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tan 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos(𝜃)
2 cos 𝜃 = 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)
𝑌
𝑋
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
ASESORIA 9
2
CEPRE UNI
PROBLEMA 1
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒: tan(2𝑥) + tan(𝑥) cos 3𝑥 + cos(𝑥) 𝑐𝑜𝑠
2 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(3𝑥)
𝐴) − 2 𝐵) − 1 𝐶) 0 𝐷) 1 𝐸) 2
RESOLUCIÓN
𝑀 =
tan(2𝑥) + tan(𝑥) cos 3𝑥 + cos(𝑥) 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(3𝑥)
2 cos 2𝑥 cos(𝑥)
2𝑠𝑒𝑛 3𝑥 cos(𝑥)
𝑀 =
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
cos 2𝑥 cos(𝑥)
.
2 cos 2𝑥 cos(𝑥) cos 3𝑥 cos(𝑥)
2𝑠𝑒𝑛 3𝑥 cos 𝑥 cos(3𝑥)
𝑀 = 1 CLAVE: D
cos 𝐴 + 𝐵 cos 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠2 𝐴 − 𝑠𝑒𝑛2(𝐵)
3
CEPRE UNI
PROBLEMA 2
La medida de los ángulos de un triángulo
forman una progresión aritmética de
razón ∅, y la suma de senos de estos
ángulos es:
6 + 3
2
Calcule cos(4∅)
𝐴) −1 𝐵) 0
𝐷)
1
2
𝐶)
1
4
𝐸) 1
RESOLUCIÓN
𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶:𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°
𝐵 − ∅ + 𝐵 + 𝐵 + ∅ = 180°
𝐵 = 60°
Luego: 𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝑠𝑒𝑛 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 𝐶 =
6 + 3
2
𝑠𝑒𝑛 𝐵 − ∅ + 𝑠𝑒𝑛 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 𝐵 + ∅ =
6 + 3
2
2𝑠𝑒𝑛 𝐵 cos(∅)
𝑠𝑒𝑛 𝐵 2 cos ∅ + 1 =
6 + 3
2
3
2
cos ∅ =
2
2
∅ = 45°
cos 4∅ = cos 180° = −1
CLAVE: A
Como 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 están en progresión aritmética, colocamos
Entonces:
4
CEPRE UNI
PROBLEMA 3
Determine:𝜃
𝐵𝐷 = 𝑠𝑒𝑐(40°)
𝐵𝐶 = sec(20°)
𝐴𝐷 = 4𝑠𝑒𝑛(20°)
En el triángulo rectángulo ABC, se tiene 
que: 
𝐴) 5° 𝐵) 10°
𝐷) 20°
𝐶) 15°
𝐸) 30°
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝜃
RESOLUCIÓN
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝜃
4𝑠𝑒𝑛(20°)
4𝑠𝑒𝑛 20° tan(𝜃)
sec(20°)
4𝑠𝑒𝑛 20° tan 𝜃 = sec 40° − sec(20°)
4𝑠𝑒𝑛 20° tan 𝜃 =
1
cos 40°
−
1
cos(20°)
4𝑠𝑒𝑛 20° tan 𝜃 =
cos 20° − cos(40°)
cos 40° cos(20°)
4𝑠𝑒𝑛 20° tan 𝜃 =
−2𝑠𝑒𝑛 30° 𝑠𝑒𝑛(−10°)
cos 20° cos(40°)
=
𝑠𝑒𝑛(10°)
cos 20° cos(40°)
tan 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛(10°)
2 2𝑠𝑒𝑛 20° cos(20°) cos(40°)
=
𝑠𝑒𝑛(10°)
2𝑠𝑒𝑛 40° cos(40°)
=
𝑠𝑒𝑛(10°)
𝑠𝑒𝑛(80°)
tan 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛(10°)
cos(10°)
= tan(10°) 𝜃 = 10°
CLAVE: B
De la figura:
𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 − 𝐵𝐶
sec(40°)
5
CEPRE UNI
PROBLEMA 4
Si se cumple que: 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 , 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ
Calcule el valor de: 2 𝑠𝑒𝑐2 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
RESOLUCIÓN
𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)
CLAVE: E
Por condición:
𝐴) − 3 𝐵) − 2
𝐶) − 1
𝐷) 1 𝐸) 2
3𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 , 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ
