Hipérbola 2 _ PRE 2020-II

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SECCIONES CÓNICAS: HIPÉRBOLA
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
-
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1
22
Ecuación ordinaria de la hipérbola de centro C(h; k) 
y eje focal paralelo al eje de las ordenadas.
Consideremos la hipérbola
mostrada en la figura.
La ecuación de la hipérbola
está dada por:
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1
Donde a < b, a = b o a > b
Eje normal
Directriz 1
Directriz 2
E
je
 f
o
ca
l
C(h;k) 
x
y
3
3
Al desarrollar las formas ordinarias de la ecuación de la
hipérbola se obtiene una ecuación de la forma:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Forma general de la ecuación de una hipérbola.
Donde: A.C < 0 (A y C de signos diferentes)
Además se debe cumplir:
𝐷2
4𝐴
+
𝐸2
4𝐶
≠ 𝐹
Cuando:
𝐷2
4𝐴
+
𝐸2
4𝐶
= 𝐹 entonces la ecuación representa dos
rectas que se intersecan en el punto de coordenadas
−
𝐷
2𝐴
; −
𝐸
2𝐶
(caso degenerado).
4
Excentricidad (e)
Es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una
circunferencia.
Para cualquier punto que pertenece a una sección cónica, la razón de su distancia a un punto fijo F (foco) y
a una recta fija l (directriz) es siempre igual a una constante positiva llamada excentricidad (e)
e =
𝑑1
𝑑2
=
𝑑3
𝑑4
C
𝐿1
𝐿2
𝐹1 𝐹2
𝑑1
𝑑2
𝑑3
𝑑4
𝑃1
𝑃2
x
y
5
Excentricidad
Se representa por “e” y tiene la
siguiente relación:
e =
2𝑐
2𝑎
=
𝑐
𝑎
Distancia entre los vértices:2a
Distancia entre focos:2c
C
𝑉1
𝑉2𝐹1
𝐹2
También:
Como: c  a 
𝑐
𝑎
> 1 , Luego:
e > 1
x
y
6
Distancia entre rectas directrices
𝐹1 𝐹2𝐶
𝐿𝐷1 𝐿𝐷2
𝐷1𝐷2 =
2𝑎2
𝑐
=
2𝑎
e
𝐿𝐹𝐷1 𝐷2
x
y
7
𝐹1 𝐹2
M
M’
N
Longitud del lado recto
MM′ = 𝑁𝑁′ =
2𝑏2
𝑎
x
y
n
2a+n
n
Aplicando teorema de Pitágoras:
(2c)2+(n)2=(2a+n)2
4c2+n2=4.a2+4.a.n+n2
4c2 -4a2= 4.a.n
4(c2 - a2)= 4.a.n
b2=a.n
Longitud del lado recto: 2.n = 
2.𝑏2
𝑎
2c
8
APLICACIÓN 4 
Una hipérbola H tiene por ecuación:
4𝑥2 − 9𝑦2 + 16𝑥 − 54𝑦 − 101 = 0
Calcule la longitud de su lado recto.
𝐴)
2
3
𝐵)
5
3
𝐶)
8
3
𝐷)
11
3
𝐸)
14
3
RESOLUCIÓN
𝐻: 4𝑥2 − 9𝑦2 + 16𝑥 − 54𝑦 − 101 = 0
Completando cuadrados:
𝐻: 4 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 9 𝑦2 + 6𝑦 + 9 = 101 + 16 − 81
𝐻: 4 𝑥 + 2 2 − 9 𝑦 + 3 2 = 36
𝐻:
𝑥 + 2 2
32
−
𝑦 + 3 2
22
= 1 Eje focal paralelo al eje X
𝑎 = 3 ʌ 𝑏 = 2
Lado recto: 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
=
2 2 2
3
=
8
3
Clave: C
9
Consideramos la hipérbola especial cuyos ejes transverso y conjugado son de
