Asesoria_10 _VERS

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tan 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos(𝜃)
2 cos 𝜃 = 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)
𝑌
𝑋
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
ASESORIA 10
2
CEPRE UNI
CLAVE: D
Respuesta: 𝟏𝟓
RESOLUCIÓN
Agrupando en forma conveniente:
3𝑡𝑎𝑛 𝑥° = 4 2 𝑐𝑜𝑠 12° 𝑐𝑜𝑠(24°) + 1
∴ 𝑥 = 𝟕𝟖
Dando forma:
3𝑠𝑒𝑛(12°)𝑡𝑎𝑛 𝑥° = 2 2 2 𝑠𝑒𝑛 12° 𝑐𝑜𝑠 12° 𝑐𝑜𝑠 24° + 𝑠𝑒𝑛(12°)
𝑠𝑒𝑛(24°)
3𝑠𝑒𝑛(12°)𝑡𝑎𝑛 𝑥° = 𝑠𝑒𝑛 48° + 𝑠𝑒𝑛(48°) + 𝑠𝑒𝑛(12°)
2𝑠𝑒𝑛 30° 𝑐𝑜𝑠(18°)
𝑡𝑎𝑛 𝑥° =
𝑠𝑒𝑛 48° + 𝑠𝑒𝑛(72°)
3𝑠𝑒𝑛(12°)
=
2𝑠𝑒𝑛 60° 𝑐𝑜𝑠(12°)
3𝑠𝑒𝑛(12°)
Si se cumple:
𝑡𝑎𝑛 𝑥° =
4𝑐𝑜𝑠 12° + 4 𝑐𝑜𝑠 36° + 1
3
Calcule la suma de cifras de x, si
0 < 𝑥 < 90.
PROBLEMA 1
𝐴) 8 𝐵) 10 𝐶) 13
𝐷) 15 𝐸) 17
𝑠𝑒𝑛(48°)
𝑡𝑎𝑛 𝑥° = 𝑐𝑜𝑡(12°)
3
CEPRE UNI
En un triángulo ABC, determine el
equivalente de la expresión:
𝑠𝑒𝑛 2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛 2𝐵 + 𝑠𝑒𝑛(2𝐶)
A) 4 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝐶)
B) 4 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝐶)
C) 4 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐶)
D) 4 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐶)
E) 4 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝐶) CLAVE: DRespuesta: 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩 𝒄𝒐𝒔(𝑪)
PROBLEMA 2 RESOLUCIÓN
Agrupando en forma conveniente:
𝑀 = 2𝑠𝑒𝑛 𝐴 − 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 + 2𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐𝑜𝑠(𝐶)
−𝑐𝑜𝑠(𝐶)
2𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐴)
𝑀 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐶)
Sea: 𝑀 = 𝑠𝑒𝑛 2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛 2𝐵 + 𝑠𝑒𝑛(2𝐶)
𝑠𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵)
Factorizando: 𝑀 = 2cos(𝐶)(𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝐵 − 𝑠𝑒𝑛 𝐴 − 𝐵 )
Finalmente obtenemos:
4
CEPRE UNI
𝑆𝑖:
3
8
(𝑠𝑒𝑐 70° + 𝑠𝑒𝑐 50° ) = 𝑐𝑜𝑠2 𝐵° ; 0 < 𝐵 < 90
Calcule: 4𝑠𝑒𝑛(6𝐵°)
A) 5 − 1 B) 2 C) 2 2 D) 6 + 2 E) 2 3
CLAVE: ERespuesta: 𝟐 𝟑
PROBLEMA 3
RESOLUCIÓN
Sea: 𝐽 =
3
8
(
1
𝑐𝑜𝑠 70°
+
1
cos 50°
)
→ 𝐽 =
3
8
(
4 𝑐𝑜𝑠 10° . 2 𝑐𝑜𝑠 60° cos 10°
4 𝑐𝑜𝑠 10° . 𝑐𝑜𝑠 50° cos 70°
)
Luego: 𝐵 = 10
Finalmente: 4𝑠𝑒𝑛(6𝐵°) = 𝟐 𝟑
=
3
8
(
𝑐𝑜𝑠 70° + cos 50°
𝑐𝑜𝑠 70° cos 50°
)
=
3
2
(
𝑐𝑜𝑠2 10°
cos 30°
)= 𝑐𝑜𝑠2(10°)
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝟎°)
5
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐴) − 2 𝐵) − 1 𝐶) 0
𝐷) 1 𝐸) 2
CLAVE: B
PROBLEMA 4
Dada la siguiente identidad
16 sen5 𝑥 = 𝐴 sen 𝑥 + 𝐵 sen 3𝑥 + 𝐶 sen 5𝑥
Damos forma: 16 sen5 𝑥 = 2 2 sen2 𝑥 4 sen3 𝑥
Respuesta: −𝟏
Calcule el valor de 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶
= 2 1 − cos 2𝑥 3 sen 𝑥 − sen 3𝑥
Efectuando: 16 sen5 𝑥 = 6 sen 𝑥 − 2 sen 3𝑥 − 3.2 sen 𝑥 cos 2𝑥 + 2 sen 3𝑥 cos 2𝑥
sen 3𝑥 − sen 𝑥 sen 5𝑥 + sen 𝑥
16 sen5 𝑥 = 6 sen 𝑥 − 2 sen 3𝑥 − 3 sen 3𝑥 + 3 sen 𝑥 + sen 5𝑥 + sen 𝑥
16 sen5 𝑥 = 10 sen 𝑥 − 5 sen 3𝑥 + sen 5𝑥 ⟹ 𝐴 = 10, 𝐵 = −5, 𝐶 = 1
