Resolución de Problemas de Simetría en el Espacio

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2020-2
SIMETRÍA EN EL ESPACIO
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 
PROBLEMA 129
Indique el valor de verdad de cada proposición:
I. El tetraedro regular tiene centro de simetría.
II. Las secciones planas determinadas por los planos de simetría en un
tetraedro regular de arista que mide a, tienen por área 
III. El tetraedro regular tiene tres ejes de simetría y seis planos de simetría.
A) FFV B) FVV C) VVV D) FVF E) FFV
I. (F) El Tetraedro regular no tiene centro de simetría 
III.(V)
RESOLUCION 129
Clave: B
II. (V) El área de una sección plana de un plano de simetría 
en un tetraedro regular es 
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. El tetraedro regular tiene centro de simetría.
II. Las secciones planas determinadas por los planos de simetría en
un tetraedro regular de arista que mide a, tienen por área
III. El tetraedro regular tiene tres ejes de simetría y seis planos de
simetría.
PROBLEMA 130
Indique el valor de verdad de cada proposición: 
I. Las secciones planas determinadas por los planos de simetría de un 
hexaedro regular son congruentes.
II. Un paralelepípedo es una figura simétrica, respecto a ejes de simetría.
III. Las secciones planas determinadas por los planos de simetría de un 
hexaedro regular son inscriptibles.
A) FFF B) FVF C) FFV D) VFF E) FVV
Clave: C
RESOLUCIÓN 130
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Las secciones planas determinadas por los planos de
simetría de un hexaedro regular son congruentes.
II. Un paralelepípedo es una figura simétrica, respecto a ejes de
simetría.
III. Las secciones planas determinadas por los planos de
simetría de un hexaedro regular son inscriptibles.
Las secciones planas son
regiones rectangulares y
cuadradas
Las secciones planas no
son congruentes, pueden
ser regiones cuadradas o
rectangulares
II. F
I. F
III. V
El paralelepípedo no tiene ejes de 
simetría
PROBLEMA 131
Indique el valor de verdad de cada proposición:
I. Las secciones planas determinadas por los planos de simetría de
un octaedro regular son regiones paralelográmicas.
II. La recta que contiene los baricentros de dos caras opuestas de un
octaedro regular es su eje de simetría.
III. Las caras de un octaedro regular son simétricas respecto a un
plano de simetría.
A) VFV B) VFF C) VVF D) FVF E) FFV
Clave: A
RESOLUCIÓN 131
Indique el valor de verdad de cada proposición:
I. Las secciones planas determinadas por los planos de simetría
de un octaedro regular son regiones paralelográmicas.
II. La recta que contiene los baricentros de dos caras opuestas de
un octaedro regular es su eje de simetría.
III. Las caras de un octaedro regular son simétricas respecto a un
plano de simetría.
No son ejes de 
simetría
II. F
I. V
III. V Si son simétricas
respecto a un
plano de simetría
 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
PROBLEMA 132
Indique el valor de verdad de cada proposición: 
I. Si un poliedro tiene centro de simetría entonces tiene ejes de simetría.
II. Un poliedro regular es una figura simétrica respecto a ejes de simetría,
cuando dichos ejes contienen a los puntos medios de dos aristas
opuestas.
III. Todo hexaedro de aristas y caras congruentes es una figura simétrica
respecto a un punto llamado centro de simetría.
A) FFF B) FVV C) VFV D) FVF E) VVF
Clave: D
RESOLUCIÓN 132
Indique el valor de verdad de cada proposición:
I. Si un poliedro tiene centro de simetría entonces tiene ejes de
simetría.
II. Un poliedro regular es una figura simétrica respecto a ejes de
simetría, cuando dichos ejes contienen a los puntos medios de
dos aristas opuestas.
III. Todo hexaedro de aristas y caras congruentes es una figura
simétrica respecto a un punto llamado centro de simetría.
