SEMANA POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN VERSIÓN FINAL

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ARITMÉTICA
CEPREUNI
POTENCIACIÓN
RADICACIÓN
Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar
de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección
por los cuadrados y los cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la
yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x,
xx¸ xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera
potencias de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la
notación x, 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , etc.
Aunque la palabra raíz proviene del latín radix, la
radicación fue conocida por los hindúes y por los árabes
mucho antes que por los romanos. Las reglas para
extraer raíces cuadradas y cúbicas aparecieron por
primera vez en textos hindúes.
Biografía de René Descartes
Filósofo, matemático y científico francés. Desarrolló una breve carrera
militar, que abandonó para dedicarse a la filosofía, disciplina en la que
se desempeñó toda su vida. Dejó un legado extraordinario, al haber
creado el método deductivo y la geometría analítica, entre otras
cosas. También fue el fundador del racionalismo, y logró influenciar a
las generaciones posteriores. Su obra más conocida es "Discurso del
método" (1937).
La contribución mas notable de Descartes a las matemáticas fue la
sistematización de la geometría analítica. Contribuyó también a la
elaboración de la teoría de las ecuaciones. Asimismo, fue él quien
comenzó la utilización de las últimas letras del alfabeto (X, Y y Z)
para designar las cantidades desconocidas, y las primeras (A, B y C)
para las conocidas. También inventó el método de las exponentes
(como por ejemplo 𝑥2) para indicar las potencias de los números.
Además, formuló la regla, conocida como la Ley Cartesiana de Los
Signos, para descifrar el número de raíces negativas y positivas de
cualquier ecuación algebraica.
POTENCIACIÓN
A la operación que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces se le llama
Potenciación.
Ejemplos:
En general:
K  K  K  ...x K = Kn = P
“n” veces
K: base (k  Z+ )
Donde n : exponente ( n  Z+ )
P : potencia perfecta de grado n
5 x 5 x 5 = 53 = 125 (potencia perfecta de grado 3)
7 x 7 x 7 x7 = 74 = 2401 (potencia perfecta de grado 4)
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 36 = 729 (potencia perfecta de grado 6)
NOTA: La potenciación en los racionales ocurre cuando la base K es un número racional
En general:
Un número N expresado en su descomposición canónica por:
será una potencia perfecta de grado “n” si α, β, …, ϒ son
0
n
N = a1
 a2
 …an

CASOS PARTICULARES
POTENCIA PERFECTA DE GRADO DOS (CUADRADO PERFECTO, K2)
Un número N expresado en su descomposición canónica por: N = a1
 a2
 …an

será una potencia perfecta de grado “2” si α, β, …, ϒ son
0
2
Ejemplos: 25 = 52
256 = 162 = (24 )2 = 28
2025 = 452 = (32 .5)2 = 34 . 52
Aplicación 1
Determine el menor número, que el agregarle sus 3/7 se convierte en un cuadrado 
perfecto
Resolución:
Sea N el número buscado, donde: N + N = N 
3
7
10
7
Vemos: 
2𝑥5
7
x (21 . 51 .71 ) = 22 . 52 (cuadrado perfecto) 
N (mínimo)
N = 70
44100 = 22 x 32 x 52 x 72
0
2
(potencia perfecta de grado 2 o cuadrado perfecto)
CASOS PARTICULARES
POTENCIA PERFECTA DE GRADO TRES (CUBO PERFECTO, K3)
Un número N expresado en su descomposición canónica por: N = a1
 a2
 …an

será una potencia perfecta de grado “3” si α, β, …, ϒ son
0
3
Ejemplos: 125 = 53
64 = 43 = (22 )3 = 26
729 = 93 = (32)3 = 36
Aplicación 2
¿Cuántos cubos perfectos de cuatro cifras existen y que terminen en 7?
Resolución:
Sea 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐7 = 𝑘3 1000≤ 𝑘3 < 10000
10 ≤ 𝐾 < 21,…
…3
K = 13 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐7 = 133= 2197
(un solo número cumple)
1728 = 26 x 33
0
3
(potencia perfecta de grado 3 o cubo perfecto)
Con lo cual se puede concluir:
𝐾 :
𝐾2:
𝐾3:
…0
…0
…0
…1
…1
…1
…2
…4
…8
…3
…9
…7
…4
…6
…4
…5
…5
…5
…6
…6
…6
…7
…9
…3
…8
…4
…2
…9
…1
…9
A. Todo cuadrado perfecto puede terminar en la cifra 0; 1; 4; 5; 6 o 9
B. Si un número termina en la cifra 2; 3; 7 ú 8 no es un cuadrado perfecto
C. Un número cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.
PROPIEDADES: Criterios de inclusión y exclusión de cuadrados y cubos perfectos.
