
 
 
 
Unidad 5 – 1. Integrales Indefinidas o Primitivas [9] 
 
1 INTEGRALES INDEFINIDAS 
O PRIMITIVAS 
 
 
1.1 INTRODUCCIÓN 
 
Si me pongo los zapatos, puedo sacármelos otra vez. La segunda operación anula a 
la primera, regresando los zapatos a la posición original. Decimos que las dos son 
operaciones inversas. Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones 
inversas: adición y sustracción, multiplicación y división, potenciación y radicación, 
tomar logaritmos y encontrar antilogaritmos. La operación inversa de la 
diferenciación es la integración. 
 
1.2 DEFINICIÓN 
 
Llamamos a F a una integral indefinida o primitiva de f en el intervalo [a, b] si F´(x) = f(x) 
para toda x perteneciente al intervalo [a, b]. 
 En esta definición se ha usado la frase “una integral” en lugar de “la integral”. Veamos el 
por qué con un ejemplo: 
Encuentre la integral indefinida o primitiva de la función f(x) = 4x3 en el intervalo (- , ) 
Solución: 
Debemos encontrar F de modo que satisfaga la igualdad F´(x) = 4x3 para toda x real. 
Por nuestra experiencia en derivación sabemos que una de tales funciones es: F(x) = x4 
Si bien existen otras funciones tales como: 
F(x) = x4+6 o F(x) = x4-4 
En todos los casos se verifica que F´(x) = 4x3. De un modo general podríamos decir que: 
F(x) = x4+C donde C es una constante cualquiera, es la integral indefinida de f(x) = 4x3 en 
el intervalo (- , ). 
Conclusión: 
Si una función f tiene una integral indefinida, entonces tendrá una familia completa de éstas, 
cada una de las cuales puede obtenerse mediante la adición de una constante. 
 
 
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Unidad 5 – 1. Integrales Indefinidas o Primitivas [10] 
1.3 NOTACIÓN DE LEIBNIZ 
 
En adelante utilizaremos para la integral indefinida la siguiente notación introducida por 
Leibniz: 
CF(x)dxf(x)  …..…………………………………(5.1) 
 
Leibniz tuvo sus razones para usar la “s alargada” , y también para la dx, pero estas razones 
adquirirán sentido más tarde cuando veamos integrales definidas. 
Utilizando esta notación podemos ver con más claridad que el cálculo de primitivas es la 
operación inversa de la diferenciación. Así, si se tiene una función continua f(x), su 
diferencial será: 
 
d f(x)= f ´(x) dx 
Calculando su primitiva 
  dx )x('f)x(df 
 
De acuerdo a la definición la primitiva del segundo miembro de la igualdad anterior debe ser 
f(x). De esta manera se corrobora que la diferenciación y cálculo de primitivas son 
operaciones opuestas que se reducen mutuamente. 
  )x(f)x(df 
 
1.4 FUNCIONES CON PRIMITIVA INMEDIATA 
 
Puesto que el cálculo de primitivas es la operación opuesta a la derivación, bastará con "dar 
vueltas" una tabla de derivadas inmediatas para obtener una tabla de funciones con primitiva 
inmediata. 
Ejemplo de algunas funciones con primitivas inmediatas y algunas propiedades: 
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Unidad 5 – 1. Integrales Indefinidas o Primitivas [11] 
 







  


















Csenhxdxxrsenhxq
Csenhx
x
dx
pCarctgx
x
dx
o
Carcsenx
x
dx
nCco
xsen
dx
m
Ctgx
x
dx
lCsenxx dx
CxdxsenxjCx
C
n
x
dxxhCedxeg
C
a
a
dxafCadxaae
C
xx
dx
ddxxgdxxfdxxgxfc
dxxfccbCxdxa
n
nxx
x
xxx
 cosh)Ccosh xdx )
arg
1
)
1
)
1
) xtg)
cos
)cosk)
cos )ln
x
dx
i)
-1n si 
1
))
ln
) ln)
1
))()()()()
)( f(x)dx ))
22
22
2
1
2
 
 
1.5 MÉTODOS GENERALES DEL CÁLCULO DE PRIMITIVAS 
 
Usando la tabla de funciones con primitiva inmediata sólo podremos encontrar las primitivas 
de aquellas funciones que están explícitamente en la tabla. Pero ellas no son todas las 
funciones del Análisis, lo cual implica que la tabla es un instrumento de cálculo notoriamente 
insuficiente para resolver en forma satisfactoria la cuestión. Vamos, por tanto, a ampliar 
nuestras posibilidades de cálculo introduciendo algunos métodos que permitan hallar la 
primitiva de una función, cuando ésta no aparece en la tabla. 
Estudiemos, primeramente, algunos métodos generales que son aplicables - salvo 
especificación contraria - a una clase más o menos general de funciones. 
En los artículos siguientes veremos, en forma sucesiva, los métodos de cálculo por 
descomposición, por partes y por sustitución de variable. 
 
1.6 CÁLCULO DE PRIMITIVAS POR DESCOMPOSICIÓN 
 
Sea la función f(x) que no está en la tabla de funciones con primitiva inmediata. Veremos 
entonces si es posible descomponerla en dos ó más funciones que sí sean de cálculo 
inmediato o, por lo menos, de más fácil solución. Admitamos, por ejemplo, que sea 
 
f(x)=g(x)+h(x) 
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Unidad 5 – 1. Integrales Indefinidas o Primitivas [12] 
 
Haciendo uso de la expresión c) del ítem 2.4, resulta: 
 
   dx)x(hdx)x(gdx)x(f 
 
Si estas primitivas son inmediatas, tendremos solucionado el problema. 
 
Ejemplos: 
 
a) Sea f (x)=(2x -1)2 , entonces desarrollando la potencia y aplicando propiedad distributiva 
 
Cxx2x
3
4
 Cx
2
x
4
3
x
4dxdx x4dxx4
dxdx x4dxx4dx)1x4x4(dx)1x2(dx)x(f
23
23
2
222


 
    
 
 
 
b) Sea f(x) = cotg2x 
 
Cx xcotg dx
xsen
dx
dx 1
xsen
1
dx
xsen
xsen1
dx
xsen
xcos
dx xcotg
2
22
2
2
2
2










 
  
 
 
1.7 CÁLCULO DE PRIMITIVAS POR PARTE 
 
Sea y = u  v , en donde u y v son dos funciones de x, por lo general distintas. Obtengamos 
la diferencial total de y 
 
�� = �(�. �) = (�. �)�. �� = (��� + ���)�� = ����	� + �	���� = ��� + ��� 
despejemos u dv 
u dv = d(u  v) - v du 
 
Integrando en ambos miembros, resulta 
 
  du vvudv u (5-2) 
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Unidad 5 – 1. Integrales Indefinidas o Primitivas[13] 
 
que es la fórmula del cálculo de primitivas por parte. 
 
Como puede apreciarse de inmediato el campo de aplicación de la fórmula (5-2) no abarca a 
la totalidad de funciones del Análisis, pues su uso queda reducido a las que son producto de 
una función u, por la diferencial de otra función, v. No es, entonces, una fórmula de 
aplicación demasiado general, pero su empleo está justificado para un amplio grupo de 
funciones que satisfacen tal condición. 
 
No existen normas fijas para el uso de este método. Convendrá, no obstante, tener en 
cuenta las siguientes precisiones: 
a) dx debe ser una parte integrante de dv. 
b) Debe ser siempre posible calcular la primitiva de dv. 
c) Dentro del integrando deben elegirse u y dv en la forma que resulta más conveniente a los 
efectos del cálculo. Es preciso tener en cuenta que el planteamiento del problema nos 
proporciona u y dv y hay que calcular, a partir de estos elementos, du , diferenciando u , y v 
, integrando dv, y recién entonces aplicar la fórmula. 
d) La integral del segundo miembro de (5-2) debe ser de más fácil resolución que la del 
primero. En caso contrario, no se ha avanzado nada y tendremos que tentar otra distribución 
del integrando para establecer nuevas formas de u y dv. 
 
