Resoluciòn de Problemas

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2020-2
DECIMONOVENA ASESORÍA
SUPERFICIE ESFÈRICA Y 
ESFERA
PROBLEMA 01
En una cuña esférica, el diedro mide 30 y el área de la superficie que la
limita es
16π
3
u2. Calcule el área (en u2) del huso esférico correspondiente.
A) 1,21π B) 1,49π C) 1,25π
D)
4π
3
E)
2π
3
01
RESOLUCIÓN 01
En una cuña esférica, el diedro mide 30 y el área de la superficie que la limita
es
16π
3
u2. Calcule el área (en u2) del huso esférico correspondiente.
Clave: D 
Ahuso = ? 
Dato : 
Acuña = 
16π
3
πR2
2
+ 
πR2
2
+ 
πR2(30)
90
= 
16π
3
→ R = 2
Luego: Ahuso = 
π22(30)
90
→ Ahuso = 
4π
3
30
R
R
PROBLEMA 02
En el arco
Ⴃ
AB de una circunferencia de centro O, que mide 90, se ubica el
punto P y mPOB = a. Calcule la razón de volúmenes de los sólidos que se
generan al girar los sectores circulares AOP y POB, una vuelta alrededor
de OA.
A) sena B) cosa C) 2sena - 1
D) 1 - sena E) csca -1
01
RESOLUCIÓN 02
En el arco
Ⴃ
AB de una circunferencia de centro O, que mide 90, se ubica el punto
P y mPOB = a. Calcule la razón de volúmenes de los sólidos que se generan
al girar los sectores circulares AOP y POB, una vuelta alrededor de OA.
Clave: E 
Vsector esférico AOP
Vsector esférico POB
= ?
Se sabe que: Vsector esférico = 
2π
3
R2h
VAOP = 
2π
3
R2(R − Rsena)
VPOB = 
2π
3
R2(Rsena)
VAOP
VPOB
= 
(1 − sena)
sena
→ 
VAOP
VPOB
= csca - 1
A
B
P
O
α
α
R
Rsenα
R - Rsenα
R
360
H
PROBLEMA 03
Una superficie esférica es tangente a todas las aristas de un hexaedro
regular y el área del menor casquete determinado por una cara del
hexaedro es S. El área de la superficie esférica es
A) S(2 – 2) B) 2S(2 – 2) C) S(2 + 2)
D) 2S(2 + 2) E) 3S(2 + 2)
RESOLUCIÓN 03
Clave: D 
Una superficie esférica es tangente a todas las aristas de un hexaedro
regular y el área del menor casquete determinado por una cara del
hexaedro es S. El área de la superficie esférica es
Scasquete = S
O
M
T
r
a
a
r = a 2
a = 
r 2
2
 2rh = S Pero h = r – a
h = r –
r 2
2
 h = 
r(2 – 2)
2
Ssup. esf. = ?
 2r
r(2 – 2)
2
= S
 2r2 = S(2 + 2)
Ssup. esf. = 4r
2 = 2S(2 + 2)
F
h
PROBLEMA 04
Dado un huso esférico de área S y ángulo diedro de medida 60, calcule el
área de la superficie esférica de mayor radio, tangente al huso y a las caras
de dicho diedro.
A)
7S
3
B)
5S
3
C)
4S
3
D)
S
3
E)
2S
3
Clave: E 
Dado un huso esférico de área S y ángulo diedro de medida 60, calcule
el área de la superficie esférica de mayor radio, tangente al huso y a las
caras de dicho diedro.RESOLUCIÓN 04
 R2 = 
3S
2
R
S
O
A
B O
A
B
T30
30
M
N
r
2r
r
Shuso = S
4R2
60
360
= S
(3r)2 = 
3S
2
r2. = 
S
6
 Shsup. esf. = 
2S
3
r
PROBLEMA 05
En una semicircunferencia de diámetro AB , las cuerdas AD y BC se
intersecan en el punto P; en AB se ubican los puntos E y H tal que CE y DH
son perpendiculares al diámetro AB. Si m∠APC = 75 y (AB)2(EH) = 4(2 +
3) u3, entonces el volumen (en u3) del solido generado por el segmento
circular CD al girar una vuelta alrededor de AB es
A) 
π
4
B) 
π
6
C) 
π
8
D) 
π
3
E) 
3π
4
RESOLUCIÓN 05
En una semicircunferencia de diámetro AB, las cuerdas AD y BC se intersecan
en el punto P; en AB se ubican los puntos E y H tal que CE y DH son
perpendiculares al diámetro AB. Si m∠APC = 75 y (AB)2(EH) = 4(2 + 3) u3,
entonces el volumen (en u3) del solido generado por el segmento circular CD al
girar una vuelta alrededor de AB es
A B
D
C
E H
P
75
30
t
2R
(2R)2(t) = 4(2 + 3) (R)2(t) = (2 + 3) ⟹
VAE = ?