1.- Según la cifra de primer orden, se tendrá:
Ejemplos: ¿Cuáles de los siguientes números tienen la posibilidad de ser cuadrados
perfectos?
𝑎𝑏76
𝑥𝑦28 𝑝𝑞77
𝑑𝑓𝑔52𝑟𝑠25(SI)
(NO) (NO)
(SI) (NO)
2.- Según su terminación en cifras ceros:
Un número será Cuadrado perfecto, si la
cantidad de ceros en los que termina es
múltiplo de 2 y el número que lo
“acompaña” es cuadrado perfecto.
Un número será Cubo perfecto, si la
cantidad de ceros en los que termina es
múltiplo de 3 y el número que lo
“acompaña” es cubo perfecto.
Ejemplos:
1440000 = k2
14900  q2, 149 no
es cuadrado perfecto
Ejemplos:
512000000 = K3
42000  q3 , 42 no 
es cubo perfecto 
𝑁 = a1a2…a(n−1)an 00…00 = 𝑘
2
ceros
0
2q
2
𝑁 = a1a2…a(n−1)an 00…00 = 𝑘
3
q3 ceros
0
3
a) Sea M un número el cual puede tener 1 ó más cifras, entonces
→ donde c = 0 , 2 ó 6
b) Un número que termina en 5 es cuadrado perfecto, si y sólo si su cifra de decenas es 2 y el total
de sus centenas es el producto de multiplicar dos números consecutivos.
si y sólo si an=2
• Si un número que termina en 5, no termina en 25, entonces no es cuadrado perfecto.
3.- Según su terminación en cifra cinco:
𝑀52 = 𝑀(𝑀 + 1) 25 = …𝑐25
𝑀53 = …𝑐25 ó …𝑐75 → donde c = 1 ; 3 ; 6 ú 8
Obeservación:
* Todo cuadrado perfecto que termina en cifra “5” termina en “25”.
* Todo cubo perfecto que termina en cifra “5” termina en 25 ó 75.
* El producto de dos enteros consecutivos termina en 0 , 2 ó 6, esto es M (M+1) termina en 0, 2 ó 6.
y = 𝑀. 𝑀 + 1 ,𝑀 ∈ 𝑍+O sea:
• Si un número que termina en 25, no termina en 025, 225 ó 625, entonces no es cuadrado perfecto.
• Si un número que termina en 5, no termina en 25 ó 75, entonces no es cubo perfecto.
𝑁 = a1a2…a(n−1)an 5 = 𝑘
2 a1a2…a(n−1)
4.- Según criterios de divisibilidad:
Veamos algunos casos que nos servirán de modelo para analizar cualquier otro caso.
N
N2
N3
0
8
0
8
0
8
0
8
18
0
 28
0
 38
0
 48
0

18
0
+ 48
0
+ 18
0
+
0
8 38
0

0
8
18
0

Divisibilidad por 8
Recordemos que al dividir un número entre 8 tendríamos la posibilidad de que no haya residuo, en el caso de que haya 
residuo, este podría ser 1, 2, 3 y 4. ahora analizamos los cuadrados y cubos de un número con respecto al 
módulo 8. 

• Un cuadrado perfecto puede ser: , o
• Un cubo perfecto puede ser: , o
En conclusión:
0
8 48
0
+18
0
+
0
8 18
0
 38
0

  
Aplicación 3
Calcule cuántos números de 4 cifras en base 8 hay, que terminen en 4 y sean 
cuadrados perfectos.
Resolución:
𝑁 = = 𝑘2𝑎𝑏𝑐4 8
1000(8) ≤ 𝑘
2 < 10000(8)
512 4096
22,… ≤ 𝐾 < 64 ˄ 𝑘2= 48
0
+ K = 28
0

K : 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62 
Existen 10 números. 
N
N2
N3
0
4
0
4
0
4
14
0
 24
0

14
0
+
0
4
0
414
0

Divisibilidad por 4
Recordemos que al dividir un número entre 4 tendríamos la posibilidad de que no haya residuo, en el caso de que haya 
residuo, este podría ser 1 y 2 . ahora analizamos los cuadrados y cubos de un número con respecto al módulo 4. 
• Un cuadrado perfecto puede ser: ,
• Un cubo perfecto puede ser: ,
En conclusión:
0
4 14
0
+
0
4 14
0


Aplicación 4
Calcule “a”, si es un cuadrado perfecto.
