NotasMetodos-Cap3

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Caṕıtulo 3
Integración Numérica
3.1. Introducción
Las integrales que se tratarán de resolver numéricamente son de la forma
I =
∫ b
a
f(x)dx
donde [a, b] es un intervalo finito. Se sabe que la integral definida (de Riemann) de una función
sobre un intervalo finito [a, b] es un número. Si se considera f(x) ≥ 0 sobre [a, b], el numero
I representa el área que está bajo la gráfica de f y sobre el eje x, limitada por los valores a y b,
como se muestra en la gráfica siguiente.
Figura 3.1: Integral definida
Se sabe también desde el cálculo integral que si se conoce una primitiva F (x) de f(x) esto es
F
′
(x) = f(x), entonces el valor de la integral es fácilmente calculable por la Regla de Barrow:
I =
∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
Cuando este cálculo expĺıcito no puede llevarse a cabo o resulta muy complicado de realizar
la evaluación de la antiderivada lo aconsejable es recurrir al cálculo de la integral usando algún
método numéricamente conocido. Estos métodos numéricos generalmente dan una aproximación
49
del valor exacto de la integral. Y la mayor o menor exactitud de los resultados dependerá del
tipo de función en relación al método usado. Generalmente los métodos numéricos resuelven una
integral de una función fn(x) que es una aproximación de la función f(x) esto es
I =
∫ b
a
f(x)dx ≈
∫ b
a
fn(x)dx = In
El objetivo es aproximar la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a, b] evaluando
f(x) en un número finito de puntos.
3.2. Integración Numérica
Definición 3.2.1 Si f una función continua en [a, b] y una partición a = x0 < x1 < · · · < xn = b,
del intervalo [a, b], entonces∫ b
a
f(x)dx = w0f(x0) + w1f(x1) + · · ·+ wnf(xn) + E(f)
se llama Fórmula de Integración Numérica o de Cuadratura, el término E(f) se llama
Error de Truncamiento de la fórmula. Los valores xi con i = 0, 1, ..., n se llaman Nodos
de Integración o de Cuadratura y los valores wi con i = 0, 1, ..., n se llaman Pesos de la
fórmula.
Los nodos se eligen de diferentes maneras. Pueden elegirse subintervalos de igual longitud o
subintervalos de distinta longitud. En esta asignatura sólo se verán reglas de integración para
subintervalos de igual longitud.
Regla del Trapecio
Sea f una función continua en el intervalo [a, b].
Para calcular la integral numérica de f por la Regla del Trapecio, se emplea como aproximación
de f un polinomio de Lagrange de grado uno, f1.
I =
∫ b
a
f(x)dx ≈
∫ b
a
f1(x)dx
La longitud del intervalo [a, b] es h = b− a.
Considerando x0 = a, x1 = b y los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) se tiene el polinomio de
interpolación de Lagrange de grado 1
f1(x) = f(x0) · l0(x) + f(x1) · l1(x)
donde
li =
1∏
j=0
j 6=i
x− xj
xi − xj
50
Gráficamente :
Figura 3.2: Regla del Trapecio
Aśı
f1(x) = f(x0)
x− x1
x0 − x1
+ f(x1)
x− x0
x1 − x0
f1(x) = f(a)
x− b
a− b
+ f(b)
x− a
b− a
Luego
f(x) = f(a)
x− b
a− b
+ f(b)
x− a
b− a
+
f
′′
(ξ)
2!
(x− a)(x− b) = f1(x) + E[f ]
Entonces el área, entre a y b, bajo la recta que es la gráfica de la función f1(x), es una
aproximación de la integral de f(x).