VAE = 
1
6
π(CD)2(EH) VAE = 
1
6
π(CD)2(t) 
m ෢CD = 30 CD = l12
CD = R 2 – 3⟹
Reemplazando I y III en II:
VAE = 
1
6
π(2 + 3)(2 – 3)
∴ VAE = 
π
6
Dato: (AB)2(EH) = 4(2 + 3) u3
⟹
…(I)
…(II)
…(III)
PROBLEMA 06
En una circunferencia de centro en O, se trazan los radios perpendiculares
OA y OE. En el cuadrado ABCD (D en OA), BC interseca al menor arco ෢AE
en el punto M. Si CM = 2(BM) = 2a, entonces el volumen del solido
generado por el sector circular AOM al girar una vuelta alrededor de OE es
A) 35πa3 B) 40πa3 C) 45πa3
D) 50πa3 E) 57πa3
RESOLUCIÓN 06
En una circunferencia de centro en O, se trazan los radios perpendiculares OA
y OE. En el cuadrado ABCD (D en OA), BC interseca al menor arco ෢AE en el
punto M. Si CM = 2(BM) = 2a, entonces el volumen del solido generado por el
sector circular AOM al girar una vuelta alrededor de OE es
A D O
B C T
h
Ma 2a
R
La
3a 3a
R – a
E
R
VSE = ?
VSE = 
2
3
π R2.h 
∆MLO: R2 = (3a)2 + (R – a)2
Donde: h = 3a
R = 5a
Reemplazando
VSE = 
2
3
π R2.h = 
2
3
π (5a)2.(3a)
∴ VSE = 50 π a
3
PROBLEMA 07
Un plano P es secante a una superficie esférica de centro O. Si el radio de
la superficie esférica mide ( 5 + 2) u y el área de la sección determinada es
igual a la diferencia de las áreas de los casquetes resultantes, entonces la
distancia de O al plano P es
A)
2
3
B) 2 C)
1
3
D)
5
3
E) 1
Clave: E 
RESOLUCIÓN 07
R
R = 5 + 2
O
Diferencia de las áreas de los casquetes = 𝜋r2
2𝜋R(R + x) - 2𝜋R(R - x) = 𝜋r2
Un plano P es secante a una superficie esférica de centro O. Si el radio de la
superficie esférica mide ( 5 + 2) u y el área de la sección determinada es igual a
la diferencia de las áreas de los casquetes resultantes, entonces la distancia de
O al plano P es
x
R
R - x
x = ?
r
4Rx = r2
ΔAHO: r2 + x2 = R2
x = R( 5 - 2)
x = ( 5 + 2)( 5 - 2)
x = 1
A
H
…(1)
…(2)
(2) en (1): 4Rx + x2 = R2
PROBLEMA 08
En un paralelepípedo rectangular ABCD-EFGH, EH = HG = 12 u y CG = 3
u. Una esfera, cuyo radio mide 6 u, es tangente a la cara EFGH en el punto
Q, el cual coincide con el centro de dicha cara. Calcule el volumen (en u3)
del menor segmento esférico determinado por la cara ABCD.
A) 40𝜋 B) 42𝜋 C) 45𝜋
D) 48𝜋 E) 50𝜋
RESOLUCIÓN 08 
Clave: C
En un paralelepípedo rectangular ABCD-EFGH, EH = HG = 12 u y CG = 3 u.
Una esfera, cuyo radio mide 6 u, es tangente a la cara EFGH en el punto Q, el
cual coincide con el centro de dicha cara. Calcule el volumen (en u3) del
menor segmento esférico determinado por la cara ABCD.
3
O
3
3
6
3 3
Volumen del segmento esférico: V = ?