Resolución:
𝑁 = = 𝑘2 Entonces “a” puede ser: 0, 1, 4, 5, 6 o 9
Obs: cero no puede tomar
1444 = 382
a = 4
1𝑎𝑎𝑎
1𝑎𝑎𝑎
1𝑎𝑎𝑎
11 34
0
+ (No es 𝑘
2) 
44
66
55
99
0
4
34
0
+
24
0
+
34
0
+
(No es 𝑘2) 
(No es 𝑘2) 
(No es 𝑘2) 
• Si un número cuadrado perfecto es múltiplo de P entonces será múltiplo de P2
6.- Todo cuadrado perfecto que termina en cifra impar cumple que la cifra de segundo
orden es par
5.- Según divisibilidad por un número primo “P”:• Si un número cubo perfecto es múltiplo de P entonces será múltiplo de P2 y
P3 también.
𝑁 = 𝑚2𝑎 . 𝑛2𝑏 . 𝑝2𝑐
0
pN =
0
2
pN =
𝑁 = 𝑚3𝑎 . 𝑛3𝑏 . 𝑝3𝑐
0
pN =
0
3
pN =
0
2
pN = y
Consecuencia:
Y no existe un cuadrado perfecto de dos o más cifras que tenga todas sus cifras impares.
Notitas interesantes
• El único número
capicúa de 4 cifras que
es cubo perfecto es
1331 = 113
• Los números capicúas
de 3 cifras que son
cuadrados perfectos son
121 = 112, 484 = 222 y
676 = 262
• El único número de la
forma 𝑎𝑎𝑏𝑏 que a la
vez es cuadrado
perfecto es 7744 = 882
• (# impar)par = m8 +1
Aplicación 5
Calcule el valor de “a + b + c” si se cumple: 𝑎𝑎𝑏𝑏 = ഥ𝑐𝑐2.
Resolución:
Por dato: 𝑎𝑎𝑏𝑏 = ഥ𝑐𝑐2
Descomponiendo : 11 𝑥 𝑎0𝑏 = 112𝑥 𝑐2
𝑎0𝑏 = 11𝑥 𝑐2
0
11
0
1
4
5
6
9
704 = 11.82
→ 605 = 11.55
→ 506 = 11.46
→ 209 = 11.19
𝑎 = 7 ; 𝑏 = 4 ; 𝑐 = 8
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 19
Aplicación 6
Determine el número de seis cifras de la forma: 𝑎6𝑏5𝑐0, sabiendo que es un
número cuadrado perfecto.
Resolución:
Por dato: 𝑎6𝑏5𝑐0 = 𝑘2 𝑎6𝑏500 = 𝑘2 → 𝑐 = 0
𝑛2
𝑎6𝑏5 = 𝑛2 𝑎625 = 𝑛2 → b = 5
𝑚. (𝑚 + 1)
𝑎6 = 7. (7 + 1) → a = 5 El número es:
562500
Aplicación 7
Sea “n” la cifra de menor orden que resulta de expresar 𝑁2en la base “7”,
calcular la suma de los distintos valores que puede tomar “n”.
Resolución:
Por dato: 𝑁2 = …𝑛(7) n+
0
7
17
0
=N 27
0
=N 37
0
=N
0
7=N
17
0
2 +=N 47
0
2 +=N 27
0
2 +=N07
0
2 +=N
𝑛 = 0; 1; 2; 4 → 0 + 1 + 2 + 4 = 7
Aplicación 8
Si el número 𝑚 + 𝑛 𝑝𝑞 𝑚 − 2 5 es igual a un cubo perfecto de la forma 𝑚𝑛3.
Calcular: "𝑚. 𝑝 + 𝑛. 𝑞“.
