ANGULOS

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ÁNGULOS
1º, 2º y 3º Secundaria
1. DEFINICIÓN:
Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto
de origen o extremo. A estos dos rayos se les
denomina lados del ángulo y su punto extremo
común recibe el nombre de vértice.
* Notación:  AOB= α
2. ELEMENTOS:
2.1).- Vértice, es el punto donde se unen los dos
lados. Se representa con letras mayúsculas, el
vértice del  AOB es (O).
2.2).- Lados, son los dos rayos que forman el
ángulo. Los rayos que forman el  AOB son OA,
OB
3. MEDIDA DE UN ÁNGULO:
*Postulado de la medida de un ángulo:
A cada ángulo le corresponde como medida, un
número real.
La medida de un ángulo se expresa principalmente
en grados sexagesimales y en radianes. Para la
medición exacta de un ángulo se utiliza el
transportador.
Medida del ángulo AOB: m  AOB.
4. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Se denomina bisectriz de un ángulo al rayo cuyo
origen es el vértice del ángulo y que perteneciendo
a su interior determina dos ángulos de igual
medida.
Por eso decimos que este rayo biseca al ángulo.
* OM : Bisectriz del AOB
5. CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS:
Se clasifican en:
5.1.- DE ACUERDO CON SU MEDIDA
Pueden ser:
5.1.1) Ángulo convexo.- Es aquel ángulo que mide
entre 0° y 180°.
* Se clasifican en:
a) Ángulo Agudo: Es aquel que mide entre 0° y
90°.
b) Ángulo Recto: Es aquel que mide 90°.
c) Ángulo Obtuso: Es aquel que mide entre 90°
y 180 °.
d) Ángulo Nulo: Es aquel que mide 0°.
5.1.2) Ángulo Llano.- Es aquel que mide 180°.
5.1.3) Ángulo No Convexo.- Es aquel que mide
entre 180° Y 360°.
0° <  < 180°
 = 90°
BO
Bisectriz


A
M

Región
angular
B
A
O
90° <  < 180°

0° <  < 90°
180° <  < 360°

 = 180°

O

O

O
O
O
 = 0°
5.2.- DE ACUERDO A SU POSICIÓN.
Pueden ser:
5.2.1) Ángulos Opuestos por un Vértice.- Son
ángulos de igual medida, tales que los lados de uno
son las prolongaciones de los lados del otro.
Del gráfico:
AOB y COD  Opuestos por el vértice.
  = 
5.2.2) Ángulos Consecutivos.-Tienen el mismo
vértice y dos a dos un lado común.
Del gráfico:
, ,  y  son ángulos consecutivos
Teoremas Fundamentales
a).- Podemos tener ángulos consecutivos
alrededor de un punto; tales ángulos suman
360°.
b).- También podemos tener ángulos
consecutivos a un lado de una recta, los cuales
suman 180°.
c).- Dos ángulos consecutivos a un lado de una
recta se llaman Par Lineal.
-  y  son par lineal.
5.2.3) Ángulos Adyacentes.- Son los que tienen el
vértice y un lado en común, pero no tienen puntos
interiores comunes.
Se dice: AOM es adyacente al MOB.
5.3.- DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS
MEDIDAS.
Pueden ser:
5.3.1).- Ángulos Complementarios.- Son dos
ángulos cuya suma de sus medidas es 90°.Uno es
el complemento del otro.
Complemento de un Angulo x°: CX
5.3.2).- Ángulos Suplementarios.- Son dos
ángulos cuya suma de sus medidas es 180°. Uno
es el suplemento del otro.
Suplemento de un Angulo x°: CX
 +  +  + = 360°
CX = 90° - x