Ejemplos: 
 
a)  dxxln 
En este caso la elección de u y dv es inmediata: u = In x y dv = dx 
No puede ser otra. De ella se deducen, respectivamente: 
xdxdv vy 
x
dx
du   
Aplicamos entonces la fórmula de (5-17) y obtenemos: 
 
Cxxlnxdxxlnxdxxln)x(F   
 
b)  dxxsenx 
Elegimos u = x y dv = sen x dx , de donde se siguen du = dx y v = -cos x 
Llevando estos valores a (5-2) resulta: 
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Unidad 5 – 1. Integrales Indefinidas o Primitivas [14] 
 
Cxsenxcosxdxxcosxcosxdxxsenx)x(F   
 
c)  dxex
x
 
Si consideramos la elección u = ex ; dv = x dx , resulta: du = ex dx y 
2
x
v
2
 ; 
Remplazando en (5-2) 
  dxex2
1
e
2
x
dxex)x(F x2x
2x
 
 
y F(x) depende de una integral más complicada que la anterior. No podemos, por este 
camino, encontrar la primitiva. Pero en este caso no falla la fórmula sino que no funciona la 
elección de u y de dv que hemos hecho. En efecto, si en vez de aquellos remplazos, 
tomamos u = x y, por tanto, dv = ex dx, resultan du = dx y v =ex. Luego, la fórmula (5-2) 
nos da la primitiva 
 
  C)1x(edxeexdxex)x(F
xxxx
 
 
El cálculo de primitivas tiene un control muy sencillo y directo. Puesto que sabemos que es 
)x(f)x('F  bastará con obtener la derivada de la primitiva y ella tiene que ser igual al 
integrando. 
 
Verifiquemos si están bien resueltos los tres ejemplos anteriores 
 
a) y = x ln x – x + C  y´ = ln x 
 
b) y = -x cos x +sen x + C  y´ = x sen x 
 
c) y = ex (x-1 ) + C  y´ = x ex 
 
OBSERVACIÓN. Por supuesto que esta forma de control es general y vale para verificar la 
bondad de una primitiva, cualquiera sea el método de cálculo empleado. 
 
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Unidad 5 – 1. Integrales Indefinidas o Primitivas [15] 
1.8 CÁLCULO DE PRIMITIVAS POR SUSTITUCIÓN DE VARIABLE 
 
El cálculo de primitivas por sustitución o cambio de variable se ha mostrado como uno de los 
recursos más fecundos de la teoría de la integración y, de hecho, permite calcular las 
primitivas de la mayor parte de las funciones del Análisis. 
Es un método notoriamente basado en la diferenciación de una función de función, como se 
verá enseguida, sólo que se ha invertido el proceso. 
La sustitución es comparable a la regla de la cadena en la derivación. 
 
Si          xgxgFxgF
dx
d
xguuFy  .)( 
Por definición de antiderivada o primitiva: 
 
         dxxgxgFdxxgFdx
d
. 
 
 
         dxxgxgFxgF . 
 
  CuF  
 
 
Sea f(x) una función continua cuya primitiva se desea calcular: 
 
 dx)x(f)x(F 
 
Supongamos que f(x) no tiene primitiva inmediata y que tampoco el problema encuentra 
solución por descomposición o por partes. Entonces, remplazamos la variable x por otra 
variable t, tal que entre x y t exista una relación analítica elegida por nosotros de modo 
conveniente. Representemos genéricamente esa relación por 
)t(gx  (5-3) 
 
Esto implica dt)t('gdx  
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Unidad 5 – 1. Integrales Indefinidas o Primitivas [16] 
 
Remplazando, ahora, x y dx por estas nuevas expresiones en  dx)x(f)x(F , se tiene 
 
  dt)t('g)t(gfdx)x(f)x(F   (5-4) 
 
con lo que la expresión anterior se transforma en una función de nueva variable t. Si 
ponemos luego 
 
f [g(t)] g'(t) = h(t) 
nos queda 
)x(F)t(Hdt)t(h  (5-5) 
 
El último tramo de (5-5) se logra en la práctica volviendo a la variable original x mediante la 
sustitución (5-3) aplicada en (5-5). 
 
OBSERVACIÓN: El integrando de (5-4) puede también escribirse así f [g(t)] dg(t) y es la 
diferencial de una función de función, como habíamos advertido antes. 
 
En este procedimiento nuestro único cuidado debe ser seleccionar adecuadamente la 
transformación (5-3), de manera que el integrando resultante de ella sea una función con 
primitiva inmediata o por lo menos, una expresión más sencilla que f(x). 
Justamente en esto reside la dificultad para el principiante. Porque hay que tener una amplia 
versación analítica y una extendida cultura matemática para conseguir la resolución de gran 
número de integrales. 
 
Ejemplos: 
1) Encontrar la primitiva de    dxxx
42 1.2 
La sustitución es: ,12  xt entonces, ,2 dxxdt  y reemplazando nos queda: 
 
 

 C
x
C
t
dtt
5
1
5
525
4
 
 
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Unidad 5 – 1. Integrales Indefinidas o Primitivas [17] 
2) Encontrar la primitiva de:  dxxsen
xcos
 
 
Aquí la sustitución es muy evidente: t = sen x, porque entonces dt = cos x dx 
Remplazando en la expresión propuesta, resulta 
 
   CxsenlnCtlnt
dt
dx
xsen
xcos
 F(x) 
 
En este caso la sustitución operada nos produjo una función con primitiva inmediata, cosa 
que no ocurre siempre. El último paso consistió en reemplazar t = sen x según el cambio de 
variable que hicimos al principio, para volver a la variable inicial. 
Es claro que la sustitución elegida fue ideal. Pero ¿cómo es que se nos ocurrió esta 
sustitución?. Para ello es preciso identificar cuál es el cambio de variable adecuado para que 
cuando obtenga su diferencial, éste aparezca en la expresión a sustituir. Y el problema está 
resuelto. 
 
b) Sea, ahora, encontrar la primitiva de: 


2x4
dx
)x(F 
 
Se observa que si en lugar de 4 en la raíz tuviésemos 1, la primitiva sería arcsen x. Se ve, 
inmediatamente, que la mejor y más rápida forma de convertir ese 4 en 1, es sustituir: 
 
dtdxdxdt
x
t 2
2
1
;
2
 
 
Remplazando, nos queda: 
     









Ctarcsen
t
dt
t
dt
t
dt
t
dt
x
dx
22222 1
2
2
1
14
2
)1(4
2
44
2
4
 
 
C
2
x
arcsen)x(F  
es el resultado final. 
 
 
 
 
 
Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [19] 
 
2 MÉTODOS ESPECIALES DE 
CÁLCULO DE PRIMITIVAS 
 
 
Existen algunos métodos de cálculo de primitivas que no son generales; sinoque se aplican 
a ciertas familias de funciones en particular. Pero resultan significativamente importantes 
pues resuelven, en conjunto, un número bastante elevado de problemas del Análisis. Los 
vamos a denominar métodos especiales y ellos son, en realidad, más bien artificios en el 
cálculo de primitivas. La originalidad de estos procedimientos radica en el enfoque o en el 
planteamiento de los problemas; por lo demás, se reduce al empleo de alguno de los cuatros 
métodos generales o a una combinación de dos o más de ellos. 
Nuestro plan de trabajo incluye el cálculo de primitivas de fracciones racionales y funciones 
irracionales. 
 
 
2.1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS DE FRACCIONES RACIONALES 
 
En la Unidad 1 hemos dicho que una función racional entera es aquella cuya variable está 
sólo sometida a operaciones enteras: adición, sustracción, multiplicación y potenciación de 
exponente entero. 
En particular, un polinomio entero en x es una función racional entera y su primitiva se 
calcula término a término por el método de descomposición que se ilustró en el punto 2.5. 
 
Llamaremos fracción racional al cociente de dos funciones enteras. 
 
Por ejemplo: 
10x2x2
2x4x4x6
)x(f
2
23


 (5-6) 
es una fracción racional. 
 
Una fracción racional se denomina reducida o propia si el polinomio del 
denominador es de mayor grado que el numerador y si el coeficiente de la mayor 
potencia de x en el denominador (primer coeficiente) es igual a 1. 
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Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [20] 
 
En la práctica, cualquier fracción es reducida o puede ser puesta en función de una reducida, 
que se deriva de ella por simple división. En efecto, la fracción (5-22) no es reducida; 
realicemos entonces la división de polinomios que en ella está indicada y resulta 
10x2x2
52x16
5x3)x(f
2 

 
Pero f(x) no ha quedado todavía en función de una fracción reducida, pues el primer 
coeficiente del denominador no es igual a 1. Esto se logra con facilidad, dividiendo 
numerador y denominador de la fracción resultante por ese primer coeficiente del 
denominador. En nuestro caso hay que dividir por 2 y nos queda 
5xx
26x8
5x3)x(f
2 

 
y esta es la reducción que se produce en (5-22). Naturalmente que sólo ha cambiado la 
forma f(x) pero la función sigue siendo la misma. 
En el problema de cálculo de primitivas de las fracciones racionales únicamente trabajaremos 
con fracciones reducidas, dado que la reducción es siempre posible. Si la fracción no fuese 
reducida, se la reduce y se la integra término a término. 
 