Resolución:
Por dato: 𝑚 + 𝑛 𝑝𝑞 𝑚 − 2 5 = 𝑚𝑛3 → 𝑛 = 5
→ 𝑚 − 2 = 2 𝑜 𝑚 − 2 = 7
→ 𝑚 = 4 𝑜 𝑚 = 9
𝑚 = 4
𝑚 + 𝑛 𝑝𝑞 𝑚 − 2 5 = 453 → 𝑚 + 𝑛 𝑝𝑞 𝑚 − 2 5 = 91125
𝑚. 𝑝 + 𝑛. 𝑞 = 4 . 1 + 5 . (1) = 9
RADICACIÓN
RADICACIÓN 
Es la operación inversa a la potenciación, en la que dado dos números R  Z+ (llamado
radicando) y n  N (llamado índice), tiene por objeto hallar un número “k  Z+ ” (llamado raíz
enésima de “R”), tal que se cumple: 𝑛
𝑅 = 𝑘 ↔ 𝑘𝑛 = 𝑅
Ejemplos: 3 1 331 = 11, Porque 113 = 1 331
5
1 419 857 = 17, Porque 175 = 1 419 857
21
2 097 152 =2, Porque 221 = 2 097 152
RADICACIÓN EXACTA: dado R  Z; y si existe un número “k  Z”, tal que siendo 
n  N, se verifica: , k es la raíz enésima exacta de R𝑛 𝑅 = 𝑘
3
−343 = −7, Porque (−7)3= −343
Radicación aproximada
𝒌
→ 𝑘𝑛< 𝑁 < (𝑘 + 1)𝑛↔ 𝐾 <
𝑛
𝑁 < 𝑘 + 1
a) Raíces por defecto y por exceso en menos de una unidad
Se denomina raíz enésima por defecto en menos de una unidad de un número positivo,
al mayor número natural positivo cuya enésima potencia está contenida en el número
original dado y raíz enésima por exceso al número inmediatamente superior al que
expresa la raíz por defecto.
1
Radicación por 
defecto
Radicación por 
exceso
𝒌 + 𝟏𝑛 𝑁
Error en menos de 
una unidad
Error en menos de 
una unidad
𝒌 + 𝟏: 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜𝒌: 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑘𝑛 (𝑘 + 1)𝑛𝑁
𝑅𝑑 → 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑅𝑒 → 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜
𝑅𝑑 = 𝑁 −𝑘
𝑛 𝑅𝑒 = (𝑘 + 1)
𝑛−𝑁
𝑅𝑑 ≥ 1 𝑅𝑒 ≥ 1
1) 𝑹𝒅 + 𝑹𝒆 = (𝒌 + 𝟏)
𝒏−𝒌𝒏 𝟐)𝑹𝒎𝒊𝒏 = 𝟏 𝟑) 𝑹𝒎𝒂𝒙 = 𝒌 + 𝟏
𝒏 − 𝒌𝒏 − 𝟏
Deducción de las propiedades: raíces aproximadas por defecto y por exceso en menos 
de una unidad
𝑁 = 𝑘𝑛 + 𝑅𝑑 𝑁 = (𝑘 + 1)𝑛−𝑅𝑒
Algoritmo:
𝑁
𝑅𝑑
𝑘𝑛 Algoritmo: 𝑛
𝑁
𝑘+1
𝑅𝑒
PROPIEDADES GENERALES:
0< 𝑹 < (𝒌 + 𝟏)𝒏−𝒌𝒏
Aplicaciones notables:
• 𝑅𝑑 + 𝑅𝑒 = 3𝑘
2 + 3𝑘 + 1
2)Para la raíz cubica (n = 3)
En este caso tenemos:
• 0 < 𝑅 < (𝑘 + 1)2−𝑘2 = 2𝐾 + 1
(𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜)
(𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜)
• 𝑁 = 𝑘2 + 𝑅𝑑
• 𝑁 = (𝑘 + 1)3−𝑅𝑒
• 𝑅𝑑 + 𝑅𝑒 = 2𝑘 + 1
• 𝑅𝑚𝑖𝑛 = 1
• 𝑅𝑚𝑎𝑥 = 2𝐾
1)Para la raíz cuadrada (n = 2)
En este caso tenemos:
• 𝑁 = 𝑘3 + 𝑅𝑑 (𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜)
• 𝑁 = (𝑘 + 1)2−𝑅𝑒 (𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜)
• 𝑅𝑚𝑖𝑛 = 1
• 𝑅𝑚𝑎𝑥 = 3𝐾(𝑘 + 1)
• 𝟎 < 𝑹 < (𝒌 + 𝟏)𝟑−𝒌𝟑 = 𝟑𝑲(𝒌 + 𝟏) + 𝟏
Se debe separar bloques de 2 en 2 de derecha a izquierda.
ALGORITMO DE 𝑁
𝑆𝑖: 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≥ 𝑥𝑦 → 𝑅 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 − 𝑥𝑦2
→ 𝑅 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 − (10𝑥 + 𝑦)2
→ 𝑅 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 − (100𝑥2 + 20𝑥𝑦 + 𝑦2)
→ 𝑅 = 𝑎𝑏. 100 + 𝑐𝑑 − (100𝑥2 + 20𝑥𝑦 + 𝑦2)
→ 𝑅 = 𝑎𝑏 − 𝑥2 𝑐𝑑 − 2𝑥 𝑦. 𝑦
→ 𝑅 = 𝑎𝑏. 100 − 100𝑥2 + 𝑐𝑑 − 𝑦(20𝑥 + 𝑦)
Algoritmo de 𝑁
396583 39 65 83
Al cuadrado se 
aproxime a:
6
36
62 65−3
x2
12 x __ ≤ 3652 2
2
244
121 83
x2
124 x __ ≤ 12 1839 9
9
11241
__942
396 583 = 6292 + 942
Donde:
Raíz = 629
Residuo = 942
Algoritmo de
3
𝑁
• Se forman bloques de 3 cifras de
derecha a izquierda.