 +  +  = 180°



 +  = 90°
 
O
D B
C A


O
E
B
A
C
D


SX = 180° - x
 +  = 180°

 
 +  = 180°


A
M
BO


A 



B
C
P
R
6. PROPIEDADES
Si “x°” es la medida de un ángulo, donde:
a) Si:
CCC...CX =
b) Si:
SSS...SX =
“n” veces
PROBLEMAS RESUELTOS
1).-Halla “x”, si OB es bisectriz del ángulo AOC.
Solución:
Se pide “x”
4x + 4x +20 = 180°
8x = 160°
x = 20°
2).-La suma del complemento más el suplemento
de cierto ángulo es igual a 140°. Calcula la medida
del ángulo mencionado.
Solución:
Que sea “x” el ángulo
CX + SX = 140°
90° – x +180° – x = 140°
130° = 2x
65° = x
3).-Si el suplemento del complemento de un ángulo
es igual a los 3/2 de la diferencia entre el
suplemento y el complemento del mismo ángulo.
Calcula la medida del ángulo.
Solución:
Que sea “x” el ángulo.
SC(X) =
2
3 (S(X) – C(X))
180° - (90° - x) =
2
3 (180° - x –(90° - x))
90° + x =
2
3 (90°)
90° + x = 135°
x = 45°
4).-Calcula la medida del ángulo que forman las
bisectrices de los ángulos adyacentes
suplementarios.
Solución:
Se pide “ +”
2 + 2 = 180°
 +  = 90°
5).-Dos ángulos son complementarios. Si a uno de
ellos se le suma 14° y al otro 6°, este último es los
6/5 de lo que resulta al primero. Calcula el
complemento del mayor ángulo.
Solución:
*Sean los ángulos:  y 90° - 
*  + 14° * 90° -  + 6°
 + 14° = 6/5(90° -  + 6°)
5 + 70° = 576 - 6
11 = 506°
 =
11
506
 = 46°
 90° - 46° = 44°
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº02
NIVEL I
I).- Desarrolla: ( 2pts. c/u)
1).-Calcula:
a) C(30°) = ....................................
b) C(40°) = ....................................
c) C(46°) = ....................................
d) C(57°) = ....................................
2).- Calcula:
a) S(126°) = ...................................
b) S(145°) = ...................................
c) S(139°) = ...................................
d) S(177°) = ...................................
3).- Calcula:
a) SC(46°) = ..................................
b) SC(76°) = ..................................
c) CS(136°) = .................................
d) SSC(67°) = .............................
0° < x°< 90°
“n” veces
x, si “n” es par
SX, si “n” es impar
4x° 20°
A
B
C
D
0
0° < x°< 180°
x, si “n” es par
CX, si “n” es impar
4x°
4x° 20°A
B
C
D
0
1) Calcula “x”, si:
trizsecBi:OM
a) 50° b) 11° c) 12°
d) 5° e) 10°
2) Calcula “x”, si:
a) 50°
b) 80°
c) 30°
d) 10°
e) 40°
3) Calcula “x”.
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 50°
4) Calcula “x”.
a) 15° b) 18° c) 16°
d) 11° e) 14°
5) Calcula “x”, si: OM es bisectriz del ángulo
BOC.
a) 25° b) 28° c) 26°
d) 21° e) 24°
6) Calcula “x”, si: OM es bisectriz del ángulo
BOC.
a) 100° b) 150° c) 160°
d) 110° e) 140°
7) Calcula “x”, si: OM es bisectriz del ángulo
BOC.
a) 50° b) 80° c) 56°
d) 10° e) 40°
8) Calcula “x”.
a) 150° b) 80° c) 60°
d) 120° e) 40°
9) Calcula “x”.
a) 150° b) 80° c) 60°
d) 120° e) 40°
10) Calcula “x”.
a) 50° b) 30° c) 60°
d) 20° e) 40°
2x+20
80°O
A
M
B
trizsecBi:OM
O
x+10
2xO
A
M
B
20°
30°
x
2x 2x
2x
130°
x
B
M
CA O
x°
40°
B
M
CA O
2x°+8°
30°
B
M
CA O
X
X X
120°
x
120°
X 2X
150°