Luego
I = I1 + E[f ]
I =
∫ b
a
f(x)dx ≈
∫ b
a
[
f(a)
x− b
a− b
+ f(b)
x− a
b− a
]
dx
I ≈ f(a)
a− b
∫ b
a
(x− b)dx+ f(b)
b− a
∫ b
a
(x− a)dx
I ≈ f(a)
a− b
(x− b)2
2
∣∣∣∣b
a
+
f(b)
b− a
(x− a)2
2
∣∣∣∣b
a
I ≈ − f(a)
a− b
(a− b)2
2
+
f(b)
b− a
(b− a)2
2
I ≈ − f(a)
a− b
(a− b)2
2
+
f(b)
b− a
(b− a)2
2
51
I ≈ f(a)(b− a)
2
+ f(b)
(b− a)
2
I ≈ 1
2
(b− a)[f(a) + f(b)]
Entonces se tiene
I ≈ (b− a)f(a) + f(b)
2
Fórmula de la Regla del Trapecio
Error de Integración
Si f es una función derivable de orden 2 en el intervalo [a, b], entonces:
I = I1 + E[f ]
I =
∫ b
a
f1(x)dx+
∫ b
a
E[f ]dx =
(b− a)
2
[f(a) + f(b)] +
∫ b
a
f
′′
(ξ)
2
(x− a)(x− b)dx
Entonces el error cometido al realizar la interpolación lineal viene dado por
E[f ] =
f
′′
(ξ)
2
∫ b
a
(x− a)(x− b)dx
E[f ] =
f
′′
(ξ)
2
[
(x− a)(x− b)2
2
∣∣∣∣b
a
−
∫ b
a
(x− b)2
2
dx
]
E[f ] =
f
′′
(ξ)
2
[
(x− a)(x− b)2
2
∣∣∣∣b
a
− 1
2
(x− b)3
3
∣∣∣∣b
a
]
E[f ] =
f
′′
(ξ)
2
[
(x− a)(x− b)2
2
∣∣∣∣b
a
+
1
6
(a− b)3
]
E[f ] = −f
′′
(ξ)
12
(b− a)3 para ξ ∈ [a, b]
Entonces el error de integración está dado por:
E1(ξ) = −
1
12
f
′′
(ξ)(b− a)3 Error de Integración de la Regla del Trapecio
52
Regla del trapecio usando intervalos múltiples
Una forma de mejorar la exactitud de la Regla del Trapecio es dividir el intervalo de integración
[a, b] en un conjunto de segmentos y aplicar entonces la regla del trapecio en cada uno de ellos.
Sea f una función continua en [a, b]. Si se considera que sobre [a, b] hay n + 1 puntos
igualmente espaciados, {x0, x1, . . . , xn}, entonces hay n segmentos de longitud h =
b− a
n
Si xi = xi−1 + h con i = 1 . . . n− 1, a = x0 y b = xn, entonces se puede afirmar que:
I =
∫ b
a
f(x)dx =
∫ x1
x0
f(x)dx+
∫ x2
x1
f(x)dx+ · · ·+
∫ xn
xn−1
f(x)dx
A continuación se ve gráficamente una situación de 4 subintervalos y de 8 subintervalos
Figura 3.3: Regla del Trapecio
con 4 subintervalos
Figura 3.4: Regla del Trapecio
con 8 subintervalos
Aplicando la Regla del Trapecio a cada uno de los segmento , se tiene
I ≈ hf(x0) + f(x1)
2
+ h
f(x1) + f(x2)
2
+ · · ·+ hf(xn−1) + f(xn)
2
≈ h
2
[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(xn−1) + f(xn)]
≈ h
2
[f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn−1)) + f(xn)]
≈ h
2
[f(x0) + 2
n−1∑
i=1
f(xi) + f(xn)]
≈ (b− a)
2n
[
f(x0) + 2
n−1∑
i=1
f(xi) + f(xn)
]
Entonces
53
I ≈ (b− a)
2n
[
f(x0) + 2
n−1∑
i=1
f(xi) + f(xn)
]
Fórmula para la Regla del Trapecio para intervalos múltiples o Regla del Trapecio Compuesta .