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 = 𝑥𝑦3 + 𝑅
 Se extrae la raíz cubica del primer
bloque de la izquierda y se obtiene el
primer resto.
 A la derecha del resto se coloca 3
cifras del bloque siguiente, la
próxima cifra de la raíz debe cumplir
que el resto es:
𝑅 = (𝑎𝑏𝑐 − 𝑥3)𝑑𝑒𝑓 − 30𝑥𝑦 𝑥𝑦 − 𝑦3
3
4 2 3 6 8
Al cubo se 
aproxime a:
3
33 = 2 7
1 5 3 6 8
1 5 3
3. (3)2
2 7
5
300. 3 2 5 + 30 3 5 2 + 5 3 ≤ 15 368
4
300. 3 2 4 + 30 3 4 2 + 4 3 = 12 304
1 2 3 0 4
__ 3 0 6 4
42 368 = 343 + 3 064
Donde: Raíz = 34
Residuo = 3 064
RAÍCES POR DEFECTO Y POR EXCESO EN MENOS DE 
𝒂
𝒃
Problema general: Calcular la raíz enésima de “P” en menos de “ 
𝑎
𝑏
“
𝑘(
𝑎
𝑏
) (𝑘 + 1)(
𝑎
𝑏
)
𝑛
𝑃
𝑎
𝑏
𝑘(
𝑎
𝑏
) <
𝑛
𝑃 < (𝑘 + 1)(
𝑎
𝑏
)
𝑘 <
𝑛
𝑃(
𝑏
𝑎
) < (𝑘 + 1)
𝑘 <
𝑛
𝑃.
𝑏
𝑎
𝑛
< (𝑘 + 1)
Donde:
𝑘
𝑎
𝑏
= 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑃 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎/𝑏.
𝑘 + 1
𝑎
𝑏
= 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜𝑑𝑒 𝑃 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎/𝑏
Ejemplo:
Calcule la 
4
75 en menos de 
2
5
Resolución:
𝑘(
2
5
) <
4
75 < (𝑘 + 1)(
2
5
)
𝑘 <
4
75
5
2
4
< (𝑘 + 1) 𝑘 < 7,357… < (𝑘 + 1)
→ 𝑘 = 7
𝑅𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 = 7
2
5
=2,8
𝑅𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 = 8(
2
5
) = 3,2
4
75 = 2,9428…
Resolución: Error en menos 
de a/b
Error en menos 
de a/b
Tener en cuenta que:
K es la raíz entera de 
𝑛
𝑃.
𝑏
𝑎
𝑛
, es decir 
que: 
k = 
𝑛
𝑃.
𝑏
𝑎
𝑛
RELACIÓN ENTRE LA RAÍZ APROXIMADA Y LA COTA DE ERROR
La aproximación de
𝑛
𝑃 por medio del valor “A”, se denota como
𝑛
𝑃 = A con un error menor que “ε”, cumple
con
𝑛
𝑃 − 𝐴 < 𝜀 donde se tiene:
𝑛
𝑃 es el valor exacto, A es el valor aproximado y “ε” la cota de error
𝑛
𝑃𝐴 − 𝜀 𝐴 + 𝜀
𝐴 − 𝜀 <
𝑛
𝑃 < 𝐴 + 𝜀
𝑛
𝑃 − 𝐴 < 𝜀
Ejemplo:
Resolución:
¿Cuántos números naturales múltiplos de “7” tienen
como raíz cuarta aproximada a 13 con un error menor
a
2
7
.
(13 −
2
7
)4< 𝑃 < (13 +
2
7
)4
26 131,7… < 𝑃 < 31 155,8…
0
7= P
26 131,7. .