igual longitud (a = b) y las asíntotas de la hipérbola son perpendiculares
Hipérbola equilátera o rectangular
Cuando las asíntotas de la
hipérbola equilátera son los
ejes cartesianos la ecuación
toma la forma más sencilla.
45º
x
y
10
APLICACIÓN 5 
Hallar la ecuación de la hipérbola 
equilátera que tiene un foco en 
𝐹 −1; 2 y directriz asociada a la recta 
L : 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
RESOLUCIÓN
Clave: E֜ 3𝑥
2 + 8𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 50𝑥 + 25 = 0
𝑎 = 𝑏 ; 𝑐 = 𝑎 2
𝐴) 3𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 3𝑦2 − 40𝑥 + 25 = 0
𝐵) 3𝑥2 − 8𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 40𝑥 + 25 = 0
𝐶) 2𝑥
2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 + 20𝑥 − 10 = 0
𝐷) 2𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 𝑦2 − 20𝑥 + 10 = 0
𝐸) 3𝑥2 + 8𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 50𝑥 + 25 = 0
𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎:
֜ 2(2𝑥 + 𝑦 − 5)2 = 5[(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2]
𝑒 =
𝑑(𝑃, 𝐹)
𝑑(𝑃, 𝐿𝐷)
֜ 2 =
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2
|2𝑥 + 𝑦 − 5|
5
𝑒 =
𝑐
𝑎
= 2
֜ 2 4𝑥2 + 𝑦2 + 25 + 4𝑥𝑦 − 20𝑥 − 10𝑦 = 5(𝑥2 + 𝑦2 +
2𝑥 − 4𝑦 + 5)
𝑭(−𝟏; 𝟐)
𝑳𝑫:
𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟓 = 𝟎
𝑷(𝒙; 𝒚)
11
Hipérbolas conjugadas
Dos hipérbolas son conjugadas cuando la longitud de su eje transverso de una es idéntica a la longitud
del eje conjugado de la otra.
Dos hipérbolas conjugadas tienen el mismo centro y las mismas asíntotas.
Ejemplo: las Hipérbolas (𝑦−𝑘)2
𝑏2
-
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
= 1
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
-
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1
a
b
b
a
C
𝑉1
𝑉2 C
𝑉1
𝑉2
x
y
x
y
12
APLICACIÓN 6 
Sea 𝐻𝑐 una hipérbola cuyos vértices
son 𝑉1 0; 3 , 𝑉2 0;−3 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠
𝐹1 0; 13 , 𝐹2 0;− 13 .
Determine la ecuación de la hipérbola
H, si H y 𝐻𝑐 son hipérbolas
conjugadas.
RESOLUCIÓN
Clave: C
𝐴)
𝑦2
9
−
𝑥2
4
= 1 𝐵)
𝑥2
9
−
𝑦2
4
= 1
𝐶)
𝑥2
4
−
𝑦2
9
= 1 𝐷)
𝑥2
4
−
𝑦2
13
= 1
𝐸)
𝑥2
13
−
𝑦2
4
= 1
𝐻 ∶
𝑥2
4
−
𝑦2
9
= 1
𝐷𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐻𝑐:
𝑎 = 3 ; 𝑐 = 13
֜ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
֜ 𝑏 = 2
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐻:
𝑯𝒄
𝑯 𝑭𝟏(𝟎; 𝟏𝟑)
𝑽𝟏(𝟎; 𝟑)
𝑿
𝒀
𝐻𝐶 ∶
𝑦2
9
−
𝑥2
4
= 1
13
a).Se conoce el punto de tangencia (𝑥0; 𝑦0) y la ecuación de la hipérbola
2 2
2 2
( x h ) ( y k )
H : 1
a b
 