∴ 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = −1
6
CEPRE UNI
𝐸 = sen 12𝛼 − sen 8𝛼 + sen 4𝛼 − sen 4𝛼
RESOLUCIÓN
𝐴) 10 𝐵) 15 𝐶) 20
𝐷) 25 𝐸) 30
CLAVE: C
PROBLEMA 5
Dada la siguiente identidad, calcule 𝐴 + 𝐵 ; 𝐴 > 0 𝑦 𝐵 > 0
4 cos 6𝛼 cos 4𝛼 sen 2𝛼 − sen 4𝛼 = sen 𝐴𝛼 − sen 𝐵𝛼
Sea: 𝐸 = 2 2 cos 6𝛼 cos 4𝛼 sen 2𝛼 − sen 4𝛼
⟹ 𝐴 = 12 ∧ 𝐵 = 8
Respuesta: 𝟐𝟎
𝐸 = 2 cos 10𝛼 + cos 2𝛼 sen 2𝛼 − sen 4𝛼
𝐸 = 2 sen 2𝛼 cos 10𝛼 + 2 sen 2𝛼 cos 2𝛼 − sen 4𝛼
⟹ sen 12𝛼 − sen 8𝛼 = sen 𝐴𝛼 − sen 𝐵𝛼 ⟹ 𝐴 + 𝐵 = 20
7
CEPRE UNI
𝐴)
1
2
sen 𝑛 𝑛 + 1 𝑥 𝐵)
1
2
cos 𝑛 𝑛 + 1 𝑥 𝐶)
1
2
sen 𝑛 𝑛 − 1 𝑥
𝐷)
1
2
cos 𝑛 𝑛 − 1 𝑥 𝐸)
1
2
sen 𝑛 𝑛 + 2 𝑥
PROBLEMA 6
Reduzca: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑐𝑜𝑠 9𝑥 …
"n" 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
RESOLUCIÓN
Empleando la notación sigma y denotando la suma con S:
𝑆 = ෍
𝑘=1
𝑛
sen 𝑘𝑥 cos 𝑘2𝑥 =
1
2
෍
𝑘=1
𝑛
2 sen 𝑘𝑥 cos 𝑘2𝑥 =
1
2
෍
𝑘=1
𝑛
sen 𝑘 + 1 𝑘𝑥 − sen 𝑘 𝑘 − 1 𝑥
𝑎𝑘+1 𝑎𝑘
Por suma telescópica: 𝑆 =
1
2
sen 𝑛 + 1 𝑛𝑥 − sen 1 0 𝑥
CLAVE: ARespuesta:
𝟏
𝟐
sen 𝑛 + 1 𝑛𝑥
8
CEPRE UNI
𝐴)
11
32
Calcular :
cos
4𝜋
11 + cos
5𝜋
11
cot
3𝜋
22 − cot
3𝜋
11
. 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
11
𝐵)
11
16
𝐶)
11
8
𝐷
11
4
𝐸)
11
2
PROBLEMA 7 
𝐸 =
2cos
9𝜋
22
cos
𝜋
22
𝑐𝑠𝑐
3𝜋
11
. 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
11
RESOLUCIÓN
𝐸 = 2cos
9𝜋
22
cos
𝜋
22
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
11
. 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
22
𝑠𝑒𝑛
10𝜋
22
𝐸 = 2sen
𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
11
𝑠𝑒𝑛
5𝜋
11
= 2.
11
32
∴ 𝐸 =
11
16
Sea E la expresión; y transformamos:
11
32
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
9
CEPRE UNI
𝐴) − 2 7
Calcule el valor de:
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
14
𝑠𝑒𝑛
5𝜋
14
− cot
𝜋
14
𝐵) − 7 𝐶)
7
7
𝐷) 7 𝐸) 2 7
PROBLEMA 8 
𝐸 =
𝑠𝑒𝑛
5𝜋
14 +
3𝜋
14
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
14
𝑠𝑒𝑛
5𝜋
14
− 𝑐𝑜𝑡
𝜋
14
RESOLUCIÓN
𝐸 = 𝑐𝑜𝑡
5𝜋
14
+ 𝑐𝑜𝑡
3𝜋
14
+ 𝑐𝑜𝑡 −
𝜋
14
𝐸 = 𝑐𝑜𝑡
5𝜋
14
+ 𝑐𝑜𝑡
3𝜋
14
− 𝑐𝑜𝑡
𝜋
14
𝐸 = 𝑐𝑜𝑡
5𝜋
14
𝑐𝑜𝑡
3𝜋
14
𝑐𝑜𝑡 −
𝜋
14
5𝜋
14
+
3𝜋
14
−
𝜋
14
=
𝜋
2
𝐸 = −𝑡𝑎𝑛
2𝜋
14
𝑡𝑎𝑛
4𝜋
14
𝑡𝑎𝑛
6𝜋
14
= −𝑡𝑎𝑛
𝜋
7
𝑡𝑎𝑛
2𝜋
7
𝑡𝑎𝑛
3𝜋
7
∴ 𝐸 = − 7
Sea E la expresión; y observe que:
3𝜋
14
+
5𝜋
14
= 
8𝜋
14
=
4𝜋
7
7
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
10
CEPRE UNI
𝐴)
𝑘
2
−
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Reducir:
෍
𝑛=1
𝑘
(𝑠𝑒𝑛2 𝑛𝑥 ) ; 𝑘 + 1 𝑥 =
𝜋
3
𝐵)
𝑘
2
−
1
4
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝐶)
𝑘
2
−
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝐷)
𝑘
2
− 2
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝐸)
𝑘
2
− 3
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
PROBLEMA 9 
2𝐴 = ෍
𝑛=1
𝑘
2𝑠𝑒𝑛2(𝑛𝑥)
RESOLUCIÓN
= ෍
𝑛=1
𝑘
1 − cos(2𝑛𝑥) = 𝑘 −෍
𝑛=1
𝑘
(cos 2𝑛𝑥 )
𝑃 = 2𝑥; 𝑈 = 2𝑘𝑥;
𝑛º 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 𝑘; 𝑟 = 2𝑥
2𝐴 = 𝑘 −
𝑠𝑒𝑛
𝑘 2𝑥
2
𝑠𝑒𝑛
2𝑥
2
cos
2𝑥 + 2𝑘𝑥
2
= 𝑘 −
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑘 + 1 𝑥
𝜋
3
∴ 𝐴 =
𝑘
2
−
1
4
