Funciones trigonométricas 1 TEORÍA PRE 2020 - II

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N
O
M
ET
R
ÍA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1
2
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥 ∈ 𝐴/ ∃𝑦 ∈ 𝐵: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓
Definición (de dominio)
El dominio de una función f de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 es el conjunto de todas la primeras componentes
de los elementos (pares ordenados) de f, esto es
1. Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una función, entonces: 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝑨 y
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑦 ∈ 𝐵/ ∃𝑥 ∈ 𝐴: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓
Definición (de rango)
El rango de una función f es el conjunto de todas la segundas componentes de los
elementos (pares ordenados) de f, esto es
OBSERVACIÓNES:
𝑹𝒂𝒏 𝒇 ⊂ 𝑩
2. Si consideramos 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ⊆ ℝ y 𝑅𝑎𝑛 𝑓 ⊆ ℝ, decimos que 𝑓:ℝ → ℝ es una función real de variable real
3
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
𝐺𝑟 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑓
Sea una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵, donde 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ, se define a la gráfica de f y se denota por 
𝐺𝑟 𝑓 , al conjunto de todos los puntos 𝑥, 𝑦 del plano cartesiano XY en los que
𝑥 ∈ 𝐴 está como primer elemento y su imagen 𝑦 ∈ 𝐵 como segundo elemento, es decir
EJEMPLO
1:
NOTA:
𝑓 𝑥 = 𝑥2, 𝑥 ∈ ℤ
También es correcto decir que: 𝐺𝑟 𝑓 = 𝑥, 𝑓 𝑥 ∈ ℝ2 / 𝑥 ∈ 𝐴
EJEMPLO
2:
𝑓 𝑥 = 𝑥2, 𝑥 ∈ ℝ
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℤ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 0,1,4,9, …
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 0,+∞
−3,9
−1,1
3,9
−2,4 2,4
1,1
0,0
4
DOMINIO IMPLÍCITO DE UNA FUNCIÓN
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑓 𝑥 ∈ ℝ
Si el dominio de la función f no está explícito, se toma como dominio de f:
Es decir, la división entre cero no está definida en el conjunto de los 
número reales.
1) 𝑆𝑖 𝑥 ∈ ℝ⟹
𝑥
0
∉ ℝ
OBSERVACIÓNES:
2) 𝑆𝑖 𝑥 < 0 ⟹ 𝑥 ∉ ℝ Es decir, la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
A este dominio se le suele llamar también “Dominio natural” o “Dominio máximo”
5
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
OPERACIONES CON FUNCIONES
Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones y c una constante real arbitraria
1) 𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐𝑓 𝑥 , 𝑐 ≠ 0 , 𝑐 ∈ ℝ 𝑦 𝐷𝑜𝑚 𝑐𝑓 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
2) 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑦 𝐷𝑜𝑚 𝑓 + 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
3) 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑦 𝐷𝑜𝑚 𝑓 − 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
4) 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 𝑦 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∙ 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
5)
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
𝑠𝑖 𝑔 𝑥 ≠ 0
𝐷𝑜𝑚
𝑓
𝑔
= 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 − 𝑥 ∈ ℝ/ 𝑔 𝑥 = 0
6
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Definición
Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷 ∈ ℝ no vacíos, consideremos 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵 𝑦 𝑓: 𝐶 → 𝐷, así 
tenemos el siguiente diagrama
Hemos asociado a un elemento 𝑥 ∈ 𝐴 un elemento 𝑧 ∈ 𝐷 por medio de 𝑧 = 𝑓 𝑔 𝑥 , 
llamada “composición de f y g” denotada por 𝑓 ∘ 𝑔 y cuya regla de correspondencia es
𝐴
𝑥
𝐵
𝒚 = 𝒈 𝒙
𝐶 𝐷
𝒛 = 𝒇 𝒚 = 𝒇 𝒈 𝒙
𝑓
𝑔
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔
Donde 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥 / 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∧ 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
OJO: En general
𝒇 ∘ 𝒈 ≠ 𝒈 ∘ 𝒇
7
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
1) EVITABLE: aquella donde 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
existe. (llamada también removible)
Existen dos tipos de discontinuidad en una función, llamadas:
2) INEVITABLE: aquella donde 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
no existe. (llamada también ESENCIAL)
𝑎 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓 𝑎 𝐿1 ≠ 𝐿2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) no existe
𝑎
𝐿
𝑎
𝐿
𝑓 𝑎
𝑎
𝐿2
𝐿1
𝑎
𝐿1
8
Funciones monótonas1
Función creciente1.1
Función decreciente1.2
NOCIONES PREVIAS SOBRE FUNCIONES
Funciones simétricas2
Función par2.1
Función impar2.2
Función periódica3
9
1.1 FUNCIÓN CRECIENTE
Definición 1.1
Sean 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ conjuntos no vacíos, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝐼 ⊂ 𝐴, decimos que 𝑓 es 
estrictamente creciente en 𝐼 ⟺
∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼: 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2
GRÁFICAMENTE
𝒙𝟐
𝒇 𝒙𝟏
𝒙𝟏
𝒇 𝒙𝟐
Notamos que al aumentar
el valor de x, la imagen
CRECE.
