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Guías de problemas de Astrofísica
6 de diciembre de 2018
Los resueltos de
ALF
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a Wi
lly!
Sobre estos apuntes Estos apuntes/resueltos que usted está viendo fueron creados por un alumno mientras cursaba la
materia. Es por ello que podrían haber errores de tipeo, errores conceptuales, de interpretación en los resultados, etc. Use
estos apuntes con precaución. Estos apuntes no son oficiales de ninguna cátedra. Lea atentamente el prospecto. En caso de
notar algún efecto adverso suspenda inmediatamente su uso y consulte con su profesor de cabecera.
El alumno autor de estos apuntes cursó la materia durante el segundo cuatrimestre de 2018, este link conduce a la
página oficial del curso.
Encontrá más resueltos de Alf en este link.
Box 1 - ¿Cómo se hacen estos apuntes?
Estos apuntes están hechos usando un programa llamado Lyxa. Para hacer los dibujos se usó Inkscape y después se
insertó las imágenes en formato svgb directamente en Lyx.
En este repositorio de GitHub se encuentra la plantilla (template) que Alf usa actualmente, con todo lo necesario
para compilarla y empezar a divertirse.
aLyx es una interfaz gráfica para Latex que hace que la escritura se vuelva extremadamente fluida y veloz (al punto de poderse
tomar apuntes en vivo durante una clase).
bsvg es el formato nativo de Inkscape.
1
https://losresueltosdealf.wordpress.com/
http://materias.df.uba.ar/astrofa2018c2/
https://losresueltosdealf.wordpress.com/
https://www.lyx.org/
https://inkscape.org/es/
https://github.com/SengerM/lyx
ÍNDICE ÍNDICE
Índice
Guía 1 - El Universo 4
Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Problema 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Problema 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Problema 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Problema 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Problema 19 FALTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Problema 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Guía 2 - Fluidos clásicos 9
Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Guía 3 - Relatividad 15
Problema 2 (No entiendo enunciado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Problema 6 (averiguar si esto está bien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Guía 4 - Atmósferas estelares 19
Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ítem a (falta una cosa!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22
Problema 9 FALTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Los resueltos de
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ÍNDICE ÍNDICE
Guía 5 - Medio interestelar 24
Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Ítem b PREGUNTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Guía 6 - Estructura y evolución estelar 27
Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Guía 7 - Campos magnéticos 30
Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Problema 3 - MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Problema 4 - Reconexión de Sweet-Parker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Guía 8 - Galaxias 36
Problema 1 (LSR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Guía 9 - Cosmología 40
Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Ítem a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Ítem b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Ítem c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ítem d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ítem e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ítem f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ítem g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Formulas 44
PREGUNTAS
1. PREGUNTA 1 - Escala hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. PREGUNTA 2 - Energía potencial gravitatoria? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. PREGUNTA 3 - Qué es el teorema del virial? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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GUÍA 1 - EL UNIVERSO
Guía 1 - El Universo
Problema 1
Los portadores de información que se me ocurren son los siguientes:
Radiación electromagnética. Esto abarca todas las partes del espectro: radio, micro ondas, infrarojo, visible, ultravioleta,
rayos X y rayos γ.
Rayos cósmicos. Distintos tipos de partículas que provienen del espacio, por ejemplo protones, neutrinos, etc.
Radiación gravitatoria. Esto es lo más reciente, la primera onda gravitatoria se midió en 2015 en LIGO.
Problema 3
La radiación de cuerpo negro tiene una densidad espectral dada por la ley de Planck que es
I =