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
Sea A la expresión; y degradamos:
Luego:
2𝐴 = 𝑘 −
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
1
2
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
𝐴 = ෍
𝑛=1
𝑘
(𝑠𝑒𝑛2 𝑛𝑥 )
11
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
PROBLEMA 10
Calcule el valor máximo que toma la función f definida por: 
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
2𝜋
7
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
4𝜋
7
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
6𝜋
7
A) 
1
2
𝑠𝑒𝑐
𝜋
7
B) 
1
2
𝑠𝑒𝑐
2𝜋
7
C) 
1
2
𝑠𝑒𝑐
3𝜋
7
D) 
1
2
𝑐𝑠𝑐
2𝜋
7
E) 
1
2
𝑐𝑠𝑐
3𝜋
7
Desarrollando la función:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠
2𝜋
7
+ 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
7
+ 𝑐𝑜𝑠
6𝜋
7
+ cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
7
+ 𝑠𝑒𝑛
4𝜋
7
+ 𝑠𝑒𝑛
6𝜋
7
−1/2 𝐴
Tendríamos entonces: 𝑓 𝑥 = −
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑥) ... (1)
12
CEPRE UNI
Ordenamos y simplificaremos A: 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛
6𝜋
7
+ 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
7
+ 𝑠𝑒𝑛
4𝜋
7
𝐴 = 2𝑠𝑒𝑛
4𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
7
+ 2𝑠𝑒𝑛
2𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
7
= 2𝑐𝑜𝑠
2𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
7
+ 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
7
2𝑠𝑒𝑛
3𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
𝜋
7𝐴 = 4𝑐𝑜𝑠
𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
7
𝐴 = 4𝑐𝑜𝑠
𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
7
×
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
7
1/8
→ 𝐴 =
1
2
𝑡𝑎𝑛
3𝜋
7
En (1): 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
1
2
tan
3𝜋
7
cos(𝑥) → 𝑓𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
1
2
2
+
1
2
𝑡𝑎𝑛
3𝜋
7
2
∴ 𝑓𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 =
1
2
𝑠𝑒𝑐
3𝜋
7 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
13
CEPRE UNI
PROBLEMA 11
Determine el dominio de la función f definida por 𝑓 𝑥 =
𝑡𝑎𝑛(2𝑥)
𝑠𝑒𝑛4 𝑥 +𝑐𝑜𝑠4 𝑥 −1
; ∀𝑘 ∈ ℤ
A) ℝ −
𝑘𝜋
8
B)ℝ−
𝑘𝜋
4
C)ℝ − (2𝑘 + 1)
𝜋
8
D)ℝ −
𝑘𝜋
2
E)ℝ − (2𝑘 + 1)
𝜋
4
RESOLUCIÓN
En la función: 𝑓 𝑥 =
𝑡𝑎𝑛(2𝑥)
1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 1 → 𝑓 𝑥 =
𝑡𝑎𝑛(2𝑥)
−2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
Notamos que: 1º) 2𝑥 ≠
(2𝑘+1)𝜋
2
→ 𝑥 ≠
(2𝑘+1)𝜋
4
2º) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 𝑘𝜋
3º) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ≠
(2𝑘+1)𝜋
2
𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
𝑥 ≠
𝑘𝜋
4
∴ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ−
𝑘𝜋
4
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
14
CEPRE UNI
PROBLEMA 12
Determine el rango de la función f definida por 
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
A) 0; 1 B) 0;
1
2
C) −
1
2
;
1
2
D) −1; 1 E) 
1
4
; 1
RESOLUCIÓN
En la función: 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 2 + 4𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