0 = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
0 = 2 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 cos 3𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
0 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)(2 cos 3𝑥 cos 𝑥 − 1)
Dado que 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 , 𝑘𝜖ℤ ⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≠ 0
cos 4𝑥 + cos 2𝑥 − 1 = 0
(2 cos2(2𝑥) − 1) + cos 2𝑥 − 1 = 0
2 cos2 2𝑥 + cos 2𝑥 − 2 = 0
Multiplicamos por sec2(2𝑥)
2 + sec 2𝑥 − 2 sec2(2𝑥) = 0
∴ 2 sec2(2𝑥) − sec 2𝑥 = 2
⟹ 2cos 3𝑥 cos 𝑥 − 1 = 0
6
CEPRE UNI
PROBLEMA 5
RESOLUCIÓN
Dada la identidad trigonométrica:
Calcule: 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶
cos 7𝜃 + cos 5𝜃 + sen(2𝜃)
cos
5𝜃
2
− sen(
5𝜃
2
)
= 𝐴cos 𝐵𝜃 sen
𝜋
4
+
𝐶
2
𝜃
De la igualdad, 𝑀 =
2 cos 6𝜃 cos 𝜃 + 2sen 𝜃 cos(𝜃)
− 2 sen
5𝜃
2
−
𝜋
4
=
2 cos 𝜃 cos 6𝜃 + sen(𝜃)
− 2 sen
5𝜃
2
−
𝜋
4
CLAVE: D
𝑀 =
2 cos 𝜃 2 cos
𝜋
4 +
5𝜃
2 cos
7𝜃
2 −
𝜋
4
2 sen
𝜋
4
−
5𝜃
2
𝑀 = 2 2 cos 𝜃 sen
𝜋
4
+
7𝜃
2
𝐴 = 2 2
𝐵 = 1
𝐶 = 7
𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 = 2
𝐴) − 1 𝐸) 3𝐶) 1𝐵) 0 𝐷) 2
7
CEPRE UNI
PROBLEMA 6 RESOLUCIÓN
Siendo 𝑥 + 𝑦 = 𝜃; 𝜃 ∈ 0;
𝜋
4
.
Calcule el menor valor de: 
𝑡𝑎𝑛 3𝑥 − 𝑦 + 𝑡𝑎𝑛(3𝑦 − 𝑥)
M = tan 3𝑥 − 𝑦 + tan 3𝑦 − 𝑥 =
2sen 2𝑥 + 2𝑦
2cos 3𝑥 − 𝑦 cos(3𝑦 − 𝑥)
𝑀 =
2sen(2𝜃)
cos 2𝑥 + 2𝑦 + cos(4𝑥 − 4𝑦)
𝑀 =
2sen 2𝜃
cos 2𝜃 + 1
Denominador 
máximo
Signos positivos 
Reduciendo:
Aplicando la identidad de arco doble, tenemos
𝑀 =
2 ⋅ 2sen 𝜃 cos 𝜃
2 cos2(𝜃)
∴ 𝑀 = 2tan(𝜃)
CLAVE: D
𝐴) 𝑡𝑎𝑛(
𝜃
2
) 𝐵) 2𝑡𝑎𝑛(
𝜃
2
) 𝐶) 𝑡𝑎𝑛(𝜃)
𝐷) 2𝑡𝑎𝑛(𝜃) 𝐸)2𝑡𝑎𝑛(4𝜃)
8
CEPRE UNI
𝐴) 3 − 2 2
Si se cumple que:
𝑡𝑎𝑛 7𝑥 = 2𝑐𝑜𝑡(3𝑥)
Calcule
𝐸 =
cos(10𝑥)
cos(4𝑥)
𝐵) 1 + 2
𝐶) 1 − 2
𝐷) 2 − 1
𝐸) 2 2 − 3
PROBLEMA:7 
𝑠𝑒𝑛(7𝑥)
cos(7𝑥)
= 2
cos(3𝑥)
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
Del dato:
⇒
2𝑠𝑒𝑛 7𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
2cos 7𝑥 cos(3𝑥)
= 2
cos 4𝑥 − cos(10𝑥)
cos 10𝑥 + cos(4𝑥)
= 2
𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:
(cos 10𝑥 + cos(4𝑥)) − (cos 4𝑥 − cos(10𝑥))
cos 10𝑥 + cos 4𝑥 + (cos 4𝑥 − cos(10𝑥))
=
1 − 2
1 + 2
2cos(10𝑥)
2 cos 4𝑥
=
1 − 2
1 + 2
∴ 𝐸 =
1 − 2
1 + 2
= 2 2 − 3
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐸
9
CEPRE UNI
𝐴) 1 + 𝑎 1 − 𝑏 = 𝑐2
Elimine 𝛼 𝑦 𝛽 a partir de:
𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 𝑎 ; 𝑠𝑒𝑛 2𝛽 = 𝑏
cos 𝛼 + 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑐
𝐵) 1 − 𝑎 1 + 𝑏 = 𝑐2
𝐶) 1 − 𝑎 1 − 𝑏 = 𝑐2
𝐷) 1 + 𝑎 1 + 𝑏 = 𝑐2
𝐸) 1 − 𝑎 (𝑏 − 1) = 𝑐2
PROBLEMA 8 
cos 𝛼 + 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝛽
2
= 𝑐2
cos2 𝛼 + 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 𝛽 + 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝛽 cos 𝛼 + 𝛽 = 𝑐2
1 − sen2 𝛼 + 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛(−2𝛽) = 𝑐2
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝛽 + 1 + 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛽) = 𝑐2
𝑠𝑒𝑛 2𝛼 𝑠𝑒𝑛(−2𝛽) + 1 + 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛽) = 𝑐2
−𝑎𝑏 + 1 + 𝑎 − 𝑏 = 𝑐2
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠:
−𝑏(1 + 𝑎) + 1 + 𝑎 = 𝑐2
1 + 𝑎 1 − 𝑏 = 𝑐2
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: A
10
CEPRE UNI
𝐴) 0
Calcule:
𝐸 =
3 cot
𝜋
9 − 4 cos
𝜋
9
csc
𝜋
6
𝐵) 0,5 𝐶) 1
𝐷) 2 𝐸) 4
PROBLEMA 9 
𝐸 =
3 cos
𝜋
9
𝑠𝑒𝑛
𝜋
9
− 4 cos
𝜋
9
1
𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
𝐸 =
2 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
(3)3
cos
𝜋
9 − 2. 2 cos
𝜋
9 𝑠𝑒𝑛
𝜋
9
𝑠𝑒𝑛
𝜋
9
× 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
𝐸 =
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
9 + 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
9 − 2 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
9
𝑠𝑒𝑛
𝜋
9
× 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
2
3
2
cos
𝜋
9
𝐸 =
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
9 − 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
9
𝑠𝑒𝑛
𝜋
9
× 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
=
2 cos
3𝜋
9 𝑠𝑒𝑛
𝜋
9
𝑠𝑒𝑛
𝜋
9
×
1
2
𝐸 =
1
2
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
11
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
PROBLEMA 10
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 ෍
𝑘=1
2022
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + (𝑘 − 1)
π
6
𝐴) 2 𝐵) 3 𝐶) 6 + 2
𝐷) 6 − 2 𝐸) 2 3/3
𝑚á𝑥
𝑚á𝑥
⟹ 𝐸𝑚á𝑥 = 6 + 2
𝐸 = ෍
𝑘=1
2022
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + (𝑘 − 1)
π
6
𝑛 = 2022 𝑟 =
π
6
𝑃 = 𝑥 𝑈 = 𝑥 +
2021π
6
𝐸 =
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝑟
2
𝑠𝑒𝑛
𝑟
2
𝑠𝑒𝑛
𝑃 + 𝑈
2
𝐸 =
𝑠𝑒𝑛
1011π
6
𝑠𝑒𝑛
π
12
𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
2021π
12
𝐸 =
𝑠𝑒𝑛
π
2
𝑠𝑒𝑛
π
12
𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
2021π
12
= 1
12
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
PROBLEMA 11
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑀 = 𝑠𝑒𝑛4 θ + 𝑠𝑒𝑛4 2θ + 𝑠𝑒𝑛4 3θ ,
𝐴) 21/13 𝐵) 21/14 𝐶) 21/15
𝐷) 21/16 𝐸) 21/17
𝑠𝑖 θ =
π
7
𝑀 = 𝑠𝑒𝑛4
π
7
+ 𝑠𝑒𝑛4
2π
7
+ 𝑠𝑒𝑛4
3π
7
8𝑀 = 8𝑠𝑒𝑛4
π
7
+ 8𝑠𝑒𝑛4
2π
7
+ 8𝑠𝑒𝑛4
3π
7
8𝑀 = 3 − 4𝑐𝑜𝑠
2π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
4π
7
+3 − 4𝑐𝑜𝑠
4π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
8π
7
+3 − 4𝑐𝑜𝑠
6π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
12π
7
𝑐𝑜𝑠
6π
7
𝑐𝑜𝑠
2π
7
8𝑀 = 9 − 3 𝑐𝑜𝑠
2π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
4π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
6π
7
⟹ 8𝑀 = 9 − 3 −
1
2
⟹ 𝑀 =
21
16
13
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
PROBLEMA 12
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 2 𝑐𝑜𝑠
π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
2π
7
𝑐𝑜𝑠
2π
7
− 𝑐𝑜𝑠
3π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
5π
7
𝐴) 1/2 𝐵) 3/2 𝐶) 3/4 𝐷) 1/4 𝐸) 3/8
𝐸 = 2 𝑐𝑜𝑠
π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
2π
7
𝑐𝑜𝑠
2π
7
− 𝑐𝑜𝑠
3π
7
+ +𝑐𝑜𝑠
π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
5π
7
𝐸 = 2𝑐𝑜𝑠