2hν3
c2
1
exp
(
hν
kT
)
− 1
→ En términos de ν
2hc2
λ5
1
exp
(
hc
λkT − 1
) → En términos de λ
Para saber en qué zona del espectro se encuentra la mayor radiación simplemente hay que calcular el máximo de esto. Es
decir, derivar e igualar a cero. El problema es que queda una ecuación trascendente
λ0 =
ch
5kT
1
1− exp
(
− chλ0kT
)
No se me ocurre forma no-numérica de resolver este problema.
Problema 4
La frecuencia máxima es
νmáx =
1,6× 10−19 C× 1× 10−8 T
4π × 9,3× 10−31 kg × 3× 108 m s−1
(
1,6× 10−10 J
9,3× 10−31 kg × (3× 108 m s−1)2
)
= 1,6 Hz
Este valor de frecuencia está en el espectro ELF (extremely low frequency). Para detectar frecuencias tan bajas se utilizan
instalaciones especiales, por ejemplo la siguiente ground dipole antenna
La Nebulosa del Cangrejo de ve así:
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https://en.wikipedia.org/wiki/Extremely_low_frequency
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Problema 5 GUÍA 1 - EL UNIVERSO
La imagen la tomé de este link.
Problema 5
Fácil:
ν = E
h
= 1,45× 109 Hz
y en longitud de onda
λ = c
ν
= 20,6 cm
Esta línea de emisión, conocida como “la línea de 21 cm”, se usa en radiostronomía para estudiar las nubes de polvo, según
Wikipedia.
Problema 6
Ver apuntes de la práctica.
Problema 8
La luminosidad del sol será
L� = 1,38
kW
m2 × Superficie de esfera con radio 1 AU
= 36× 1022 kW
Para calcular la temperatura del sol utilizamos la ley de Stephan-Boltzmann E = σT 4 con lo cual
T� efectiva =
(
L�
4πR2�σ
) 1
4
≈ 5700 K
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http://hubblesite.org/image/4028/newshttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_hidr%C3%B3geno
https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Stefan-Boltzmann
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https://losresueltosdealf.wordpress.com/contacto/
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Problema 9 GUÍA 1 - EL UNIVERSO
Problema 9
De acuerdo con la tercera ley de Kepler se tiene que
T 2 = 4π
2
G (m1 +m2)
a3→ Kepler
por lo tanto se puede despejar M = m1 +m2 que es la masa del sistema.
Problema 13
El paralaje anual se explica mediante el siguiente dibujito:
θ
Usando trigonometría se tiene que tanα = 1 AUd de donde se puede despejar
d = 1 AUtanα
α ≈ 0→ ≈ 1 AU
α
Para α = 0,75′′ = 0,0002181662 rad se obtiene
d ≈ 2,77× 105 AU ≈ 4,38 ly
De acuerdo con Wikipedia esto es correcto.
Problema 15
Es una combinación de problemas previos. El dibujito es así
Tierra →
← Sistema binario
1.2''
12 pc
a
Entonces el semieje mayor de la elipse que describe la órbita es a = 12 pc × tan
(
1,2′′
2
)
. Conociendo este semieje y el
período orbital (consigna) se puede calcular la masa del sistema utilizando la tercera ley de Kepler T 2 = 4π
2
G(m1+m2)a
3.
Problema 17
Se puede obtener la velocidad del astro con respecto al laboratorio utilizando el corrimiento Doppler. Si ν es la frecuencia
de la fuente en su propio frame y ν′ es la frecuencia observada en un frame que se mueve con velocidad β en un ángulo θ
según el siguiente dibujito
θ
entonces
ν′ = ν (1− β cos θ) γ→ Doppler
Debido a que λobservada > λemitida entonces νobservada < νemitida lo cual implica que el astro se está alejando.
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Problema 18 GUÍA 1 - EL UNIVERSO
Problema 18
El dibujito del problema es así:
Vega
Cúmulo NGC104
dTierra-NGC104
dTierra-Vega=dSol-Vega
La luminosidad de la estrella Vega es
LVega =
˛
FVega · ds
=
˛
r=dTierra-Vega
dFVegacTierra
= 4πd2Tierra-Vega dFVegacTierra
Por otro lado la luminosidad de la estrella RR-Lyrae es
LRR-Lyrae = 1,05 LVega
4πd2Tierra-NGC104 dFRR-LyraecTierra =
2,29× 10−6 × 4πd2Tierra-NGC104 dFVegacTierra = ← dFRR-LyraecTierra = 2,29× 10
−6 dFVegacTierra
Juntando las dos ecuaciones tenemos que
2,29× 10−6
1,05 × d
2
Tierra-NGC104 = d2Tierra-Vega
por lo tanto
dTierra-NGC104 =
√
1,05
2,29× 10−6 dTierra-Vega
= 5250 pc
Problema 19 FALTA
Qué es el “flujo”?
Problema 21
De acuerdo a la tercera ley de Kepler T 2 = 4π
2a3
G(mVía lactea+m�) donde T es el período orbital y a el semieje mayor de la
elipse. Considerando mVía Lactea � m� se obtiene que
mVía Lactea =
4π2a3
GT 2
Por otro lado, para una órbita circular como propone la consigna, se tiene que a = R0 por lo que
mVía Lactea =
4π2R30
GT 2
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Problema 21 GUÍA 1 - EL UNIVERSO
Finalmente, el período orbital T se puede conocer según
T = 2π
ω
ω = r × v → = 2π
R0v
siendo v la velocidad orbital. Entonces
mVía Lactea =
4π2R30
G
(
2π
R0v
)2
Ahora sólo hay que reemplazar los números y hacer la cuenta.
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GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
Guía 2 - Fluidos clásicos
Problema 2
Ítem b
Para u = 0 la distribución de Maxwell-Boltzmann es
f (r,p) = n (r)
(2πmkT (r))3/2
exp
(
− p
2
2mkT (r)
)
Como se puede ver tiene simetría esférica en p, es decir que f (r,p) = f (r, |p |) = f (r, p). Entonces el número de partículas
con momento entre p y p+ dp se puede expresar según
n (r, p) =
2πˆ
θ=0
π̂
φ=0
f (r,p) d3r d3p
d3p = p2 sinφdθ dφ dp =
2πˆ
θ=0
π̂
φ=0
f (r,p) p2 sinφdθ dφ d3r dp
f = f (r, p)→ = p2f (r, p) d3r
2πˆ
θ=0
dθ
π̂
φ=0
sinφdφ dp
= 4πf (r, p) p2 d3r dp
= 4πn (r)
(2πmkT (r))3/2
p2 exp
(
− p
2
2mkT (r)
)
d3r dp
= f (r, p) dr dp
Por otro lado se sabe que el número de partículas con momento entre p1 y p2 viene dado por
n (r, p ∈ (p1, p2)) =
p2ˆ
p1
fp
(
r, p′
)
dp′ d3r
siendo fp (r, p) = f (r, p) la distribución hallada previamente. Usando la relación p = mv lo anterior puede expresarse como
n (r, v ∈ (v1, v2)) =
mv2ˆ
mv1
fp
(
r, p′
)
dp′ d3r
=
v2ˆ
v1
fp
(
r,mv′
) dp′
dv′︸ ︷︷ ︸
fv(r,v′)
dv′ d3r
por lo tanto
fv (r, v) = fp (r,mv)
dp
dv
fp (r, p) =
4πn (r)
(2πmkT (r))3/2
p2e−
p2
2mkT (r)
p = mv
→ = 4π
(
m
2πkT (r)
)3/2
v2 exp
(
− mv
2
2kT (r)
)
Ítem c
Cada una de estas cantidades es 
〈v〉 (r) def=
∞̂
0
vf (r, v) dv =
√
8kT (r)
πm
n (r)
〈
v2
〉
(r) def=
∞̂
0
v2f (r, v) dv = 3kT (r)n (r)
m
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Problema 4 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
Problema 4
Ítem a
La fotósfera del sol está compuesta en un 75 % de hidrógeno. Una línea espectral de frecuencia νemitida emitida por un
átomo que se mueve con velocidad β = vc
νobservada = νemitida (1− β · r̂) γ→ Doppler shift
= νemitida (1− β cos θ) γ
siendo r̂ el versor que apunta en la dirección de observación y θ el ángulo entre r̂ y β. Debido a que la distribución de
velocidades es isótropa entonces θ tiene una distribución uniforme entre 0 y 2π. En cambio β sigue la distribución de
Maxwell-Boltzmann.
Por algún motivo que no termino de entender hay que considerar que θ = 0 o θ = π. Esto me parece medio trucho pero
es la forma en que usualmente se trata el problema (ver por ejemplo este link). Eligiendo θ = π queda
νobservada = νemitida (1 + β) γ
Si la velocidad de las partículas es v � c entonces el factor γ ≈ 1 y se puede simplificar
νobservada = νemitida
(
1 + v
c
)
De aquí se puede despejar
v = c
(
νobservada
νemitida
− 1
)
→ Cambio de variable
Considérese ahora la distribución de Maxwell-Boltzmann
fv (v) =
( m
2πkT
)3/2
exp
(
−mv
2
2kT
)
que en una única dimensión (digamos vx) es
fv (v) =
√
m
2πkT exp
(
−mv
2
2kT
)
→ En una dimensión
Se puede hacer ahora un cambio de variable para ponerla como función de la frecuencia
fν (ν) = fv (v (ν))
dv
dν
ν = νobservada → = 4π
√
m
2πkT
c3
ν0
(
ν
ν0
− 1
)2
exp
(
−mc
2
2kT
(
ν
ν0
− 1
)2)
Ahora se puede calcular el ensanchamiento Doppler según
Ensanchamiento→σν =
√
〈ν2〉 − 〈ν〉2
...
=
√
kT
mc2
ν0 �
Las cuentas las hice con el programa wxMaxima, a continuación dejo el código y los resultados:
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https://es.wikipedia.org/wiki/Ensanchamiento_Doppler
https://es.wikipedia.org/wiki/Ensanchamiento_Doppler#Derivaci%C3%B3n
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Problema 5 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
(%i5) assume(m>0)$ assume(ν_0>0)$ assume(T>0)$ assume(c>0)$ assume(k>0)$
(%i6) f_v(v) := sqrt(m/(2*%pi*k*T))*exp(-m*v^2/(2*k*T)); /* Maxwell-Boltzmann */
(%o6) fv( )v :=
m
2 π k T
exp
( )−m v2
2 k T
(%i7) v(ν) := c*(ν/ν_0 - 1); /* Doppler */
(%o7) v( )ν :=c
ν
ν0
−1
(%i8) f_ν(ν) := f_v(v(ν))*diff(v(ν), ν, 1); /* Cambio de variable */
(%o8) fν( )ν :=fv( )v( )ν
d
d ν
v( )ν
(%i9) σ_ν: sqrt( integrate(f_ν(ν)*ν^2, ν, -inf, inf)- integrate(f_ν(ν)*ν, ν, -inf, inf)^2 );
(σ_ν)
c m
23 2/ π T k ν0
3
c m
+
23 2/ π T3 2/ k3 2/ ν0
3
c3 m3 2/
23 2/ π T k ν0
−ν0
2
(%i10) factor(σ_ν);
(%o10)
T k ν0
c m
Problema 5
De acuerdo a lo que se vio en la clase teórica el tensor de presiones es
Pij (r) =
1
m
ˆ
pipjf (r,p) d3p→ Tensor de presiones
Si hay equilibrio termodinámico local entonces f es la distribución de Maxwell-Boltzmann fp (r,p) = n(r)(2πkT (r))3/2 exp
(
− p
2
2mkT (r)
)
.
Haciendo las cuentas (me las hizo la compu) se puede verificar que
Pij (r) =
{
n (r) kT (r)m3/2 para i = j
0 para i 6= j
Entonces
p = 13 tr (Pij)
= mnkT
Me está sobrando la masa m, no sé... Como se puede ver se satisface que para un fluido ideal en equilibrio termodinámico
Pij = pδij→ Para fluido ideal en eq.
Problema 7
El fenómeno será mas intenso en el ecuador. Si la estrella tiene un radio R entonces una partícula de masa m en el ecuador
sentirá las fuerzas F gravitatoria = −
mMG
R2
r̂
F centrífuga = mω2Rr̂
En el caso límite ambas fuerzas son iguales con lo cual se obtiene
ω0 =
√
MG
R3
Utilizando datos de Wikipedia obtengo
ωpara el sol0 ∼ 6,6× 10−4
lo que corresponde a un período de
T para el sol0 ∼ 0,11 dı́as
El período de rotación real del sol es
Tsol ∼ 24,5 dı́as
lo cual está bastante lejos del valor límite.
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Problema 8 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
Problema 8
Ítem a
Las únicas fuerzas a las que estarán sometidos los elementos de fluido, vistos desde un sistema de referencia inercial (o
sea que no rota con el planeta) serán la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga.
La densidad de fuerza centrífuga viene dada por
f centrífuga = −ρω × (ω × r) → Densidad de fuerza centrífuga
Para ω = ωẑ la fuerza centrífuga será (coordenadas cilíndricas)
f centrífuga = −ρω2ẑ × (ẑ × r)
ẑ × r =
∣∣∣∣∣∣
r̂ θ̂ ẑ
0 0 1
r 0 z
∣∣∣∣∣∣→ = −ρω2rẑ × θ̂
ẑ × θ̂ = −r̂ → = ρω2rr̂de cilíndricas
Como se puede ver
f centrífuga =
∂
∂r
(
ρr2ω2
2
)
r̂
= −∇
(
−ρω
2
2 r
2
)
→ Coordenadas cilíndricas
por lo tanto
φcentrífugo = −
ρω2
2 r
2→ Coordenadas cilíndricas
Por otro lado la fuerza gravitatoria se obtiene a partir del potencial gravitatorio. Si uno quisiera hacer bien este problema
debería escribir
φgravitatorio = −ρG
˚
Vdel planeta
d3r′∣∣ r − r′ ∣∣
y, como Vdel planeta es función de la fuerza centrífuga y la fuerza centrífuga es función de la deformación del planeta, se
obtendría un sistema acoplado e imposible de resolver manualmente. CREO que hay que asumir que el planeta no se deforma
demasiado, entonces aún se lo puede considerar como una esfera en lo que respecta al φgravitatorio. Para una distribución
esférica el potencial gravitatorio en el interior es (lo saqué de este link)
φgravitatorio ≈ dφgravitatoriocel interior de una esfera
= −2π3 ρ
2Gr2→ Coordenadas esféricas
Entonces
φ = φcentrífugo + φgravitatorio
= −ρω
2
2 r
2
de cilíndricas −
2π
3 ρ
2Gr2
rde cilíncricas = r sinφ→ = −
ρω2
2 r
2 sin2 φ− 2π3 ρ
2Gr2
donde r ≡ rde esféricas.
Ítem b
Si la superficie del planeta es una isobara entonces
d∇pcSuprficie del planeta = 0
Debido a que el planeta está compuesto por un fluido ideal entonces la dinámica de este queda descripta por la ecuación de
Navier-Stokes
∂tu+ (u ·∇)u = −
∇p
ρ
+ f→ Navier-Stokes
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Problema 9 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
En el caso estacionario se tiene que ∂tu = 0. Por otro lado el término (u ·∇)u se anula debido a la simetría del problema:
es de esperar que
u = u (r, φ) θ̂→ Por la simetría
Entonces
(u ·∇)u = u (r, θ) 1
r sinφ
∂
∂θ︸ ︷︷ ︸
θ̂·∇
u (r, φ) θ̂ = 0
En consecuencia la ecuación de Navier-Stokes queda
∇p = ρf
f = −∇φ→ = −ρ∇φ
Si d∇pcSuprficie del planeta = 0 entonces
dφcSuperficie del planeta = φ0→ Constante
−ρω
2
2 R
2 sin2 φ− 2π3 ρ
2GR2 =
de donde se puede despejar
R =
√
− φ0
ρω2
2 sin
2 φ+ 2π3 ρ2G
Para dar un valor de φ0 se puede considerar un punto de referencia como por ejemplo un polo. En este caso
dφcEn un polo = φ (R0, φ = 0)
= −2π3 ρ
2GR20
Entonces
R (φ) = R0
√
1
3ω2
4πρG sin
2 φ+ 1
Como se puede ver R (θ) ≥ R0 = dRcEn el polo lo cual tiene sentido X.
Problema 9
Ítem a
La ecuación de Navier-Stokes para un fluido ideal es(
∂
∂t
+ u ·∇
)
u = −∇p
ρ
+ f→ Navier-Stokes
Creo que hay que asumir que el fluido está en reposo, esto es
u ≡ 0→ Fluido en reposo
(que es distinto del caso estacionario ∂u∂t = 0). La densidad de fuerza por unidad de masa f será producto del potencial
gravitatorio, es decir que
f = −∇φ
con φ = MGr siendo M la masa del planeta. La ecuación de Navier-Stokes queda entonces
∇p
ρ
+ ∇φ = 0
Considerando a la atmósfera como formada por un gas ideal entonces vale la ecuación de estado del gas ideal
p = nkT
= ρ
m
kT
Introduciendo esto en la ecuación de Navier-Stokes, y usando la hipótesis de atmósfera isotérmica,
kT
m
∇ρ
ρ
+ ∇φ = 0
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Problema 9 GUÍA 2 - FLUIDOS CLÁSICOS
Reemplazando ∇ en coordenadas esféricas se obtienen las siguientes tres ecuaciones
r̂) kT
m
1
ρ
∂ρ
∂r
− MG
r2
= 0
θ̂) ∂ρ
∂θ
= 0
φ̂) ∂ρ
∂φ
= 0
Evidentemente ρ sólo depende de r, como era de esperarse dada la simetría del problema. Para la ecuación de la componente
radial se tiene la ecuación diferencial
∂ρ
∂r
− mMG
kTr2
ρ = 0
cuya solución es
ρ (r) = C exp
(
−mMG
kTr
)
Asumiendo que ρ (R) = ρR (la densidad a nivel del suelo) entonces
ρ (r) = ρR exp
(
−mMG
kT
[
1
R
− 1
r
])
En cuanto a la presión, ésta se obtiene simplemente reemplazando ρ en la ecuación de estado p = ρmkT .
Para r ≈ R podemos considerar una aproximación de Taylor para el exponente, es decir
1
r
− 1
R
≈ −r −R
R2
+ . . .
y si además definimos z def= r −R entonces
ρ (z) ≈ ρR exp
(
−zmMG
kTR2
)
MG
R2
def= g → = ρR exp
(
−zmg
kT
)
H
def= kT
mg
→ = ρR exp
(
− z
H
)
Obsérvese que también podríamos haber aproximado a ρ del siguiente modo
ρ (r ∼ R) ≈ ρR
(
1− mGM
R2kT
(r −R) + . . .
)
g
def= GM
R2
z
def= r −R
→ = ρR (1− mgkT z + . . .)
= ρR
(
1− z
H
+ . . .
)
Ítem b
Es hacer la integralita
´∞
0 ρRe
− zH dz = ρRH.
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GUÍA 3 - RELATIVIDAD
Guía 3 - Relatividad
Problema 2 (No entiendo enunciado)
Ítem a
No termino de entender qué está pasando...
θ
β βap
Si fuese como en el dibujito que hice entonces βap = β sin θ y listo...
Problema 3
Ítem a
La diferencia más notable que encuentro es que para θ = π2 en el caso clásico no hay efecto Doppler mientras que en el
caso relativista sí hay.
Ítem b
A partir de
{
ν′ = ν (1− β · r̂) γ
λν = c
se obtiene
λ′ = λ(1− β · r̂) γ
y entonces
z =
λ
(1−β·r̂)γ − λ
λ
= 1− (1− β · r̂) γ(1− β · r̂) γ
Reemplazando β · r̂ = vc cos θ y γ =
1√
1− v2
c2
se puede despejar
v
c
=
(z + 1)2 cos θ ±
√
(z + 1)2 cos2 θ − z2 − 2z
(z + 1)2 cos2 θ + 1
Para θ = 0 lo anterior se reduce a
v
c
= z (z + 2)
(z + 1)2 + 1
Dada la definición de z def= λ
′−λ0
λ0
se tiene que z ∈ (−1,∞). En consecuencia −1 < vc < 1 lo cual demuestra que | v | < c.
Si existieran velocidadessuperlumínicas lo que ocurriría es que z se volvería imaginario, como así también la frecuencia
observada y muchas otras cantidades. No sé cómo se interpreta esto.
Problema 4
Ítem a
La ley que se aplica para sacar todo es la conservación del cuadrimomento
dpµcπ+ = dp
µcµ+ + νµ
= dpµcµ+ + dp
µcνµ
Para cada partícula se tiene 
dpµcπ+ =
[
Eπ+/c
0
]
→ Pión en reposo
dpµcµ+ =
[
Eµ/c
pµ+
]
dpµcνµ =
[
Eν/c
pνµ
]
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Problema 5 GUÍA 3 - RELATIVIDAD
por lo tanto {
Eπ+ = Eµ+ + Eνµ
pµ+ = −pνµ ≡ p
Utilizando la relación
E2 = c2p2 +m20c4
que se obtiene de considerar el invariante relativista pµpµ del siguiente modo
dpµpµcFrame cualquiera = dp
µpµcFrame en el que p=0 y γ=1
pµ =
[
E
c
p
]
→ E
2
c2
− p2 = m2c2← pµ = mγ
[
c
p
]
se encuentra que 
Eπ+ = mπ+c2
Eµ+ =
√
m2µ+c
4 + c2p2
Eνµ = cp
Reemplazando en Eπ+ = Eµ+ + Eνµ se obtiene
mπ+c
2 =
√
m2µ+c
4 + c2p2 + cp
de donde se puede despejar
p = c
m2π+ −m2µ+
2mπ+
Entonces
Eπ+ = Eµ+ + Eνµ
mπ+c
2 =
√
m2µ+c
4 + c2p2 + Eνµ
y reemplazando p = c
m2
π+−m
2
µ+
2mπ+
se obtiene finalmente
Eνµ = c2
m2µ+ + 3m2π+
2mπ+
Problema 5
Ítem a
En dibujitos lo que está pasando es lo siguiente
Electrón θ
ϕ
Situación inicial Situación final
Fotón
Los momentos iniciales y finales son
(
pinicialγ
)
µ =
[
hνi
c
hνi
c x̂
]
(
piniciale
)
µ =
[
mc2
0
]