 
0 0
t 2 2
(x h )( x h ) ( y k )( y k )
L : 1
a b
   
 
2 2
2 2
( y k ) ( x h )
H : 1
a b
 
 
0 0
t 2 2
( y k )( y k ) ( x h )( x h )
L : 1
a b
   
 
Lt
Lt
(x0;y0)
(x0;y0)
H H
Ecuación de la recta tangente a la hipérbola
x
y
x
y
14
APLICACIÓN 7 
Dada la hipérbola H:
(𝑥 − 3)2
4
−
𝑦 + 1 2
9
= 1
𝑆𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒 determinar la ecuación de la
recta tangente a la hipérbola en el
punto (5; −1) .
RESOLUCIÓN
Clave: E
(𝑥0 − 3)(𝑥 − 3)
4
−
𝑦0 + 1 𝑦 + 1
9
= 1
𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎:
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥0; 𝑦0 = 5;−1 ∈ 𝐻
𝐿𝑇: 𝑥 = 5
𝐴) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
𝐵) 3𝑥 − 𝑦 − 16 = 0
𝐶) 3𝑥 + 𝑦 − 14 = 0
𝐷) 𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0
𝐸) 𝑥 = 5
𝐻:
(𝑥 − 3)2
4
−
𝑦 + 1 2
9
= 1
𝐸𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
𝐿𝑇:
(5 − 3)(𝑥 − 3)
4
−
−1 + 1 𝑦 + 1
9
= 1
15
b) Se conoce la pendiente (m) de la recta tangente y la ecuación (H) de la hipérbola:
Lt: y-k=m(x-h)± 𝑎
2𝑚2 − 𝑏2 Lt: y-k=m(x-h)± 𝑎
2 − 𝑏2𝑚2
Ecuación de la recta tangente a la hipérbola
2 2
2 2
( x h ) ( y k )
H : 1
a b
 
 
2 2
2 2
( y k ) ( x h )
H : 1
a b
 
 
Lt
H
LtHLt
Lt
x
y
x
y
16
La asíntota es una línea recta que prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a una curva
sin llegar a encontrarlo o cortarla, puede ser horizontal, vertical u oblicua.
Ecuaciones de las rectas asíntotas de la hipérbola
H
ℒ 1ℒ 2
(𝑦)2
𝑏2
=
𝑥2− 𝑎2
𝑎2
La hipérbola de ecuación:
(𝑥)2
𝑎2
-
(𝑦)2
𝑏2
= 1; tiene por asíntotas a las rectas cuyas
ecuaciones son ℒ 1:
𝑥
𝑎
=
𝑦
𝑏
^ ℒ 2:
𝑥
𝑎
=-
𝑦
𝑏
De la cual se obtienen:
x
y
Teorema:
Demostración:
En la ecuación dada, se despeja y:
𝑦
𝑏
= ±
𝑥
𝑎
1 −
𝑎2
𝑥2
Si x → +∞ , la fracción
𝑎 2
𝑥2
→ 0
Reemplazando:
𝑦
𝑏
= ±
𝑥
𝑎
1 − 0
ℒ 1: 
𝑥
𝑎
=
𝑦
𝑏
ℒ 2: 
𝑥
𝑎
=-
𝑦
𝑏
Lo que equivale a decir, que en la
ecuación de la hipérbola se cambie al 1
por 0, para obtener las ecuaciones de las
rectas asíntotas.
17
Sea la ecuación de la hipérbola:
Ecuaciones de las rectas asíntotas de la hipérbola
2 2
2 2
( x h ) ( y k )
H : 1
a b
 
 
H
L1L2
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
-
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 0
De modo práctico , en la ecuación H se
intercambia 1 por 0:
1
( x h ) ( y k )
L :
a b
 

2
( x h ) ( y k )
L :
a b
 
 
Obteniéndose:
x
y
18
Sea la ecuación de la hipérbola:
Ecuaciones de las rectas asíntotas de la hipérbola
2 2
2 2
( y k ) ( x h )
H : 1
a b
 
 
L1H
L2
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
-
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
= 0
De modo práctico, en la ecuación H se
intercambia 1 por 0:
1
( y k ) ( x h )
L :
a b
 

2
( y k ) ( x h )
L :
a b
 
 
Obteniéndose:
x
y
19
PROPIEDADES
20
Si P(x1;y1) es un punto de la hipérbola:
PROPIEDAD 1
2 2
2 2
x y
H : 1
a b
 
Las longitudes de sus radios focales son: 1 1 1r d( P;F ) e x a    2 2 1r d( P;F ) e x a   
x
yDemostración:
P(x1;y1) 
r1
r2
Gráficamente , se aprecia que:𝑟1
𝑒 x1=
𝑟1
𝑒
+
𝑎
e
L1L2
𝑎
e
𝑎
e
𝑟2
𝑒
x1=
𝑟2
𝑒
−
𝑎
e
1 1r e x a  
2 1r e x a  
Generalizando para cualquier posición de P:
1 1 1r d( P;F ) e x a   
2 2 1r d( P;F ) e x a   
H
F1
F2
Rectas directrices L1 y L2
21
PROPIEDAD 2
Si desde un punto exterior P(x1;y1) se trazan rectas tangentes a una hipérbola de ecuación
el segmento de recta que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto y suecuación es
2 2
2 2
x y
H : 1
a b
 