Se cumple para todos los puntos 
medios de las aristas opuestas
II. V
I. F
III. F Solo en hexaedros regulares
No tiene centro de simetría
El paralelepípedo tiene
centro de simetría, pero
no tiene eje de simetría
Los poliedros regulares P–ABCD–Q y M–CDEF–N son simétricos respecto
a un plano que contiene a CD perpendicular al plano que contiene a ABCD
(P y M se encuentran en el mismo semiespacio determinado por ABCD). Si
la longitud de las aristas de los octaedros miden k, entonces la distancia
entre los vértices Q y M es
A) k B) K 2 C) K 5
D) K 3 E) 2k
PROBLEMA 137
En el triángulo rectángulo QMN:
QM = X, QN = K y MN = K 2
Aplicando el Teorema de Pitágoras en el 
triángulo QMN
x = QM =
RESPUESTA : D
RESOLUCIÓN 137
Los poliedros regulares P–ABCD–Q y M–CDEF–N son simétricos
respecto a un plano que contiene a CD perpendicular al plano que
contiene a ABCD (P y M se encuentran en el mismo semiespacio
determinado por ABCD). Si la longitud de la arista mide k,
entonces la distancia entre los vértices Q y M es
El simétrico del hexaedro regular ABCD–EFGH cuya arista mide a es 
A’B’C’D’ – E’FG’H’ respecto al punto F, calcule B’D .
A) a 5 B) a 3 C) a 7
D) a 6 E) a 10
PROBLEMA 138
En los triángulos DPB’ y DCP:
PB’ = a, PC= 2 a , DC = a, DB’ = x 
𝑥 = 𝑎2 + (2𝑎) + 𝑎2
𝑥 = 𝑎 6
RESPUESTA : D
El simétrico del hexaedro regular ABCD–EFGH cuya
arista mide a es A’B’C’D’ – E’FG’H’ respecto al punto F,
calcule B’D .RESOLUCIÓN 138
Si la longitud de la intersección de dos tipos diferentes de planos de 
simetría de un hexaedro regular es 6 u , calcule la distancia (en u) de 
un vértice del hexaedro a una diagonal que no la contiene.
A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 2,5 E) 3
PROBLEMA 139
Si la longitud de la intersección de dos tipos diferentes de planos
de simetría de un hexaedro regular es 6 u , calcule la distancia
(en u) de un vértice del hexaedro a una diagonal que no la
contiene.
En el hexaedro HI es la recta de 
intersección tal que HI = AB = BC = 6
El triangulo ABH es rectángulo isósceles
𝑥2 + 𝑥2 = 6
2
𝑥 = 3
RESPUESTA : E
RESOLUCIÓN 139
El simétrico del tetraedro regular O–ABC respecto de O es O – A’B’C’ , Si el 
área de la región cuadrangular BCB’C’ es 16 3 𝑢2 , entonces el volumen del 
sólido ( en 𝑢3) determinado por el tetraedro regular es 
A) B) C) D) E) 16 2
2
16 2
3
16 5
3
12 2
5
32 2
5
PROBLEMA 140
El simétrico del tetraedro regular O–ABC respecto de O es O – A’B’C’ ,
Si el área de la región cuadrangular BCB’C’ es 16 3 𝑢2 , entonces el
volumen del sólido ( en 𝑢3) determinado por el tetraedro regular es
El cuadrilátero BCB’C’ es
un paralelogramo de lados,
Dato: a x a 3 = 16 3
𝑉 =
43
12
2 𝑉 =
16
3
2
RESPUESTA : E
RESOLUCIÓN 140
a = 4
Luego,
BC = B’C’= a y BC’= CB’= a 3
El simétrico del hexaedro regular ABCD–EFGH respecto a CG es
A’B’CD’ – E’F’GH’ , si las distancias entre los puntos medios de A′B′ y
EF es 4 6 u , entonces la distancia entre los centros de los
hexaedros (en u ) es :
A) 4 B) 4 2 C) 4 3 D) 3 2 E) 3 3
PROBLEMA 141
rectángulo ABB’: EA= a, BB’ = 2a AB’ = a 5
Sean P y Q puntos medios de A’B’ y EF
En el triángulo rectángulo EAB’ :
EA= a, AB’ = a 5 y EB’ = a 6 = 4 6
a = 4
La distancia entre los centros de los hexaedros es a 2
x = 4 2
A’
E’
D’
B’
H’
F’
A
B
C
D
E
F
G
H
Los segmentos PQ y B’E son paralelos y miden 4 6
En la figura:
Trazamos el rectángulo EAB’F’, luego en el triángulo 
Q
P
RESOLUCIÓN 141
El simétrico del hexaedro regular ABCD–EFGH 
respecto a 𝐶𝐺 es A’B’CD’–E’F’GH’, si las distancias 
entre los puntos medios de 𝐴′𝐵′ y 𝐸𝐹 es 4 6 𝑢
, entonces la distancia entre los centros de los 
hexaedros ( en u) es :
Clave: B