𝑿
𝒀
10
1.2 FUNCIÓN DECRECIENTE
Definición 1.2 
Sean 𝐴,𝐵 ⊂ ℝ conjuntos no vacíos, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝐼 ⊂ 𝐴, decimos que 𝑓 es 
estrictamente decreciente en 𝐼 ⟺
∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼: 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2
GRÁFICAMENTE
𝒙𝟏
𝒇 𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒇 𝒙𝟐
Notamos que al aumentar
el valor de x, la imagen
DECRECE.
𝑿
𝒀
11
2.1 FUNCIÓN PAR
Definición 2.1
Sean 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ conjuntos no vacíos, 𝑓: 𝐴 → 𝐵, decimos que 𝑓 es par ⟺
𝑎) ∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ −𝑥 ∈ 𝐴
Note que Dom 𝑓 = 𝐴 debe ser un conjunto simétrico
𝑏) ∀𝑥 ∈ 𝐴: 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥
GRÁFICAMENTE
−𝒙 𝒙
𝐟 −𝒙 𝐟 𝒙
Ejemplos:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑔 𝑥 =
3
𝑥
𝑿
𝒀
𝑿
𝒀
La gráfica de una 
función PAR es 
simétrica respecto al 
eje de ordenadas.
12
𝑿
𝒀
2.1 FUNCIÓN IMPAR
Definición 2.2
Sean 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ conjuntos no vacíos, 𝑓: 𝐴 → 𝐵, decimos que 𝑓 es impar ⟺
𝑎) ∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ −𝑥 ∈ 𝐴
Note que Dom 𝑓 = 𝐴 debe ser un conjunto simétrico
𝑏) ∀𝑥 ∈ 𝐴: 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥
La gráfica de una función 
IMPAR es simétrica 
respecto al origen de 
coordenadas.
GRÁFICAMENTE
𝒙
−𝒙
𝐟 𝒙
Ejemplos:
𝐟 −𝒙
𝑓 𝑥 = 𝑥3 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 (𝑥 + 1)
𝑿
𝒀
𝑿
𝒀
13
3. FUNCIÓN PERIÓDICA
Definición 3
Una función f en ℝ se denomina función periódica, si existe un número 
𝑇 ≠ 0 tal que:
𝑎) ∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ⇒ 𝑥 + 𝑇 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
𝑏) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 : 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥
GRÁFICAMENTE
𝑻
𝑻
𝑿
𝒀
𝑐) 𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑇 > 0 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎 𝑎) 𝑦 𝑏)
14
O
𝑌
𝑋
4𝑘 + 1
𝜋
2
2𝑘𝜋
4𝑘 + 3
𝜋
2
2𝑘 + 1 𝜋
Recordemos: A partir de la C.T. podemos resolver 
situaciones como
✓ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑘𝜋
✓ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 2𝑘 + 1
𝜋
2
✓ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 ⟹ 𝑥 = 4𝑘 + 1
𝜋
2
✓ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −1 ⟹ 𝑥 = 4𝑘 + 3
𝜋
2
✓ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 ⟹ 𝑥 = 2𝑘𝜋
✓ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1 ⟹ 𝑥 = 2𝑘 + 1 𝜋
𝒌𝝅
𝟐𝒌 + 𝟏
𝝅
𝟐
15
Las funciones trigonométricas son conjuntos no vacíos de pares
ordenados (x;y) tal que la primera componente es un valor
angular expresado en radianes (número real) y la segunda
componente es el valor obtenido mediante una dependencia
funcional.