V = 
πh3
6
+
πr2h
2
V = 
π33
6
+
π(3 3)2(3)
2
V = 45π
F
E
D
CB
A
H
G
Q
N
M
12
12
r
PROBLEMA 09 
Un sector circular AOB de centro O, cuyo ángulo central mide 30, gira en
torno a OB. Si el área del casquete esférico correspondiente es 4π(2 - 3)
u2, entonces el volumen (en u3) del sólido generado por el sector circular es
A) 
8π
3
(2 - 3) B) 2π(2 - 3) C) 3π(2 - 3)
D) 
7π
4
(2 - 3) E) 
10π
3
(2 - 3) 
RESOLUCIÓN 09 
Clave: A 
Un sector circular AOB de centro O, cuyo ángulo central mide 30, gira en torno a
OB. Si el área del casquete esférico correspondiente es 4π(2 - 3) u2, entonces
el volumen (en u3) del sólido generado por el sector circular es
O
A
B
30
R
H
R
2
R 3
2 R -
R 3
2
. A casquete esférico = 4π(2 − 3) 
. V sector esférico = ?
2πR R −
R 3
2
= 4π(2 − 3) 
→ R = 2
. V sector esférico =
2πR2h
3
. V sector esférico =
2π22(2− 3)
3
. V sector esférico =
8π
3
(2 − 3)
PROBLEMA 10 
En una superficie esférica, un plano secante determina una sección cuya
área es la cuarta parte del área del casquete esférico correspondiente. Si la
longitud del radio de la superficie esférica es 4 3 u, entonces el volumen
(en u3) del segmento esférico limitado por el casquete es
A) 216π 3 B) 208π 3 C) 220π 3
D) 232π 3 E) 215π 3
RESOLUCIÓN 10
Clave: A
En una superficie esférica, un plano secante determina una sección cuya área
es la cuarta parte del área del casquete esférico correspondiente. Si la longitud
del radio de la superficie esférica es 4 3 u, entonces el volumen (en u3) del
segmento esférico limitado por el casquete es
. V segmento esférico = ?
. A casquete esférico = A base casquete
2 3
a
πa2 = 4πx2
→ a = 2x y m∠BAH = 30
30
30
4 3
60
2 3
4 3
A
B
O
. Δ BOH : notable de 30 y 60
→ OH = 2 3 y x = 6
. V segmento esférico =
π(6 3)3
6
+
π(6)2(6 3)
2
∴ V segmento esférico = 216π 3
4 3xx
H
PROBLEMA 11
La base de un cono circular recto está limitada una circunferencia máxima
de la superficie esférica circunscrita, un plano paralelo a la base del cono
biseca a la altura. La razón de áreas del menor casquete esférico y de la
superficie lateral del cono parcial es.
A) 2 3 B) 3 C) 2 2
D) 3 2 E) 2 5
01
RESOLUCIÓN 11
La base de un cono circular recto esta limitada una circunferencia máxima de la
superficie esférica circunscrita, un plano paralelo a la base del cono biseca a la
altura. La razón de áreas del menor casquete esférico y de la superficie lateral
del cono parcial es.
h
2
h
2
2
h
2
O
h
2
Clave: C 
R
AC.E.
AL.cono
= 
πh2
πh2
4
2
⇒ 
AC.E.
AL.cono
= 2 2
AC.E.
AL.cono
= ?
AC.E. = 2πR
h
2
= 2π(h)
h
2
= πh2 … (1)
AL.cono = πrg = π
h
2
h
2
2 =
πh2
4
2 … (2)
= h
g R = h
g = 
h
2
2r = 
h
2
y 
r
De (1) y (2):
PROBLEMA 12
En un tronco de cilindro de revolución, está inscrita una esfera. Si las
bases del tronco determinan un ángulo diedro de medida 45 y la
generatriz menor es de longitud L, entonces el volumen de la esfera
es
A) 2L3 B)
4L3 2
3
C) 48L3
D)
L3 2
3
E)
L3 2
6
RESOLUCIÓN 12
En un tronco de cilindro de revolución, está inscrita una esfera. Si las bases del
tronco determinan un ángulo diedro de medida 45 y la generatriz menor es de
longitud L, entonces el volumen de la esfera es
Clave: D 
45
L
2R
Por teorema
ABCD, teorema de Pitot:
R
ASE = ?