Error de Integración
Para hallar el error de integración por la Regla del Trapecio para intervalos múltiples, se debe
tener en cuenta los errores en cada uno de los subintervalos, esto es:
E = −h
3
12
f
′′
(ξ1)−
h3
12
f
′′
(ξ2)− · · · −
h3
12
f
′′
(ξn)
con a = x0 < ξ1 < x1 < ξ2 < x2 < · · · < xn−1 < ξn < xn = b
Si f
′′
es continua en [a, b] entonces existe ξ ∈ [a, b] donde f ′′ presenta un máximo, luego
f
′′
(xi) ≤ f
′′
(ξ) para todo i = 1, . . . , n
E ≤
∣∣∣∣h312nf ′′(ξ)
∣∣∣∣ con a < ξ < b
Como h =
b− a
n
tenemos
E ≤
∣∣∣∣(b− a)312n3 nf ′′(ξ)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(b− a)(b− a)212n2 f ′′(ξ)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(b− a)h212 f ′′(ξ)
∣∣∣∣
Luego
E ≤
∣∣∣∣(b− a)h212 f ′′(ξ)
∣∣∣∣ Error de Integración para la Regla del Trapecio Compuesta
Ejemplo 3.2.1
∫ 3
0
x · e2xdx
1. Calcular la integral exacta.
2. Aproximar la integral por Regla del Trapecio.
3. Aproximar la integral por Regla del Trapecio compuesta con n = 6.
4. Observar los resultados obtenidos en los items anteriores.
Solución
1. I =
∫ 3
0
x · e2xdx,
aplicando integración por partes:
u = x dv = e2xdx
54
du = dx v = 1
2
e2x
I = x · e2x|30 −
∫ 3
0
1
2
· e2xdx
I =
3
2
· e6 − 1
4
· e2x|30 = 504.5359919
2. f(x) = x · e2x, h = b− a = 3− 0 = 3
I =
∫ 3
0
x · e2xdx ≈ b− a
2
[f(a)− f(b)] = 3
2
[0 · e0 + 3 · e6]
I = 1815.429571
3. f(x) = x · e2x, x0 = 0, x6 = 3, h =
3
6
=
1
2
xi x0 = 0 x1 = 0.5 x2 = 1 x3 = 1.5 x4 = 2 x5 = 2.5 x6 = 3
f(xi) 0 1.3591 7.3891 30.1283 109.1963 371.0329 1210.2863
I ≈ 3
12
[f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)) + f(x6)]
I ≈ 1
4
[0 + 2(1.3591 + 7.3891 + 30.1283 + 109.1963 + 371.0329) + 1210.2863]
I ≈ 1
4
· 2248.4977 = 562.124425
4. Se observa que los resultados mejoran, acercándose a la solución exacta, cuando se emplean
intervalos múltiples.
3.2.1. Regla de Simpson
Regla de Simpson 1/3
Otra forma de obtener una estimación de la integral, más cercana a la integral exacta, consiste
en aproximar f(x) usando polinomios de interpolación de orden superior a uno.
La Regla de Simpson 1/3 es un método de segundo orden, es decir, es un método basado en
integrar un polinomio de interpolación de segundo grado.
Sea la función f continua en el intervalo [a, b], para obtener un polinomio de grado 2 se
necesita considerar tres puntos. Por ejemplo se considera c, el punto medio entre a y b o seac =
a+ b
2
, es decir a = x0, x1 = x0 + h b = x2 con h =
b− a
2
.
Con los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) se construye un polinomio de Lagrange
de grado 2.