𝑓 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 /𝑦 = 𝑓(𝑥)
Función trigonométrica:
Definición
16
Nota:
𝑿
𝒀
Para construir las gráficas de las funciones trigonométricas
recordemos las líneas estudiadas en la C.T.
17
𝑿
𝒀
FUNCIÓN SENO
𝒇 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ2/𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ; 𝒙 ∈ ℝ
𝜋
𝑻 = 𝟐𝝅
1
−1
𝑻 = 𝟐𝝅
0 2𝜋 3𝜋 4𝜋
𝑷(𝒙; 𝐬𝐞𝐧 𝒙 )
18
Análisis de la gráfica
✓ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
✓ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = −1; 1 es decir −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≤ 1
✓ 𝐸𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛 −𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
✓ 𝐸𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
✓ 𝑆𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑇 = 2𝜋
✓ 𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎.
✓ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥: 𝑘𝜋; 0 , 𝑘 ∈ ℤ
✓ 𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
∀𝑥 ∈ 2𝑘𝜋 −
𝜋
2
; 2𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ
∀𝑥 ∈ 2𝑘𝜋 +
𝜋
2
; 2𝑘𝜋 +
3𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ
19
𝑓 𝑥 =
2 cos 𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1
, ∀𝑘 ∈ ℤ
APLICACIÓN 01 
Determine el dominio de la
función f definida por:
RESOLUCIÓN
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠𝑡é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎:
Clave: B
𝐴) ℝ − (4𝑘 + 1)
𝜋
2
B) ℝ − (2𝑘 + 1)
𝜋
2
𝐶) ℝ −
𝜋
2
𝑘
𝐷) ℝ − 2𝑘𝜋
E) ℝ− 𝑘𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 1
⇒ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ ±1
⇒ 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − (2𝑘 + 1)
𝜋
20
𝝅
𝟐
𝟑𝝅
𝟐
20
𝑓 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛2 𝜋𝑥 − 1
−
2𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥
, ∀𝑘 ∈ ℤ
Determine el dominio de la
función f definida por:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠𝑡é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎:
𝐴) ℝ −
𝜋
4
𝑘
𝐵) ℝ − (2𝑘 + 1)
𝜋
2
𝐶) ℝ−
𝑘
2
𝐷) ℝ −
𝑘
4
E) ℝ − 𝑘𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑠𝑒𝑛2 𝜋𝑥 − 1 ≠ 0
⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑠𝑒𝑛2 𝜋𝑥 ≠ 1
∴ 𝐷𝑓= ℝ −
𝑘
2
⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 ≠ −1,0,1
⇒ 𝜋𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
APLICACIÓN 02 
0
𝝅𝒙
RESOLUCIÓN
⇒ 𝑥 ≠
𝑘
2
Clave: C
21
Determinar el rango de la función f , definida por: 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝐴)
9
8
; 2 𝐵) −2;−
9
8
𝐶) −2;
9
8
𝐷) −
9
8
; 2 𝐸) −
9
8
;
9
8
APLICACIÓN 03 
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑓 𝑥 = 1 − 2(𝑠𝑒𝑛2 𝑥 −
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
1
16
−
1
16
)
⇒ −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1
∴ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 : −2;
9
8
𝒙 ∈ ℝ
⇒ −
5
4
≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
1
4
≤
3
4
⇒ 0 ≤ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
1
4
) 2≤
25
16
𝑓 𝑥 =
9
8
− 2(𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
1
4
) 2
⇒ −
25
8
≤ −2(𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
1
4
) 2≤ 0
⇒ − 2 ≤
9
8
− 2(𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
1
4
) 2 ≤
9
8
RESOLUCIÓN
Clave:C
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
22
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1
Si f es la función definida por:
𝑥 ∈
3π
4
;
7π
4
Entonces la suma del máximo
valor y el mínimo valor que
tiene f es:
𝐴) 0
B) 1
𝐶) 2
𝐷) 3
𝐸) 2
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos(𝑥) + 1 ⇒ 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥 −
π
4
) + 1
𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠:
3π
4
≤𝑥 ≤
7π
4
π
2
≤𝑥 −
π
4
≤
3π
2
Y
X
𝝅
𝟐
𝟑𝝅
𝟐
−1
1
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 −
π
4
) ≤ 1
− 2 + 1 ≤ 2(𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
π
4
+ 1 ≤ 2 + 1
𝑓 𝑥 𝑚á𝑥 = 2 + 1
∴ 𝑓 𝑥 𝑚á𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑚í𝑛 = 2
𝑓 𝑥 𝑚í𝑛 = − 2 + 1
Clave: C
APLICACIÓN 04 RESOLUCIÓN
23
FUNCIÓN COSENO
𝒇 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ2/𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ; 𝒙 ∈ ℝ
𝑿
𝒀
𝜋
2
𝑻 = 𝟐𝝅
1
−1
𝑻 = 𝟐𝝅
0 3𝜋
2
5𝜋
2
7𝜋
2
𝑷(𝒙; 𝐜𝐨𝐬 𝒙 )
24
Análisis de la gráfica
✓ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
✓ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = −1; 1 es decir −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ≤ 1
✓ 𝐸𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑠 −𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
✓ 𝐸𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
✓ 𝑆𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑇 = 2𝜋
✓ 𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎.