VSE = 
4πR3
3
. . . (2)
2R 2
M
R L
2R
45
2R + L + L = 2R 2 + 2R ⇒ R = 
L 2
2
… (1)
VSE = 
4π
3
L 2
2
3
VSE = 
πL3 2
3
⇒RA
B
C
D
L
De (1) y (2)
PROBLEMA 13
Un prisma triangular regular está inscrito en una superficie esférica de área
S. Calcule el área máxima de la superficie lateral del prisma regular
A)
7S 3
4
B)
3S 3
4
C)
9S 3
4
D) 
9S 6
4
E) 
3S 3
5
RESOLUCIÓN 13
Un prisma triangular regular está inscrito en una superficie esférica de área S.
Calcule el área máxima de la superficie lateral del prisma regular
a
h/2
R
O R
a/ 3
Ssup-esf = 4𝜋R
2= S
. SL-maxima = 3
R 3
2
R 2 =3 R2 3
. ∆PQO: R2 =
h
2
2 +
a
3
2
➔ a2 =3 R2 −
h2
4
. SL = 3 3 R
2 −
h2
4
1/2
h2
4
1/2
(2)
. Como: R2 −
h2
4
+
h2
4
= R2 = cte
. Para SL máxima: R
2 −
h2
4
=
h2
4
➔ h = R 2 a =
R 3
2
y
. SL = 3ah
. SL-maxima =
3S 3
4𝜋 Clave: B 
aa
h
QP
PROBLEMA 14
En un cuadrilátero ABCD recto en D, se traza la circunferencia de centro C
y radios CA y CB, se ubican los puntos E y H en BC y AD respectivamente,
tal que m∠AHB = m∠AEB = 90. Si 2(HE) = BC y el área de la región
triangular BHE es S y tiene como circunradio r, entonces el volumen del
anillo esférico determinado por el segmento circular AB cuando gira una
vuelta alrededor de CD es
A)
7𝜋rS
4
B)
3𝜋rS 6
4
C)
8𝜋rS
3
D) 
9𝜋rS 6
4
E) 
3𝜋rS
5
RESOLUCIÓN 14
B
A
C
D
E
H
R/2
. Dato: S =
(BH)(BE)(HE)
4r
. V: volumen del anillo esférico
S
. V =
(AB)2(BH)
6
. V =
(2R)(BE)(BH)
6
= 
2(BH)(BE)(HE)
3
…. (2)
.S =
(BH)(BE)(R/2)
4r
=
(BH)(BE)(R)
8r
…(1)
. (1) en (2): V =
8𝜋rS
3
T
R
Clave: C 
En un cuadrilátero ABCD recto en D, se traza la circunferencia de centro C y
radios CA y CB, se ubican los puntos E y H en BC y AD respectivamente, tal
que m∠AHB = m∠AEB = 90. Si 2(HE) = BC y el área de la región triangular BHE
es S y tiene como circunradio r, entonces el volumen del anillo esférico
determinado por el segmento circular AB cuando gira una vuelta alrededor de
CD es
PROBLEMA 15
En un tetraedro regular cuyas aristas miden 6 u, está inscrita una esfera.
Calcule el volumen (en u3) de la menor cuña esférica determinada por dos
planos de simetría del tetraedro que son perpendiculares a una de las caras.
A)
π 6
4
B)
π 6
5
C)
π 6
6
D)
π 6
3
E)
π 6
2
RESOLUCIÓN 15
C
B
A
D
M
O
6
G
60
N
3
6
3
33
R
3R
El menor ángulo diedro determinado 
por los planos ABN y CBM mide 60 
BG = 4R = 
6 6
3
= 2 6
ABN y CBM son planos de simetría
Volumen de la cuña esférica: 
La intersección de los planos ABN y CBM 
es la recta BG, que contiene al centro O 
de la esfera inscrita cuyo radio mide R
⇒ R = 
6
2
V = 
a
270
πR3
V = 
60
270
π
6
2
3
= 
π 6
6
Clave: C 
En un tetraedro regular cuyas aristas miden 6 u, está inscrita una esfera.
Calcule el volumen (en u3) de la menor cuña esférica determinada por dos
planos de simetría del tetraedro que son perpendiculares a una de las caras.
PROBLEMA 16
En un hexaedro regular cuyas aristas miden 6 u, una esfera es tangente a
todas las aristas. Calcule el volumen (en u3) del segmento esférico de dos
bases determinado por dos caras opuestas del hexaedro.