Las ecuaciones de las rectas tangentes son:Demostración:
0 0
2 2
x x y y
L : 1
a b
 
 
x
y
P(x0;y0) 
A(x1;y1) 
B(x2;y2) 
L1
L2
L: y-y1=m(x-x1)
1 1
1 2 2
x x y y
L : 1
a b
 
 
2 2
2 2 2
x x y y
L : 1
a b
 
 
P(x0;y0) ∈ 𝐿1
P(x0;y0) ∈ 𝐿2
0 1 0 1
2 2
x x y y
1
a b
 
 
0 2 0 2
2 2
x x y y
1
a b
 
 
…(i)
…(ii)
(-)
0 1 2 0 1 2
2 2
x ( x x ) y ( y y )
0
a b
   
 
2
1 2 0
2
1 2 0
( y y ) x b
m
( x x ) y a
 
 
 
2
0
1 12
0
x b
y y ( x x )
y a

  

Reemplazando en la ecuación de la recta de contacto:
0 0 0 1 0 1
2 2 2 2
x x y y x x y y
a b a b
   
  
=1
0 0
2 2
x x y y
L : 1
a b
 
  
22
PROPIEDAD 3
La distancia de un foco de la hipérbola a cualquiera de sus asíntotas es igual a la longitud de su
semieje conjugado, es decir :
2 2
2 2
x y
H : 1
a b
 Sea la ecuación de la hipérbola:
Demostración:
x
y
F1(c;0) F2(-c;0) 
L1
L2
2
b
L : y x
a


d
2 2
b x a y
d
b a
  


d b 
 d F;L b
Las ecuaciones de sus rectas asíntotas son:
1
b
L : y x
a

En forma general:
1L : bx ay 0  2L : bx ay 0 
Por distancia de un punto a una recta:
d
Para el foco F1(c;0)
2 2
b c a 0
d
b a
  