✓ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥: 2𝑘 + 1 𝜋/2; 0 , 𝑘 ∈ ℤ
✓ 𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
∀𝑥 ∈ 2𝑘𝜋 + 𝜋; 2𝑘𝜋 + 2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
∀𝑥 ∈ 2𝑘𝜋; 2𝑘𝜋 + 𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
25
𝑓 𝑥 = cos(𝑥) −
1
2
−
1
2
, (∀𝑘 ∈ ℤ)
Al determinar el dominio de la
función f definida por:
cos(𝑥) −
1
2
−
1
2
≥ 0
𝐴) (2𝑘 + 1)
𝜋
2
B) 
𝑘𝜋
2
C) (2𝑘 + 1)
𝜋
4
D) 𝑘𝜋
E) 2𝑘𝜋
0 ≤ cos(𝑥) ≤ 1
⇒ cos(𝑥) −
1
2
≥
1
2
⇒ cos(𝑥) −
1
2
≤ −
1
2
∨
1
2
≤ cos(𝑥) −
1
2
⇒ cos(𝑥) ≤ 0 ∨ 1 ≤ cos(𝑥)
⇒ cos(𝑥) ∈ { 0, 1} ⇒ cos(𝑥) ∈ {−1, 0, 1}
𝑥 =
𝑘𝜋
2
APLICACIÓN 05 RESOLUCIÓN
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠𝑡é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎:
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠:
Clave: B
∴ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 =
𝑘𝜋
2
se obtiene:
26
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋𝑥
2
−
9𝑥2
8
Al determinar el dominio de la
función f definida por: 𝑐𝑜𝑠
𝜋𝑥
2
−
9𝑥2
8
≥ 0
𝐴) − 2 𝐵) − 1 𝐶) 0
𝐷) 1 𝐸) 2
Se obtiene [a , b]. Determine
𝑎
𝑏
⟹ 𝑐𝑜𝑠
𝜋𝑥
2
≥
9𝑥2
8
⇒𝐷𝑜𝑚 𝑓 = −𝑛; 𝑛
Clave: B
𝑿
𝒀
APLICACIÓN 06 RESOLUCIÓN
𝑦 =
9𝑥2
8
𝑦 = cos
𝜋𝑥
2
Ambas gráficas son 
simétricas con 
respecto del eje Y.