 
OBSERVACIÓN. Cuando calculamos las primitivas de una fracción racional será preciso 
tener la precaución de constatar si el numerador es o no la derivada del denominador. En 
caso afirmativo el problema se resuelve mediante un sencillo cambio de variable. 
 
Ejemplo: Encontrar 



 dx
1x3x2
3x4
)x(F
2
 
 
Es evidente que, en este caso, bastará con hacer la sustitución t = 2x2 - 3x + 1, de donde 
resulta dt = (4x-3) dx. Entonces, 
C1x3x2lntln
t
dt
)x(F 2   
 
Ocupémonos, ahora del caso general, que es 
 
)x(h
)x(g
)x(f  (5-7) 
queremos calcular 
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Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [21] 
 
 dx)x(h
)x(g
)x(F (5-8) 
 
Admitamos que (5-23) sea una fracción reducida, es decir, 
 
nm;
bxb...xbx)x(h
axa...xaxa)x(g
n1n
1n
1
n
m1m
1m
1
m
0







 
 
El polinomio del denominador, h(x) es de grado n. Esto significa que existen n valores 
complejos, (reales o imaginarios) que lo anulan; son los ceros o raíces del polinomio. Los 
valores reales pueden ser distintos o iguales y los imaginarios serán, necesariamente, 
conjugados dos a dos. 
En nuestro proceso del cálculo de primitivas es completamente necesario distinguir la 
naturaleza y la multiplicidad de las raíces y ello hace que consideremos, por separado, los 
casos distintos: 
a) Raíces reales y distintas 
b) Raíces reales e iguales 
c) Raíces imaginarias 
y todo esto sin prejuicio de los casos en que se representen combinaciones de raíces de más 
de una naturaleza. 
 
 
2.2 FRACCIONES RACIONALES, CASO DE RAÍCES REALES Y DISTINTAS 
 
Supongamos que las raíces de h(x) sean x1, x2,... , xn. De acuerdo con el teorema de 
descomposición factorial de polinomios, se puede escribir 
)xx)...(xx)(xx()x(h n21  (5-9) 
 
Esto, a su vez, nos permite descomponer (5-23) en la siguiente forma 
 
 
  n
n
2
2
1
1
xx
A
xx
A
xx
A
xh
xg





  (5-10) 
en donde A1 , A2 , ... , An son coeficientes numéricos que satisfacen la ecuación (5-26) y 
cuyos valores calcularemos más adelante. 
Calculemos la primitiva de (5-26) término a término 
Cálculo l - Facultad de Ingeniería - U.N.R.C. 
 
 
Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [22] 
 
 
 
      dxxx
A
dx
xx
A
dx
xx
A
dx
xh
xg
n
n
2
2
1
1  (5-11) 
 
Todas las funciones del segundo miembro tienen la misma forma y la primitiva de una 
cualquiera de ellas es: Ai ln |x – xi| 
Entonces: 
 
 
ClnxxlnAxxlnAxxlnAdx
xh
xg
nn2211   (5-12) 
 
OBSERVACIÓN. Nótese que (C= constante)  (ln C = constante). Suele ser útil, cuando la 
primitiva tiene forma logarítmica, adjudicarle igual forma a la constante de integración para 
facilitar ulteriores operaciones aritméticas. 
 
Con (5-27) habríamos arribado a la solución, si conociéramos los coeficientes Ai. 
Veamos cómo determinarlos: 
Sacamos común denominador en el 2do miembro de (5-26), el cuál será h(x) y cancelamos 
los denominadores de la igualdad. Luego evaluando la igualdad obtenida, en cada una de las 
raíces, x1 , x2 , ... , xn obtenemos los valores de los coeficientes A1 , A2 , ... , An. 
Reemplazando en (5-27) obtenemos la solución. 
 
Ejemplo 
Calcular:   dx
4x3x
1x2
xF
2 

 
Las raíces del denominador son x1 = 4 y x2 = -1 , luego la expansión en raíces simples será 
 
   
  1x4x
4xA1xA
1x
A
4x
A
4x3x
1x2 2121
2 








 
 
cancelando denominadores obtenemos 
2x + 1 = A1(x+1) + A2(x-4) 
evaluando en las raíces tenemos: 
para x = 4 9 = 5 A1  A1 = 
5
9
 
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Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [23] 
 
para x = -1 -1 = -5 A2  A2 = 
5
1
 
Trasladando los valores encontrados a la fórmula de (5-27) se tiene 
  2
2x+1 9 dx 1 dx 9 1
F x = dx= + = ln x-4 + ln x+1 + ln C
x -3x-4 5 x-4 5 x+1 5 5  
 
 
2.3 FRACCIONES RACIONALES: CASO DE RAÍCES REALES E IGUALES. 
 
Supongamos que el polinomio del denominador de (5-23) tenga raíces todas reales pero no 
todas distintas. Pueden presentarse dos casos principales: 
a) Las n Raíces son iguales. 
b) Hay un grupo de m raíces iguales y las demás son todas distintas. 
 
Desde luego que pueden existir más de un grupo de raíces iguales, pero ello no modificaría 
fundamentalmente el esquema de trabajo que vamos a presentar, pues el procedimiento que 
indicaremos es aplicable por separado a cada grupo de raíces iguales que tenga el 
denominador. 
a) Caso en que todas la raíces son iguales En este caso el denominador, descompuesto 
factorialmente si x1 es la raíz múltiple de multiplicidadn, se convierte en 
   n1xxxh  (5-13) 
Entonces conviene descomponer (5-23) de la siguiente forma: 
 
      1
n
1n
1
2
n
1
1
xx
A
xx
A
xx
A
xh
xg







 (5-14) 
en donde los Ai son coeficientes indeterminados. Multiplicamos (5-30) por (5-29),es decir, 
sacamos común denominador y , simplificando, nos queda 
        1n1n
2
13121 xxAxxAxxAAxg
  (5-15) 
Si hacemos x = x1, encontramos A1 ya que los demás términos se anulan por contener el 
factor 0. 
 
Entonces, Al = g (x1) (5-16) 
Los demás coeficientes pueden calcularse por alguno de los métodos siguientes: 
 
1er Método: 
Derivando ahora (5-31) 
        2n1n132 xxA1nxxA2Axg
'   
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Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [24] 
 
 
Si hacemos x = x1, queda despejando A2, es decir que 
A2 =  1
' xg (5-17) 
 
Siguiendo por el mismo camino, esto es derivando sucesivamente y haciendo, cada vez, x = 
x1, obtendremos los restantes coeficientes: 
      
 !1n
xg
A;;
!3
xg
A;
!2
xg
A 1
1n
n
1
'''
4
1
''
3



 (5-18) 
Llevando estos valores de los coeficientes a (5-30) el cálculo es sencillo pues sólo hay 
funciones con primitiva inmediata 
Ejemplo: 
Calcular la primitiva de dx
1x2x
3x4
2 

 
El denominador presenta dos ceros (o raíces) iguales : x1 = x2 = -1. Entonces, por (5-30) 
 
     
 
 2
212
2
1
2 1x
1xAA
1x
A
1x
A
1x2x
3x4
xh
xg









 
     1xAA3x4xg315por 21  
por (5-32) g(-1) = - 4 + 3 = -1 = 1A  A1 = -1 ; 
por (5-33) g´(-1) = 4 = 2A  A2 = 4 
usando (5-30) tenemos finalmente que 
    






dx
1x
4
dx
1x
1
dx
1x2x
3x4
22
 
Las funciones tienen primitivas inmediatas resultando  
1
F x = +4 ln x+1 +C
x+1
 
 
2do Método: 
A partir de (5-31) evaluamos la igualdad en las raíces y luego en otros valores de la variable 
hasta obtener un sistema de tantas ecuaciones como coeficientes incógnitas tengamos y 
resolvemos el sistema. 
En el ejemplo anterior sería: 
   1xAA3x4xg 21  
para x = -1 ; A1 = -1 
para x = 0 ; 3 = A1 + A2  A2 = 3 – A1 = 3 + 1 = 4  A2 = 4 
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Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [25] 
 
 
b) Caso en que las raíces no son todas iguales En este caso se combinan los 
desarrollos. Por ejemplo, si x1 es una raíz de multiplicidad 3 y x2 tiene multiplicidad 2, su 
expanción será: 
 
 
 