(
pfinalγ
)
µ =
[
hνf
c
hνf
c (x̂ cos θ + ŷ sin θ)
]
(
pfinale
)
µ =
[ √
p2 +mc2
p (x̂ cosφ− ŷ sinφ)
]
donde se ha usado la relación E2 = c2p2 +m2c4 para las componentes temporales de los cuadrimomentos. Por conservación
de cuadrimomento vale que
Conservación→

hνi
c
+mc2 = hνf
c
+
√
p2 +m2c4 → Componente temporal
hνi
c
= hνf
c
cos θ + p cosφ → Componente en x̂
0 = hνf
c
sin θ − p sinφ → Componente en ŷ
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Problema 6 (averiguar si esto está bien) GUÍA 3 - RELATIVIDAD
De las segundas dos ecuaciones se puede despejar

p cosφ = h
c
(νi − νf cos θ)
p sinφ = h
c
νf sin θ
. Elevando cada una al cuadrado y sumándolas
se obtiene
p2 = h
2
c2
(
ν2i + ν2f − 2νiνf cos θ
)
De la primera ecuación (conservación de componente temporal) se puede despejar
p2 =
[
h
c
(νi − νf ) +mc2
]2
−m2c4
= h
2
c2
(νi − νf )2 + 2
h
c
(νi − νf )mc2 +���m2c4 −���m2c4
= h
2
c2
(
ν2i + ν2f − 2νiνf
)
+ 2h
c
(νi − νf )mc2
Igualando estas dos últimas expresiones supongo que se despeja el resultado...
h�2
c�2
(
���
�ν2i + ν2f − 2νiνf cos θ
)
= h
�2
c�2
(
���
�ν2i + ν2f − 2νiνf
)
+ 2
�
��h
c
(νi − νf )mc2
−2h
c
νiνf cos θ = −2
h
c
νiνf + 2 (νi − νf )mc2
h
mc3
(1− cos θ) = νi − νf
νiνf
Listo, a menos de un c y un signo menos este es el resultado X.
Problema 6 (averiguar si esto está bien)
La ecuación de estado de un gas ideal es
PV = nRT → Gases ideales
siendo R = kNA la constante universal de los gases ideales (k es la constante de Boltzmann y NA el número de Avogadro).
Ahora es simplemente hacer la cuenta. En particular, haciendo las cuentas con los datos de la consigna, se tiene que
P =
{
c1n
5/3 Caso no relativista
c2n
4/3 Caso relativista
con c1 = 3
2/3h2
20π2/3m y c2 =
31/3ch
8π1/3 . Entonces las ecuaciones de estado son
Eqs. de estado→
{
c1n
4/3V = RT Caso no relativista
c2nV = RT Caso relativista
Para el que esté interesado en las cuentas (hechas con el programa wxMaxima):
(%i2) ε_clasico: p^2/2/m;
ε_relativista: p·c;
(ε_clasico)
p2
2 m
(ε_relativista) c p
(%i4) P_clasica: 8·%pi/3/h^3·integrate(p^3·diff(ε_clasico,p,1), p, 0, p_F);
P_relativista: 8·%pi/3/h^3·integrate(p^3·diff(ε_relativista,p,1), p, 0, p_F);
(P_clasica)
8 π pF
5
15 h3 m
(P_relativista)
2 π c pF
4
3 h3
(%i6) P_clasica: subst((3·h^3/8/%pi·n)^(1/3), p_F, P_clasica);
P_relativista: subst((3·h^3/8/%pi·n)^(1/3), p_F, P_relativista);
(P_clasica)
32 3/ h2 n5 3/
20 π2 3/ m
(P_relativista)
31 3/ c h n4 3/
8 π1 3/
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Problema 7 GUÍA 3 - RELATIVIDAD
Problema 7
Si un fotón fue emitido con una frecuencia νemitido y fue detectado con una frecuencia νobservado entonces el redshift se
calcula según
zgravitatorio
def= νemitido − νobservado
νobservado
→ Redshift
ν ∝ E → = ∆E
E
Redshift gravitatorio→ = −∆φ
c2
Ahora se considerará que 
dφcTierra = 0
dφcDonde se emite el fotón = −
MG
R
La justificación para considerar que dφcTierra = 0 radica en el hecho de que
MTierra
RTierra
� MR , es decir que considero que el fotón
se emitió en un objeto muy masivo y compacto. Entonces
zgravitatorio =
MG
Rc2
Por otro lado el redshift Doppler es tal que νobservado = νemitido (1− β · r̂) γ. Asumiendo que β = βr̂ entonces
zDoppler = 1− γ + βγ
Igualando ambos redshifts y despejando para β (recordar que γ = 1√
1−β2
) se obtiene
β =