A) 90π B) 84π C) 96π
D) 98π E) 86π
RESOLUCIÓN 16
CB
A
G
E
6
6
2a = 6 DCAB
H
D
EF HG
h = 6 6
2b = 6
Proyección frontal del segmento esférico
Volumen del segmento esférico
V = 
πh3
6
+
πa2h
2
+
πb2h
2
V = 
π63
6
+
π32(6)
2
+
π32(6)
2 V = 90 π
⇒
Clave: A 
Una esfera es tangente a todas las aristas de un hexaedro regular, cuyas
aristas miden 6 u. Calcule el volumen (en u3) del segmento esférico de dos
bases determinado por dos caras opuestas del hexaedro.
a y b son radios de las bases del segmento esférico
PROBLEMA 17
En una esfera se encuentra inscrito un octaedro regular de 72 3 m2 de
área. Se traza un plano por una de sus caras, determinando dos segmentos
esféricos, entonces el volumen (en m3) del menor segmento esférico es
A) (9 2 − 4 6) B) 2(9 2 − 4 6) C) 3(9 2 − 4 6)
D) 4(9 2 − 4 6) E) 5(9 2 − 4 6)
En una esfera se encuentra inscrito un octaedro regular de 72 3 m2 de área. Se
traza un plano por una de sus caras determinando dos segmentos esféricos,
entonces el volumen (en m3) del menor segmento esférico es
Del dato: 72 3 = 8 a2
3
4
 a = 6
O
H
P
M
A
B
C
D
E
a
Por octaedro: AO = a
2
2
, OM = 
a
2
, AM = a
3
2
⊿AOM: a 2
2
a
2
= a
3
2
OH  OH = a
6
6
= 6
VS.E.. Menor = x
x = 
h3
6
+ 
h
2
(AH)2  h= HP = OP – OH = a
2
2
- a
6
6
 h = 3 2 - 6 y AH = a
3
3
= 2 3
x = 
(3 2 − 6)3
6
+ 
(3 2 − 6)
2
(2 3)2
x = 4(9 2 − 4 6 )
Clave: D
6 =
6
2 3 h
RESOLUCIÓN 17
PROBLEMA 18
Dos esferas secantes E1 y E2 de centros O1 y O2 son intersecadas por un
plano paralelo a O1O2 , determinando dos círculos de áreas 108 m
2 y 64
m2. Si el radio de la esfera menor mide 10 m, entonces el volumen (en m3)
de la otra esfera es
A) 576 B) 1152 C) 2304
D) 2880 E) 3456
Se tienen 2 esferas secantes E1 y E2 de centros O1 y O2 intersecadas por un
plano paralelo a O1O2, determinando dos círculos de áreas 108 m
2 y 64 m2.
Si el radio de la esfera menor mide 10 m, calcule (en m3) el volumen de la otra
esfera.
108
O1
• •
O2
E1
E2
64
Vesf. Mayor = x
ab
64 = a2  a = 8 
10
M N ⊿O2MN: O2M = 6 = O1P= 8
108 = b2  b = 6 3
6 3 =
66
PQ
R ⊿O1PQ: O1Q = R = 12 
x = 
4
3
R3 = 
4
3
(12)3
x = 2304
Clave: C 
12=
RESOLUCIÓN 18
PROBLEMA 19
En un hexaedro regular ABCD-EFGH, se inscribe una esfera, tangente a la
cara CDHG en el punto O. Si el plano OEF determina sobre la esfera una
sección circular de área S, entonces el área se la superficie esférica es
A) 2S B) 3S C) 4S
D) 5S E) 6S
RESOLUCIÓN 19
Clave: D 
En un hexaedro regular ABCD-EFGH, se inscribe una esfera, tangente a la
cara CDHG en el punto O. Si el plano OEF determina sobre la esfera una
sección circular de área S, entonces el área se la superficie esférica es
r
B
A
C
D
E
F G
H
r
r
R R
R
R
53/2
O
O
A
E H
D
EOM notable de 53/2
M
 R = 
r 5
2
Dato: S = r2
SS.E = ?
SS.E = 4R
2
SS.E = 4
r 5
2
2
SS.E = 5r
2
……..(I)
……..(II)
Reemplazando en (I)
de (II)  SS.E = 5S
R
PROBLEMA 20
En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, se ubican los puntos
C y D (C  ෢AD), cuyas distancias al diámetro miden a y b. Si mCOD = 90,
entonces el volumen del sector esférico generado al girar el sector circular
COD alrededor del diámetro es
A)
2
3
(a + b)(a2 + b2) B)
2
3
(a + b)(a2 – b2) C)
4
3
(a + b)(a2 + b2)
D)
5
3
(a + b)(a2 + b2)E)
7
3
(a + b)(a2 + b2)
RESOLUCIÓN 20
Clave: A 
En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, se ubican los puntos C y
D (C  ෢AD), cuyas distancias al diámetro miden a y b. Si mCOD = 90,
entonces el volumen del sector esférico generado al girar el sector circular
COD alrededor del diámetro es
B
A
O
C
D
F
H
R
R
a
b
h
VSECTOR ESFERICO = ?