             2
2
2
2
1
1
3
2
1
2
3
1
1
2
2
3
1
xx
B
xx
B
xx
A
xx
A
xx
A
xxxx
xg
xh
xg











 (5-
35) 
Ya hemos visto que el cálculo de las primitivas de todos los términos del segundo miembro 
es tarea sencilla. La cuestión es encontrar el valor de los coeficientes Ai y Bi . Aquí también 
podemos usar dos métodos 
1er Método: 
Partiendo de la expansión (5-35) 
 
             2
2
2
2
1
1
3
2
1
2
3
1
1
2
2
3
1
xx
B
xx
B
xx
A
xx
A
xx
A
xxxx
xg











 
multiplicando por ( x - x1 )
3 resulta 
 
 
     
 
 
2
3
12
2
2
3
112
131212
2
xx
xxB
xx
xxB
xxAxxAA
xx
xg







 (5-19) 
evaluando en x = x1 , obtenemos A1 , es decir 
 
 221
1
1
xx
xg
A

 (5-20) 
Derivando (5-36) respecto de x 
 
 
  







1322
2
xxA2A
xx
xg
'
 
y evaluando en x = x1 obtenemos A2 
 
 
'
21
1
2
xx
xg
A 






 (5-21) 
y así siguiendo obtenemos todos los Ai de la expansión (5-35). 
Para obtener los Bi procedemos de manera análoga. 
Dividimos (5-35) por ( x – x2 )
2 obteniendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 221
1
2
23
2
1
2
22
3
1
2
21
3
1
xxBB
xx
xxA
xx
xxA
xx
xxA
xx
xg











 (5-22) 
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Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [26] 
 
evaluando en x = x2 obtenemos B1  
 
 
2
1 3
2 1
g x
B =
x -x
 (5-23) 
 
Derivando (5-39), evaluando en x2 y despejando obtenemos 
 
 
2
2 3
2 1
g x
B =
x -x
'
 
 
 
 
 
(5-41) 
 
2do Método: 
En forma análoga a lo indicado en el caso de raíces iguales, se procede así 
 Se saca común denominador. 
 Se cancelan los denominadores. 
 Se evalúan los polinomios en las raíces. 
 Se forma un sistema de tantas ecuaciones como coeficientes faltan de calcular y se 
resuelve. 
 
Ejemplo 
Calcular 


dx
xx2x
4x3x
23
2
 
Como las raíces son x1 = -1 ; x2 = -1 y x3 = 0 la expresión es 
 
   
 2
2
12112
2
1
23
2
1xx
1xB1xxAxA
x
B
1x
A
1x
A
xx2x
4x3x









 
luego    2121
2 1xB1xxAxA4x3x  
para x = -1 2 = -A1 para x = 0 4 = B1 
 
para x = 1 8 = A1 + 2 A2 + 4 B1  A2 = -3 
 
 
Cxln41xln3
1x
2
dx
x
4
dx
1x
3
dx
1x
2
dx
xx2x
4x3x
223
2











 
 
2.4 FRACCIONES RACIONALES: CASO DE RAÍCES, IMAGINARIAS. 
 
Las raíces imaginarias siempre aparecen apareadas, es decir, aparecen pares de complejos 
conjugados. Si z1 es una raíz compleja i1z  , entonces i2z  es la otra. Por cada 
par de raíces imaginarias se descompone el polinomio en una expresión 
cbxx
BAx
2 

 (5-24) 
donde x2 + bx + c es el polinomio que contiene las raíces. Luego se procede como en los 
casos anteriores 
Ejemplo: 
     












dx
x
CBx
x
A
dx
xx
x
dx
xxx
x
121222 2223
 
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Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [27] 
 
 
operando con la expresión expandida 
     
   
2
3 2 2 2
A x + 1 + B x + C x -2x A B x + C
+ =
x + 2 x + x - 2 x - 2 x + 1 x -2 x + 1
 
 
llegamos a la fórmula (5-31) x = A(x2 +1) + (Bx + C) (x – 2) 
Siguiendo lo indicado anteriormente, encontramos 
5
1
C;
5
2
B;
5
2
A  
y el resultado será: 
   






dx
1x
5
1
x
5
2
2x
dx
5
2
dx
2xx2x
x
223
 
  
















1x
dx
5
1
dx
1x
x2
5
1
2x
dx
5
2
dx
1x
1x2
5
1
2x
dx
5
2
222
 
Cxarctg
5
1
1xln
5
1
2xln
5
2 2  
Esta forma de descomposición siempre conduce a una primitiva que es un logaritmo o un 
logaritmo y un arcotangente que se obtienen distribuyendo el denominador y/o completando 
cuadrado en el denominador. 
 
2.5 CÁLCULO DE PRIMITIVAS DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES. 
 
Llamase función irracional a la que tiene su variable sometida a la operación de radicación. 
En este artículo vamos a encontrar las primitivas de solo algunas funciones irracionales. 
Naturalmente que elegiremos para su desarrollo las formas más usuales o las que 
emplearemos en posteriores temas de este libro. 
Formas Irracionales sencillas. Se resuelven mediante un simple cambio de variable que las 
transforma en funciones racionales o en fracciones racionales. 
a) Sea el caso   dxbxaxF n  (5-
25) 
la sustitución que corresponde es: a + bx = t n de donde dtt
b
n
dx 1n 
Reemplazando en (5-43) obtenemos dtt
b
n n
 que tiene primitiva inmediata. 
Cálculo l - Facultadde Ingeniería - U.N.R.C. 
 
 
Unidad 5 – 2. Métodos Especiales de Cálculo de Primitivas [28] 
 
b) Muchas veces la raíz aparece en el denominador 
   

bxax
dx
xF (5-26) 
la sustitución es la misma. En este caso 
b
at
xydt
b
t2
dxluego,tbxa
2
2  
reemplazando en (5-44) llegamos a la integral de una fracción racional, 
 at
dt
2
2
 
c) En otras ocasiones aparecen mas de una raíz en el integrando, frecuentemente en 
numerador y denominador 
  

 dx
x1
x
xF (5-27) 
pero la sustitución se mantiene: x = t2, de donde dx = 2t dt. 
Reemplazando   dt
t1
t
2xF
2
  que es una fracción racional (no reducida) 
 
d) Finalmente, suelen figurar en el integrando raíces de distintos índices 
Por ejemplo:   

 dx
x1
x
xF
4
 
en tales circunstancias se toma como exponente de t -en el cambio de variable- en mínimo 
común múltiplo de los índices de las raíces- En nuestro caso 4. De manera que nuestra 
sustitución es x = t4 de donde dx = 4 t3 dt , reemplazando nos queda 
  

 dt
t1
t
4xF
2
4
 
y se resuelve, otra vez como fracción racional (no reducida) 
 
Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [29] 
 
3 INTEGRALES DEFINIDAS 
 
 
3.1 INTRODUCCIÓN 
Entendemos que para la exposición de un curso elemental resultan muy didácticas - y sin 
pérdida de rigor alguno - las definiciones clásicas de CAUCHY y de RIEMANN. De otro lado, 
este modo de proceder nos facilitará - siempre desde el punto de vista didáctico - el 
desarrollo de algunas propiedades de las integrales y muchos temas posteriores. 
 
 
3.2 DEFINICIÓN DE CAUCHY 
Sea la función f(x) continua en el intervalo [a, b], con lo cual f(a) y f(b) son finitas y f(x) es 
acotada en [a , b]. Un gráfico de tal función aparece en la figura 5-1, en la cual f(x) existe en 
[a , b] en el primer cuadrante, sin que ello signifique pérdida de generalidad, pues es fácil 
advertir 
que la misma definición puede ser elaborada a partir de una función continua cualquiera. 
Practiquemos una partición arbitraria de un intervalo [a, b], de tal modo que él quede 
dividido en n subintervalos, de amplitudes iguales o distintas. 
 
a = x0 , x1, x2,......, xn = b 
 
Podemos entonces, determinar las n amplitudes de los subintervalos y ellas serán 
 
nx,..........x,x,x  321 
Llamemos  a la mayor de todas las amplitudes. 
Detengamos nuestra atención en el subintervalo i-ésimo. Puesto que f(x) es acotada por 
hipótesis en [a , b] , la función tendrá una ordenada mínima mi y otra máxima Mi en dicho 
subintervalo , lo mismo sucederá con cada uno de los demás subintervalos. 
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [30] 
 
Figura 5 - 1 
El área del rectángulo de base ix y altura mi será: iii x.ms  
El área del rectángulo de base ix y altura Mi será: iii x.MS  
 