GM
(
2Rc2 −GM
)
Rc2 (2Rc2 − 2GM) +G2M2
1
Como β = 1 implica que el objeto se mueve a la velocidad de la luz, descartamos esta solución y nos quedamos con la otra.
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GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
Guía 4 - Atmósferas estelares
Problema 1
Ítem a (falta una cosa!)
El número de partículas es por definición
nν =
ˆ
dr
ˆ
dpfν (r,p)
En cuanto a la energía, si hν es la energía de un fotón con frecuencia ν entonces
�ν = hνnν
es la energía de n fotones de frecuencia ν.
En astronomía se suele definir la intensidad de radiación Iν de modo tal que
dEnergía = Iν dΩ dν dS dt
Es decir que
Iν ∼
Energía
Ángulo sólido× Frecuencia× Superficie× Tiempo
De acuerdo a lo que vimos en la práctica
Iν (r) =
h4ν3
c2
ˆ
fν (r,p) d3p
Está bien lo anterior?
La intensidad media Jν es es el momento de orden cero
Jν (r, t)
def= 14π
‹
Iν (r, t) dΩ
mientras que el flujo es el momento de primer orden
qν
def= 1
c
‹
uIν dΩ
Ítem c
La componente ij del tensor de presión es
(pν)ij =
1
c3
‹
Jνuiuj dΩ→ Tensor de presión
Problema 3
Ítem a
Por definición
qν
def= 1
c
‹
uIν dΩ
Usando que todo es ideal y que la radiación se “propaga hacia afuera”, esto es u = cr̂
u
entonces
qν = 0
para cualquier superficie esférica que rodee a la estrella... Algo no anda bien. Pregunté en clase y la respuesta fue difusa.
La definición de luminosidad de una estrella es
Lν
def=
‹
qν · ds
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Problema 6 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
Asumiendo que
qν = qν (r) r̂→ Asumo esto
entonces Lν se puede calcular en forma trivial sobre cualquier superficie esférica de radio r centrada en la estrella y da
Lν = 4πr2qν (r)
Debido a que r puede ser cualquiera, en particular se puede elegir r = R (o sea la superficie de la estrella) con lo cual
Lν =
{
4πr2qν (r)
4πR2qν (R) ← Evaluado en la superficie
y entonces
qν (r) = qν (R)
R2
r2
Problema 6
Ítem a
Dado un fluido (gas de fotones) la fuerza que éste ejerce sobre una superficie ds = n̂ ds es
dFi = σijdsj→ Lo vi en E1
siendo σij el tensor de esfuerzos. En el caso de un fluido ideal
σij = −p1→ Fluido ideal
con lo cual
dFi = −pδij dsj
= −p dsi
y ésta será la fuerza que se ejerce sobre un elemento de fluido de hidrógeno ionizado.
Para un gas de fotones se tiene que
pν
def= 13 tr
(
(pν)ij
)
(pν)ij =
1
c3
‹
Jνuiuj dΩ→ =
1
3 tr
(
1
c3
‹
Jνuiuj dΩ
)
Isotropía por consigna⇒ Jν = Iν → =
Iν
3c3
‹
tr (uiuj) dΩ
= Iν3c3
‹
|u |2 dΩ
u = cr̂ → = 4πIν3c
Ahora usamos las siguientes formulitas{
qν (R) = 4πIν → Flujo en superficie estrella
Lν = 4πR2qν (R) → Luminosidad
con lo cual
pν =
Lν
12πR2c
Integrando en todo el espectro
p =
ˆ
pν dν
= L12πR2c
Entonces
dF = − L12πR2c ds
Para concluir se debe integrar esta expresión en todo el contorno de un elemento de H II, el cual consideraré como un
objeto sólido con uno contorno del siguiente modo
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Problema 7 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
R
R+dr
p(R)
p(R+dR)Elemento de H II
ds S1 S2
S3
S4
R
dθ
Entonces
F =
˛
S
dF
Se cancelan por simetría→ =
�
�
��
ˆ
S1
dF +
ˆ
S2
dF +
�
�
��
ˆ
S3
dF +
ˆ
S4
dF
= L12πc
ˆ
S2
ds
R2
+
ˆ
S4
ds
R2

≈ L12πc
(
S2
R2
+ S4
(R+ dr)2
)
S2 = −S2r̂
S4 = S4r̂
}
→ = Lr̂12πc
(
S4
(R+ dr)2
− S2
R2
)
Taylor a orden cero en dr → ≈ Lr̂12πc
(
S4
R2
− S2
R2
)
= (S4 − S2)L12πcR2 r̂
Con un poco de fe decimos ahora que S4 − S2 = σ que es la sección eficaz y entonces
F = σL12πcR2 r̂
Obsérvese que como S4 > S2 entonces σ > 0 y la fuerza es, efectivamente, “hacia afuera” de la estrella.
Problema 7
Ítem a
La ecuación de transporte de radiación es
∂tIν + u ·∇Iν = (Sν − Iν) ρκν

Sν =
eν + σνJν
κν
→ Función fuente
κν = kν + σν → Opacidad
kν → Coeficiente de absorción
σν → Coeficiente de scattering
ρ → Densidad de absorbentes
eν → Emisividad
Cuando se está en equilibrio termodinámico entonces
En equilibrio→

Iν = Bν → Distribución de Maxwell-Boltzmann
∂tIν = 0 → Estacionario
∇Iν = 0 → Homogeneidad
Jν = Iν → Isotropía
con lo cual la ecuación de transporte se convierte en
0 =
(
eν + σνBν
κν
−Bν
)
ρκν
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Problema 8 GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
por lo tanto eν+σνBνκν −Bν = 0 de donde se obtiene
eν = (κν − σν)Bν
κ
def= k + σ → = kνBν X
Problema 8
Ítem a
Para una atmósfera estacionaria, plana y estratificada en la que z es la dirección vertical vale que
∂
∂t
≡ 0 → Estacionaria
∂
∂x
= ∂
∂y
≡ 0 → Plana
? → Estratificada
con lo cual la ecuación de transporte ∂tIν + u ·∇Iν = (Sν − Iν) ρκν resulta
c cos θ
ρκν
∂Iν
∂z
= Sν − Iν
donde se usó que u = cû con û apuntando en la dirección del observador. Definiendo