π
7
𝑐𝑜𝑠
2π
7
− 2𝑐𝑜𝑠
π
7
𝑐𝑜𝑠
3π
7
+ 2𝑐𝑜𝑠2
2π
7
− 2𝑐𝑜𝑠
2π
7
𝑐𝑜𝑠
3π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
5π
7
𝐸 = 𝑐𝑜𝑠
3π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
π
7
− 𝑐𝑜𝑠
4π
7
− 𝑐𝑜𝑠
2π
7
+ 1 + 𝑐𝑜𝑠
4π
7
− 𝑐𝑜𝑠
5π
7
− 𝑐𝑜𝑠
π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
5π
7
𝐸 = 𝑐𝑜𝑠
3π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
π
7
+ 𝑐𝑜𝑠
5π
7
+ 1 ⟹ 𝐸 =
1
2
+ 1 ⟹ 𝐸 =
3
2
14
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
Calcule:
PROBLEMA 13
7 7 1
8 64 64
7 1
4 8
A) B) C) 
D) E) 
𝑃 =ෑ
𝑘=1
6
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
7
De la expresión dada:
𝑃 =ෑ
𝑘=1
6
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
7
⇒ 𝑃 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
5𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
6𝜋
7
∴ 𝑃 =
7
64
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:B
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
𝜋
7
⇒ 𝑃 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
7
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
7
2
⇒ 𝑃 =
7
23
2
propiedad
15
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
En la expresión S transformamos a producto:
PROBLEMA 14
Calcule: 𝑆 = cos 𝜃 − cos 5𝜃 cos 2𝜃 − cos 10𝜃 cos 4𝜃 − cos 6𝜃 , 𝑠𝑖 13𝜃 = 2𝜋
13 13 13 13 1
8 8 64 4 8
A) B) C) D)E) 
𝑆 = (2𝑠𝑒𝑛 3𝜃 𝑠𝑒𝑛(2𝜃))(2𝑠𝑒𝑛 6𝜃 𝑠𝑒𝑛(4𝜃))(2𝑠𝑒𝑛 5𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜃))
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠: 𝜃 = 2𝜋/13 𝑆 = 8(𝑠𝑒𝑛
6𝜋
13
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
13
)(𝑠𝑒𝑛
12𝜋
13
𝑠𝑒𝑛
8𝜋
13
)(𝑠𝑒𝑛
10𝜋
13
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
13
)
𝒔𝒆𝒏(
𝟓𝝅
𝟏𝟑
)𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟏𝟑
𝒔𝒆𝒏(
𝟑𝝅
𝟏𝟑
)
𝑆 = 8 × 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
13
)𝑠𝑒𝑛(
2𝜋
13
)𝑠𝑒𝑛(
3𝜋
13
)𝑠𝑒𝑛(
4𝜋
13
)𝑠𝑒𝑛(
5𝜋
13
)𝑠𝑒𝑛(
6𝜋
13
)
𝟏𝟑
𝟐𝟔
∴ 𝑺 = 𝟏𝟑/𝟖 CLAVE: B
16
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN:
PROBLEMA 15
Calcule el valor de :
tan
𝜋
13
+ tan
3𝜋
13
− tan
4𝜋
13
tan
2𝜋
13
+ tan
5𝜋
13
− tan
7𝜋
13
13 13A) -1 B) - C) D) 13 E) -13 
Sea: 𝑃 = (𝑡𝑎𝑛
𝜋
13
+ 𝑡𝑎𝑛(
3𝜋
13
) − 𝑡𝑎𝑛(
4𝜋
13
))(𝑡𝑎𝑛(
2𝜋
13
) + 𝑡𝑎𝑛(
5𝜋
13
) − 𝑡𝑎𝑛(
7𝜋
13
))
−𝒕𝒂𝒏(
𝟒𝝅
𝟏𝟑
)
−𝒕𝒂𝒏(
𝟔𝝅
𝟏𝟑
)
𝑃 = (𝑡𝑎𝑛
𝜋
13
𝑡𝑎𝑛(
3𝜋
13
) 𝑡𝑎𝑛(
9𝜋
13
))(𝑡𝑎𝑛(
2𝜋
13
) 𝑡𝑎𝑛(
5𝜋
13
) 𝑡𝑎𝑛(
6𝜋
13
))
⟹ 𝑃 = −𝑡𝑎𝑛(
𝜋
13
)𝑡𝑎𝑛(
2𝜋
13
)𝑡𝑎𝑛(
3𝜋
13
)𝑡𝑎𝑛(
4𝜋
13
)𝑡𝑎𝑛(
5𝜋
13
)𝑡𝑎𝑛(
6𝜋
13
)
𝑺𝒊 𝒙 + 𝒚 = 𝝅
𝒕𝒂𝒏 𝒙 = −𝒕𝒂𝒏(𝒚)
∴ 𝑃 = − 13 CLAVE: B
−𝒕𝒂𝒏(
𝟗𝝅
𝟏𝟑
)
17
CEPRE UNI
Determine el dominio de la función f
definida por:
𝑓 𝑥 =
3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2
4𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
+
2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1
,
(𝒏 ∈ ℤ)
A) ℝ−
𝒏𝝅
𝟐
B) ℝ−
𝒏𝝅
𝟑
C) ℝ− (𝟐𝒏 + 𝟏)
𝝅
𝟐
D) ℝ− (𝟒𝒏 + 𝟏)
𝝅
𝟐
E) ℝ− (𝟒𝒏 + 𝟏)
𝝅
𝟒 CLAVE: ARespuesta: ℝ −
𝒏𝝅
𝟐
PROBLEMA 16 RESOLUCIÓN
Analizando:
4𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 1
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ −
𝒏𝝅
𝟐
𝑥 ≠
𝑛𝜋
2
; ∀𝑛 ∈ ℤ
𝑠𝑒𝑛(𝑥)(4𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1) ≠ 0 ∧ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 1
𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ ±1
Luego:
18
CEPRE UNI
El rango de la función f definida por:
𝑓 𝑥 =
6𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 6𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 13
4𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 5
Está dado por 𝑎; 𝑏 , calcule el valor
de 13𝑎 − 8𝑏.
A) 𝟏 B) 𝟐 C) 𝟑
D) 𝟒 E) 𝟓
CLAVE: B
Respuesta: 𝟐
PROBLEMA 17
RESOLUCIÓN
Dominio: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 =
25
13
;
23
8
𝑓 𝑥 =
6𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 6𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 13
4𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 5
−
3
2
+
3
2
Dando forma:
𝑓 𝑥 =
11
8𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 8𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 10
+
3
2
𝒇 𝒙 =
𝟏𝟏
𝟐 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟏 𝟐 + 𝟖
+
𝟑
𝟐
∀𝑥 ∈ ℝ;−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1 → −1 ≤ 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 ≤ 3
→ 0 ≤ 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 2 ≤ 9 → 8 ≤ 2 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 2 + 8 ≤ 26
→
11
26
+
3
2
≤
𝟏𝟏
𝟐 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟏 𝟐 + 𝟖
+
𝟑
𝟐
≤
11
8
+
3
2
→ 13𝑎 − 8𝑏 = 2
→
25
13
≤ 𝑓(𝑥) ≤
23
8
19
CEPRE UNI
Al determinar el rango de la función f, definida por:
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑥 ∈ −
𝜋
6
;
𝜋
3
Se obtiene el intervalo 𝑎; 𝑏 , calcule el valor de 3𝑏 − 2𝑎.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
CLAVE: ERespuesta: 𝟖
PROBLEMA 18
RESOLUCIÓN Se observa que: 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)
Entonces solo analizamos en el intervalo: 0;
𝜋
3
En este dominio la función es decreciente, entonces: 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑓
𝜋
3
; 𝑓(0)
𝑓
𝜋
3
= 𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
− 2 3 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
= −
5
2
𝑓 0 = 𝑐𝑜𝑠 0 − 2 3 𝑠𝑒𝑛 0 = 1
Luego: 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = −
5
2
; 1
Finalmente: 3𝑏 − 2𝑎 = 8
20
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN 
CLAVE:C
Determine el dominio de la función f
definida por:
𝑓 𝑥 =
2𝑡𝑎𝑛(4𝑥)
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
+
4𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑡𝑎𝑛(2𝑥)
(𝑘𝜖ℤ)
PROBLEMA 19
𝐴)ℝ − 2𝑘 + 1
𝜋
8
𝐵)ℝ − 2𝑘 + 1
𝜋
4
𝐷)ℝ − 2𝑘 + 1
𝜋
2
⋃ 2𝑘 + 1
𝜋
4
𝐸)ℝ − 2𝑘 + 1
𝜋
4
⋃ 2𝑘 + 1
𝜋
8
𝐶)ℝ − 𝑘
𝜋
8
Observación: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒: ℎ 𝑥 =
1
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
; 𝑘𝜖ℤ𝑒𝑠𝑡é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 ℝ:
Determinamos el dominio de f, para ello restringimos los valores de x. 
