calculo derivación e integración

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DERIVADAS 
f(x) 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
≡ lim
Δ𝑥⟶0
𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
 
𝑘 0 
𝑥 1 
𝑥𝑛 𝑛 ⋅ 𝑥𝑛−1 
𝑘 ⋅ 𝑥 𝑘 
𝑘 ⋅ 𝑥𝑛 𝑘 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑥𝑛−1 
Reglas de la suma y la resta 
𝑎(𝑥) ± 𝑏(𝑥) 𝑎′(𝑥) ± 𝑏′(𝑥) 
Reglas del Producto 
𝑎(𝑥) ⋅ 𝑏(𝑥) 𝑎′(𝑥) ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑎(𝑥) ⋅ 𝑏′(𝑥) 
𝑘 ⋅ 𝑢(𝑥) 𝑘 ⋅ 𝑢′(𝑥) 
Regla de la cadena 
H(u(x)) H′(u(x)) ⋅ u′(x) 
Reglas para Potencias 
[𝑢(𝑥)]𝑛 𝑛 ⋅ 𝑢′(𝑥) ⋅ [𝑢(𝑥)]𝑛−1 
Funciones Racionales o Regla del Cociente 
𝑎(𝑥)
𝑏(𝑥)
 
𝑎′(𝑥) ⋅ 𝑏(𝑥) − 𝑎(𝑥) ⋅ 𝑏′(𝑥)
[𝑏(𝑥)]2
 
𝑘
[𝑢(𝑥)]𝑛
 −
𝑘 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑢′(𝑥)
[𝑢(𝑥)]𝑛+1
 
Funciones Radicales 
√[𝑢(𝑥)]𝑚
𝑛
 
𝑛 < 𝑚,
𝑚 ⋅ 𝑢′(𝑥)
𝑛
⋅ √[𝑢(𝑥)]𝑚−𝑛
𝑛
 
𝑚 < 𝑛,
𝑚 ⋅ 𝑢′(𝑥)
𝑛 ⋅ 𝑢(𝑥)
⋅ √[𝑢(𝑥)]𝑚
𝑛
 
Funciones Exponenciales 
𝑎𝑢(𝑥) 𝑎𝑢(𝑥) ⋅ 𝑢′(𝑥) ⋅ 𝑙𝑛𝑎 
𝑒𝑢(𝑥) 𝑒𝑢(𝑥) ⋅ 𝑢′(𝑥) 
Funciones Logarítmicas 
log𝑎[𝑢(𝑥)]
𝑛 
𝑛
ln 𝑎
⋅
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
 
ln[𝑢(𝑥)]𝑛 
𝑛 ⋅ 𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
 
 
Funciones Trigonométricas 
sin 𝑢(𝑥) u′(x) ⋅ cos 𝑢(𝑥) 
cos 𝑢(𝑥) −𝑢′(𝑥) ⋅ sin 𝑢(𝑥) 
tan 𝑢(𝑥) u′(x) ⋅ sec2 𝑢(𝑥) 
sec 𝑢(𝑥) u′(x) ⋅ tan 𝑢(𝑥) ⋅ sec 𝑢(𝑥) 
cot 𝑢(𝑥) −𝑢′(𝑥) ⋅ csc2 𝑢(𝑥) 
csc 𝑢(𝑥) −𝑢′(𝑥) ⋅ cot 𝑢(𝑥) ⋅ csc 𝑢(𝑥) 
Funciones trigonométricas inversas 
arcsin 𝑢(𝑥) = sin−1 𝑢(𝑥) 
𝑢′(𝑥)
√1 − [𝑢(𝑥)]2
 
arccos 𝑢(𝑥) = cos−1 𝑢(𝑥) 
−𝑢′(𝑥)
√1 − [𝑢(𝑥)]2
 
arctan 𝑢(𝑥) = tan−1 𝑢(𝑥) 
𝑢′(𝑥)
1 + [𝑢(𝑥)]2
 
arcsec 𝑢(𝑥) = sec−1 𝑢(𝑥) 
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥) ⋅ √[𝑢(𝑥)]2 − 1
 
arccot 𝑢(𝑥) = cot−1 𝑢(𝑥) 
−𝑢′(𝑥)
1 + [𝑢(𝑥)]2
 
arccsc 𝑢(𝑥) = csc−1 𝑢(𝑥) 
−𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥) ⋅ √[𝑢(𝑥)]2 − 1
 