µ
def= cos θ
τν
def=
∞̂
z
ρκν
c
dz
finalmente se obtiene
µ
∂Iν
∂τν
= Iν − Sν
Ítem b
De la ecuación de transporte se puede despejar
Sν = µ
∂Iν
∂τν
− Iν
Ahora se multiplica a ambos lados por e−
τν
µ con lo cual
e−
τν
µ Sν =
(
µ
∂Iν
∂τν
− Iν
)
e−
τν
µ
= µ ∂
∂τν
(
Iνe
− τνµ
)
Multiplicando por ∂τν a ambos lados e integrando se obtiene
El infinito (?)ˆ
El observador
e−
τν
µ Sν dτν = µ
El infinito (?)ˆ
El observador
d
(
Iνe
− τνµ
)
= µ
⌈
Iνe
− τνµ
⌋El infinito (?)
En el observador
El observador ≡ τν = 0→ = µIν (τν = 0)
por lo tanto
Iν (τν = 0) =
1
µ
∞̂
0
e−
τν
µ Sν dτν
No sé por qué el límite de integración superior es ∞, así lo hicimos en clase.
Ítem c
Asumiendo que Sν ≈ aτν + b entonces (sólo es hacer la cuentita)
Iν (τν = 0) = µa+ b
= a cos θ + b
Como a, b > 0 entonces esta es una función que decrece a medida que θ → π2 que es justamente lo que ocurre en el limbo
solar.
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Problema 9 FALTA GUÍA 4 - ATMÓSFERAS ESTELARES
Problema 9 FALTA
Hay que modelarlo como un problema de atmósfera plano-paralela pero “al revés” que en el caso del sol. Es decir, tenemos
lo siguiente:
θ
Atmósfera
← Mr. Eyes
← Estrella en el infinito
Intensidad de radiación
justo afuera de la atmósfera, m0
z
u
La propagación en la atmósfera está modelada por la ecuación de transporte
∂tIν + u ·∇Iν = (Sν − Iν) ρκν→ Transport equation
Al igual que en el problema 8, consideramos las hipótesis de atmósfera estacionaria, plana y estratificada con lo cual
∂
∂t
= 0
∂
∂x
= ∂
∂y
= 0
Considerando además que
u = cû = c (x̂ sin θ − ẑ cos θ)
la ecuación de transporte queda
c cos θ∂Iν
∂z
= (Sν − Iν) ρκν
o, en términos de la profundidad óptica τν
def=
´∞
z
ρκν
c dz,
∂Iν
∂τν
cos θ = Iν − Sν
.............. DANDOAS NDKAOS PDNKASOP DNASKOP DNAPOD
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GUÍA 5 - MEDIO INTERESTELAR
Guía 5 - Medio interestelar
Problema 2
La energía de una partícula de polvo puede expresarse según
E = Ede traslación + Ede rotación
= m2 v
2 + I2ω
2
donde I es el momento de inercia y ω la velocidad angular. En consecuencia el valor medio de la energía será
〈E〉 = m2
〈
v2
〉
+ I2
〈
ω2
〉
= m2
(〈
v2x
〉
+
〈
v2y
〉
+
〈
v2z
〉)
+ I2
(〈
ω2x
〉
+
〈
ω2y
〉
+
〈
ω2z
〉)
= 〈Tx〉+ 〈Ty〉+ 〈Tz〉+ 〈Rx〉+ 〈Ry〉+ 〈Rz〉
donde Ti y Ri son las energías de traslación y de rotación en cada eje, respectivamente.
Por otro lado, el teorema de equipartición de la energía dice que si cada partícula de un gas ideal contiene i ∈ {1, . . . , N}
grados de libertad, entonces a cada grado de libertad le corresponde una energía media dada por
〈�i〉 =
kT
2 → Equipartición
En el caso de los granos de polvo esto quiere decir que
〈Ti〉 =
kT
2
〈Ri〉 =
kT
2
De aquí se puede despejar 
〈
v2i
〉
= kT
m〈
ω2i
〉
= kT
I
y entonces 
〈
v2
〉
= 3kT
m〈
ω2
〉
= 3kT
I
Problema 3
Ítem a
Si se consideran dos diferenciales de masa dentro de esta esfera de fluido, la energía potencial entre ellos será
dE = − dm1 dm2G
| r1 − r2 |
dm = ρ d3r → = −ρ (r1) ρ (r2)G
| r1 − r2 |
d3r1 d
3r2
La energía potencial total para toda la distribución será
E = −G
ˆ
d3r1
ˆ
d3r2
ρ (r1) ρ (r2)
| r1 − r2 |
Multiplicando y dividiendo por los parámetros apropiados se obtiene
E = ΘGM
2
R
con
Θ = − R
M2
ˆ
d3r1
ˆ
d3r2
ρ (r1) ρ (r2)
| r1 − r2 |
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Problema 3 GUÍA 5 - MEDIO INTERESTELAR
Si la distribución es homogénea entonces ρ (r) = ρ = constante con lo cual
Θ = −Rρ
2
M2
ˆ ˆ
d3r1 d
3r2
| r1 − r2 |
→ Para distribución homogénea
r
def= r1 − r2
d3r = d3r1
}
→ = −Rρ
2
M2
ˆ
d3r2
ˆ
d3r
r
d3r en esféricas→ = −Rρ
2
M2
ˆ
d3r2 4π
R̂
0
r dr
= −2πR
3ρ2
M2
ˆ
d3r2︸ ︷︷ ︸
4π
3 R
3
= −8π
2
3
R6ρ2
M2
M = 4π3 ρR
3 → = −32
En este caso la energía es simplemente
E = −32
GM2
R
(En clase quedó 52 ...)
Ítem b PREGUNTAR
La ecuación de Navier-Stokes, luego de aplicar todas las simplificaciones de siempre, es
∇p+ ρ∇φ = 0→ Navier-Stokes
Ahora hay que usar un truco que es multiplicar por ·r e integrar. Con eso sale. El primer término es
ˆ
∇p · r d3r =
Identidad vectorial︷ ︸︸ ︷ˆ
∇ · (pr) d3r −
ˆ
p∇ · r d3r
Teorema de la div.
∇ · r = 3
}
→ =
˛
pr · ds− 3
ˆ
p d3r
dpc¸ ≡ p0 → = p0
˛
r · ds−3
ˆ
p d3r
= 4πR3p0 − 4
ˆ
p d3r
Ahora asumimos equilibrio termodinámico y entonces p = nkT . Además, se asume todo homogéneo menos n (r). Entonces
ˆ
∇p · r d3r = 4πR3p0 − 4kT
ˆ
n (r) d3r︸ ︷︷ ︸
N
= 4πR3p0 − 4kTN
cV (r) =
3
2
k
m
para gas ideal monoat.→ = 4πR3p0 −
8
3cV Tsocmsocmsocm
donde NA es el número de Avogadro. EN CLASE QUEDÓ DISTINTO! Pero no sé qué se usó...
El otro término de Navier-Stokes es
ˆ
∇φ · r d3r = −ΘGM2
ˆ
d3r
r2
← φ = ΘGM
2
R
⇒∇φ = −ΘGM
2
R2
Θ = −32ˆ
d3r
r2
= 4πR
→ = 6πGM2R
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Problema 3 GUÍA 5 - MEDIO INTERESTELAR
Juntando los dos términos
4πR3p0 −
8
3cV T
N
NA
+ 6πρGM2R = 0
reemplazando ρ = 4π3
M
R3 , y despejando p0 se obtiene algo que no es lo de la consigna... Debe haber alguna cuenta mal en
algún lugar, ya fue.
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GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR
Guía 6 - Estructura y evolución estelar
Problema 1
Ítem b
PREGUNTA 1 - Escala hidrodinámica
No la estoy encontrando en la bibliografía.
Escala de Kelvin-Helmholtz [Carroll and Ostlie, 2017, p. 386] La escala de Kelvin-Helmholtz representa el tiempo de vida
de una estrella asumiendo que su única fuente de energía es la gravedad. Es decir, pensemos en una estrella que mediante
algún proceso mágico convierte energía gravitatoria en radiación, y que su única fuente de energía es la gravitatoria. En este
caso el tiempo de vida de la estrella sería, asumiendo además que su luminosidad es constante,
τKelvin-Helmholtz =
Egravitatoria
L
= GM
2
LR
.
Escala nuclear [Carroll and Ostlie, 2017, p. 388] La escala nuclear representa el tiempo de vida de una estrella asumiendo
que su única fuente de energía es la conversión de materia de los núcleos mediante E = mc2. Entonces, asumiendo luminosidad
constante a lo largo de su vida,
τnuclear ∼
Mc2
L
.
Lo anterior sería válido si toda la masa de la estrella se pudiera convertir en radiación. Sin embargo las reacciones nucleares
permiten que esto ocurra sólo para una fracción de la masa. Es por ello que se añade un factor Q que tiene en cuenta el
“rendimiento” de este proceso (es decir Q ∝ mproductosmreactivos ) y además tiene en cuenta que no toda la estrella tiene temperatura
suficiente para realizar reacciones nucleares (por ejemplo sólo el 10 % de la masa en el núcleo está sometida a condiciones
tales para que se den las reacciones [Carroll and Ostlie, 2017, example 3.2, p. 389]). Entonces
τnuclear =
QMc2
L
.
Problema 2
La expresión
B = c2 (Zmp + (A− Z)mn −m) → Energía de ligadura del núcleo
es la energía de ligadura del núcleo. La energía de ligadura por nucleón es, entonces,
f = B
A
.→ Energía de ligadura por nucleón
El gráfico de f como función de A es una cosa así [Choudhuri, 2010, fig. 4.1], [Carroll and Ostlie, 2017, p. 404]
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Problema 5 GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR
y como se puede ver el elemento que está en la cima es el 56Fe. Esto quiere decir que si se tienen, por ejemplo, dos átomos
de hidrógeno y se los combina en un helio, éste último será más estable que los dos hidrógenos. Si se continúa fusionando
núcleos éstos son cada vez más estables hasta llegar al hierro a partir del cual comienzan a hacerse más inestables. Entonces,
en forma natural, lo que ocurrirá es lo siguiente:
Fusión es más
estable
Fisión es más
estable
Problema 5
Ítem a
Para encontrar la ecuación de equilibrio hidrostático de una estrella, se considera la ecuación de Navier-Stokes para un
fluido con viscosidad nula:
∂tu+ (u ·∇)u = −
∇p
ρ
+ f .→ Navier-Stokes
En la ecuación de equilibrio hidrostático se asumen condiciones estáticas (obvio, ja) por lo tanto
u = 0.→ Estático
Dada la simetría esférica del problema es de esperar que p = p (r) por lo que ∇p = ∂p∂r r̂. En cuanto a la fuerza, ésta es
fgravitatoria = −MrGr2 r̂ donde Mr es la masa encerrada por la esfera de radio r. Entonces [Carroll and Ostlie, 2017, p. 377]
∂p
∂r
= ρMrG
r2
.
Ítem b
Si ui es la energía interna por unidad de masa entonces
Ei =
ˆ
ui dM
es la energía interna total. Por otro lado se tiene la relación
M (r) = 4π
rˆ
0
ρ
(
r′
)
r′2 dr′
por lo tanto
dM = 4πρ (r) r2 dr
y entonces, realizando el cambio de variable en la integral de Ei,
Ei = 4π
R̂
0
uρr2 dr
Según consigna u = 3p
ρn
→ = 12π
n
R̂
0
pr2 dr.
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Problema 5 GUÍA 6 - ESTRUCTURA Y EVOLUCIÓN ESTELAR
PREGUNTA 2 - Energía potencial gravitatoria?
Cómo hago la cuenta de Eg?
Ítem c
En equilibrio hidrodinámico vale el teorema del virial (?) por lo tanto
Etotal = Einterna + Egravitatoria
Teorema del virial→ = Einterna − nEinterna
Gas ideal⇒ Einterna =
3
2kT → =
3
2kT (1− n) .
Ahora el calor específico es
cg =
dE
dT
= 32k (1− n) .
En ningún lugar se dice nada sobre n más que “es una constante”. Supongo que n > 1, de lo contrario el resultado no es el
esperado.
PREGUNTA 3 - Qué es el teorema del virial?
Por qué vale en equilibrio hidrodinámico?
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GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS
Guía 7 - Campos magnéticos
Problema 1
Ítem a
La radiación de un dipolo alineado con el eje ẑ es (Física 3 o Teórica 1)
B (r, θ) = µ04π
[
− 1
r3
ẑ + 3 cos θ
r3
r̂
]
|m |
donde m es el momento dipolar magnético. De acuerdo con la consigna éste se relaciona con otras cantidades del problema
según
|m | =
√
Ė
12πc2
ω4
√
ε0
µ0
→ Consigna
por lo tanto el campo magnético será
B (r, θ) = µ04π
[
− 1
r3
ẑ + 3 cos θ
r3
r̂
]√
Ė
12πc2
ω4
√
ε0
µ0
.
Ahora hay que encontrar Ė en función de ω y listo. Para un cuerpo rígido la energía de rotación es E = I2ω
2 por lo que
Ė = Iωω̇.
Reemplazando este resultado en la expresión del campo magnético se encuentra que
B (r, θ) = µ04π
[
− 1
r3
ẑ + 3 cos θ
r3
r̂
]√
12πIc2 ω̇
ω3
√
ε0
µ0
.
Finalmente, usando que
ω = 2π
P
→ Consigna
y que ω̇ = − 2πP 2 Ṗ entonces
ω̇
ω3 = −
ṖP
4π4 y el campo magnético es
B (r, θ) = µ04π
[
− 1
r3
ẑ + 3 cos θ
r3
r̂
]√
− 62π Ic
2ṖP
√
ε0
µ0
.
Me da imaginario, con lo cual tiene que estar mal. Cuando lo hicieron en clase dijeron “no ponemos los signos negativos” y
eso fue todo... No sé si pifié en las cuentas o si hubo magia negra en clase.
Problema 3 - MHD
Las ecuaciones MHD son, de acuerdo a lo que vimos en la teórica y en la práctica,
Eqs. MHD→