 2
b c
c


23
PROBLEMAS RESUELTOS
24
PROBLEMA 1 
Determine la ecuación de la
hipérbola con vértices (−3;0) y (3;0)
y el lado recto mide 24 u.
𝐴)
𝑥2
5
−
𝑦2
16
= 1
𝐵)
𝑥2
5
−
𝑦2
36
= 1
𝐶)
𝑥2
7
−
𝑦2
36
= 1
𝐷)
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
𝐸)
𝑥2
9
−
𝑦2
36
= 1
RESOLUCIÓN
𝑉1 −3; 0 𝑉2 3; 0𝐹1 𝐹2
𝑐 𝑐
𝑎 𝑎
Del gráfico: 𝑎 = 3
Lado recto: 𝐿𝑅 = 24
2𝑏2
𝑎
= 24
2𝑏2
3
= 24 → 𝑏 = 6
Eje focal paralelo al eje X:
𝐻:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
𝐻:
𝑥2
9
−
𝑦2
36
= 1
Clave: E
𝑋
𝑌
25
𝑋
𝑌
PROBLEMA 2 
Determine la ecuación de la 
hipérbola que pasa por 3;−2 𝑦 7; 6 .
Además tiene su centro en el origen y 
su eje transverso coincide con el eje 
X.
𝐴) 4𝑥2 − 5𝑦2 = 16
𝐵) 4𝑦2 − 5𝑥2 = 16
𝐶) 5𝑥2 − 4𝑦2 = 16
𝐷) 3𝑥2 − 4𝑦2 = 16
𝐸) 4𝑦2 − 3𝑥2 = 8
RESOLUCIÓN
Condición: Eje transverso en el eje X y centro en el origen.
𝑉1 𝑉2𝐶
𝑀 7; 6
𝑁 3;−2
𝐻:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
7; 6 ∈ 𝐻 → 7
2
𝑎2
−
62
𝑏2
= 1…(𝐼)
3;−2 ∈ 𝐻 →
32
𝑎2
−
22
𝑏2
= 1… (𝐼𝐼)
Resolviendo las ecuaciones (I) y (II):
𝑎 = 2 ʌ 𝑏 =
4
5
𝐻:
𝑥2
4
−
𝑦2
16
5
= 1
𝐻: 4𝑥2 − 5𝑦2 = 16
Reemplazando en la 
ecuación de la hipérbola:
Clave: A
26
PROBLEMA 3 
La hipérbola con centro en el origen de
coordenadas tiene una excentricidad
igual a 2. Su eje conjugado coincide
con el eje de las ordenadas y la
distancia entre focos es de 4 u.
Determine su ecuación:
RESOLUCIÓN
Clave: E
𝐴) 𝑥2 − 3𝑦2 = 3
𝐵) 9𝑥2 − 𝑦2 = 9
𝐶) 3𝑥
2 − 𝑦2 = 9
𝐷) 𝑥2 − 9𝑦2 = 9
𝐸) 3𝑥2 − 𝑦2 = 3
𝐻 ∶
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 ………(𝐼)
𝑒 = 2 ֜
𝑐
𝑎
= 2 ; 𝑎 = 1
2𝑐 = 4 ֜ 𝑐 = 2
֜ 3𝑥2 − 𝑦2 = 3
𝐸𝑛 𝐼 ∶ 𝐻 ∶
𝑥2
1
−
𝑦2
3
= 1
֜ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ֜ 𝑏 = 3
𝒀
𝑿
𝑭(𝟐; 𝟎)
27
PROBLEMA 4 
Determine la ecuación de una
hipérbola de excentricidad 3, si la
hipérbola pasa por el punto (2; 4), su
centro está en el origen y el eje focal es
el eje X:
RESOLUCIÓN
Clave: C
𝐴) 𝑥2 − 8𝑦2 = 16
𝐵) 16𝑥2 − 2𝑦2 = 32
𝐶) 8𝑥
2 − 𝑦2 = 16
𝐷) 6𝑥2 − 𝑦2 = 8
𝐸) 12𝑥2 − 𝑦2 = 32
𝑆𝑒𝑎: 𝐻 ∶
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑒 =
𝑐
𝑎
= 3 ֜ 𝑐 = 3𝑎
2; 4 ∈ 𝐻 ֜
4
𝑎2
−
16
𝑏2
= 1 ֜ 4𝑏2 − 16𝑎2 = 𝑎2𝑏2 ……(𝐼)
֜ 8𝑥2 − 𝑦2 = 16𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝐻 ∶
𝑥2
2
−
𝑦2
16
= 1
֜ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ֜ (3𝑎)2= 𝑎2 + 𝑏2 ֜ 𝑏2 = 8𝑎2…(𝐼𝐼)
𝐼𝐼 𝑒𝑛 𝐼 : 32𝑎2 − 16𝑎2 = 8𝑎4
֜ 16 = 8𝑎2 ֜ 𝑎2 = 2
֜ 𝑏2 = 8𝑎2 = 16
28
PROBLEMA 5 