7
<
𝑃
7
<
31 155,8…
7
3 733,1… <
𝑃
7
< 4 450,8…
→ 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠: 4 450 − 3 733 = 717
(13 −
2
7
) <
4
𝑃 < (13 +
2
7
)
(𝐴 − 𝜀)𝑛< 𝑃 < (𝐴 + 𝜀)𝑛
Aplicación 9
La raíz cúbica por defecto con un error menor a 0,1 de una fracción irreductible
es 0,9. si la suma de sus términos es 37, la diferencia podría ser:
I. Un número impar. II. Un número primo. III. Un cuadrado perfecto.
Resolución:
3 𝑎
37 − 𝑎
0,9 1
0,1
0,9 <
3 𝑎
37 − 𝑎
< 1
(0,9)3<
𝑎
37 − 𝑎
< (1)3
𝐼
𝐼𝐼
𝐷𝑒 I:
729
1000
<
𝑎
37 − 𝑎
15,6… < 𝑎
𝐷𝑒 II:
𝑎
37 − 𝑎
< 1
𝑎 < 18,5
15,6… < 𝑎 < 18,5
→
16
21
;
17
20
;
18
19
→ 𝑎 = 16; 17; 18
→ 21 − 16 = 5 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 − 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
→ 20 − 17 = 3 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 − 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
→ 19 − 18 =1 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
− 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝐼; 𝐼𝐼; 𝑦 𝐼𝐼𝐼
Aplicación 10
¿Cuántos números menores que 10 000 existen tales que al extraerles su raíz
cuadrada, esta terminó en cifra 4 y deja como residuo 28?
Resolución:
𝑁
𝑁 < 10 000
…4
28
𝑁 = (…4)2+28
(…4)2+28 < 10 000
(…4) < 99,8…
…4 = 94 ; 84; 74 ;… ; 34 ; 24 ; 14 ; 4
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 28
2. 𝑘 = 28
𝑘(𝑚𝑖𝑛) = 14
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠=
(94 − 14)
10
+ 1
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 = 9
Aplicación 11
Si a un número entero se le resta 631, resulta un cubo perfecto, siendo 631 el
mínimo posible con esta propiedad. Halle la suma de las cifras del número dado.
Resolución:
𝑁 − 631 = 𝑘3
(𝑘 + 1)3−631 = 𝑘3
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
(𝑘 + 1)3− 𝑘3 = 631
3𝑘 𝑘 + 1 + 1 = 631
3𝑘 𝑘 + 1 = 630
𝑘 𝑘 + 1 = 210
𝑘 𝑘 + 1 = 15.14
𝑘 = 14 ; 𝑘 + 1 = 15
𝑁 = (𝑘 + 1)3= 153
𝑁 = 3375
→ 3 + 3 + 7 + 5 = 18
Aplicación 12
Si la raíz cúbica de 140 pertenece al intervalo: [a ; b] con un error menor a (1;125),
donde “a” y “b” son racionales, indicar el valor de “b”.
Resolución:
3
140𝑎 𝑏
1
125
= 𝑎 +
1
125
(𝑘 + 1)(
1
125
)(𝑘)(
1
125
)
𝑘 <
3
140
125
1
3
< (𝑘 + 1)
𝑘 < 649,0… < (𝑘 + 1)
𝑘 = 649 𝑦 𝑘 + 1 = 650
𝑏 = 650.
1
125
𝑏 =
26
5
RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
Problema 1
Se tiene el siguiente número cuadrado perfecto: 𝑛 + 1 𝑛(𝑛 + 2)(𝑛 + 3),
calcular la suma de cifras de dicho número.
Resolución:
Por dato: 𝑛 + 1 𝑛(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) = 𝑘2
Descomponiendo polinómicamente:
1101001000
1111. 𝑛 + 1023 = 𝑘2
11(101. 𝑛 + 93) = 𝑘2
0
11=
0
22
11=→ k
0
11
0
1193.101 =+n
000
11)511().211( =+++ n
0
115.2 =+n , 𝑛 ≤ 6
3=n 4356 = 𝑘
2
→ 𝑛 ≤ 6
4 + 3 + 5 + 6 = 18
A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24
Clave “C”
PROBLEMA 2:
¿En qué sistema de numeración existen 41 números de cuatro cifras, que son
cuadrados perfectos?