𝐷𝑒: 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(4𝑥): 4𝑥 ≠ 2𝑘 + 1
𝜋
2
⟹ 𝒙 ≠ 𝟐𝒌 + 𝟏
𝝅
𝟖
𝐷𝑒: 𝑦 =
1
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
: 𝒙 ≠ 𝒌
𝝅
𝟐
𝐷𝑒: 𝑦 =
1
𝑡𝑎𝑛(2𝑥)
: 2𝑥 ≠ 𝑘
𝜋
2
⟹ 𝒙 ≠ 𝒌
𝝅
𝟒
Entonces: ⟹ 𝒙 ≠ 𝟐𝒌 + 𝟏
𝝅
𝟖
⋃ 𝒌
𝝅
𝟒
⋃ 𝒌
𝝅
𝟐
𝒌
𝝅
𝟖∴ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑘
𝜋
8
21
CEPRE UNI
RESOLUCION
CLAVE:B
𝐴) 8
Dada la función f definida por:
cuyo rango es: ℝ− {0;±𝑎;±𝑏;±𝑐}, calcule el valor de: 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
PROBLEMA 20
𝑓 𝑥 =
2cos 4𝑥
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
+
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
cos 2𝑥 − cos(6𝑥)
𝐸) 4𝐶) 6𝐵) 7 𝐷) 3
En la regla de correspondencia de f: 𝑓 𝑥 =
2cos 4𝑥
𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒙)
+
𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)
(−𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒔𝒆𝒏(−𝟐𝒙))
𝑓 𝑥 = csc 2𝑥 + cot(2𝑥) ; cos 4𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 ≠ 0
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 4𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
⟹ 𝑥 ≠
𝑘𝜋
8
Determinamos el rango e𝑛 𝑢𝑛 𝑇: 𝑥𝜖 0; 𝜋 : 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ− 0;± cot
𝜋
8
;± cot
𝜋
4
;±cot(
3𝜋
8
)
∴ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 2 + 1
2
+ 1 + 2 − 1
2
= 7
22
CEPRE UNI
RESOLUCION
Dado que: 
CLAVE:E
En al figura se muestran las gráficas de la
funciones f y g; 𝑉 0; 3 es el vértice de la
función cuadrática g y las abscisas de los
puntos P y Q son 𝛽 y 2𝛽 respectivamente.
Calcule: 4𝑡𝑎𝑛(𝛽) − 𝑡𝑎𝑛(2𝛽)
PROBLEMA 21
𝐸) 9
𝐶) 7
𝐵) 6
𝐷) 8
𝐴) 5
𝑃 𝛽; 𝑡𝑎𝑛 𝛽 ,𝑄(2𝛽; 𝑡𝑎𝑛(2𝛽))
Siendo las abscisas de los puntos P y Q 𝛽 y 2𝛽
Entonces:
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)
Sea la regla de correspondencia de g: 𝒈 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝟑
Dado que : 𝑃, 𝑄𝜖𝑔 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 3
Evaluamos: 
𝑪𝒐𝒏 𝑷: 𝒕𝒂𝒏 𝜷 = 𝒂 𝜷 𝟐 + 𝟑
𝑪𝒐𝒏 𝑸: 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝜷 = 𝒂 𝟐𝜷 𝟐 + 𝟑
…… . . (1)
……(2)
Reemplazamos 1 𝑦 2 𝑒𝑛 (3) :
Sea la expresión pedida: 𝑘 = 4 𝑡𝑎𝑛 𝛽 − 𝑡𝑎𝑛 2𝛽 ……(3)
𝑘 = 4(𝑎𝛽2 + 3) − (4𝑎𝛽2 + 3)
∴ 𝑘 = 9
23
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
CLAVE: C
PROBLEMA 22
Determine le dominio de la función f, 
definida por:
𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑐2 𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 − 4
𝑠𝑒𝑐2(𝑥) + 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)
, 𝑛𝜖ℤ
𝐴) ℝ−
𝑛𝜋
8
𝐵) ℝ−
𝑛𝜋
4
𝐶) ℝ −
𝑛𝜋
2
𝐷) ℝ− 𝑛𝜋 𝐸) ℝ − 2𝑛𝜋
Para que f este definida en los reales:
𝑠𝑒𝑐2(𝑥) + 𝑐𝑠𝑐2(𝑥) − 4 ≥ 0 ∧ 𝑥 ≠
𝑛𝜋
2
𝟒 𝐜𝐬𝐜𝟐(𝟐𝒙) − 𝟒 ≥ 4 ⟹ 4 csc2 2𝑥 − 1 ≥ 0
4cot2(2𝑥) ≥ 0 ⟹ cot2(2𝑥) ≥ 0
cot 2𝑥 𝜖ℝ
2𝑥 𝜖ℝ− {𝑛𝜋}
𝑥𝜖ℝ − {
𝑛𝜋
2
}
∴ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − {
𝑛𝜋
2
}
24
CEPRE UNI
PROBLEMA 23 RESOLUCIÓN
CLAVE: A
2
Determine el rango de la función definida por
2 5
f(x)=sec ( x ) 2 sec( x ) 5;x ;
3 4
  