El área de la figura mixtilínea comprendida entre las ordenadas mi y Mi, de base xi y 
limitada por el gráfico de f(x), estará comprendida entre las anteriores, según puede verse 
en la fig. 5 - 1, luego será: 
mi xi  Ai  Mi xi 
 
Lo mismo pasa para cada uno de los n subintervalos. Si sumamos las superficies de los n 
rectángulos "menores" que llamaremos “ suma inferior” sn y la de los n rectángulos 
“mayores” que llamaremos “suma superior”, Sn resultará: 
 



n
i
iin xms
1
 A = 

n
i
iA
1
  Sn =


n
i
ii xM
1
 (5-28) 
 
 
La suma inferior sn representa, por construcción, una superficie algo menor - si f(x) no es 
constante- que la superficie encerrada entre la curva, el eje horizontal y las ordenadas f(a) y 
f(b), y las n superficies de los rectángulos "mayores", suma superior Sn corresponde a una 
superficie algo mayor que la de la figura mixtilínea, A. 
Las sumas sn y Sn reciben el nombre de sumas de DARBOUX siendo sn  Sn cualquiera 
sea la partición practicada 
Existen tantas sumas inferiores y tantas superiores como formas hay de subdividir el 
intervalo [a,b]. Pero todas estas sumas están acotadas en [a , b], puesto que f(x) lo está. 
Escogemos la mayor de todas las sumas inferiores y la menor de todas las 
superiores y supongamos que ellas sean, respectivamente sn y Sn . Estas sumas son 
funciones acotadas de n. 
X
Y
m
i
M
i
ba
f(a)
x
i-1
x
i
f(b)
0
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [31] 
 
Tomemos límites en ambas sumas para n (el número de subdivisiones) que tiende a  y  (la 
mayor de las amplitudes) que tiende a cero, y simbolicemos esos límites del siguiente modo: 
 
 



b
a
n
n
dx)x(fslím (5-29) 
 



b
a
n
n
dx)x(fSlím (5-30) 
 
Si estos límites existen, entonces (5-7) recibe el nombre de integral inferior o por defecto de 
f(x) en [a,b]. La (5-8) será denominada integral superior o por exceso. Desde luego que es 
 
 



b
a
b
a
dx)x(fdx)x(f 
 
 
En el caso en que los dos limites de (5-7) y (5-8) existan y sean iguales, se dice que f(x) es 
integrable en [a, b] y la integral es ese límite común de las dos sumas. La integral de f(x) en 
[a,b] se simboliza: 
 
b
a
dx)x(f (5-31) 
 
 
3.3 DEFINICIÓN DE RIEMANN. 
 
Para la definición de CAUCHY de una integral se utilizan dos sumas, las sumas de DARBOUX, 
representativas de dos superficies que acotan - por exceso y por defecto- el área ubicada 
entre la curva de la función, el eje horizontal y las dos ordenadas que se levantan por los 
extremos del intervalo. Procurando simplificar la definición, DIRICHLET propuso tomar, en 
lugar de los dos valores extremos de la función en cada subintervalo, la ordenada 
correspondiente al punto medio y expresar entonces la integral como el límite de una sola 
suma. En este punto, RIEMANN pensó que muy poco importaba cual era la ordenada elegida 
para construir esa única suma, puesto que enseguida se toman límites haciendo tender a 
cero la amplitud de cada subintervalo. En consecuencia, puede escogerse 
libremente -dice- la ordenada de cada uno de los subintervalos. 
RIEMANN define, entonces, una suma en vez de dos: 
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [32] 
 
 
 


n
i
iin xfS
1
 (5-32) 
 
En donde fi es una ordenada cualquiera del i-ésimo subintervalo. En realidad, no hay una 
sola Sn sino tantas como particiones del intervalo [a , b] existan, por eso la expresión (5-10) 
recibe el nombre de sumas de RIEMANN 
Si el límite de la suma (5-10) existe, se dice que f(x) es integrable en [a, b] en el sentido de 
RIEMANN. 
Obviamente CAUCHY, DIRICHLET y RIEMANN definen una misma entidad que hoy se llama 
integral de RIEMANN: 
 
   
n
ii
n
b
a
x.flimdx)x(fI
1
 (5-33) 
 
que es la suma infinita de partes infinitesimales. 
 
OBSERVACIÓN: De todo esto se sigue que la integral es siempre una suma y así, como 
suma, será empleada en el campo continuo para efectuar laoperación de adición infinita. 
La expresión (5-11) se lee: integral entre a y b de f(x) diferencial de x. Respecto de ella 
haremos las siguientes precisiones: 
 
a) E1 símbolo  se lee integral y fue introducido por primera vez por LEIBNIZ en reemplazo 
de la letra S que se usaba hasta entonces. 
El nombre integral fue empleado originariamente por Johann BERNOULLI (1667-1784). 
 
b) La expresión analítica que aparece bajo el signo integral - f(x) - recibe la denominación 
de integrando. 
c) El intervalo [a, b] respecto del cual se opera es llamado intervalo de integración; a y b 
conservan sus nombres habituales de extremos o límites del intervalo; a es el extremo 
inferior y b el extremo superior del intervalo de integración. 
3.4 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL. REGLA DE BARROW. 
 
La integral de una función continua f(x) no negativa en un intervalo [a, b] es el área 
encerrada entre la curva de la función, el eje horizontal y las rectas verticales x=a y x=by 
f(b). 
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [33] 
 
Esta conclusión se sigue inmediatamente de la definición de integral. Pero, si queremos 
intuirla geométricamente, recordemos la definición de RIEMANN. 
 Fig. 5-2 Fig.5-3 
 Fig. 5-4 
 
Consideremos las figuras donde se observa que a medida que aumenta el número de 
particiones en el intervalo, las áreas de los rectángulos se aproximan mas al área de la figura 
mixtilinea. 
Sobre esta base, si tomamos límites como dice la definición de integral, para n  ó para 
 0 la suma de las áreas de los rectángulos se confundirá con el área total bajo la curva. 
 
OBSERVACIÓN: En realidad no hemos hecho más que una representación gráfica de la 
definición de RIEMANN de una integral. El límite de Sn para n   y  0 es la integral, y 
geométricamente, es la superficie descripta 
Resulta, pues, que la integral - además de una suma – representa el área de una 
superficie perfectamente delimitada. 
X
Y
ba0
f(x)
Y
ba0
f(x)
X
Y
ba0
f(x)
X
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [34] 
 
A manera de corolario veamos cómo se puede evaluar la superficie que representa una 
integral. 
 
 Figura 5 - 5 Figura 5 - 6 
 
Sea una función f(x) supuesta continua y positiva en toda su trayectoria (figura 5-5). 
Fijemos una abscisa genérica x, a la cual corresponderá una ordenada también genérica f(x) 
dada por la forma de la función; y una superficie necesariamente genérica F(x) encerrada 
entre la curva, el eje horizontal. y la ordenada f(x). 
 
Es decir que:  
x
dx)x(f)x(F 1 
 
Si sustituimos sucesivamente x por un par de abscisas b y a perfectamente determinadas, se 
tendrá: 
b
-
F(b)= f(x) dx
 y  
a
dx)x(f)a(F 
 
 
Estas integrales son, respectivamente, las superficies que se extienden bajo la curva en 
correspondencia con los intervalos lineales (-  , b] y (-  , a], ella es indudablemente F(b) – 
F(a) (figura 5-6) luego 
 
b
a
f(x) dx=F(b)-F(a) que es la denominada REGLA de BARROW cuyo enunciado es: 
 
 
1 Este tipo de integral definida sobre un intervalo no acotado (-  , x] será tratada mas adelante, en el 
Capítulo 3 de esta unidad, como integral impropia. 
X
Y
0 x
f(x)
8
-
F(x) F(b)-F(a)
f(x)
0 a b X
Y
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [35] 
 
Regla de Barrow: Sea F(x) una función definida en [a , b] y sea f(x) una función acotada y 
sectorialmente continua en [a , b] tal que F´(x) = f(x). 
 
Entonces 
 
b
a
f(x) dx=F(b)-F(a) (5–34) 
 
La función superficie F(x) que hemos introducido se llama primitiva de f(x) y, en rigor, el 
cálculo de una integral se reduce al cálculo de una primitiva, siempre que ella exista dentro 
de los límites del intervalo de integración. 
Normalmente usaremos una letra minúscula para simbolizar una función presuntamente 
integrable y representaremos con la misma letra mayúscula su primitiva. 
 