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
Resolución:
𝑎𝑏𝑐𝑑(𝑛) = 𝑘
2 → 1000(𝑛) ≤ 𝑎𝑏𝑐𝑑(𝑛) ≤ (𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛)
→ 𝑛3 ≤ 𝑘2 ≤ 𝑛4 − 1
→ 𝑛3 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛4 − 1
41 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑛 =8
Clave “E”
PROBLEMA 4:
¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras en el sistema de base once, son
cuadrados perfectos ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución:
𝑎𝑏𝑏𝑎(11) = 𝑘
2
→ 1331𝑎 + 121𝑏 + 11𝑏 + 𝑎 = 𝑘2
→ 1332𝑎 + 132𝑏 = 𝑘2
→ 12(111𝑎 + 11𝑏) = 𝑘2
3. 22
111𝑎 + 11𝑏 = 3𝑞2
0
3
0
3
0
3
→ 111𝑎 + 11(0) = 3𝑞2
0
3=b 𝑥
→ 111𝑎 + 11(3) = 3𝑞2
5
√
→ 111𝑎 + 11(6) = 3𝑞2𝑥
→ 111𝑎 + 11(9) = 3𝑞2
3
√
Clave “C”
PROBLEMA 5:
Resolver : 𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏(𝑐) = 𝑎𝑏(𝑐)
𝑐
, para “a”, “b” y “c” consecutivos, y dé
como respuesta: “a + b - c”.
Resolución:
𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏(𝑐) = 𝑎𝑏(𝑐)
𝑐
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎. 𝑐4 + 𝑎. 𝑐3 + 𝑎. 𝑐2 + 𝑏. 𝑐 + 𝑏 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏 𝑐
𝑐 = 2 → 𝑎 = 1 𝑦 𝑏 = 0𝑥
𝑐 = 3 → 𝑎 = 1 𝑦 𝑏 = 2 √
𝑐 = 4 → 𝑎 = 2 𝑦 𝑏 = 3
→ 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 2
𝑥
𝑥
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 2 + 1 − 3 = 0
Clave “A”
A) 0 B) 1 C) 4 D) 5 E) 11
PROBLEMA 8:
¿Cuántos números de tres cifras existen en el sistema de base nueve que al
elevarlos al cuadrado resulten múltiplos de 43 más 27(9)?
A) 20 B) 27 C) 30 D) 31 E) 41
Resolución:
)9(
0
2
)9( 2743)( +=abc
2543)(
0
2
)9( +=abc
2
0
2
)9( )543()( =abc
543
0
)9( =abc
)9()9()9( 888100  abc
)9(
0
)9( 888543100 
72854381
0

81 ; 124 ; 167 ;… ; 726 91 ; 134 ; 177 ;… ; 693
543
0
− 543
0
+
1
43
81726
)( +
−
=NC
16)( =NC
1
43
91693
)( +
−
=NC
15)( =NC
311516)( =+=−NTOTALC Clave “D”
PROBLEMA 10:
Sea “a” la cifra de menor orden que resulta de expresar 𝑃3en la base “9”,
entonces la suma de los valores que toma “a” puede ser:
I. Un número impar. II. Un número primo. III. Un cuadrado perfecto.
RESOLUCIÓN
Por dato: 𝑃3 = …𝑎(9) a+
0
9
19
0
=P 29
0
=P 39
0
=P
0
9=P
19
0
3 =P 89
0
3 =P
0
3 9=P
0
3 9=P
→ 0 + 1 + 8 = 9
49
0
=P
19
0
3 =P
𝑃3 = …𝑎(9) = … .0(9) = … .1(9) = … .8(9)
𝐼𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
Clave “E”
A) I B) II C) III D) I y II E) I y III
Problema 24:
Un número capicúa de cinco cifras, tiene como raíz cuadrada a otro capicúa de
tres cifras. Si la raíz cuadrada de este último número también es capicúa, luego la
suma de cifras del número capicúa de 5 cifras es:
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎 = 𝑥𝑦𝑥
A) 13 B) 14 C) 16 D) 23 E) 26
𝑥𝑦𝑥 = 𝑧𝑧
𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎 = 𝑥𝑦𝑥2 𝑥𝑦𝑥 = 𝑧𝑧2
𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎 = 𝑥𝑦𝑥2 = 𝑧𝑧4 → 𝑍𝑍 = 11
→ 𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎 = 114 → 𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎 = 14641
Entonces la suma de cifras: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 Clave “C”
Al extraer la raíz cúbica de 9 26𝑏 𝑐𝑑𝑒, se obtuvo como resto 358.
El valor de (b + c + d + e) es:
PROBLEMA 15:
RESOLUCIÓN
A) 13 B) 15 C) 16 D) 17 E) 19
Se tiene: → 9 260 000 ≤ 9 26𝑏 𝑐𝑑𝑒 ≤ 9 269 999
→
3
9 260 000 ≤
3
9 26𝑏 𝑐𝑑𝑒 ≤
3
9 269 999
→ 209, 99… ≤ 9 26𝑏 𝑐𝑑𝑒 ≤ 210,06…
→ 9 26𝑏 𝑐𝑑𝑒 = 2103 + 358
→ 9 26𝑏 𝑐𝑑𝑒 = 9 261 358
Entonces la suma de cifras: b + c + d + e = 1 + 3 + 5 + 8 = 17 Clave “D”
En una reunión hay menos de 100 personas y se observa lo siguiente:
Caballeros solteros:𝐶𝑠, Caballeros casados:𝐶𝑐 Damas solteras: 𝐷𝑠, Damas : D, Niños: N.