2
+ 4𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℜ
1 + 2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠4(𝑥) 1 + 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)
𝑓 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 2 − 1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 2) → 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
→ 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) → 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
Como 𝑥 ∈ ℜ: −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) ≤ 1 ∴ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = −1; 1 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
15
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN 
i) sec 𝑥 , csc 𝑥 :
𝑓 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑖
𝑥 ≠ 𝑘
𝜋
2
ii) tan 𝑥 , c𝑜𝑡 𝑥 : 𝑥 ≠ 𝑘
𝜋
2
iii) 𝑡𝑎𝑛3 𝑥≠ 𝑐𝑜𝑡3(𝑥)
⟹ 𝑐𝑜𝑡 𝑥 ≠ tan(𝑥)
PROBLEMA 13 
𝐴) ℝ −
𝑛𝜋
16
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑥 =
sec 𝑥 + csc 𝑥 − 1
𝑡𝑎𝑛3 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡3(𝑥)
𝐵) ℝ −
𝑛𝜋
8
𝐶) ℝ −
𝑛𝜋
4
𝐷) ℝ − (2𝑛 + 1)
𝜋
4
𝐸) ℝ− (4𝑛 + 1)
𝜋
4
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠, 𝑛 ∈ ℤ.
⟹ 2cot(2𝑥) ≠ 0
⟹ cot 𝑥 − tan(𝑥) ≠ 0
⟹ cot(2𝑥) ≠ 0
⟹ 2𝑥 ≠ (2𝑘 + 1)
𝜋
2
⟹ 𝑥 ≠ (2𝑘 + 1)
𝜋
4
𝐷𝑒 𝐼 , 𝐼𝐼 𝑦 𝐼𝐼𝐼 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒:
𝐼𝐼𝐼
𝐼𝐼
𝐼
𝑥 ≠ 𝑛
𝜋
4
∴ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ−
𝑛𝜋
4
(𝑘 ∈ ℤ)
; (𝑛 ∈ ℤ)
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
16
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN 
PROBLEMA 14
𝐴) ሾ0; ۧ+∞
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑥 = cot 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 − 4 1/2
𝐵) ;∞−ۦ ሿ0 𝐶) 0;+∞ 𝐷) 3;+∞ 𝐸) −∞;0
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ∈ −𝜋;−
3𝜋
4
.
𝑓 𝑥 = cot 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 − 4 1/2
𝑓 𝑥 = cot 2𝑥 + 4𝑐𝑠𝑐2 2𝑥 − 4 1/2
𝑓 𝑥 = cot 2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑡2 2𝑥 1/2
𝑓 𝑥 = cot 2𝑥 + 2 cot 2𝑥
𝑓 𝑥 = cot 2𝑥 + 2cot(2𝑥)
(+)
𝑓 𝑥 = 3cot 2𝑥
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥 ∈ −𝜋;−
3𝜋
4
⟹ 2𝑥 ∈ −2𝜋;−
3𝜋
2
⟹ cot(2𝑥) ∈ 0;+∞ ⟹ 3cot(2𝑥) ∈ 0;+∞
𝑓(𝑥)
∴ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 0;+∞
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 2𝑥 ∈ −2𝜋;−
3𝜋
2
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
17
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN 
PROBLEMA 15 
𝐴) ℝ − −1; 1
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑥 =
𝑐𝑠𝑐 2𝑥 + 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
𝑡𝑎𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑡(𝑥)
𝐵) ℝ− −1; 1 𝐶) ℝ − −1; 1 ∪ ± 2
𝐷) ℝ − −1; 1 ∪ ± 2 𝐸) ℝ − − 2; 2
𝑖) 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 , 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 :
𝑓 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑖
2𝑥 ≠ 𝑘
𝜋
2
𝑖𝑖) 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 : 2𝑥 ≠ (2𝑘 + 1)