55
Figura 3.5: Regla de Simpson 1/3
f2(x) = f(x0) · l0(x) + f(x1) · l1(x) + f(x2) · l2(x)
donde
li =
2∏
j=0
j 6=i
x− xj
xi − xj
f2(x) =
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1) +
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
f(x2)
Entonces si I =
∫ x2
x0
f(x)dx reemplazando se tiene que
I ≈
∫ x2
x0
[
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1) +
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x0)
f(x2)
]
dx
Usando la aditividad de la integral e integrando por partes se tiene:
i) I1 =
∫ x2
x0
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
f(x0)dx =
f(x0)
(x0 − x1)(x0 − x2)
∫ x2
x0
(x− x1)(x− x2)dx
x1 = x0 + h entonces x0 − x1 = −h
x2 − x0 = 2h entonces x0 − x2 = −2h
Además h =
(b− a)
2
=
(x2 − x0)
2
Tomando x− x1 = u; x− x2 = dv
56
∫ x2
x0
(x− x1)(x− x2)dx = (x− x1)
(x− x2)2
2
∣∣∣∣x2
x0
− 1
2
∫ x2
x0
(x− x2)2dx
= −(x0 − x1)
(x0 − x2)2
2
− 1
2
(x− x2)3
3
∣∣∣∣x2
x0
= −d(x0 − x1)
(x0 − x2)2
2
+
1
2
(x0 − x2)3
3
= −(−h)(−2h)
2
2
+
1
2
(−2h)3
3
= 2h3 − 8h
3
6
=
2h3
3
Luego reemplazando se tiene
I1 =
2
3
h3
2h2
f(x0) =
h
3
f(x0)
ii) I2 =
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x0)dx =
f(x1)
(x1 − x0)(x1 − x2)
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x2)dx
Empleando integración por partes para calcular la integral del lado derecho se obtiene
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x2)dx = (x− x0)
(x− x2)2
2
∣∣∣∣x2
x0
− 1
2
∫ x2
x0
(x− x2)2dx
= −1
2
(x− x2)3
3
∣∣∣∣x2
x0
=
1
6
(x0 − x2)3 =
1
6
(−2h)3 = −8h
3
6
= −4
3
h3
Entonces
I2 =
f(x1)
(x1 − x0)(x1 − x2)
(
−4h
3
3
)
= − f(x1)
h(−h)
(
−4
3
h3
)
=
4
3
hf(x1)
iii) I3 =
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
)f(x2)dx =
f(x2)
(x2 − x0)(x2 − x1)
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x1)dx
Empleando integración por partes para calcular la integral del lado derecho se obtiene
57
∫ x2
x0
(x− x0)(x− x1)dx = (x− x1)
(x− x0)2
2
∣∣∣∣x2
x0
− 1
2
∫ x2
x0
(x− x0)2dx
= (x2 − x1)
(x2 − x0)2
2
− 1
6
(x2 − x0)3
= h
(2h)2
2
− (2h)
3
6
= 2h3 − 4
3
h3 =
h3
3
Luego reemplazando
I3 =
f(x2)
2h.h
2h3
3
=
h
3
f(x2)
Entonces se obtiene que
I ≈ I1 + I2 + I3
≈ h
3
[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
≈ (b− a)
6
[
f(a) + 4f
(
a+ b
2
)
+ f(b)
]
Finalmente
I ≈ 1
3
h
[
f(a) + 4f
(
a+ b
2
)
+ f(b)
]
Fórmula de la Regla de Simpson 1/3
Se puede probar que el error de integración para la Regla de Simpson 1/3 está dada por:
E2 = −
1
90
h5f (4)(ξ) con a < ξ < b Error de Integración Regla de Simpson 1/3
Regla de Simpson 1/3 para segmentos múltiples
A igual que se hizo con la Regla del Trapecio se puede dividir el intervalo [a, b] en n subin-
tervalos igualmente espaciados, de longitud h =
b− a
n
y aplicar en cada uno de ellos la regla de
Simpson 1/3.
Se tiene aśı una partición x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b], con n un número par.
58
Se aplica el Método de Simpson 1/3 a los n
2
parejas de subintervalos se tiene en cuenta que
x1, x2, . . . , xn−1 son los puntos medios de cada subintervalo y x0, x2, . . . , xn los puntos iniciales
y finales de cada uno de ellos.