−𝒏 𝒏
∴
𝑎
𝑏
= −1
27
Determine el rango de la función f ,definida por: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛6 𝑥 +𝑐𝑜𝑠6 𝑥
𝐴)
1
2
; 1 𝐵)
1
4
; 1 𝐶)
1
8
; 1 𝐷) 0;
1
4
𝐸) 0;
1
8
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛6 𝑥 +𝑐𝑜𝑠6 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 =
5
8
+
3
8
cos(4𝑥)
⟹ −1 ≤ cos(4𝑥) ≤ 1𝒙 ∈ ℝ ⟹ −
3
8
≤
3
8
cos(4𝑥) ≤
3
8
⟹
5
8
−
3
8
≤
5
8
+
3
8
cos 4𝑥 ≤
5
8
+
3
8
⟹
1
4
≤ 𝑓 𝑥 ≤ 1 𝑅𝑎𝑛 𝑓 =
1
4
; 1
APLICACIÓN 07 
RESOLUCIÓN 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
Clave: B
28
Determine el rango de la función f , definida por:
𝑓 𝑥 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝐴) 0; 1 𝐵) 0; 2 𝐶) −1; 2
𝐷) 1; 2 𝐸)⟨0;  2⟩
𝑓 𝑥 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos(𝑥) +𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑓 𝑥 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥))2+𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥) +𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑓 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 +𝑠𝑒𝑛 𝑥
⟹ 𝑓 𝑥 = − cos 𝑥
⟹ −1 < cos(𝑥)< 0
; 𝑥 𝜖 π;
3𝜋
2
⟹ 0 < −cos 𝑥 < 1
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 0; 1
APLICACIÓN 08 
RESOLUCIÓN
Y
X𝝅
𝟑𝝅/𝟐
𝑥 𝜖 π;
3𝜋
2
Clave: A
29
𝑨
𝒔
í𝒏
𝒕𝒐
𝒕𝒂
𝒙
=
𝝅
/𝟐
𝒙
=
𝟑
𝝅
/𝟐
𝒙
=
−
𝝅
/𝟐
FUNCIÓN TANGENTE
𝒇 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ2/𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 ; 𝒙 ≠ 𝟐𝒌 + 𝟏
𝝅
𝟐
; 𝒌 ∈ ℤ
𝑿
𝒀
𝑷(𝒙; 𝐭𝐚𝐧 𝒙 )
0 𝜋
30
Análisis de la gráfica
✓ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 2𝑘 + 1
𝜋
2
/𝑘 ∈ ℤ
✓ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ es decir −∞ < 𝑡𝑎𝑛 𝑥 < ∞
✓ 𝐸𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑛 −𝑥 = −𝑡𝑎𝑛(𝑥)
✓ 𝐸𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∀𝑥 ∈ 2𝑘 − 1
𝜋
2
; 2𝑘 + 1
𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ
✓ 𝑆𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑇 = 𝜋
✓ 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑: 2𝑘 + 1
𝜋
2
/𝑘 ∈ ℤ
31
𝑓 𝑥 =
1 + tan(𝑥)
1 − tan(𝑥)
; (∀𝑘 ∈ ℤ)
Sea la función f definida por: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑:
𝐴)
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 ;
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
𝐵)
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 ;
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
C) 
𝑘𝜋
4
D) 
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
𝐸)
𝜋
4
+
𝑘𝜋
2
; (2𝑘 + 1)
𝜋
2
𝑎) tan 𝑥 ⇒ 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋
Determine los puntos de
discontinuidad:
𝑏) | tan 𝑥 | = 1 ⇒ 𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘
𝜋
2
Puntos de discontinuidad:
𝜋
4
+
𝑘𝜋
2
; (2𝑘 + 1)
𝜋
2
𝝅
𝟐
0
𝟑𝝅
𝟒
𝝅
𝟒
𝟑𝝅
𝟐
𝟕𝝅
𝟒
𝟓𝝅
𝟒
APLICACIÓN 09 RESOLUCIÓN
Clave: E
32
Determine los valores para x en
<0; 2π> para que la función f
definida por :
𝑓 𝑥 = 1 − 2 − 3 tan(𝑥)
Sea no negativa
1 − 2 − 3 tan(𝑥) ≥ 0
Clave: E
𝐴)
𝜋
4
;
𝜋
3
𝐵)
𝜋
6
;
𝜋
4
𝐶)
𝜋
6
;
𝜋
3
𝐷)
7𝜋
6
;
4𝜋
3
𝐸)
𝜋
6
;
𝜋
3
∪
7𝜋
6
;
4𝜋
3
⇒ 1 ≥ 2 − 3 tan(𝑥)
⇒ −1 ≤ 2 − 3 tan 𝑥 ≤ 1 ⇒ −3 ≤ − 3 tan 𝑥 ≤ −1
⇒
1
3
≤ tan 𝑥 ≤ 3
⇒ 𝑥 ∈
𝜋
6
;
𝜋
3
∪
7𝜋
6
;
4𝜋
3
APLICACIÓN 10 RESOLUCIÓN
0
3
3
3