𝜋
2
(𝑘 ∈ ℤ)⟹ 𝑥 ≠ 𝑘
𝜋
4
⟹ 𝑥 ≠ (2𝑘 + 1)
𝜋
4
𝑖𝑖𝑖) 𝑐𝑜𝑡 𝑥 : 𝑥 ≠ 𝑘𝜋
𝑖𝑣) 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑡(𝑥) ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ 𝑘
𝜋
2
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜, 𝑥 ≠ 𝑘
𝜋
4
(𝑘 ∈ ℤ)
𝑓 𝑥 =
𝑐𝑠𝑐 2𝑥 + 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
𝑡𝑎𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑡(𝑥)
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜:
𝑓 𝑥 =
𝑐𝑠𝑐 2𝑥 1 + 𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
𝑠𝑒𝑐 2𝑥 + 1
⟹ 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2𝑥
𝐶𝑜𝑚𝑜 2𝑥 ≠ 𝑘
𝜋
2
⟹ 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 ∈ ℝ − −1; 1
𝑓(𝑥)
∴ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ− −1; 1 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
18
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
Para f se tiene:
𝑨
𝑓 𝑥 = 5 cos
𝑥
2
− 2
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
PROBLEMA 16
A partir de las gráficas de las funciones 
f y g que se muestran en la figura, 
evalué 𝑔(
2𝜋
3
)
𝐴) − 1,25 𝐵) − 1,5 𝐶) − 2
𝐷) 2,25 𝐸) − 3
∗ 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 𝑇 =
2𝜋
1/2
= 4𝜋
Para g se tiene:
∗ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ሾ−7; 3ሿ
𝑫
𝝅/𝑩
𝑨 = 𝟏𝟎
𝑫 = −𝟕
𝜋
𝐵
= 4𝜋 ⟹
* Amplitud (A):
* Desplazamiento vertical
𝑩 =
𝟏
𝟒
* Periodo (𝑇 = 2𝜋/𝐵)
Entonces: 
𝑔 𝑥 = 10𝑠𝑒𝑛
𝑥
4
− 7 ∴ 𝑔
2𝜋
3
= −2
19
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷𝐴) 12
Las gráficas mostradas corresponden
a las funciones f y g, cuyas reglas de
correspondencia son:
𝑓 𝑥 = 𝑛. 𝑐𝑜𝑡 𝐵𝑥
𝑔 𝑥 = 𝑚. 𝑡𝑎𝑛 𝐸𝑋
Calcule: 𝑚𝑛
𝐵) 10 𝐶) 9
𝐷) 8 𝐸) 7
PROBLEMA 17
A partir del gráfico se tiene
* Para 𝑓 𝑥 = 𝑛. 𝑐𝑜𝑡(𝐵𝑥)
Período: 𝑇 = 2
𝜋
4
=
𝜋
2
⟹
𝜋
𝐵
=
𝜋
2
⟹ 𝑩 = 𝟐
𝑓
𝜋
8
= 3
* Para 𝑔 𝑥 = 𝑚. 𝑡𝑎𝑛(𝐸𝑥)
Período: 𝑇 =
𝜋
4
⟹
𝜋
𝐸
=
𝜋
4
⟹ 𝑬 = 𝟒
Tenemos: 𝑓 𝑥 = 3. cot 2𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑚. 𝑡𝑎𝑛(4𝑥)
Se observa que en el punto de intersección del ambas gráficas, la
ordenada es igual a 5.
3. cot 2𝑥 = 𝑚. 𝑡𝑎𝑛 4𝑥 = 5 ⟹ cot(2𝑥) =
5
3
∧ cot(4𝑥) =
𝑚
5
Como:
2
𝑚
5
=
5
3
−
3
5
⟹ 𝒎 =
𝟖
𝟑
∴ 𝑚𝑛 = 8
⟹ 𝑛𝑐𝑜𝑡 2
𝜋
8
= 3 ⟹ 𝒏 = 𝟑
2 𝑐𝑜𝑡 4𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 2𝑥 − 𝑡𝑎𝑛(2𝑥)
20
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
La gráfica mostrada corresponde a la
función f, definida por:
𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑐 𝐵𝑥 + 𝐶 + 𝐷
siendo 𝑃
2𝜋
9
; 2 𝑦 𝑄(
10𝜋
9
; −6)
Determine la ordenada del R.
𝐶) 3,56
𝐸) 4,72
𝐷) 3,66
𝐵) 3,24
PROBLEMA 18
𝐴) 3,17
𝝅/𝑩
𝟐𝑨
𝑫
Determinaremos la regla de correspondencia de g.
𝑫 = −𝟐
* Desplazamiento vertical:
* Periodo 𝑇 = 2𝜋/𝐵 :
𝜋
𝐵
=
10𝜋
9
−
2𝜋
9
⟹ 𝑩 =
𝟗
𝟖
* Amplitud(𝐴): 𝑨 = 𝟒
* Desplazamiento horizontal
−
𝐶
𝐵
=
2𝜋
9
⟹ 𝐶 = −
2𝜋
9
𝟗
𝟖
⟹ 𝑪 = −
𝝅
𝟒
Entonces, la regla de correspondencia de f es:
𝑓 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑐
9𝑥
8
−
𝜋
4
− 2
∴ 𝑦𝑅 = 𝑓 0 = 4 𝑠𝑒𝑐 −
𝜋
4
− 2 = 4 2 − 2
21
CEPRE UNI
PROBLEMA 19 RESOLUCIÓN
CLAVE: C
   
