La_Parábola Juev 5 nov TEORÍA

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LA PARÁBOLA
CICLO PREUNIVERSITARIO
TRIGONOMETRÍA
Definición
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que pertenecen a un plano, que equidistan de una recta fija (llamada recta directriz) y de un punto fijo F (llamado foco) donde F no pertenece a la recta directriz y todos los elementos mencionados están en un mismo plano.
La Parábola
P
a
a
‹Nº›
Elementos asociados a la parábola
: Recta Directriz
: Foco; el punto fijo de la parábola
: Vértice; el punto medio del segmento que une la directriz y el foco
: Eje focal
: Cuerda focal
: Radio focal, también se le conoce como radio vector
: Lado recto; es la cuerda focal perpendicular al eje focal
: Distancia entre el foco (F) y la recta directriz ()
: Excentricidad; es la razón constante entre la distancia de un punto de la parábola al foco y la distancia de dicho punto a la directriz. En la parábola, el valor de la excentricidad es e=1
: Cuerda 
‹Nº›
RESOLUCIÓN 
APLICACIÓN 1 
Determine la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F(0;-2) y cuya recta directriz es la recta y=2
		
		
		
Sea P(x;y) un punto genérico de la parábola, se cumple:
Desarrollando:
‹Nº›
Una parábola tiene como vértice V(4;-2) y la ecuación de su recta directriz es 
. Determine las coordenadas del foco de la parábola.
APLICACIÓN 2
RESOLUCIÓN 
Graficando:
X
Y
					
Por definición:
AV =VF
‹Nº›
APLICACIÓN 3 
Determine la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F(3;2) y cuya recta directriz esta dada por la ecuación:
RESOLUCIÓN 
Graficando:
X
Y
(3;2)
V
P(x;y)
Por definición:
	
	
	
	
	
‹Nº›
Teorema:
La longitud del lado recto de cualquier parábola es 4|p|
Demostración:
Del gráfico se tiene:
Longitud del lado recto=AB=2k
Por definición de parábola:
………..(I)
……(II)
De (I) y (II)
Nota:
En la 
F
|p|
V
|p|
En el lado recto
A
B
2|p|
2|p|
F
‹Nº›
APLICACIÓN 4 
Una parábola tiene como directriz la recta y como foco el punto F(9;6). Calcule la longitud de su lado recto (en u).
RESOLUCIÓN 
Graficando:
X
Y
			