3.5 INTEGRAL Y PRIMITIVAS 
 
Existe según se ve, un fuerte nexo entre la integral definida de una función y las primitivas 
de esa misma función. Tanto es así que, para calcular la integral definida, es preciso obtener 
antes, una de sus primitivas. 
Pero integral definida y primitiva de una misma función son dos entidades conceptualmente 
distintas. Desde el punto de vista geométrico, la integral definida es una superficie muy bien 
delimitada mientras que la primitiva es una superficie indefinida (ver Fig. 5-5). 
Analíticamente la integral es un número real, al paso que la primitiva es una función de la 
variable de integración. Es preciso, pues, no confundir una cosa con la otra a pesar de que se 
use el mismo signo. 
No debe sorprender, no obstante las diferencias señaladas, que en la práctica los vocablos 
"integral" y "primitivas" se emplean como equivalentes, y ello se justifica en la necesidad de 
calcular la primitiva como paso previo a la resolución de una integral. 
 
Inclusive muchos autores usan todavía las expresiones integral definida o integral indefinida 
para referirse respectivamente a la integral y la primitiva. Por nuestra parte; trataremos de 
evitar ambigüedades al respecto. 
 
3.6 PROPIEDADES INMEDIATAS DE LAS INTEGRALES. 
 
a) Si en una integral permutamos los límites del intervalo integración, la integral conserva su 
valor absoluto pero cambia de signo, 
 
Demostración: 
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [36] 
 
Usando (5-7) la conclusión es inmediata 
 
 
a
b
b
a
dx)x(f))b(F)a(F()a(F)b(Fdx)x(f 
 
 
Luego, 
  
a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f (5-35) 
 
 
b) Si f(x) es integrable en [a, b] y es a < c < b, entonces la integral sobre todo el intervalo 
es igual a la suma, de las dos integrales en los subintervalos en los que se ha particionado [a 
, b]. (Propiedad aditiva) 
 
Demostración: 
Partiendo de (5-7) 
 
     
b
c
c
a
b
a
dx)x(fdx)x(f)c(F)b(F)a(F)c(F)c(F)c(F)a(F)b(F)a(F)b(Fdx)x(f
 
Luego si a  c b 
 
  
b
c
c
a
b
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f (5-36) 
 
 
Esta propiedad se extiende de inmediato a cualquier partición finita de [a, b]. 
 
Un corolario útil de (5-9) se obtiene recordando (5-8) 
 
 0 
c
b
a
c
b
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f (5-37) 
 
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [37] 
 
 
Esta ecuación es siempre verdadera si por lo menos dos de las integrales que allí figuran 
tienen sentido. 
 
c) Si en el integrando aparece una constante como factor, esa constante puede ser extraída 
fuera del signo como factor de la integral. 
 
Demostración: 
De acuerdo con la definiciónde RIEMANN y las propiedades de las sumatorias 
 
 
 






b
a
i
n
1i
i
n
i
n
1i
i
n
i
n
1i
i
b
a
n
dx)x(fkxfLimkxfkLimxfkLimdx)x(fk 
 
Luego,  
b
a
b
a
dx)x(fkdx)x(fk (5–38) 
en donde k  0 es una constante cualquiera. 
 
OBSERVACIÓN: La recíproca también es cierta. Es decir si una constante multiplica a una 
integral, esa constante puede introducirse directamente bajo el signo, multiplicando al 
integrando. 
 
d) La integral de una suma de funciones de una misma variable es igual a la suma de las 
integrales de las funciones sumandos (propiedad distributiva). 
 
Demostración: 
Sean f(x) y g(x) dos funciones integrables en [a , b]. De conformidad con la definición de 
RIEMANN podemos escribir: 
 
     





n
i
iiii
n
i
n
i
ii
n
b
a
xgxflímxgflímdx)x(g)x(f
11
 
 
Pero teniendo en cuenta que tanto la sumatoria como el límite poseen la propiedad 
distributiva, 
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [38] 
 
resulta: 
 
     





























b
a
b
a
n
i
ii
n
n
i
ii
n
b
a
n
i
ii
n
i
ii
n
dx)x(gdx)x(fxglímxflímxgxflímdx)x(g)x(f
1111
 
Luego 
 
    
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f (5-39) 
 
 
OBSERVACIÓN: La extensión de este teorema a una suma de cualquier número finito de 
sumandos, es inmediata. 
 
e) Dada f(x) en [a, b], su integral es un número real que depende de los límites del 
intervalo. 
 
Demostración: 
 
Por aplicación de la Regla de Barrow (5-12) 
 
  
b
a
)a(F)b(Fdx)x(f 
 
en donde F(x) es una primitiva de f(x). Una vez conocida la forma analítica de F(x) - que es 
una función real de variable real - encontraremos F(b)= r1 y F(a)= r2, siendo r1 y r2 dos 
números reales. Luego 
  
b
a
rrrdx)x(f 21 
 
entonces 
 
  
b
a
rdx)x(f (5-40) 
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Unidad 5 – 3.Integrales Definidas [39] 
 
 
y r es también un número real cuyo valor depende únicamente de a y de b. 
 
 
f) La integral f(x) en cualquier intervalo degenerado [a,a] es nula. 
 
Demostración: 
Sea f(x) y el intervalo de integración [a, a],entonces por la regla de Barrow 
 
  
a
a
)a(F)a(Fdx)x(f 0 (5-41) 
 
 
 
g) Si uno de los extremos de los intervalos de integración es variable, la integral también lo 
es 
 
Demostración: 
Sea de f(x) integrable en [a , b] y sea F(x) una primitiva. Tengamos otra variable t 
perteneciente al intervalo [a , b] y consideremos la integral f(x) en [a , t]. 
 
Por la aplicación de la Regla de Barrow (5-12) 
 
  
t
a
)t(F)a(F)t(Fdx)x(f 1 (5-42) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad Nº 5 – 4.Teoremas Generales del Calculo Integral [41] 
 
 TEOREMAS GENERALES DEL 
CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
4.1 TEOREMA 1 
 Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable en ese 
intervalo. 
Sea una función f(x) continua en [a , b] . Efectuemos una partición cualquiera que divida 
[a,b] en n subintervalos: a = x0 , x1, x2, x3, ...., xn = b. Para demostrar el teorema bastara 
con probar que las dos sumas de DARBOUX (5-1) tienen el mismo limite, si n   y  0. 
Admitamos que f(x) es creciente [a, b]. Entonces , la mayor ordenada de cada subintervalo 
estará en su extremo derecho y la menor se ubicará en el extremo izquierdo. 
Hecha en [a, b] la partición escogida, formemos las dos sumas de DARBOUX, 
correspondientes a esa partición. 
 
)b(f)xb(........)x(f)xx()x(f)ax(S nn 121211  (5 - 43) 
 
)x(f)xb(........)x(f)xx()a(f)ax(s nnn 111121  (5 - 44) 
 
Obviamente es sn  Sn las sumas solo podrán ser iguales si f(x) es una constante. 
Restemos miembro a miembro (5-43) y (5-44), observando que cada dos términos es 
posible sacar factor común la amplitud del intervalo correspondiente, nos queda: 
 
     )x(f)b(f)xb(.......)x(f)x(f)xx()a(f)x(f)ax(sS nnnn 111212110   
(5 – 45) 
 
Las amplitudes que aparecen en los paréntesis de cada término de (6 - 3) son las de los 
subintervalos de la partición operada. Esas amplitudes pueden ser arbitrariamente iguales o 
distintas. Llamaremos  a la mayor de tales amplitudes, sustituyamos en (6 - 3) cada 
amplitud por  y saquemos al mismo tiempo,  factor común. 
 
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Unidad Nº 5 – 4.Teoremas Generales del Calculo Integral [42] 
 
 
 )x(f)b(f.....)x(f)x(f)a(f)x(fsS nnn 11210  (5 - 46) 
 
OBSERVACIÓN. El cambio que se advierte en el signo que hay entre el segundo y el tercer 
miembro de (5 - 46) obedece a que se ha reemplazado cada amplitud por un número mayor 
o igual que ella. 
 
Reduciendo términos semejantes en (5 - 46) 
 
 
Tomando, ahora, limites en los tres miembros de esta desigualdad, para n  y  0 
 
))a(f)b(f(lím)sS(límlím nn
nn

 0
0 (5 -47) 
Observándose, en el tercer miembro , que f(b) y f(a) son constantes y, por lo tanto , todo el 
miembro tiende a cero cuando  0; luego el término central, que está acotado entre cero y 
una variable que tiende a cero, tendrá por limite cero también. De allí se deduce: 
 
n
n
n
n
slímSlím

 
Que es lo que se quería demostrar. 
 