Calcule el periodo de la función definida por
f(x)=sec sen( x )cos( x ) cos sen( x )cos( x )
sen( 2x ) sen( 2x )
f(x)=sec cos
2 2
Por arco doble:
   
   
   
notar que: x
A) 
8
B) 
4
C) 
2
D) 
E) 2





Aplicando la definición: f(x+T)=f(x)
sen( 2x 2T ) sen( 2x 2T )
f(x+T)=sec cos
2 2
    
   
   
Asignado valores a 2T:
3
; ; ;2
2 2
 
 
 
 
 
elegimos 2T= ; es decir: T=
2


22
CEPRE UNI
PROBLEMA 20
RESOLUCIÓN
CLAVE: D
Si T es el periodo mínimo de la función definida por:
1 1
cos( x ) sen( x )
cos( x ) sen( x )
f(x)=2
   
    
   
n
notar que: x ;n
2
 
   
 
π π π
A) B) C) D) π E) 2π
8 4 2
Aplicando la definición: f(x+T)=f(x)
Asignado valores a 2T:
3
; ; ;2
2 2
 
 
 
 
 
elegimos 2T=2 ; es decir: T= 
  sec( x ) cos( x ) csc( x ) sen( x )
sea: f(x)=2
 
Por identidades trigonométricas:
  sec( x ) cos( x ) csc( x ) sen( x )
f(x)=2
 
2 21 cos ( x ) 1 sen ( x )
cos( x ) sen( x )
f(x)=2
    
   
   
 sen( x )cos( x )
f(x)=2
sen( 2x )
2
2
 
 
 
sen( 2x 2T )
2f ( x T ) 2

 
23
CEPRE UNI
PROBLEMA 21 RESOLUCIÓN
CLAVE: D
 
1 2 3
1 2 3
Siendo T , T y T los periodos de las funciones 
definidas por:
x
f(x)=sen x cos( )
2
g( x ) cos x sen( 3x )
h( x ) sen( 2x ) cos( 2x )
Calcule :T + T T
 
 
 
 
 

5
A) 
2
9
B) 
2
11
C) 
2
13
D) 
2
E) 6





Aplicando la definición: f(x+T)=f(x)
T
Asignado valores a ;3T;2T:
2
1 2 3Se pide :T + T T 4 2
2

    
 
x T
f(x+T)=sen x T cos( )
2 2
g( x T ) cos x T sen( 3x 3T )
h( x T ) sen( 2x 2T ) cos( 2x 2T )
 
   
 
    
    
  1
T
(*) 2 ;4 ;6 ;... T 4
2
       
2
**)3T 2 ;4 ;6 ;...
2 4 6
T ; ; ;... T 2
3 3 3
  
  


 
   
 
3
3
(***)2T ; ; ;2 2T
2 2
T
2
 
  

 
   
 