VSECTOR ESFERICO = 
2
3
(R2)h ………….(I)
a
a
CHO  OFD ……. ALA
HO = b; OF = a
b
a
 h = a + b
CHO por el teorema de Pitágoras
R2 = a2 + b2
………….(II)
………….(III)
Reemplazando II y III en I
VSECTOR ESFERICO = 
2
3
(a + b)(a2 + b2)
PROBLEMA 21
En una superficie esférica, tres planos secantes determinan circunferencias que
dos a dos tienen en común un punto. Si las áreas de las círculos que terminan
dos de ellos son S1 y S2, entonces el área de la zona esférica determinado por
un plano paralelo a la tercera circunferencia que contiene al punto común de las
dos primeras es
A)
S1 + S2
2
B) S1 + S2 C) 2 S1S2
D)
S1S2
S1+S2
E) 4 S1S2
Sea S el área de la zona esférica.
Por teorema: 
Por teorema: 
Luego, 
RESOLUCIÓN 21
En una superficie esférica, tres planos secantes determinan circunferencias que
dos a dos tienen en común un punto. Si las áreas de las círculos que terminan
dos de ellos son S1 y S2, entonces el área de la zona esférica determinado por
un plano paralelo a la tercera circunferencia que contiene al punto común de las
dos primeras es
S 2 Rh= 
1 2S SS 4= 
 
A
1S
2S
1R
1R
2R 2R
h
R
( ) ( )( )1 22R h 2R 2R=
1 2S 4 R R= 
1 2S 4 S S =
C
B
S
2
1 1S R= 
2
2 2S R= 
Clave: E
PROBLEMA 22
En una esfera se tienen una cuña esférica y un sector esférico equivalentes,
tal que la altura de la zona esférica está contenida en el diámetro de la cuña
esférica. Si el radió de la superficie esférica y la altura de la cuña esférica
miden R y h, entonces el volumen de la intersección de estas partes de la
esfera es
A)
1
2
Rh2 B)
1
3
Rh2 C)
1
4
Rh2
D)
1
6
Rh2 E)
2
3
Rh2
Sea V el volumen de la intersección de los
dos sólidos.
Dato:
Finalmente,
RESOLUCIÓN 22
En una esfera se tienen una cuña esférica y un sector esférico equivalentes tal
que la altura de la zona esférica está contenida en el diámetro de la cuña
esférica. Si el radió de la superficie esférica y la altura de la cuña esférica miden
R y h, entonces el volumen de la intersección de estas partes de la esfera es
C.E. S.E.V V=
h ( )
3 24 2R R h
360 3 3
a 
 =  
 
22 1R Rh
360 3 3
a 
  =  
 
22V R h
360 3
a 
=  
 
21V Rh
3
 = 
a
R
Clave: B 
PROBLEMA 23
En un cuadrado ABCD, A es centro del arco BD y radio AB, B y D son
centros de los arcos AC de radios BC y DC que interseca el arco BD en P y
Q respectivamente, las proyecciones de P y Q sobre AD son M y N. Sí AB =
2 u, entonces el volumen (en u3) del sólido generado por la región limitado
por el arco PQ, QN, NM y MP al girar una vuelta alrededor de AD es.
A)
𝜋(9 3 + 11)
3
B)
𝜋(9 3 − 10)
3
C)
𝜋(9 3 − 11)
2
D)
𝜋(9 3 − 11)
3
E)
𝜋(9 3 − 11)
4
RESOLUCIÓN 23 
Clave: D 
En un cuadrado ABCD, A es centro del arco BD y radio AB, B y D son centros
de los arcos AC de radios BC y DC que interseca el arco BD en P y Q
respectivamente, las proyecciones de P y Q sobre AC son M y N. Sí AB = 2 u,
entonces el volumen (en u3) del sólido generado por la región limitado por el
arco PQ, QN, NM y MP al girar una vuelta alrededor de AD es.