Funciones Hiperbólicas 
sinh 𝑢(𝑥) =
𝑒𝑢(𝑥) − 𝑒−(𝑥)
2
 𝑢′(𝑥) ⋅ cosh 𝑢(𝑥) 
cosh 𝑢(𝑥) =
𝑒𝑢(𝑥) + 𝑒−𝑢(𝑥)
2
 𝑢′(𝑥) ⋅ sinh(𝑢𝑥) 
tanh 𝑢(𝑥) =
sinh 𝑢(𝑥)
cosh 𝑢(𝑥)
=
𝑒𝑢(𝑥) − 𝑒−(𝑥)
𝑒𝑢(𝑥) + 𝑒−𝑢(𝑥)
 −𝑢′(𝑥) ⋅ (tanh2 𝑢(𝑥) − 1) 
𝑢(𝑥) ≠ 0 , coth 𝑢(𝑥) =
cosh 𝑢(𝑥)
sinh 𝑢(𝑥)
=
𝑒𝑢(𝑥) + 𝑒−𝑢(𝑥)
𝑒𝑢(𝑥) − 𝑒−(𝑥)
 −𝑢′(𝑥) ⋅ (coth2 𝑢(𝑥) − 1) 
sech 𝑢(𝑥) =
1
cosh 𝑢(𝑥)
=
2
𝑒𝑢(𝑥) + 𝑒−𝑢(𝑥)
 −𝑢′(𝑥) ⋅ sech 𝑢(𝑥) ⋅ tanh 𝑢(𝑥) 
 𝑢(𝑥) ≠ 0, csch 𝑢(𝑥) =
1
sinh 𝑢(𝑥)
=
2
𝑒𝑢(𝑥) − 𝑒−(𝑥)
 −𝑢′(𝑥) ⋅ csch 𝑢(𝑥) ⋅ coth 𝑢(𝑥) 
Funciones Hiperbólicas inversas 
arcsinh 𝑢(𝑥) = sinh−1 𝑢(𝑥) = ln(𝑢(𝑥) + √[𝑢(𝑥)]2 + 1) 
𝑢′(𝑥)
√[𝑢(𝑥)]2 + 1
 
arccosh 𝑢(𝑥) = cosh−1 𝑢(𝑥) = ln(𝑢(𝑥) + √[𝑢(𝑥)]2 − 1)) 
𝑢′(𝑥)
√[𝑢(𝑥)]2 − 1
 
arctanh 𝑢(𝑥) = tanh−1 𝑢(𝑥) =
1
2
ln(
𝑢(𝑥) + 1
1 − 𝑢(𝑥)
) 
𝑢′(𝑥)
1 − [𝑢(𝑥)]2
 
arccoth 𝑢(𝑥) = coth−1 𝑢(𝑥) =
1
2
ln(
𝑢(𝑥) + 1
𝑢(𝑥) − 1
) 
𝑢′(𝑥)
1 − [𝑢(𝑥)]2
 
arcsech 𝑢(𝑥) = sech−1 𝑢(𝑥) = ln(
1 + √1 − [𝑢(𝑥)]2
𝑢(𝑥)
) 
−𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥) ⋅ √1 − [𝑢(𝑥)]2
 
arccsch 𝑢(𝑥) = csch−1 𝑢(𝑥) = ln(
1 + √1 + [𝑢(𝑥)]2
𝑢(𝑥)
) 
−𝑢′(𝑥)
|𝑢(𝑥)| ⋅ √1 + [𝑢(𝑥)]2
 
 
INTEGRALES 
𝐴 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim
𝑛⟶∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)Δ𝑥
𝑛
𝑖=1
 