1 2 3
13
T + T T
2

  
24
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
f no estará definida en los reales si:
𝑥 = 4𝑘 + 1 ∨ 𝑥 = 4𝑘, 𝑘𝜖ℤ
∗ 𝑐𝑜𝑣
𝜋𝑥
2
= 0
𝜋𝑥
2
= 4𝑛 + 1
𝜋
2
, 𝑛 ∈ ℤ
1 − 𝑠𝑒𝑛(
𝜋𝑥
2
) = 0
𝑠𝑒𝑛(
𝜋𝑥
2
) = 1
∗ 𝑣𝑒𝑟𝑠
𝜋𝑥
2
= 0
1 − 𝑐𝑜𝑠(
𝜋𝑥
2
) = 0
𝑐𝑜𝑠(
𝜋𝑥
2
) = 1
𝜋𝑥
2
= 2𝑚𝜋,𝑚𝜖ℤ
𝑥 = 4𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = 4𝑚,𝑚 ∈ ℤ
Los puntos de discontinuidad de f se presenta cuando: 
PROBLEMA 22 
Determine los puntos de discontinuidad
de la función f, definida por:
𝑓 𝑥 =
𝑣𝑒𝑟𝑠(2𝜋𝑥)
𝑐𝑜𝑣
𝜋𝑥
2
+
𝑐𝑜𝑣(2𝜋𝑥 )
𝑣𝑒𝑟𝑠(
𝜋𝑥
2
)
𝐴) 𝑥 = 4𝑘 + 1, 𝑘𝜖𝑍
𝐵) 𝑥 = 4𝑘, 𝑘𝜖ℤ
𝐶) 𝑥 = 2𝑘 + 1, 𝑘𝜖ℤ
𝐷) 𝑥 = 4𝑘 + 1 ∨ 𝑥 = 4𝑘, 𝑘𝜖ℤ
𝐸) 𝑥 = 2𝑘 + 1 ∨ 𝑥 = 4𝑘, 𝑘𝜖ℤ
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
25
CEPRE UNI
PROBLEMA 23 RESOLUCIÓN
Determine los valores de x, para los
cuales la gráfica de f intercepta al
eje de las abscisas.
La gráfica de la función intersecta al eje x si: 𝑓 𝑥 = 0
⇒
1
𝑣𝑒𝑟𝑠(𝑥)
−
1
𝑐𝑜𝑣 𝑥
= 0 ⇒ 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑣(𝑥)
⇒ 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
𝜋
4
= 0 ⇒ 𝑥 −
𝜋
4
= 𝑘𝜋
∴ 𝑥 = 𝑘𝜋 +
𝜋
4
1 − cos 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 = 0
𝐴) 𝑘𝜋 +
𝜋
4
𝐵) 2𝑘𝜋 +
𝜋
4
𝐶) 𝑘𝜋 +
3𝜋
4
𝐷) 𝑘𝜋 +
𝜋
8
𝐸) 𝑘𝜋 −
𝜋
4
26
CEPRE UNI
PROBLEMA 24 RESOLUCIÓN
X
Y
B
A
C
X
Y
B
A
C
El área de la región sombreada 
es:
En el gráfico mostrado, el área de la
región triangular sombreada es de
7𝜋
12
𝑢2 , siendo 𝐵𝐶 paralelo al eje X.
Calcule: 𝑠𝑒𝑛 𝑥1 𝑠𝑒𝑛 2𝑥1 𝑠𝑒𝑛(3,5𝑥1)
𝐶) −
3
2
𝐴) −
3
8
𝐵) −
3
4
𝐷) − 3 𝐸)
𝜋
4
𝑁 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
3
𝑠𝑒𝑛(
7𝜋
6
)Nos piden:
⇒ 𝑏 = 2; 𝑓 𝑥 = 𝑣𝑒𝑟𝑠(2𝑥)
El punto más alto A:
𝑦𝐴 = 𝑣𝑒𝑟𝑠 2
𝜋
2
→ 𝑦𝐴 = 2
27
CEPRE UNI
PROBLEMA 25 RESOLUCIÓN
Determine el dominio de la función f 
definida por:
𝑓 𝑥 =
1 + 𝑠𝑒𝑛 cos(𝑥)
𝑡𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥)
; ∀ 𝑘 𝜀 ℤ
𝐴) ℝ −
𝑘𝜋
2
𝐵) ℝ − 𝑘𝜋 +
𝜋
4
𝐶) ℝ − 𝑘𝜋 −
𝜋
4
𝐷) ℝ − 0
𝐸) ℝ − 2𝑘𝜋 −
𝜋
4
Para la existencia de la función tangente:
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥) ≠ 2𝑛 + 1
𝜋
2
, 𝑛 𝜖 ℤ
Para el denominador: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥) ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 𝜖 ℤ
De ambas restricciones se obtiene: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥) ≠
𝑛𝜋
2
, 𝑛 𝜖 ℤ
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥) ≠ 0; ±
𝜋
2
; ±𝜋; ±
3𝜋
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥) ≠ 0
𝜖 − 2; 2
tan 𝑥 ≠ −1
𝑥 ≠ 𝑘𝜋 −
𝜋
4
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑘𝜋 −
𝜋
4
CLAVE: C
Sólo se cumple para:
28
CEPRE UNI
PROBLEMA 26
𝑆𝑒𝑎 𝑓 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + tan(𝑥) , 𝑥 𝜖
5𝜋
3
;
7𝜋
4
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑓.
𝐴) −
3 3
2
;−
2 + 2
2
𝐵) −
3
2
;
2 + 2
2
𝐶) −
3
6
;
3 + 2
2
𝐷) −
3
2
;
2 − 2
2
𝐸) −
3 3
2
;
2 + 3
2
RESOLUCIÓN
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + tan(𝑥)
𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛:
, 𝑥 𝜖
5𝜋
3
;
7𝜋
4
Para el intervalo dado las funciones seno y tangente son crecientes. 
Por consiguiente, la función f también es creciente.
5𝜋
3
< 𝑥 <
7𝜋
4
𝑓
5𝜋
3
< 𝑓 𝑥 < 𝑓
7𝜋
4
𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑓
5𝜋
3
= 𝑠𝑒𝑛
5𝜋
3
+ 𝑡𝑎𝑛
5𝜋
3
= −
3
2
− 3 = −
3 3
2
𝑓
7𝜋
4
= 𝑠𝑒𝑛
7𝜋
4
+ 𝑡𝑎𝑛
7𝜋
4 = −
2
2
− 1 = −
2 + 2
2
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠: −
3 3
2
< 𝑓 𝑥 < −
2 + 2
2
CLAVE: A