A
B C
D
P
Q
N M
2
2
2
V volumen del segmento esférico de dos bases, V = ?
P y Q trisecan el arco BD, cada arco mide 30
△AMP es notable de 30 y 60
30
30
30
30
2 1
3
1 3 − 1
3
Teorema
V = 
𝜋 3 − 1
3
6
+ 
𝜋 3
2
3 − 1
2
+ 
𝜋 1
2
3 − 1
2
V = 
𝜋 9 3 − 11
3
PROBLEMA 24
En una semicircunferencia de centro O y diámetro AB, se trazan la
semicircunferencia de diámetro AO y la cuerda BC tangente en D a la
semicircunferencia, la prolongación de AD interseca el arco BC en P.
Calcule la razón entre las áreas de las superficies generadas por los
arcos AD y PB al girar una vuelta alrededor de AB.
A) 1:2 B) 1:3 C) 1:4
D) 2:3 E) 3:4
Clave: A 
En una semicircunferencia de centro O y diámetro AB, se trazan la cuerda BC y
la semicircunferencia de diámetro AO tangente en D a la cuerda, la prolongación
de AD interseca el arco BC en P. Calcule la razón de áreas de las superficies
generadas por los arcos AD y PB al girar una vuelta alrededor de AB.
A O B
C
D
P
F
S1 área del casquete generado por el arco AD
S2 área del casquete generado por el arco PB
S1
S2
= ?
O1 E
Se trazan DE ꓕ AB y PF ꓕ AB
Teorema O1D ꓕ BC y OP ꓕ BC
△O1ED ~ △OFP ⇒ O1E = a
Teorema: 
S1
S2
= 
2𝜋(3a)(4a)
2𝜋(6a)(4a)
= 
1
2
3a 2k
k
k
2a
4a
3a a 4a2a2a
RESOLUCIÓN 24 
PROBLEMA 25
Calcule la longitud (en u) de la altura de una zona esférica cuya área es 
igual al área de un círculo mayor de la superficie esférica que la contiene e 
igual a 16𝜋 u2.
A) 1 B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
01
RESOLUCIÓN 25
hR
2𝜋hR = (𝜋R2) =16𝜋
→ h =
R
2
, R = 4
Calcule la longitud (en u) de la altura de una zona esférica cuya área es igual 
al área de un círculo mayor de la superficie esférica e igual a 16𝜋 u2.
. Azona esf.= Acírculo mayor = 16𝜋 (dato) ……(1)
. Sea h la longitud de la altura de la zona esférica. 
. De (1) se tiene:
. Sea R la longitud del radio de la superficie esférica. 
h = 2
. De (2) se tiene:
…………(2)
Clave: C 
PROBLEMA 26
La base de un cono equilátero es un círculo menor de una superficie
esférica y el vértice es el centro de la misma. Un anillo esférico está
determinado por dicha superficie esférica y la superficie lateral de un tronco
de cono, cuya base menor es la base del cono y cuyo eje es el eje del cono.
Si la capacidad del cono es
125
24
3𝜋 u3, entonces el volumen (en u3) del
anillo esférico es
A)
125 3
12
𝜋 B)
105 3
11
𝜋 C)
59 3
6
𝜋
D)
53 3
17
𝜋 E)
15 3
4
𝜋
01
RESOLUCIÓN 26
La base de un cono equilátero es un círculo menor de una esfera y el vértice es el
centro de la misma. Un anillo esférico está determinado por la superficie esférica y la
superficie lateral de un tronco de cono, cuya base menor es la base del cono y cuyo eje
es el eje del cono. Si la capacidad del cono es
125
24
3𝜋 u3, entonces el volumen (en u3)
del anillo esférico determinado por dicha superficie esférica es
30
60
. Vcono = 
125
24
3𝜋 (Dato) ………..(1)
. Sea R la longitud del radio de la esfera.
R
R
. Vcono = 
1
3
𝜋
R
2
2
3
2
R
. Vanillo = 
1
6
𝜋(AB)2h,
………..(2) 
. De (1) y (2) : R = 5
A
B Pero:
h = 
3
2
R , AB = R
→ Vanillo = 
1
6
𝜋(R)2
3
2
R = 
3
12
𝜋(R)3
Vanillo = 
125 3
12
𝜋
. Vanillo = ?
………..(4) 
………..(3) 
. Reemplazando (3) en (4):
R
2
3
2
R
Clave: A 
h