∂tρ+ ∇ · (ρu) = 0 → Continuidad
ρ (∂t + u ·∇)u = −∇p+
1
c
J ×B + ρcargaE → Navier-Stokes
E + 1
c
u×B = 1
σ
J → Ley de Ohm
∂tB = ∇× (u×B) + η∇2B → Eq. de inducción
c∇×B = 4πJ + ∂tE → La agregaron en la práctica
Por algún motivo que ahora desconozco hay que asumir que
Hay que asumir esto→

| ∂tE |
|J |
� 1
Rm
def= |∇× (u×B) |
| η∇2B |
� 1
.
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No sé de dónde sale eso, pero en clase lo asumieron. Entonces esto implica que en las ecuaciones MHD se cancela lo que está
indicado en rojo: 
∂tρ+ ∇ · (ρu) = 0 → Continuidad
ρ (∂t + u ·∇)u = −��∇p+
1
c
J ×B +����ρcargaE → Navier-Stokes
E + 1
c
u×B = 1
σ
J → Ley de Ohm
∂tB = ∇× (u×B) +���η∇2B → Eq. de inducción
c∇×B = 4πJ +��∂tE → La agregaron en la práctica
y lo que se canceló en azul es un completo misterio para mí. Es lo que hicieron en clase. Aparentemente el término con
ρcargaE se cancela pues | ρcargaE ||J×B | � 1, pero ni idea por qué.
Por otro lado la consigna dice que u0 = 0, el fluido es incompresible y homogéneo, el campo magnético es uniforme, y
hay algo que es ideal (no sé qué). Entonces
Hipótesis de la consigna→

u = δu
ρ = ρ0
B0 = B0ẑ
p = p0 + δp
J = J0 + δJ
E = E0 + δE
p
ργ
= p0
ργ0
→ Es por eso de ideal
con ∇ρ0 = 0, ∇×B0 = 0. Al meter esto en las ecuaciones MHD se obtiene
Eqs. MHD→

∇ · δu = 0
ρ0∂tδu =
1
c
(J0 × δB + δJ ×B0ẑ)
δE +
1
c
δu ×B0ẑ =
1
σ
δJ
∂tδB = (B0 ·∇) δu −B0 (∇ · δu)
0 = δJ
.
Sabiendo que ∇ · δu = 0 y que δJ = 0 se puede simplificar lo anterior tal que
∇ · δu = 0
ρ0∂tδu =
1
c
J0 × δB
δE +
1
c
δu ×B0ẑ = 0
∂tδB = (B0 ·∇) δu
.
Proponiendo δ ∼ ei(k·r−ωt) lo anterior es 
k · δu = 0
− iωρ0δu −
1
c
J0 × δB = 0
δE +
1
c
δu ×B0ẑ = 0
ωδB + (B0ẑ · k) δu = 0
Ya fue, esto jamás va a dar lo que pide la consigna. Ni siquiera tengo bien en claro cuáles son las ecuaciones MHD, en la
teórica son distintas que en la práctica. En clase fue pura magia negra la resolución de este problema.
Ítem b
Debido a que ω ∝ kz entonces las ondas de Alfvén son no dispersivas. Además como
{
k · δu = 0
k · δB = 0
entonces son ondas
transversales.
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Problema 4 - Reconexión de Sweet-Parker GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS
Problema 4 - Reconexión de Sweet-Parker
Ítem a
En el modelo de Sweet-Parker se asume
1. Una condición estacionaria, es decir que ∂t ≡ 0.
2. Fluido homogéneo ⇒∇ρ = 0.
3. Se asume una geometría idealizada como sigue
uin
uin
uoutuout L
Lminúscula
4. Se asume que L� `.
5. Se considera que uin � vAlfvén ⇒ ρinu2in �
B2in
4π .
6. ρoutu2out �
B2out
4π
?⇒ uout � vAlfvén.
En [Choudhuri, 2010, fig. 8.9] se ilustra este fenómeno:
Ítem b
Entiendo que el problema se resuelve con las ecuaciones MHD. Voy a seguir lo que hicimos en la teórica.
Si la situación es estacionaria entonces la ecuación de continuidad es ∇·(ρu) = 0. Si además se asume fluido incompresible
entonces ∇ · u = 0 e integrando sobre el contorno rectangular idealizado que se dibujó previamente se encuentra fácilmente
que
uin
uout
= `
L
.
Consideremos ahora la ecuación de Navier-Stokes
ρ (∂t + u ·∇)u = −∇p+
1
c
J ×B + ρcargaE.→ Navier-Stokes
En el caso estacionario se anula el término ∂tu y además vale que J = c4π∇ × B pues una de las ecuaciones MHD es
c∇ ×B = 4πJ + ���*
Estacionario
∂tE . Además el término ρcargaE lo despreciamos, no sé por qué. Entonces la ecuación de Navier-Stokes
queda
ρ (u ·∇)u = −∇p+ 14π (∇×B)×B
= −∇p− 14πB × (∇×B)
A× (B ×C) ≡ B (A ·C)− (A ·B)C → = −∇p− 14π (∇ (B ·B)− (B ·∇)B)
= −∇p+ 14π (B ·∇)B −∇
(
B2
4π
)
.
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Problema 4 - Reconexión de Sweet-Parker GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS
Del lado izquierdo se puede aplicar la misma identidad pero en “sentido inverso” de modo tal que (u ·∇)u = ∇u2 − u ×
(∇× u) y entonces
ρ (∇× u)× u+ ρ∇u2 = −∇p+ 14π (B ·∇)B −∇
(
B2
4π
)
.
A continuación se sacará provecho de la simetría de reflexión que tiene el problema en torno a los siguientes ejes
uin
uin
uoutuout
sobre los cuales vale, por simetría, lo siguiente
Sobre el eje rojo→