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = −
3 3
2
;−
2 + 2
2
29
CEPRE UNI
PROBLEMA 27
𝑆𝑒𝑎 𝑓 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 tan(2𝑥)
𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓. (𝑘 𝜖 ℤ)
𝐴)
𝑘𝜋
5
𝐵)
𝑘𝜋
4
𝐶)
𝑘𝜋
2
𝐷) (2𝑘 + 1)
𝜋
4
𝐸) 2𝑘𝜋
RESOLUCIÓN
𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 tan(2𝑥)
𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1
𝑆𝑒𝑎:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑒𝑠𝑡é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎:
𝑎) tan 2𝑥 : 2𝑥 ≠ 2𝑘 + 1
𝜋
2
⇒ 𝑥 ≠ (2𝑘 + 1)
𝜋
4
𝑏) sec 𝑥 : 𝑥 ≠ (2𝑘 + 1)
𝜋
2
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟:
𝑐) 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1 ≠ 0
sec 𝑥 ≠ ±1
𝑥 ≠ 𝑘𝜋
CLAVE: B
𝜋
4
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ −
𝑘𝜋
4
𝐿𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑜𝑛:
𝑥 =
𝑘𝜋
4
3𝜋
4
5𝜋
4
7𝜋
4
30
CEPRE UNI
PROBLEMA 28
Grafique la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = |𝑡𝑎𝑛(𝑥)| + 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝑥 , si 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = −
𝜋
2
;
𝜋
2
− 0 .
𝐴) 𝐵) 𝐶) 𝐷) 𝐸)
31
CEPRE UNI
Como en la función aparece el valor absoluto y el máximo entero, seccionamos el dominio en 
4 intervalos, de la siguiente manera:
• Para 𝑥 ∈ ቂ ඀1,
𝜋
2
, tenemos 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 1
• Para 𝑥 ∈ 0; 1 , tenemos 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡(𝑥)
• Para 𝑥 ∈ ሾ ۧ−1; 0 , tenemos 𝑓 𝑥 = − 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥 − 1
• Para 𝑥 ∈ −
𝜋
2
; −1 , tenemos 𝑓 𝑥 = − 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥 − 2
𝑓 𝑥 = 2 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 + 1
𝑓 𝑥 = 2 𝑐𝑠𝑐 2𝑥
𝑓 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑡 2𝑥 − 1
𝑓 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑡 2𝑥 − 2
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
RESOLUCIÓN
32
CEPRE UNI
Sea 𝑓 la función definida por 
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
𝑆𝑖 𝑥 ∈
𝜋
6
;
𝜋
4
, determine el rango de
la función 𝑓.
𝐴) 1 − 2 2;
3 − 3
3
𝐵) 1 − 2 3;
3 − 1
2
𝐶)
3 − 3
3
; 2 2 − 1
𝐷) 2 − 2 3;
2 + 1
2
𝐸) 1 − 2;
3 − 3
3
PROBLEMA 29 RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐴
Sabemos que 𝑐𝑜𝑡(𝑥) es decreciente en 𝑥 ∈ 0;
𝜋
2
.
La función 𝑠𝑒𝑐(𝑥) es creciente en 𝑥 ∈ ቂ ඀0,
𝜋
2
.
−sec(𝑥) es decreciente en 𝑥 ∈ ቂ ඀0,
𝜋
2
.
La función sen(𝑥) es creciente en 𝑥 ∈ ቂ ඀0,
𝜋
2
.
−2sen(𝑥) es decreciente en 𝑥 ∈ ቂ ඀0,
𝜋
2
.
Por tanto 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 es decreciente en 0;
𝜋
2
en particular es decreciente en 
𝜋
6
;
𝜋
4
. 
Si 
𝜋
6
< 𝑥 <
𝜋
4
𝑓
𝜋
4
< 𝑓 𝑥 < 𝑓
𝜋
6
.
𝑓
𝜋
4
= 1 − 2 2 y 𝑓
𝜋
6
=
3−3
3
∴ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 1 − 2 2;
3 − 3
3
33
CEPRE UNI
𝐴) ℝ−
𝑛𝜋
3
𝐵)ℝ −
𝑛𝜋
2
𝐶)ℝ −
𝑛𝜋
6
𝐷)ℝ − 𝑛𝜋 𝐸)ℝ −
𝑛𝜋
4
PROBLEMA 30 
Halle el dominio de la función 𝑓
definida por:
Como aparecen cot 3𝑥 y tan
3𝑥
2
, entonces:
3𝑥 ≠ 𝑛𝜋 𝑦
3𝑥
2
≠ 2𝑛 + 1
𝜋
2
𝑥 ≠ 𝑛
𝜋
3
𝑦 𝑥 ≠ 2𝑛 + 1
𝜋
3
𝑥 ≠ 𝑛
𝜋
3
Del denominador, tenemos que: 𝟏 − 𝒕𝒂𝒏
𝟑𝒙
𝟐
≠ 𝟎
1 ≠ tan
3𝑥
2
3𝑥
2
≠
𝜋
4
+
𝑛𝜋
2
𝑥 ≠
𝜋
6
+
𝑛𝜋
3
𝑥 ≠ 2𝑛 + 1
𝜋
6
Se observa que 𝑥 ≠
𝑛𝜋
6
∴ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ −
𝑛𝜋
6
, 𝑛 ∈ ℤ
𝑛 ∈ ℤ
𝑛 ∈ ℤ
𝑓 𝑥 =
1 − cot(3𝑥)
1 − tan
3𝑥
2
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: C
,𝑛 ∈ ℤ
34
CEPRE UNI