Determine la ecuación de una
hipérbola cuyos vértices y focos
coinciden con los focos y vértices de la
elipse cuya ecuación es:
9𝑥2 + 25𝑦2 = 225
RESOLUCIÓN
Clave: D
𝐴) 16𝑦2 − 25𝑥2 = 400
𝐵) 9𝑥2 − 25𝑦2 = 225
𝐶) 3𝑥2 − 4𝑦2 = 12
𝐷) 9𝑥2 − 16𝑦2 = 144
𝐸) 9𝑦2 − 16𝑥2 = 144
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝐸:
𝑎 = 5 ; 𝑏 = 3 ;
֜ 𝑐 = 4
֜ 9𝑥2 − 16𝑦2 = 144
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝐻 ∶
𝑥2
𝑎′2
−
𝑦2
𝑏′2
= 1 ֜
𝑥2
16
−
𝑦2
9
= 1
֜𝑏′
2
= 𝑐′
2
− 𝑎′
2
֜ 𝑏′ = 3
𝐸 ∶
𝑥2
25
+
𝑦2
9
= 1
𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐻:
𝑎 ′ = 4 ; 𝑐 ′ = 5 ;
(𝟓; 𝟎)
𝑿
𝒀
(𝟒; 𝟎)
29
PROBLEMA 6 
Determine la ecuación de la 
hipérbola, cuya excentricidad es 3, uno 
de sus focos es el origen de 
coordenadas y la directriz que le 
corresponde es la recta 𝑦 = −3.
RESOLUCIÓN
Clave: C
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑐 = 3𝑛 ; 𝑎 = 𝑛 ֜ 𝑏 = 2 2 𝑛
𝑒 = 3 ֜
𝑐
𝑎
= 3
𝐸𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜: 𝐶 ℎ; 𝑘 = 0;−27/8
𝐻:
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1 ֜
(𝑦 +
27
8 )
2
𝑛2
−
(𝑥 − 0)2
8𝑛2
= 1
𝐴) 10𝑦2 − 𝑥2 + 48𝑦 + 36 = 0
𝐵) 9𝑦2 − 𝑥2 + 58𝑦 + 91 = 0
𝐶) 8𝑦
2 − 𝑥2 + 54𝑦 + 81 = 0
𝐷) 7𝑦2 − 𝑥2 + 38𝑦 + 47 = 0
𝐸) 8𝑦2 − 𝑥2 + 48𝑦 + 48 = 0
𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑎,
𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠:
֜ 8𝑦2 − 𝑥2 + 54𝑦 + 81 = 0
𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛: 𝑐 = 3 +
𝑎2
𝑐
֜ 3𝑛 = 3 +
𝑛
3
֜ 𝑛 =
9
8
𝒚 = −𝟑
𝑭(𝟎; 𝟎)
𝒂𝟐/𝒄
𝑪 𝟎;−𝒄 = (𝒉; 𝒌)
𝑿
𝒀
30
PROBLEMA 7 
Determine la ecuación de la 
hipérbola que tiene su centro en el 
origen, un vértice en 6; 0 y por una 
de sus asíntotas la recta 4𝑥 − 3𝑦 = 0
𝐴)
𝑥2
64
−
𝑦2
91
= 1
𝐵)
𝑥2
36
−
𝑦2
64
= 1
𝐶)
𝑥2
25
−
𝑦2
64
= 1
𝐷)
𝑥2
25
−
𝑦2
36
= 1
𝐸)
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
RESOLUCIÓN
Centro en el origen y un vértice en 𝑉1 6; 0
𝑋
𝑌
𝑉1 6; 0
Ecuación de las rectas asíntotas:
𝐿1: 4𝑥 − 3𝑦 = 0
→ 𝐿2: 4𝑥 + 3𝑦 = 0
Entonces:
𝐻: 4𝑥 − 3𝑦 4𝑥 + 3𝑦 = 𝑘
𝐻: 16𝑥2 − 9𝑦2 = 𝑘
𝑉1 6; 0 ∈ 𝑃
→ 16 6 2 − 9 0 2 = 𝑘
𝑘 = 16 36
𝐻: 16𝑥2 − 9𝑦2 = 16 36
𝐻:
𝑥2
36
−
𝑦2
64
= 1
Clave: B
31
PROBLEMA 8
RESOLUCIÓN
Determine la ecuación de la hipérbola con un foco en (3; 7), si sus asíntotas se intersectan 
en (3; 2) y una de ellas pasa por el punto (-1; 5). Indique la suma de las longitudes de los 
semiejes (en u.).
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜: 𝑐 = 5