			
‹Nº›
Formas de la ecuación de la parábola
A1) Con vértice V(h;k) y eje focal paralelo al eje X
X
Y
V(h;k)
F(h+p ; k)
X
Y
V(h;k)
F(h+p ; k)
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha
Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda
A) Forma ordinaria de la parábola:
‹Nº›
Demostración:
X
Y
V(h;k)
F(h+p ; k)
P(x ; y)
Sea P(x;y) un punto cualquiera de la parábola
Entonces por definición de parábola:
Elevando al cuadrado y agrupando:
‹Nº›
A2) Con vértice V(h;k) y eje focal paralelo al eje Y
X
Y
V(h;k)
F(h; k+p)
Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba
X
Y
V(h;k)
F(h; k+p)
Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo
‹Nº›
B) Con vértice en el origen de coordenadas y eje focal en un eje coordenado 
X
Y
F(p ; 0)
V
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha
X
Y
V
F(p ; 0)
Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda
De: 
A1) Con vértice V(h;k) y eje focal paralelo al eje X
B1) Con vértice en el origen de coordenadas y eje focal el eje X 
‹Nº›
B2) Con vértice en el origen de coordenadas y eje focal el eje Y
X
Y
V
F(0; p)
Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba
X
Y
V
F(0; p)
Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo
De: 
‹Nº›
Sea el vértice de una parábola el punto V(2;-1) y foco el punto F(2;-4). Determine la ecuación de la parábola y la ecuación de la recta directriz.
APLICACIÓN 5
RESOLUCIÓN 
Graficando:
X
Y
F(2;-4)
V(2;-1)
Como la parábola es vertical y se abre hacia abajo, p<0 y su ecuación esta dada por:
Donde: 
‹Nº›
Determine la ecuación de la parábola con foco en el punto y cuya directriz es la recta .
APLICACIÓN 6
RESOLUCIÓN 
Graficando:
X
Y
F(-5;-3)
V(-2;-3)
Como la parábola es horizontal y se abre hacia la izquierda, p<0 y su ecuación esta dada por:
Donde: 
‹Nº›
Determine la ecuación de la parábola con eje focal en el eje de abscisas y vértice en el origen de coordenadas, que pasa por el punto A(5;-2).
APLICACIÓN 7
RESOLUCIÓN 
Graficando:
X
Y
V(0;0)
A(5;-2)
La ecuación de la parábola esta dada por:
Pero el punto A (5;-2) pertenece a la parábola, entonces reemplazando:
‹Nº›
16
Grafique y halle los elementos de la parábola de ecuación:
APLICACIÓN 8
RESOLUCIÓN 
En la ecuación:
Graficando:
X
Y
‹Nº›
Grafique y halle los elementos de la parábola de ecuación:
APLICACIÓN 9
RESOLUCIÓN 
En la ecuación:
Graficando:
X
Y
‹Nº›
Ecuación general de la parábola 
Ec. General de una parábola con eje focal paralelo al eje Y
Si E=0 (casos degenerados)
SI D=0 (casos degenerados)
Ec. General de una parábola con eje focal paralelo al eje X
‹Nº›
Demostración:
Sea la ecuación general:
Completando cuadrados:
Si , entonces la ecuación (II) representa a una parábola con eje paralelo al eje X y con vértice: 
si D=0, entonces la ecuación (I) se pueda escribir como:
Luego, tenemos tres posibilidades:
La ecuación representa dos rectas paralelas al eje X si 
La ecuación representa una recta paralela al eje X si 
La ecuación no contiene puntos si 
Casos Degenerados:
‹Nº›
Determine la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X y que pasa por los puntos A(0;0) , B(3;1) y C(8;-4).
APLICACIÓN 10
Graficando:
X
Y
Evaluamos los puntos datos:
Reemplazando en la ecuación: 
RESOLUCIÓN 
‹Nº›
Ecuación de la recta tangente a una parábola
Para determinar la ecuación de la recta tangente a una parábola se debe resolver el sistema de ecuaciones formada por la ecuación de la parábola(ecuación cuadrática) y la ecuación de la recta (ecuación lineal) del cual resulta una ecuación cuadrática (en x o y) donde finalmente se aplica el concepto de discriminante
Donde hallaremos según los datos el valor de m o el valor de b
‹Nº›
Sea la parábola , determine la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y que sea tangente a dicha parábola.
APLICACIÓN 11
RESOLUCIÓN 
X
Y
Sea la ec. de la recta tangente
Reemplazando en la ec. de la parábola
‹Nº›
Determine la ecuación de la recta tangente a la parábola ; en el punto A (1;1)
APLICACIÓN 12
RESOLUCIÓN 
Sea la ec. de la recta tangente
La ec. de la recta tangente es:
‹Nº›
Dada la parábola de la ecuación , halle la ecuación de la tangente a la parábola de pendiente .
APLICACIÓN 12
RESOLUCIÓN 
Sea la ec. de la recta tangente
La ec. de la recta tangente es:
‹Nº›
Halle las rectas tangentes a la curva , trazadas desde el punto A(-1;2).
APLICACIÓN 13
RESOLUCIÓN 
Sea la ec. de la recta tangente
‹Nº›
Cuando es un punto de tangencia de la parábola
Ecuación de la parábola
Ecuación de la recta tangente
‹Nº›
Dada la parábola de ecuación halle la ecuación de la recta tangente en el punto M(-3;-6)
APLICACIÓN 
RESOLUCIÓN 
De la tabla anterior:
Ecuación de la recta tangente
Donde:
Reemplazando en la ec de la recta tangente
‹Nº›
Propiedades de la parábola
Propiedad 1
En cada parábola, la distancia del foco a la directriz es la media armónica entre las longitudes de los segmentos determinados por el foco en una cuerda focal.
‹Nº›
Propiedad 2
Si desde un punto exterior se trazan rectas tangentes a una parábola, el segmento de recta que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto y tiene como ecuación 
‹Nº›
Propiedad 3
La recta tangente a la parábola es bisectriz del ángulo formado por el radio focal del punto de contacto y la recta paralela al eje focal, la cual también pasa por el punto de contacto. Esta propiedad es conocida como propiedad de reflexión de la parábola.
‹Nº›
Aplicación en las telecomunicaciones
Foco
‹Nº›