u ∝ ŷ
B ∝ x̂
∇× u = 0
∂xB = 0
Sobre el eje azul→

u ∝ x̂
B ∝ ŷ
∇× u = 0
∂yB = 0
por lo tanto la componente ŷ en el eje rojo y la componente x̂ en el eje azul son
dComponente ŷ de la ecuaciónceje rojo →
∂
∂y
(
p+ ρu2 + B
2
4π
)
= 0
dComponente x̂ de la ecuaciónceje azul →
∂
∂x
(
p+ ρu2 + B
2
4π
)
= 0
lo cual implica que 
⌈
p+ ρu2 + B
2
4π
⌋
eje rojo
= constante⌈
p+ ρu2 + B
2
4π
⌋
eje azul
= otra constante
.
Evalúese ahora cada una de estas expresiones en los puntos indicados a continuación:
uin
uin
uoutuout
A
B
C
Obtiénese ⌈
p+ ρu2 + B
2
4π
⌋
Punto A
=
⌈
p+ ρu2 + B
2
4π
⌋
Punto B
=
⌈
p+ ρu2 + B
2
4π
⌋
Punto C
y, nuevamente por simetría, {
ducPunto A = 0
dBcPunto A = 0
por lo tanto
dpcA = dpcB + ρu
2
in +
⌈
B2
⌋
B
4π = dpcC + ρu
2
out +
⌈
B2
⌋
C
4π .
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Problema 5 GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS
(Recordar que ∇ρ = 0.) Ahora vamos a considerar que
Asumimos esto→uin � vAlfvén =
dBcB√
4πρ
por lo tanto ρu2in �
dB2cB
4π . En cuanto al punto C vamos a asumir “lo opuesto”, vamos a pensar que
Asumimos esto→ ρu2out �
⌈
B2
⌋
C
4π .
Entonces la ecuación anterior es
dpcA = pin +
B2in
4π = pout + ρu
2
out.
Por algún motivo que ahora no estoy viendo lo anterior implica que
uout =
Bin√
4πρ
.
O sea, no sé qué pasa con las presiones pero parece que son iguales. Aquí hemos encontrado que
uout = dvAcin
y del principio de todo ya sabíamos que uinuout =
`
L lo cual implica que
uin
dvAcin
= `
L
tal como pedía la consigna.
Problema 5
Ítem a
Recordemos que la densidad de energía electromagnética es [Jackson, 1999, eq. (6.106)]
u = 12 (E ·D +B ·H) .
En el vacío
{
D = E
H = B
y considerando además que E ≈ 0 entonces
u = B
2
2 .
La energía total será
Etotal = 2Ede cada tubo
= 2
ˆ
tubo
B2
2 dV
Se asume todo uniforme→ = πR2LB20 .
Ítem b
La “energía procesada por unidad de tiempo” es la potencia del proceso
P = Etotal
τ
.
La estimación de τ es bien cabeza: consiste en asumir dos cilindros que se superponen
τ ∼ 2R
Uin
.
Entonces
P ∼ πR
2LB20Uin
2R .
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Problema 5 GUÍA 7 - CAMPOS MAGNÉTICOS
El número de Lundquist es
S−
1
2 = Uin
vA
→ Lundquist
vA =
B0√
4πρ0
→ = Uin
√
4πρ0
B0
donde vA es la velocidad de Alfvén.
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GUÍA 8 - GALAXIAS
Guía 8 - Galaxias
Problema 1 (LSR)
El estándar de reposo local (LSR) se define como aquel sistema de referencia (no inercial) en el que el “elemento de fluido
en el que está el sol” está en reposo. Nótese que esto no significa que el sol está en reposo en el LSR. Las coordenadas del
LSR se definen en forma estandarizada según el siguiente esquema:
Posición
Velocidad
La velocidad de una estrella i con respecto al sol (o sea, lo que nosotros medimos) es
v i
Sol
= v i
LSR
− v LSR
Sol
donde v i
Sol
es la velocidad de la estrella medida con respecto al sol, v i
LSR
es la velocidad medida con respecto al LSR y v LSR
Sol
es la velocidad del LSR con respecto al sol. (Voy a usar esta notación v objeto
respecto a
, que podría parecer exagerada,por el único
motivo de que toda la dificultad de este tema es ser prolijo con estos subíndices. En el fondo no es más que un problema de
cinemática, lo que aprendimos en las primeras dos semanas de F1.) Véase que la relación previa es equivalente a
v Sol
LSR
= v i
Sol
− v i
LSR
.
Ahora se considera un promedio sobre muchas estrellas cercanas al sol tal que
v Sol
LSR
= 1
| {Estrellas vecinas al sol} |
∑
i∈{Estrellas vecinas al sol}
(
v i
Sol
− v i
LSR
)
=
〈
v i
Sol
〉
−
〈
v i
LSR
〉
.
Por definición de LSR se tiene que
1
N
N∑
i=1
v i
Cualquier punto
= v LSR
cualquier punto
→ Definición de LSR
lo cual implica que
〈
v i
LSR
〉
= 1
N
N∑
i=1
v i
LSR
Definición de LSR→ = v LSR
LSR
≡ 0
y entonces
v Sol
LSR
=
〈
v i
Sol
〉
.→ Velocidad peculiar del Sol
Es decir, la velocidad del sol con respecto al LSR (a veces llamada velocidad peculiar del sol) es el promedio de la velocidad
de las estrellas vecinas con respecto al sol.
Para medir v i
Sol
se puede utilizar un sistema de coordenadas esféricas centrado en el sol. La componente radial se mide
por efecto Doppler en tanto que las componentes angulares se miden por simple observación de la posición de la estrella y
conocimiento de su distancia respecto al sol.
Problema 2
Consideremos el siguiente dibujito (sacado de este link)
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Problema 2 GUÍA 8 - GALAXIAS
Π0^
Θ0^
r
Θ
Π̂
Θ̂
r̂
Lo que se pide analizar son las componentes en φ̂ y r̂ de las estrellas cercanas medidas con respecto al LSR, es decir
mostrar que 〈
v i
LSR
〉
= r̂ rA sin (2l)∓ φ̂ r (B +A cos (2l)) .
donde el promedio debe entenderse como que se se realiza en una región acotada, por ejemplo como sigue:
r
← Acá se realiza el promedio
Recordando que v LSR
cualquier punto
def= 1N
∑N
i=1 v iCualquier punto véase que lo que se pide no es otra cosa que la velocidad del LSR
en un punto cercano al Sol medida con respecto al LSR solar, es decir〈
v i
LSR
〉
≡ v LSR(R,Θ)
LSR solar
.
Teniendo en mente lo anterior, procedamos ahora sí a resolver el problema. Si la galaxia es un disco con rotación diferencial
entonces
v LSR(R,Θ)
CG
= Ω (R)×R
Ω = Ω
(
−Ẑ
)
R = RΠ̂
→ = Ω (R)R(−Ẑ)× Π̂
= Ω (R)RΘ̂.
Ahora considérese la relación
v LSR(R,Θ)
CG
= v LSR(R,Θ)
LSR solar
+ v LSR solar
CG
por lo que
v LSR(R,Θ)
LSR solar
= v LSR(R,Θ)
CG
− v LSR solar
CG
v LSR(R,Θ)
CG
= Ω (R)RΘ̂
v LSR solar
CG
= Ω (R0)R0Θ̂0
→ = Ω (R)RΘ̂− Ω (R0)R0Θ̂0
Proyecto en r̂ y φ̂→ = Ω (R)R
(
r̂ cosα+ φ̂ sinα
)
− Ω (R0)R0
(
r̂ cos (π/2− `) + φ̂ sin (π/2− `)
)
= (Ω (R)R cosα− Ω (R0)R0 sin `) r̂ + (Ω (R)R sinα− Ω (R0)R0 cos `) φ̂.
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Problema 3 GUÍA 8 - GALAXIAS
Ahora hay que hacer un poco de geometría para encontrar relaciones entre las cantidades de la ecuación anterior. En particular
véase que
Geometría pura→
{
R cosα = R0 sin `
R sinα = R0 cos `− r
por lo tanto
v LSR(R,Θ)
LSR solar
= (Ω (R)− Ω (R0))R0 sin ` r̂ + (Ω (R)− Ω (R0))R0 cos ` φ̂− Ω (R) r φ̂
= (Ω (R)− Ω (R0))R0
(
sin ` r̂ + cos ` φ̂
)
− Ω (R) r φ̂.
Ahora hay que hacer unas aproximaciones asumiendo
R0, R� r→ Asumimos esto
lo cual implica que
Ω (R)− Ω (R0) ≈
⌈
dΩ
dR
⌋
R0
(R−R0)︸ ︷︷ ︸
δR
Ω = V
R
→ =
⌈
− V
R2
+ 1
R
dV
dR
⌋
R=R0
(R−R0)
=
(
− V0
R20
+ 1
R0
⌈
dV
dR
⌋
R=R0
)
(R−R0)
R−R0 ≡ −r cos `→ =
(
V0
R20
− 1
R0
⌈
dV
dR
⌋
R=R0
)
r cos `
donde V y V0 son las velocidades que figuran en el primer diagramita de la resolución. Reemplazando esto en v LSR(R,Θ)
LSR solar
se
obtiene que
v LSR(R,Θ)
LSR solar
=
(
V0
R �20
− 1
��R0
⌈
dV
dR
⌋
R=R0
)
��R0
(
r cos ` sin ` r̂ + r cos ` cos ` φ̂
)
− Ω (R) r φ̂
Id. trig.→ =
(
V0
R0
−
⌈
dV
dR
⌋
R=R0
)
︸ ︷︷ ︸
2A
(
r
sin (2`)
2 r̂ + r
cos (2`) + 1
2 φ̂
)
− Ω (R) r φ̂
= Ar sin (2`) r̂ +Ar cos (2`) φ̂+ 12
(
V0
R0
−
⌈
dV
dR
⌋
R=R0
)
r φ̂− Ω (R) r φ̂.
Para la componente radial ya se tiene lo que se estaba buscando X. Para la componente tangencial (o sea φ̂) se puede
aproximar, usando que R,R0 � r,
Ω (R) ≈ Ω (R0) =
V0
R0
y entonces
v LSR(R,Θ)
LSR solar
≈ Ar sin (2`) r̂ +Ar cos (2`) φ̂+ 12
(
V0
R0
−
⌈
dV
dR
⌋
R=R0
)
r φ̂− V0
R0
r φ̂
= Ar sin (2`) r̂ +Ar cos (2`) φ̂− 12
(
V0
R0
+
⌈
dV
dR
⌋
R=R0
)
︸ ︷︷ ︸
B
r φ̂
= Ar sin (2`) r̂ + [A cos (2`)−B] r φ̂ X.
Problema 3
Ítem a
El lagrangiano de una partícula en un potencial central es
L = m2 ṙ
2 + mMG
r2
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Problema 3 GUÍA 8 - GALAXIAS
donde r es el vector que une a la partícula y a la masa que produce el campo gravitatorio. En coordenadas polares
r = rr̂ ⇒ ṙ = ṙr̂ + rθ̇θ̂ ⇒ ṙ2 = ṙ2 + r2θ̇2
esto es
L = m2
(
ṙ2 + r2θ̇2
)
+ mMG
r
.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange ddt
(
dL
dq̇
)
= dLdq para cada coordenada son
Euler-Lagrange→