Clave: B
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐿1 ∶ 𝑚1 =
5 − 2
−1 − 3
= −
3
4
֜
3
4
=
𝑎
𝑏
֜ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ֜ 𝑎 = 3 ; 𝑏 = 4
֜ ෍𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒𝑠 = 3 + 4 = 7
(𝟑; 𝟐)
𝑭𝟏(𝟑; 𝟕)
(−𝟏; 𝟓) c
𝐿1
𝐿2
𝒀
𝑿
32
PROBLEMA 9 
Dada la hipérbola H, de ecuación :
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃1(𝑥1; 𝑦1)
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑃1 ∈ 𝐻. Determine el
producto de las distancias de 𝑃1 a las
asíntotas de H.
RESOLUCIÓN
Clave: D
𝐴) 𝑎2𝑏2 𝐵) 𝑎2+𝑏2
𝐶)
𝑎2𝑏2
𝑎2 −𝑏2
𝐷)
𝑎2𝑏2
𝑎2 +𝑏2
𝐸)
𝑎2 +𝑏2
𝑎2𝑏2
𝑅 =
|𝑏𝑥1 − 𝑎𝑦1|
𝑏2 +𝑎2
.
|𝑏𝑥1 + 𝑎𝑦1|
𝑏2 +𝑎2
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠:
𝐿1: 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0
𝑆𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒: 𝑑𝑃1𝐿1. 𝑑𝑃2𝐿2 = 𝑅
𝐿2: 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0
֜ 𝑅 =
𝑏2𝑥1
2 − 𝑎2𝑦1
2
𝑏2 +𝑎2
……(𝐼)
𝑃1 𝒙𝟏; 𝒚𝟏 ∈ 𝐻 ֜
𝑥1
2
𝑎2
−
𝑦1
2
𝑏2
= 1 ֜ 𝑏2𝑥1
2 − 𝑎2𝑦1
2 = 𝑎2𝑏2
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐼 ∶ 𝑅 =
𝑎2𝑏2
𝑎2 +𝑏2
𝑷𝟏(𝒙𝟏; 𝒚𝟏)
𝐿1 ∶
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
= 0𝐿2 ∶
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 0
𝑿
𝒀
33
PROBLEMA 10 
Determine la ecuación de una
hipérbola cuyas asíntotas son las
rectas 5𝑥 ± 2𝑦 = 0 y cuyos focos
son 𝐹(0;± 58)
RESOLUCIÓN
Clave: A
𝐴) 25𝑥2 − 4𝑦2 = 200
𝐵) 4𝑦2 − 25𝑥2 = 200
𝐶) 16𝑥
2 − 3𝑦2 = 400
𝐷) 𝑦2 − 25𝑥2 = 200
𝐸) 𝑥2 − 4𝑦2 = 200
𝐻 ∶ 25𝑥2−4𝑦2 = 𝑐𝑡𝑒
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠:
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎:
𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠: 𝐹 0;± 58 ֜ 𝑐 = 58
֜ 𝐻 ∶
𝑥2
4𝐾
−
𝑦2
25𝐾
= 1
5𝑥 − 2𝑦 5𝑥 + 2𝑦 = 𝑐𝑡𝑒
5𝑥 ± 2𝑦 = 0
֜ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ֜ 29𝐾 = 58 ֜ 𝐾 = 2
֜ 𝑎 = 2 𝐾 ; 𝑏 = 5 𝐾
֜ 𝐻 ∶
𝑥2
8
−
𝑦2
50
= 1
֜ 𝐻 ∶ 25𝑥2−4𝑦2 = 200
34
PROBLEMA 11 
Hallar la ecuación de la hipérbola 
cuyos focos están en los vértices de la 
elipse
𝑥2
100
+
𝑦2
64
= 1 y las directrices 
pasan por los focos de esta elipse.
RESOLUCIÓN
Clave: A
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 = 12
𝐸𝑛 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎:
𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠:
֜ 𝑐 = 10
𝐹1 10; 0 𝑦 𝐹2 −10; 0
֜ 2
𝑎2
𝑐
= 12 ֜ 𝑎 = 2 15
𝐻. 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 ֜