4.2 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO. 
Si f(x) es integrable en [a, b] entonces 
 
)x(f)ab(dx)x(f k
b
a
 para algún xk  [a, b] (5 – 
48) 
 
Demostración: 
De la definición de integral resulta que f(x) es continua en el intervalo [a , b] y por 
consiguiente acotada. Si sus cotas inferior y superior son respectivamente m y M, resulta: 
 
 
 )a(f)b(fsS nn 0
 
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Unidad Nº 5 – 4.Teoremas Generales del Calculo Integral [43] 
 
 
)ab(Mdx)x(f)ab(m
b
a
  (5 -49) 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6 -1 
 
De todos modos, estas desigualdades son evidentes si se atiende a la figura 6 - 1. En efecto, 
el primer miembro de (6 - 7) es el área del rectángulo menor, mientras que el tercero 
representa el área del rectángulo mayor. La integral es el área de la figura mixtilínea. 
De (6 - 7) se sigue, dividiendo por (b-a) 
 
  
b
a
Mdx)x(f
)ab(
m
1
 (5 - 50) 
 
La relación (6 - 8) se verificará en todos los puntos del intervalo [a , b], y puesto que f(x) es 
continua en él, necesariamente existirá un valor de x bien determinado, por ejemplo xk [a , 
b], tal que: 
 
b
a
k )x(fdx)x(f
)ab(
1
 
ya que la función toma todos los valores comprendidos entre m y M que son sus cotas. 
Por lo cual, queda demostrado el teorema, ya que multiplicando por (b - a) resulta: 
 
 
b
a
k )x(f)ab(dx)x(f 
 
Obsérvese en la figura 6 - 1 el o los posibles xk que satisfacen el teorema. 
Del teorema se deduce sin trabajo un corolario importante:si f(x) = 1 en [a , b] su integral 
es igual a la amplitud del intervalo. En efecto si f(x) = 1, (6 - 6) se transforma en 
X 
Y 
0 a bb-a 
m 
M
f(x)
xk 
F(xk) 
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Unidad Nº 5 – 4.Teoremas Generales del Calculo Integral [44] 
 
 
 
)ab()ab(dx
b
a
 1 
 
4.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL 
El teorema fundamental del cálculo puede enunciarse así: si f(x) es integrable en [a, b], F(x) 
es tal que F'(x) = f(x). Se prueba además que F(x) siempre existe en [ a , b] si f(x) es 
integrable en el mismo intervalo. 
Sea f(x) una función integrable en [x , x + x] y sea, además, F(x) su primitiva. 
De acuerdo con la regla de BARROW (5 – 7) 
 
)x(F)xx(Fdx)x(f
xx
x


 (5- 51) 
 
Por otra parte, según el Teorema del Valor Medio (6 - 6) 
 
)x(fxdx)x(f k
xx
x


 ; x  xk  x+x (5 – 
52) 
 
pues x es la amplitud del intervalo del integración. Comparando (6 - 9) con (6 - 10) y 
recordando que si dos expresiones son iguales a una tercera son iguales entres si, resulta: 
 
 
)x(fx)x(F)xx(F k con x  xk  x+x 
 
o también: 
 
)x(f
x
)x(F)xx(F
k


 con x  xk  x+x 
 
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Unidad Nº 5 – 4.Teoremas Generales del Calculo Integral [45] 
 
 
Tomemos ahora, límites para x  0. El primer miembro es F'(x), por definición de derivada, 
y el segundo es f(x), ya que xk  x cuando x  0 , pues está comprendido entre x y una 
variable que tiende a x. 
Entonces se tiene 
 
 F'(x) = f(x) (5 - 53) 
 
 
Se demostró en el punto anterior que F'(x) = f(x) y esto nos permite según dijimos resolver 
la integral previo cálculo de su primitiva. Pero, a esta altura, se hace necesaria una 
advertencia trascendente: dicho con exactitud, F(x) no es " la " primitiva de f(x) sino mas 
bien "una" primitiva de f(x), pues, y = F(x) + k , en donde k es una constante, constituye 
una familia de primitivas de f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad Nº 5 – 5 .Calculo de Superficies Planas [47] 
 
 CALCULO DE SUPERFICIES 
PLANAS 
 
Sabemos, desde la interpretación geométrica de la integral, que la expresión: 

b
a
dx)x(fS (5 – 54) 
mide un área plana delimitada por la curva que representa la función f(x), el eje horizontal y 
las dos ordenadas levantadas por los extremos del intervalo. Esta es el caso que aparece en 
la figura 6-4. 
Fig. 6 - 4 
Pero la figura 6-4 dista bastante de ilustrar un supuesto completamente general. Algo más 
de generalidad tienen las superficies representadas en las figuras 6-5, 6-6 y 6-7. En 6-5 
exponemos un área no convexa, mientras que las de la 6-6 y 6-7 son superficies convexas. 
X
Y
a b
S
f(x)
0
Fig. 6 - 5 
f(x)
Y
Xa bc d0
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Unidad Nº 5 – 5.Calculo de Superficies Planas [48] 
 
 
 
 
Fig. 6 –6 Fig. 6 –7 
 
Es necesario tener siempre en cuenta si la superficie que evaluamos se desarrolla por encima 
o por debajo del eje de abscisas. 
En el primer caso, consideramos el área como positiva y, en el otro, como negativa. 
Esto significa que si pretendemos medir toda la superficie sombreada que presenta 
la 
figura (6 - 5) con la integral (6 -25), habremos errado el camino completamente, porque 
esta integral nos dará la suma algebraica de las superficies sombreadas, es decir, las 
superficies que están encima del eje de abscisas (superficies positivas) menos las superficies 
que están por debajo (superficies negativas). 
Para calcular el valor del área sombreada, debemos proceder así: 
 
 
b
d
d
c
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(fS 
 
En la segunda integral se usa el valor absoluto porque en ella la función es negativa. 
Una expresión equivalente a esta es la siguiente: 
 
b
d
c
d
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(fS ó 
c d b
a c d
S= f(x) dx - f(x) dx+ f(x) dx   
En la figura (6-6) se nos presenta un caso bastante común en las aplicaciones. 
X
Y
a b0
f(x)
g(x)
X
Y
a b0
f(x)
g(x)
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Unidad Nº 5 – 5.Calculo de Superficies Planas [49] 
 
 
Considerando lo que significa geométricamente una integral, es muy claro que la superficie 
sombreada se calculará haciendo: 
 
 
bb
aa
dx)x(gdx)x(fS o lo que es igual, aplicando propiedades de la integral: 
 
   
b
a
dx)x(g)x(fS (5 - 55) 
 
 
El caso contemplado en la figura (6-7) tiene una sola diferencia con el anterior y ella es que 
las dos trayectorias se cortan en dos puntos determinados del plano, que establecen límites 
para el área que se quiere calcular. Pero la resolución de este problema es idéntica a la del 
punto precedente. 
 
OBSERVACIÓN: 
 
1) El área comprendida entre dos funciones f y g siendo f > g en el intervalo [a, b] , y si 
las funciones no se cruzan; es (6-26) 
 
2) Una superficie no convexa será calculada por sectores - siempre que ello sea posible como 
en el caso de la figura (6-5). 
 