Gráficamente
Figura 3.6: Regla de Simpson 1/3
con 2 intervalos
Figura 3.7: Regla de Simpson 1/3
con 4 intervalos
Para la integral total se tiene:
I =
∫ b=xn
a=x0
f(x) dx
I ≈
∫ x2
x0
f(x) dx+
∫ x4
x2
f(x) dx+ · · ·+
∫ xn
xn−2
f(x) dx
Aplicando la Regla de Simpson 1/3 en cada una de las integrales individuales y se obtiene:
I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)
6
+2h
f(x2) + 4f(x3) + f(x4)
6
+· · ·+2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)
6
≈ (b− a)
3n
[
f(x0) + 4
n∑
i=1,3,5...
f(xi) + 2
n−2∑
j=2,4,6
f(xj) + f(xn)
]
Aśı
I ≈ h
3
[
f(x0) + 4
n∑
i=1,3,5...
f(xi) + 2
n−2∑
j=2,4,6
f(xj) + f(xn)
]
Fórmula de la Regla de Simpson 1/3 múltiple
Con un error de integración:
E2 = −
1
180
h4f (4)(ξ), con a < ξ < b Error para la Regla Simpson 1/3 múltiple
59
3.2.2. Regla de Simpson 3/8
De la misma forma en que se derivó la Regla del Trapecio y la Regla de Simpson 1/3 se puede
obtener la fórmula de la Regla de Simpson 3/8, aproximando la función con un polinomio de
interpolación de Lagrange de grado 3.
Figura 3.8: Regla de Simpson 3/8
Al intervalo [a, b] se lo divide en 3 subintervalos igualmente espaciados con h =
b− a
3
=
x3 − x0
3
Esto es
I =
∫ b
a
f(x)dx ≈
∫ b
a
f3(x)dx = I3
donde
f3(x) =
(x− x1)(x− x2)(x− x3)
(x0 − x1)(x0 − x2)(x0 − x3)
f(x0) +
(x− x0)(x− x2)(x− x3)
(x1 − x0)(x1 − x2)x1 − x3)
f(x1)+
+
(x− x0)(x− x1)(x− x3)
(x2 − x0)(x2 − x1)(x2 − x3)
f(x2) +
(x− x0)(x− x1)(x− x2)
(x3 − x0)(x3 − x1)(x3 − x2)
f(x3)
Integrando f3(x) se obtiene∫ b
a
f3(x)dx =
3h
8
[f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)] con h =
(b− a)
3
Aśı
60
∫ b
a
f3(x)dx =
(b− a)
8
[f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
Luego
I ≈ 3
8
h[f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]] Fórmula de la Regla de Simpson 3/8
El error de integración también se puede calcular, y está dado por:
E3 = −
3
80
h5f (4)(ξ), con a < ξ < b Error de Integración Regla de Simpson 3/8
De la misma forma que con la Regla del Trapecio y la Regla de Simpson 1/3 , se puede obtener
la Regla de Simpson 3/8 para intervalos múltiples, pero ésta no la se tratará en este curso.
Ejemplo 3.2.2
∫ 3
0
x · e2xdx
1. Aproximar la integral por la Regla de Simpson 1/3
2. Aproximar la integral por la Regla de Simpson 1/3 para intervalos múltiples con n = 4
3. Aproximar la integral por la Regla de Simpson 3/8
4. Observar los resultados obtenidos en los items anteriores
Solución
1. h =
3
2
, x0 = 0, x1 =
3
2
, x2 = 3
I =
∫ 3
0
x · e2xdx ≈ h
3
[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] =
I ≈ 3
6
[0 + 4 · 30.12830538 + 1210.28638] = 665.399801
2. x0 = 0, x4 = 3, h =
3
4
xi x0 = 0 x1 = 0.75 x2 = 1.5 x3 = 2.25 x4 = 3
f(xi) 0 3.361266803 30.12830538 202.5385454 1210.28638
I ≈ 1
4
[f(x0) + 4(f(x1) + f(x3)) + 2(f(x2)) + f(x6)]
61
I ≈ 1
4
[0 + 2(3.361266803 + 202.5385454) + 2(30.1283) + 1210.2863]
I ≈ 1
4
· 2094.14224 = 523.53556
3. x0 = 0, x3 = 3, h =
3
3
= 1
xi x0 = 0 x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3
f(xi) 0 7.389056099 109.1963001 1210.28638
I ≈ 3
8
[f(x0) + 3(f(x1) + f(x2)) + f(x3)]
I ≈ 3
8
[0 + 3(7.389056099 + 109.1963001) + 1210.2863]
I ≈ 3
8
· 1560.042448 = 585.0159182
4. Se observa que los resultados mejoran cuando se emplean intervalos múltiples
Observación 3.2.1 La Regla de Simpson 1/3 es a menudo de preferencia, ya que alcanza mayor
exactitud de tercer orden con tres puntos contra cuatro puntos requeridos para la versión Simpson
3/8, sin embargo al integrar con puntos equiespaciados no se puede aplicar la Regla de Simpson
1/3 si el número de intervalos es impar, en este caso se usa Regla de Simpson 3/8.