El número de caballeros solteros es igual a la raíz cuadrada del número de damas.
Las damas solteras son iguales a la raíz cúbica del total de damas.
El número de niños es igual a la raíz cuadrada por exceso, en menos de 1 unidad, del número de
damas casadas. ¿Cuántos caballeros son casados si 1/17 de los caballeros fuman?
PROBLEMA 17:
A) 17 B) 14 C) 10 D) 9 E) 8
RESOLUCIÓN
→ 𝐶 + 𝐷 + 𝑁 < 100
𝐶𝑠 = 𝐷
Damas casadas = 64 −
3
64 = 60, 
𝐷𝑠 =
3
𝐷
𝐷 = 𝑘6 → 𝐾 = 2
𝐷 = 26 =64 → 𝐶𝑠= 64 = 8 → 𝐷𝑠=
3
64 = 4
→ 𝐶 + 64 + 𝑁 < 100 → 𝐶 + 𝑁 <36
N es la raíz cuadrada entera por exceso: = 8
→ C < 36 - 8 → C < 28
0
17=C C = 17
→ 𝐶𝐶= 17 − 8 → 𝐶𝐶= 9 Clave “D”
Calcular
3 16,66666… . con una aproximación en menos de 0,6666…. por
defecto y por exceso. Dar como respuesta la suma de ambas aproximaciones.
PROBLEMA 20:
A) 14/3 B) 13/3 C) 11/3 D) 7/3 E) 5/3
RESOLUCIÓN
16,666… = 16, ෠6
16, ෠6 =
166 − 16
9
16, ෠6 =
50
3
0,666… = 0, ෠6
0, ෠6 =
6
9
0, ෠6 =
2
3
𝑘(
2
3
) <
3 50
3
< (𝑘 + 1)(
2
3
)
𝑘 <
3 50
3
3
2
3
< (𝑘 + 1)
𝑘 < 3,831… < (𝑘 + 1)
𝑘 = 3 𝑦 𝑘 + 1 = 4
Donde:
3
2
3
→ Raíz cúbica por defecto. 
4
2
3
→ Raíz cúbica por exceso. 
3
2
3
+ 4
2
3
=
14
3
Clave “A”
¿Cuántos números naturales múltiplos de tres cumplen que su raíz de orden 5, se
aproxima a 50 con un error menor que (1; 44)?
PROBLEMA 22:
A) 95 B) 130 C) 166 D) 175 E) 189
RESOLUCIÓN
50 −
1
44
<
5
𝑁 < 50 +
1
44
( 50 −
1
44
)5< 𝑁 < ( 50 +
1
44
)5
17 395,3… < 𝑁 < 17 963,5…
0
3= N
17 395,3. .
3
<
𝑁
3
<
17 963,5…
3
5 798,4… < 𝑁/3 < 5 987,8…
→ 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠:
5 987 − 5 798 = 189
Clave “E”
La raíz cuadrada por exceso de (n–2; n) con un error menor que (1; n) es una
fracción cuya suma de términos es:
Tenemos los datos: error de aproximación:
1
𝑛
PROBLEMA 25:
A) n – 2 B) n – 1 C) 2n – 1 D) 2n – 3 E) 3n – 1
RESOLUCIÓN
Radicando :
𝑛−2
𝑛
𝑘(
1
𝑛
) <
𝑛 − 2
𝑛
< (𝑘 + 1)(
1
𝑛
)
→ 𝑘 <
𝑛 − 2
𝑛
𝑛
1
< (𝑘 + 1)
→ 𝑘 <
𝑛 − 2
𝑛
𝑛
1
2
< (𝑘 + 1)
→ 𝑘 < 𝑛2 − 2𝑛 < (𝑘 + 1)
→ 𝑘 < 𝑛2 − 2𝑛 + 1 − 1 < (𝑘 + 1)
→ 𝑘 < (𝑛 − 1)2−1 < (𝑘 + 1)
→ 𝑘 < 𝑛 − 2 ,… . . < (𝑘 + 1)
→ 𝑘 = 𝑛 − 2 𝑦 𝑘 + 1 = 𝑛 − 1
→ 𝑅𝑒 =
𝑛 − 1
𝑛
→ 𝑛 − 1 + 𝑛
→ 2𝑛 − 1
Clave “C”