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 ֜
𝑥2
60
−𝑦2
100 − 60
= 1
𝐴) 2𝑥2 − 3𝑦2 = 120
𝐵) 2𝑥2 − 5𝑦2 = 120
𝐶) 2𝑥
2 − 3𝑦2 = 130
𝐷) 2𝑥2 − 3𝑦2 = 150
𝐸) 2𝑥2 − 3𝑦2 = 160
𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
֜ 2𝑥2 − 3𝑦2 = 120
𝑎′ = 10 ; 𝑏′ = 8 ; 𝑐′ = 6
(𝟏𝟎; 𝟎)(−𝟏𝟎; 𝟎)
(𝟎; 𝟖)
𝑳𝑫𝟏𝑳𝑫𝟐
(𝟔; 𝟎) 𝑿
𝒀
35
PROBLEMA 12
Se da el punto 𝑀 = 10;− 5 en la
hipérbola
𝑥2
80
−
𝑦2
20
= 1. Determine
las ecuaciones de las rectas, en las 
cuales están los radios focales del 
punto M.
𝐻:
𝑥2
80
−
𝑦2
20
= 1
RESOLUCIÓN
𝑋
𝑌
𝐹1𝐹2
𝑀 10;− 5
𝐿1
𝐿2
Radios focales: 𝑀𝐹1 𝑦 𝑀𝐹2
𝑎2 = 80
𝑏2 = 20
𝑎
𝑏
𝑐 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
→ 𝑐2 = 100
𝑐 = 10
𝐴) 𝑥 + 4 2𝑦 − 5 = 0 ; 𝑥 − 10 = 0
𝐵) 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 ; 𝑥 − 10 = 0
𝐶) 𝑥 + 2 3𝑦 + 3 = 0 ; 𝑥 + 5 = 0
𝐷) 𝑥 + 4 5𝑦 + 10 = 0 ; 𝑥 − 10 = 0
𝐸) 𝑥 − 4 5𝑦 + 10 = 0; 𝑥 − 10 = 0
𝑐 𝑐
36
𝐹1 10; 0
𝑀 10;− 5
𝐿1
𝐹1 𝑦 𝑀 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙:
𝐿1: 𝑥 = 10
𝐹2 −10; 0
𝑀 10;− 5
𝐿2
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐿2: 𝑚2
𝑚2 =
− 5 − 0
10 − −10
= −
1
4 5
𝐿2: 𝑦 − 0 = −
1
4 5
𝑥 + 10
𝐿2: 𝑥 + 4 5𝑦 + 10 = 0
Clave: D
37
PROBLEMA 13 RESOLUCIÓN
Determinar la ecuación de una de las 
tangentes a la hipérbola H trazada 
desde un punto exterior 𝑃 0; 4
𝐻:
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
𝐴) 𝑦 = 2𝑥 + 3
𝐵) 𝑦 = 3𝑥 + 4
𝐶) 𝑦 =
3
4
𝑥 + 2
𝐷) 𝑦 =
4
3
2 − 3
𝐸) 𝑦 =
4
3
2𝑥 + 4
𝐻:
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
𝐻: 16𝑥2 − 9𝑦2 = 144… (𝐼)
𝐿: 𝑦 − 4 = 𝑚 𝑥 − 0
𝑀 𝑦 𝑁Puntos de tangencia:
Ecuación de la recta:
𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 4… (𝐼𝐼)
𝐼𝐼 𝑒𝑛 𝐼 :
16𝑥2 − 9 𝑚𝑥 + 4 2 = 144
16 − 9𝑚2 𝑥2 − 72𝑚𝑥 − 288 = 0
Condición de tangencia: ∆= 0
−72𝑚 2 − 4 16 − 9𝑚2 −288 = 0
𝑚 = ±
4
3
2
𝑃 0; 4
𝑋
𝑌
𝑀 𝑁
Clave: E
→ 𝑦 =
4
3
2𝑥 + 4 𝑦 = −
4
3
2𝑥 + 4˅
38
PROBLEMA 14
Determinar la ecuación de una de las 
rectas tangentes a la hipérbola H. La 
pendiente de la recta tangente es igual 
a 5/4.
𝐻:
𝑦2
27
−
𝑥2
9
= 1
𝐴) 𝑦 =
5
4
𝑥 + 23
𝐵) 𝑦 =
5
4
𝑥 + 2 69
𝐶) 𝑦 =
5
4
𝑥 + 2 23
𝐷) 𝑦 =
5
4
𝑥 +
3
4
23
𝐸) 𝑦 =
5
4
𝑥 +
2
3
23
RESOLUCIÓN
𝐻:
𝑦2
27
−
𝑥2
9
= 1
𝐻: 𝑦2 − 3𝑥2 = 27… (𝐼)
Ecuación de la recta:
𝐿: 𝑦 =
5
4
𝑥 + 𝑛… (𝐼𝐼)
𝐼𝐼 𝑒𝑛 𝐼 :
5
4
𝑥 + 𝑛
2
− 3𝑥2 = 27
23
16
𝑥2 −
5
2
𝑛𝑥 + 27 − 𝑛2 = 0
Condición de tangencia:∆= 0
−
5
2
𝑛
2
− 4
23
16
27 − 𝑛2 = 0
→ 𝑛 = ±
3
4
23
𝐿1: 𝑦 =
5
4
𝑥 +
3
4
23
𝐿2: 𝑦 =
5
4
𝑥 −
3
4
23
Clave: D
𝑋
𝑌
𝑳𝟏
𝑳𝟐