   
 
2
f(x)= sec( x ) 2 sec( x ) 5
1)por propiedad del valor absoluto:
 
 
   
   
2
2
sec( x ) 1 2;3
sec( x ) 1 4;9
sec( x ) 1 6 2;3
 
 
   
 
 
 
 
 
A) 2;3
B) 2;2
C) 1;3
D) 0;3 
E) 1;4




2
f(x)= sec( x ) 1 6
2)completando cuadrados:
    
 sec( x ) 1;24)notar que: 
 2;35)ran(f): 
sec( x )3)graficando: 
25
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
CLAVE: C
para que esté definida:
 sec( x ) : x 2n 1
2
 
  
 
sec( x ) csc( x ) 0 
x n
4


 
  
 
n
Dom( f ) :
4
 
   
 
 csc( x ) : x n
sec( x ) csc( x )
tan( x ) 1En la C.T.:
PROBLEMA 24
Determine el dominio de la función f 
definida por:
𝑓 𝑥 =
1
|𝑠𝑒𝑐(𝑥)| − |𝑐𝑠𝑐(𝑥)|
, 𝑛𝜖ℤ
𝐴) ℝ − 2𝑛 + 1
𝜋
2
𝐵) ℝ − 2𝑛 + 1
𝜋
4
𝐶) ℝ −
𝑛𝜋
4
𝐷) ℝ − 𝑛𝜋
𝐸) ℝ −
𝑛𝜋
2
26
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐴) ℝ − 2𝑘 + 1
𝜋
2
𝐵) ℝ −
𝑘𝜋
2
𝐶) ℝ −
𝑘𝜋
4
𝐷) ℝ − 2𝑘 + 1
𝜋
4
𝐸)ℝ − 𝑘𝜋
CLAVE: B
PROBLEMA 25
Determine el dominio de la función f, definida por:
𝑓 𝑥 = tan
𝜋
2
sen 𝑥 + cos 𝑥 , 𝑘𝜖ℤ
Para que f esté definida:
𝜋
2
sen 𝑥 + cos 𝑥 ≠ 2𝑘 + 1
𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ
sen 𝑥 +
𝜋
4
≠
2𝑘 + 1
2
, 𝑘 ∈ ℤ
⟹ sen 𝑥 +
𝜋
4
≠ ±
1
2
0
𝟓𝝅
𝟒
𝝅
𝟒
𝟑𝝅
𝟒
𝟕𝝅
𝟒
⟹ 𝑥 +
𝜋
4
≠
𝑘𝜋
2
+
𝜋
4
⟹ 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
Respuesta: 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ−
𝒌𝝅
𝟐
27
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐴) 𝟑; 6 + 2 3 𝐵) 𝟑; 6 + 3 𝐶) 𝟑; 6
𝐷) 6; 3 + 2 3 𝐸) 𝟑; 6 3
CLAVE: A
PROBLEMA 26
Determine el rango de la función f, definida por:
𝑓 𝑥 =
3 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
, 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
En el dominio indicado podemos simplificar 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 = 3 sec 𝑥 + tan 𝑥 +
2 sen 𝑥 cos 𝑥
cos 𝑥
𝑓 𝑥 = tan 𝑥 + 2 sen 𝑥 + 3 sec 𝑥
Vemos que se trata de una suma de tres
funciones crecientes y continuas en el dominio
de f.
𝑆𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
⟹ 𝑓 0 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓
𝜋
3
𝑓 0 = tan 0 + 2 sen 0 + 3 sec 0 = 3
𝑓
𝜋
3
= tan
𝜋
3
+ 2 sen
𝜋
3
+ 3 sec
𝜋
3
𝑓
𝜋
3
= 6 + 2 3
⟹ 3 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 6 + 2 3
Respuesta: 𝟑; 6 + 2 3
28
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐴) 𝑉𝑉𝐹 𝐵) 𝐹𝑉𝐹𝐶) 𝐹𝑉𝑉 𝐷) 𝑉𝐹𝐹 𝐸) 𝐹𝐹𝐹
PROBLEMA 27
Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones.
I. Las funciones f y g, definidas por:
𝑓 𝑥 = csc 𝑥 − cot 𝑥 y
𝑔 𝑥 = tan
𝑥
2
𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
I. (FALSO) Los dominios de f y g son distintos:
II. La gráfica de la función f, definida
por: 𝑓 𝑥 =
tan 𝑥
tan 𝑥
+ tan 𝑥
Presenta 3 asíntotas en 0; 2𝜋
III. La gráfica de la función h, definida
por: ℎ 𝑥 =
sen 𝑥
sen 𝑥
∙ cos 𝑥
Presenta asíntotas en 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
Si reducimos 𝑓 𝑥 = csc 𝑥 − cot 𝑥 = tan
𝑥
2
Para el 𝐷𝑜𝑚 𝑔 :
𝑥
2
≠ 2𝑘 + 1
𝜋
2
⟹ 𝑥 ≠ 2𝑘 + 1 𝜋
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ℝ − 2𝑘 + 1 𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
Gráficamente:
𝑿
𝒀
𝜋 2𝜋−𝜋−2𝜋 0
𝒚 = 𝒈 𝒙
𝒚 = 𝒇 𝒙
𝑿
𝒀
𝜋 2𝜋−𝜋−2𝜋 0