En el caso de tener un número impar de intervalos, se puede aplicar la Regla de Simpson 3/8
a los tres primeros intervalos o a los tres últimos y luego aplicar la Regla de Simpson 1/3 múltiple
al resto de los intervalos. Puesto que el orden del error de la Regla de Simpson 3/8 es el mismo
que la Regla de Simpson 1/3, las dos reglas se combinan naturalmente sin pérdida del orden de
exactitud.
Si se combina la Regla de Simpson con la Regla del Trapecio, el orden de exactitud del método
combinado está determinado por el orden de la Regla del Trapecio.
3.2.3. Extrapolación de Richardson
Si para la integral exacta I(f) =
∫ b
a
f(x)dx se obtienen dos aproximaciones numéricas In1(f)
e In2(f), que han sido calculadas aplicando la misma regla para n1 y n2 intervalos múltiples, es
decir ambas mediante Regla del Trapecio o bien ambas por cualquiera de las Reglas de Simpson,
entonces se puede lograr un mejoramiento de los resultados numéricos.
Considerando h1 =
(b− a)
n1
y h2 =
(b− a)
n2
, si se modifica la notación precedente se
puede escribir:
62
In1(f) = I(h1) y In2(f) = I(h2).
Luego I(f) = I(h1) + E(h1) = I(h2) + E(h2) (*)
donde E(h1) es el error cometido al obtener la integral numérica I(h1) y E(h2) es el errorcometido al obtener la integral numérica I(h2).
Si I(h1) se obtuvo, por ejemplo la Regla del Trapecio múltiple para n1 intervalos se sabe
que:
E(h1) = −
n1
12
· f (2)(ξ1)
(
b− a
n1
)3
= − 1
12
n1
(b− a)
n1
f (2)(ξ1)
(
b− a
n1
)2
= − 1
12
(b− a)h21f (2)(ξ1)
para algún ξ1 ∈ [a, b].
Análogamente, si I(h2) se obtuvo, aplicando la Regla del Trapecio múltiple para n2 intervalos
se sabe que:
E(h2) = −
1
12
(b− a)h22f (2)(ξ2) para algún ξ2 ∈ [a, b].
Si además se supone que f (2)(ξ1) ≈ f (2)(ξ2) entonces
E(h2)
E(h1)
≈
(
h2
h1
)2
y se obtiene que :
E(h2) ≈ E(h1)
(
h2
h1
)2
Reemplazando en (*) se obtiene:
I(f) = I(h1) + E(h1) = I(h2) + E(h1)
(
h2
h1
)2
Luego I(h1)− I(h2) = E(h1)
(
h2
h1
)2
− E(h1)
Aśı
E(h1) ≈
I(h1)− I(h2)[(
h2
h1
)2
− 1
]
63
Es decir, se ha obtenido una expresión del error en base a las integrales calculadas y en base
a los pasos de integración h1 y h2. Con esta expresión del error se obtiene un nuevo valor de la
integral numérica
I =≈ I(h1) +
I(h1)− I(h2)[(
h2
h1
)2
− 1
] Fórmula de Extrapolación de Richardson
El valor I es una aproximación de la integral exacta I(f) que mejora los resultados obtenidos
en I(h1) y en I(h2).
64