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 
∫ 𝒌 ⋅ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑲 ⋅ ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 
∫ 𝒖(𝒙) ⋅ 𝒗′(𝒙) = 𝒖(𝒙) ⋅ 𝒗′(𝒙) − ∫ 𝒗(𝒙) ⋅ 𝒖′(𝒙) I.L.A.T.E. 
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶, (𝑛 ≠ −1) ∫ 𝑥−1𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
= ln|𝑥| + 𝐶 
∫ √𝑥𝑚
𝑛
𝑑𝑥 =
𝑛
𝑚 + 𝑛
√𝑥𝑚+𝑛
𝑛
+ 𝐶 ∫ √𝑘𝑥𝑚
𝑛
𝑑𝑥 =
𝑛
𝑚 + 𝑛
√𝑘𝑥𝑚+𝑛
𝑛
+ 𝐶 
∫
𝑘
√𝑥𝑚
𝑛
𝑑𝑥 = 
𝑚 < 𝑛,
𝑘𝑛
𝑛 − 𝑚
√𝑥𝑛−𝑚
𝑛
+ 𝐶 
𝑛 < 𝑚,
𝑘𝑛
𝑥(𝑛 − 𝑚)
√𝑥2𝑛−𝑚
𝑛
+ 𝐶 
𝑛 < 𝑚,
𝑘𝑛
(𝑛 − 𝑚)
⋅
1
√𝑥𝑚−𝑛
𝑛 + 𝐶 
∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑒𝑚𝑥 𝑑𝑥 = 
1
𝑚
𝑒𝑚𝑥 + 𝐶 
∫
1
𝑥 + 𝑎
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑎
= ln|𝑥 + 𝑎| + 𝐶 ∫
1
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏
=
1
𝑎
ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶 
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = Sen 𝑥 + 𝐶 
∫ sin(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
𝑎
cos(𝑎𝑥) + 𝐶 ∫ cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑎
Sen(𝑎𝑥) + 𝐶 
∫ sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 ∫ csc2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 
∫ sec 𝑥 ⋅ tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 ∫ csc 𝑥 ⋅ cot 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶 
∫
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 = sin−1 𝑥 + 𝐶 ∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = tan−1 𝑥 + 𝐶 
∫
1
𝑥√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 = sec−1 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶 
∫ 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 + 𝑪 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒙 + 𝑪 
∫ tanh 𝑥 𝑑𝑥 = ln(cosh 𝑥) + 𝐶 ∫ coth 𝑥 𝑑𝑥 = ln(sinh 𝑥) + 𝐶 
∫ sech 𝑥 𝑑𝑥 = arctan(sinh 𝑥) + 𝐶 ∫ csch 𝑥 = ln (|tanh(
1
2
)𝑥|) + 𝐶 
∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 + 𝑪 ∫ 𝐜𝐬𝐜𝐡𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝐜𝐨𝐭𝐡 𝒙 + 𝑪 
∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒙 ⋅ 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒙 + 𝑪 ∫ 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒙 ⋅ 𝐜𝐨𝐭𝐡 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒙 + 𝑪 
∫
𝒅𝒖
√𝒖𝟐 ± 𝒂𝟐
= 𝐥𝐧 (𝒖 + √𝒖𝟐 ± 𝒂𝟐) ∫
𝒅𝒖
𝒂𝟐 − 𝒖𝟐
=
𝟏
𝟐𝒂
𝐥𝐧 |
𝒂 + 𝒖
𝒂 − 𝒖
| + 𝑪 
∫
𝒅𝒖
𝒖√𝒂𝟐 ± 𝒖𝟐
= −
𝟏
𝒂
𝐥𝐧 (
𝒂 + √𝒂𝟐 ± 𝒖𝟐
|𝒖|
) + 𝑪 
Integral Definida (Área bajo la curva) 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
Área de la región entre dos curvas 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
𝑐
𝑎
𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑐
𝑐
𝑑𝑥 
 
 
Como ordenar un polinomio 
• Logaritmos 
• Variables con Exponentes Positivos mayores a 1 (de mayor a menor): 𝑥2 
o Variables con exponentes enteros 
o Variables de exponentes fraccionarios impropios (numerador es mayor que el denominador) 
convertibles a raíces 
• Variables con exponente 1: 𝑥 
• Raíces Propias o Variables de exponentes fraccionarios propios (denominador es menor que el 
numerador): √𝑥, 𝑥
1
2 
• Fracciones (o Variables con exponentes negativos): 
1
𝑥
, 𝑥−1 
• Constantes: 2 
ILATE 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + √𝑥3 + 𝑥 + √𝑥 +
1
𝑥
+ 2 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2𝑥 +
3√𝑥
2
+
1
2√𝑥
−
1
𝑥2
+ 1 
∫ 𝑥2 + √𝑥3 + 𝑥 + √𝑥 +
1
𝑥
+ 2𝑥 = ln(𝑥) +
𝑥3
3
+
2√𝑥5
5
+
𝑥2
2
+
2√𝑥3
3
+ 2𝑥 + 𝐶