29
CEPRE UNI
CLAVE: ERespuesta: 𝑭𝑭𝑭
Para que f esté definida:
𝑥 ≠ 2𝑘 + 1
𝜋
2
∧ tan 𝑥 ≠ 0
II. (FALSO)
𝑥 ≠ 𝑘𝜋
⟹ 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
Redefinimos f:
𝑓 𝑥 =
1 + tan 𝑥 , 𝑘𝜋 < 𝑥 < 2𝑘 + 1
𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ
−1 + tan 𝑥 , 2𝑘 + 1
𝜋
2
< 𝑥 < 𝑘 + 1 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Gráficamente:
𝑿
𝒀
𝜋𝜋
2
3𝜋
2
2𝜋
1
−1
Solo presenta dos
asíntotas verticales
en 0; 2𝜋
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
III. (FALSO)
Redefinimos f:
𝑓 𝑥 = ቊ
cos 𝑥 , 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 2𝑘 + 1 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
−cos 𝑥 , 2𝑘 + 1 𝜋 < 𝑥 < 2𝑘 + 2 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Gráficamente:
𝑿
𝒀
𝜋 2𝜋 3𝜋 4𝜋0
No presenta asíntotas verticales.
30
CEPRE UNI
Determine el dominio de la función f definida por:
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 3cos(2𝑥) + 1, ,𝑘𝜖ℤ.
PROBLEMA 28
𝐴)
𝑘𝜋
2
−
𝜋
3 𝐶)
𝑘𝜋
2
−
𝜋
6
𝐴)
𝑘𝜋
6
−
𝜋
3
𝐵)
𝑘𝜋
2
+
𝜋
3 𝐷)
𝑘𝜋
2
+
𝜋
6
RESOLUCION
En la función: f(x) = 𝑐𝑜𝑡
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 3cos(2𝑥) + 1
Recuerde que:
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 3cos(2𝑥) ≠ 𝑘𝜋; ∀𝑘 ∈ ℤ
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 3cos(2𝑥) ≠ 3𝑘
−2; 2 …− 3; 0; 3;…
⟹ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 3cos(2𝑥) ≠ 0⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝒙 ≠ − 𝟑
Luego: 2𝑥 ≠ −
𝜋
3
+ 𝑘𝜋⟹ 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
−
𝜋
6
CLAVE: C
Respuesta: 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝑹 −
𝒌𝝅
𝟐
−
𝝅
𝟔
31
CEPRE UNI
Determine el rango de la función f definida por:
𝑓 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥), 𝑥 ∈
𝜋
8
;
𝜋
6
PROBLEMA 29
𝐴) 2; 2 𝐸) 2 2; 6𝐶) 2; 6 𝐷) 2 2; 3𝐵) 2; 3
RESOLUCION
𝑓 𝑥 = 2(𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒙 − 𝟏) + 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 2𝑥 + 2 sec 2𝑥 + 1 − 3
sec 2𝑥 + 1 2
2 < sec 2𝑥 < 2
⟹ 2 2 < 𝑓(𝑥) < 6
Respuesta: 𝑹𝒂𝒏(𝒇) = 𝟐 𝟐; 𝟔
CLAVE: E
𝑓 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥) ; 𝑥𝜖
𝜋
8
;
𝜋
6
𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐 − 𝟑
𝐷𝑒:
𝜋
4
< 2𝑥 <
𝜋
3
𝑠𝑒𝑐(
𝜋
4
) < 𝑠𝑒𝑐(2𝑥) < 𝑠𝑒𝑐(
𝜋
3
)
32
CEPRE UNI
Determine los puntos de discontinuidad
de la función f definida por:
𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑐𝑠𝑐 2𝑥
+
𝑐𝑠𝑐 𝑥
𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
, 𝑘𝜖ℤ
PROBLEMA 30 RESOLUCION
En la función, por definición de secante y cosecante:
f(x) = 
𝑠𝑒𝑐(𝑥)
𝑐𝑠𝑐(2𝑥)
+
𝑐𝑠𝑐(𝑥)
𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
Como tenemos sec(x) y csc(x): 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
; 𝑘 ∈ ℤ ... (1)
Como tenemos sec(2x) y csc(2x): 2𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
; 𝑘 ∈ ℤ
𝑥 ≠
𝑘𝜋
4
; 𝑘 ∈ ℤ ... (2)
De (1) y (2): 𝑥 ≠
𝑘𝜋
4
; 𝑘 ∈ ℤ
Los puntos de discontinuidad serían:
𝑘𝜋
4
Respuesta: 
𝒌𝝅
𝟒
CLAVE: B
𝐴) {
𝑘𝜋
2
}
𝐵) {
𝑘𝜋
4
}
𝐶) {
𝑘𝜋
8
}
𝐷) {𝑘𝜋 +
𝜋
4
}
𝐸) {𝑘𝜋 +
𝜋
8
}
33
CEPRE UNI