 
 
EJEMPLO: 
Sea, calcular la superficie encerrada entre las rectas y = x y la parábola y = x2 
 
Empezamos por determinar los puntos de intersección de las trayectorias. 
Resulta de ello que la recta y la parábola en cuestión tienen dos puntos en común, que 
corresponden a las abscisas x = 0 y x = 1. Entonces, como en ese intervalo la recta 
es mayor que la parábola, el área de la superficie comprendida será: 
 
 
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Unidad Nº 5 – 5.Calculo de Superficies Planas [50] 
 
 
  
1
0
2
6
1
dxxxS 
 
Unidad Nº 5 – 6.Coordenadas Cartesianas y Polares [51] 
 COORDENADAS 
CARTESIANAS Y POLARES 
 
Las coordenadas cartesianas de un punto cualquiera del plano son las dos distancias que lo 
separan del eje horizontal y del eje vertical. La distancia que existe entre el punto y el eje 
vertical recibe el nombre de abscisa y la que hay entre el punto y el eje horizontal se llama 
ordenada. Las abscisas son positivas a la derecha del eje vertical y negativas en la dirección 
contraria, mientras que las ordenadas se consideran positivas por encima del eje horizontal y 
negativas en el sentido contrario. 
Los ejes aludidos son dos rectas que se cortan perpendicularmente en un punto 0 del plano, 
llamado origen. Ellos forman una estructura geométrica que se conoce con el nombre de 
sistemas de ejes cartesianos (rectangulares u ortogonales). El eje horizontal, ó eje “ x ” 
también es denominado eje real o de las abscisas o de las x, en tanto que el vertical, o eje “ 
y ”, recibe frecuentemente las denominaciones de eje imaginario o de las ordenadas o de las 
de y. 
Con tales acuerdos y definiciones es indudable que cualquier punto del plano, queda 
biunívocamente establecido por un par ordenado de coordenadas: una abscisa y una 
ordenada. En la figura (6 – 2) se muestran las coordenadas cartesianas del punto P (x ; y) (x 
= abscisa e y = ordenada) con trazospunteados. 
Pero hay, otra forma de fijar unívocamente (no biunívocamente) un punto en el plano 
mediante dos medidas también reales. En efecto, llamemos polo al origen O del sistema, eje 
polar al eje OX y midamos: 
a) La distancia que hay entre el punto y el polo, a la que denominaremos radio vector ó 
módulo y es siempre positiva. 
b) El ángulo que forman el radio vector y el eje polar, al que daremos el nombre de 
argumento o, simplemente, ángulo. 
Tendremos así establecido un sistema de coordenadas polares y cada par ordenado de 
coordenadas, módulo y argumento, determina un unto del plano y uno sólo. La recíproca no 
es cierta, ¿por qué? 
En la figura (6 – 2) aparecen el radio vector =  (rho) y el argumento =  (alfa) del punto P, 
dibujados con trazos llenos. 
X
Y


x
y
P(x,y)=P(,)
0
Fig. 6 - 2 
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Unidad Nº 5 – 6.Coordenadas Cartesianas y Polares [52] 
Un mismo punto P del plano se puede expresar con dos pares ordenados distintos según se 
utilice un sistema de ejes coordenados cartesianos o un sistema de ejes polares P(x;y) = 
P(;), por consiguiente existe una relación entre las coordenadas de ambos sistemas que se 
deduce directamente de la figura (6 – 2) y es la siguiente: 
 
a) Dadas las coordenadas x e y, en un sistema cartesiano, las coordenadas en el sistema 
polar serán: 
 
x
y
tgarc
yx 22


 (5 – 56) 
 
b) Dadas, en cambio,  y , en un sistema polar, las coordenadas en el sistema cartesiano 
serán: 
 


seny
cosx
 (5 – 57) 
 
Una función se expresa, en coordenadas cartesianas, como y = f(x), pero la misma función 
puede venir dada en coordenadas polares   . Por lo general, f y  son formas 
funcionales diferentes. 
 
 
EJEMPLOS: 
 
a) Circunferencia: rryx  222 
b) Circunferencia:    senyx 442 22  
c) Espiral de Arquímedes:   
 
6.1 LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA PLANA EN COORDENADAS 
CARTESIANAS. 
 
Sea la función y = f(x) definida continua en toda su trayectoria. La gráfica de y = f(x) se ve, 
en la figura (6 – 3). Tomemos una abscisa cualquiera - genérica - y la simbolizamos como de 
costumbre con x, sin subíndice. Es indudable que la longitud de la curva, desde el principio 
hasta x, será una función de x. 
Denotémosla con L(x) 
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Unidad Nº 5 – 6.Coordenadas Cartesianas y Polares [53] 
Demos a x un incremento arbitrario x . Este incremento dará lugar a un crecimiento 
)x(fy  en la función y otro incremento )x(L en la longitud de la curva. Para la 
variable x queda establecido un intervalo (x , x + x ). 
Fig. 6 – 3 
Trazamos (ver figura (6 – 3)) la cuerda AB que corresponde al arco de igual denominación. Y 
nos queda formado el triángulo ABC, rectángulo por construcción. En él, de acuerdo con el 
teorema de PITAGORAS sucede: . 
 
   22
2
yxAB  
 
Dividiendo ambos miembros por ( x ) resulta 
 
 
2
2
2
x
y
1
x
AB










 
 
o, lo que es igual: 
 
2
x
y
1
x
AB










 (5 – 58) 
 
OBSERVACION: El signo +, antepuesto a la raíz, obedece al hecho de que estamos 
trabajando con una longitud que se supone positiva. En lo sucesivo, quedará sobreentendido. 
En el primer miembro de (6 - 14) multiplicamos numerador y denominador por )x(L y 
permutamos luego los denominadores, obtenemos: 
 
X
Y
0
A
B
Cx
x
x x+x
y y = f(x)
L(x)
L(x
)
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Unidad Nº 5 – 6.Coordenadas Cartesianas y Polares [54] 
2
x
y
1
)x(L
AB
x
)x(L











 (5 – 59) 
 
Tomemos, ahora, límite para 0x  . (Desde luego, también 0)x(L  ). 
El primer factor del primer miembro es L'(x), por definición de derivada. El límite del 
segundo factor, igual a 1 (es un límite notable que se demostró en la Unidad 2) y, puesto 
que el límite de una raíz es igual a la raíz del límite, (6 - 15) nos queda: 
 
 2´y1
dx
)x(dL
 (5 – 60) 
 
Diferenciando 
 
  dx´y1)x(dL 2 (5 – 61) 
 
que se llama elemento de longitud 
 
Integrando (6 - 17) 
 
   dx´y1)x(L
2 (5 – 62) 
Esta es la primitiva que nos permite calcular la longitud L(x) a lo largo de toda la función y = 
f(x), supuesta ésta continua en toda su trayectoria. 
Si se nos pidiera determinar la longitud del tramo de curva que corresponde al intervalo [a , 
b] sería preciso establecer el valor de la primitiva entre esos dos límites: 
 
  
b
a
dx´yL 21 (5 – 63) 
 
Si la longitud de la curva puede ser medida en un intervalo (a , b) diremos que esa curva es 
rectificable en (a , b). 
 
EJEMPLO: 
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Unidad Nº 5 – 6.Coordenadas Cartesianas y Polares [55] 
 
Hallar la longitud de la curva xLn
x
y
2
1
4
2
 entre los puntos de abscisas 1x  y 2x  
 
 
2
24
2
2
x4
1x2x
´y
x2
1x
x
1
2
1
4
x2
´y



 
 
     
x2
1
2
x
x2
1x
´y1
x4
1x
´y1
2
2
2
22
2 



 
 
  2Ln
2
1
4
3
xLn
2
1
4
x
dx´y1
2
1
22
1
2 








 
 
 
6.2 LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA PLANA EN COORDENADAS POLARES. 
 
En (6 – 17) establecimos una expresión denominada elemento de longitud 
 
  dx´y1)x(dL 2 
 
Introduciendo el “dx” dentro de la raíz, obtenemos otra forma de este “elemento de 
longitud”: 
 
   22 dydx)x(dL  (5 – 64) 
 
Aquí el elemento de longitud esta expresado en coordenadas cartesianas. Vamos a ponerlo el 
coordenadas polares utilizando las fórmulas de transformación que se dieron en (6 - 13): 
 





seny
cosx
 
x e y son funciones de dos variables,  y  
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Unidad Nº 5 – 6.Coordenadas Cartesianas y Polares [56] 
de lo cual se sigue que las respectivas diferenciales totales (suma de las derivadas respecto 
de cada variable) son: 
 














dcosdsend
y
d
y
dy
dsendcosd
x
d
x
dx
 
Elevando al cuadrado ambas igualdades, sumando, reduciendo términos semejantes y 
recordando que 1cossen 22  de la expresión (6 – 20) obtenemos: 
 
   222 dd)(dL  (5– 65) 
 
multiplicando y dividiendo por d , llegamos a: 
 








 d
d
d
)(dL 2
2
 (5 – 66) 
 
Cualquiera de las dos formas, (6 - 21) o (6 - 22), expresan el elemento de longitud en 
coordenada polares. 
Para encontrar la longitud de una curva, conocidos dos valores de  por ejemplo 1 < 2 se 
integra (6 - 22) entre ambos límites: 
 












2
1
2
2
d
d
d
L (5 – 67) 
En ciertas ocasiones conviene utilizar  como variable independiente, con lo cual la ecuación 
de la curva pasa a ser: 
 



 d
d
d
d)( . 
 
Reemplazando en (6 - 21) multiplicando y dividiendo por d y operando, nos queda: 
 
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Unidad Nº 5 – 6.Coordenadas Cartesianas y Polares