mr̈ = d
dr
(
m
2 r
2θ̇2 + mMG
r
)
d
dt
(
r2θ̇
)
= 0
.
De la segunda ecuación tenemos que
L = r2θ̇→ Se conserva
es una cantidad conservada. Reemplazando en la primera
r̈ = d
dr
(
L2
2r2 +
MG
r
)
donde L
2
2r2 +
MG
r = φe es el potencial efectivo.
Ítem b
Se busca una solución de la forma
r (t) = r0 + r1 (t)
donde r0 es una solución estacionaria, i.e. corresponde a un punto de equilibrio del potencial efectivo.
El potencial efectivo se puede aproximar según
dφe
dr
=
⌈
dφe
dr
⌋
r0
+
⌈
d2φe
dr2
⌋
r0
(r − r0) + . . .
y debido a que r0 es un punto de equilibrio entonces ⌈
dφe
dr
⌋
r0
= 0.
Por otro lado, por definición, r − r0 = r1. Entonces la ecuación de movimiento para r1 es
r̈1 +
⌈
d2φe
dr2
⌋
r0
r1 = 0
(en algún lugar le chingué a un signo pues lo tuve que forzar el +) y entonces la frecuencia de oscilación es
ω2 =
⌈
d2φe
dr2
⌋
r0
.
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GUÍA 9 - COSMOLOGÍA
Guía 9 - Cosmología
Problema 2
Ítem a
Aclaración La ley de Hubble no se deduce de la ecuación de continuidad, es un hecho observacional. A lo sumo se deduce
de la relatividad general y algún modelo cosmológico, pero eso excede ampliamente este curso. Lo que la consigna quiso decir
es “meta la ley de Hubble en la ecuación de continuidad y vea qué pasa”.
Box 2 - Ley de Hubble-Lemaître
La ley de Hubble-Lemaître (es un hecho observacional que) establece que
1. A escalas extragalácticas (10 Mpc o más) los objetos presentan un redshift que se interpreta como una
velocidad de recesión (o sea, que se alejan) respecto a La Tierra.
2. La velocidad de recesión obtenida mediante el redshift observado satisface
v ≈ H0r
donde v es la velocidad del objeto en cuestión con respecto a La Tierra y r es el vector que apunta desde La
Tierra hasta el objeto en cuestión.
Box 3 - El principio cosmológico
El principio cosmológico establece que a gran escala la densidad del universo es uniforme, es decir
∇ρ = 0 a gran escala.
La ecuación de continuidad es la de siempre
∂ρ
∂t
+ ∇ · (ρv) = 0.→ Continuidad para un fluido
Desarrollando ∇ · (ρv) = ∇ρ · v + ρ∇ · v y asumiendo la validez del principio cosmológico
∇ρ = 0→ Principio cosmológico
entonces la ecuación de continuidad es
∂ρ
∂t
+ ρ∇ · v = 0.
Siahora usamos la ley de Hubble-Lemaître
v = H (t) r→ Ley de Hubble-Lemaître
y usamos que ∇ · r ≡ 3 obtenemos finalmente
H = − 13ρ
∂ρ
∂t
.→ Esto es lo que pedía la consigna
Ítem b
Reemplazando H = ṘR en la ecuación hallada en el ítem previo se obtiene
1
R
∂R
∂t
= − 13ρ
∂ρ
∂t
⇒ ∂
∂t
(
ρR3
)
= 0 ⇒ ρR3 = constante.
Escribiendo a la constante como ρ0R30 se obtiene que
ρR3 = ρ0R30
y la interpretación de esto es que si R (t) representa un volumen entonces
M = ρ (t)R3 (t) → Masa no depende de t
es la masa contenida en dicho volumen, y como ρ y R evolucionan de modo tal que M es independiente de t, se dice que R
es el radio de una esfera que “se mueve con la materia”, o algo así. Como que R fuese el radio del universo es la idea.
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Problema 2 GUÍA 9 - COSMOLOGÍA
Ítem c
La ecuación de Euler es
∂v
∂t
+ (v ·∇)v = −
�
�
�7
Ppio. cosmológico
∇p
ρ
−∇φ→ Euler
donde φ es el potencial gravitatorio que satisface, al igual que el potencial electrostático, la ecuación de Poisson
∇2φ = 4πGρ.→ Poisson
Reemplazando la ley de Hubble v = H (t) r en la ecuación de Euler se obtiene
r
∂H
∂t
+H2 (r ·∇) r = −∇φ.
r
(
Ḣ +H2
)
= ← (r ·∇) r = r
Multiplicando por ∇· a ambos lados de la ecuación esto es
∇ · r
(
Ḣ +H2
)
= −∇2φ
y ahora usando ∇ · r ≡ 3 y ∇2φ = 4πGρ (Poisson) encontramos que
Ḣ +H2 = −4π3 Gρ.
Reemplazando H ≡ ṘR el término de la izquierda es
Ḣ +H2 = R̈
R
−
�
��Ṙ
2
R2︸ ︷︷ ︸
Ḣ
+
�
��Ṙ
2
R2
por lo tanto
R̈ = −4πG3 ρR.
Finalmente, usando ρ = ρ0R
3
0
R3 ,
R̈ = −4πGρ0R
3
0
3R2 . X
Ítem d
Para integrar se usa el siguiente truco
R̈
def= dṘ
dt
Chain rule→ = dṘ
dR
dR
dt
= dṘ
dR
Ṙ
= d
dR
Ṙ2
2 .
Reemplazando esto en la ecuación del ítem previo se obtiene
dṘ2
dR
= −8πGρ0R
3
0
3R2 ⇒ dṘ
2 = −8πGρ0R
3
0
3R2 dR ⇒ Ṙ
2 = 8πGρ0R
3
0
3R + c
o bien, definiendo la constante de integración negativa,
Ṙ2 = 8πGρ0R
3
0
3R − k.
El motivo por el cual sólo nos interesa k ∈ {0, 1,−1} es porque R se define a través de H = ṘR y como es evidente está
definido a menos de una constante multiplicativa. Esto hace que siempre se pueda redefinir R de modo tal que k ∈ {0, 1,−1}.
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Problema 2 GUÍA 9 - COSMOLOGÍA
Ítem e
Del ítem previo se puede despejar ∣∣ Ṙ ∣∣ = √8πGρ0R303R − k.
Aquí se pueden distinguir dos regímenes:
1. Para k = − | k | (o sea k ∈ (−∞, 0]) se tiene que
∣∣ Ṙ ∣∣ = √8πGρ0R303R + | k |.
Acá se puede ver que la expansión (o contracción) del universo es eterna ya que si Ṙ > 0 en algún momento, siempre
lo será sin importar el valor de R.
2. Para k| k | = 1 (o sea k > 0) la ecuación anterior es
∣∣ Ṙ ∣∣ = √8πGρ0R303R − | k |.
En este caso existe un valor de R = Rmáx tal que Ṙ = 0, y es
Rmáx =
8πGρ0R30
3 | k | .
Para saber qué ocurre después, i.e. si se empieza a contraer, si se queda estanco o si se vuelve a expandir, hay que calcular
derivadas temporales de orden superior. Reemplazando el valor de R0 en la expresión encontrada con anterioridad para
R̈ se obtiene ⌈
R̈
⌋
Rmáx
= − 3 | k |
2
16πGρ0R30
y como
⌈
R̈
⌋
Rmáx
< 0 entonces efectivamente sigue una contracción.
Ítem f
Se define
Ω def= ρ3H2
8πG
.→ Parámetro de densidad
Usando ρ = ρ0R
3
0
R3
Ω = 8πGρ0R
3
0
3R
1
R2H2
Ṙ2 = 8πGρ0R
3
0
3R − k → =
Ṙ2 + k
R2H2
de donde se puede despejar
k = R2H2Ω− Ṙ2
H ≡ Ṙ
R
→ = Ṙ2 (Ω− 1) .
Como Ṙ2 > 0 entonces el signo de k depende de Ω ≷ 1.
Ítem g
De acuerdo a lo que vimos en clase la ecuación del calor es
3
2
k
m
ρ
(
∂T
∂t
+ v ·∇T
)
+ p∇ · v = 0→ Eq. del calor
donde k no estoy seguro si es la constante de Boltzmann u otra cosa, y m no sé qué es. El principio cosmológico (ver box 3)
establece que el universo es homogéneo, en consecuencia
∇T = 0.→ Cosmological principle
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Problema 2 GUÍA 9 - COSMOLOGÍA
Además la ley de Hubble (ver box 2) dice que v = Hr. Entonces
1
2
k
m
ρ
∂T
∂t
+ pH = 0
donde se usó ∇ · r = 3. Ahora usamos la presión de radiación y la del gas idealpr =
4σ
3c T
4 → Radiation
pm = nkT → Matter
y además H ≡ ṘR y ρ = ρ0
(
R0
R
)3 por lo tanto la ecuación previa es
kρ0
2m
R30
R3
∂T
∂t
+ ξT ζ 1
R
∂R
∂t
= 0 ⇒ kρ0R
3
0
2mξ T
−ζ dT = −R2 dR
donde ξ y ζ son las constantes correspondientes a radiación o a materia. Integrando lo anterior se obtiene
kρ0R
3
0
2mξ
T 1−ζ
1− ζ = −
R3
3 if ζ 6= 1
kρ0R
3
0
2mξ lnT = −
R3
3 if ζ = 1
de donde se despeja
T ∼
{
R
3
1−ζ if ζ 6= 1
eR
3
if ζ = 1
.
En el caso de la presión de radiación ζ = 4 por lo tanto
T ∼ R−1→ Para radiación X
y para la presión del gas ideal ζ = 1 por lo tanto T ∼ eR3 jaja.
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FORMULAS
Formulas
Box 4 - Fórmulas matemáticas
∞̂
0
e−x dx = 1
∞̂
0
√
xe−x dx =
√
π
2
fx (x) distribución
x = g (y) cambio de variable
}
⇒ fy (y) = fx (g (y))
dg
dy
Box 5 - Fórmulas de la guía 1
Black body radiation→ I =

2hν3
c2
1
exp
(
hν
kT
)
− 1
→ En términos de ν
2hc2
λ5
1
exp
(
hc
λkT − 1
) → En términos de λ
E =
ˆ
I dν = σT 4→ Stephan-Boltzmann
L =
˛
F · ds→ Luminosidad en función del flujo
Leyes de Kepler Las leyes de Kepler son:
1. Las órbitas son elípticas, estando el sol en uno de los ejes.
2. El radio vector que une al planeta con el sol recorre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Se satisface T 2 = 4π
2
G(m1+m2)a
3 donde T es el período orbital y a el semieje mayor de la elipse.
Método de paralaje Determina distancia de “objetos cercanos” midiendo el ángulo del siguiente dibujito:
θ
d
. Entonces tan θ = 1 AUd .
Box 6 - Fórmulas de fluidos clásicos
Maxwell-Boltzmann→

fp (r,p) =
n (r)
(2πkT (r))3/2
exp
(
− (p−mu (r))
2
2mkT (r)
)
fv (v) =
( m
2πkT
)3/2
exp
(
−mv
2
2kT
)
fv (r, |v |) = 4π
(
m
2πkT (r)
)3/2
v2 exp
(
− mv
2
2kT (r)
)
{
f centrífuga = −ρω × (ω ×R)
fCoriolis = −2ρω × u
∂tu+ (u ·∇)u = −
∇p
ρ
+ f→ Navier-Stokes p = nkT → Gas ideal
Pij (r) =
1
m
ˆ
pipjf (r,p) d3p→ Tensor de presiones
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FORMULAS
Box 7 - Fórmulas relatividad especial
pµ = mγ
[
c
v
]
=
[
E/c
p
]
E2
c2
= p2 +m2c2
β =
v
c
γ =
(
1− β2
)−1/2
Redshift→ z =

λobservado − λemitido
λemitido
νemitido − νobservado
νobservado
νobservada = νemitida (1− β · r̂) γ→ Doppler
Box 8 - Fórmulas de transporte de radiación
dEnergía = Iν dΩ dν dS dt Iν (r) =
h4ν3
c2
ˆ
fν (r,p) d3p Jν (r, t)
def= 14π
‹
Iν dΩ qν
def=
?
1
c
‹
uIν dΩ
qν = qλ
∣∣∣∣ dλdν
∣∣∣∣ Lν def= ‹ qν · ds (pν)ij = 1c3
‹
Jνuiuj dΩ pν =
1
3 tr
(
(pν)ij
)
m =

m0 − 2,5 log
(
q
q0
)
m0 − 5 log
(r0
r
) → Magnitud aparente M =

m− 2,5 log
(dqc10 pc
q
)
m− 5 log
(
r
10 pc
) → Magnitud