inecuaciones con valor absoluto

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UNIVERSIDAD TECNLOGICA METROPOLITANA 
 DEPARTAMENTO DE MATEMATICA 
CALCULO 1 P.C.I. 
 
 
 
1 
INECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. 
Si a es un número real, el “Valor Absoluto” de a es: 
a 2a=
0
0
,
,
≥
<




−
=
a
a
si
si
a
a
 
PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO 
Sean a y b son números reales. Entonces: 
1 0=a si y solo si 0=a . 
2 Positividad: 0≥a 
3 Desigualdad triangular: baba ++≤+ 
4 baba ⋅=⋅ (El valor absoluto del producto es igual al producto de los respectivos 
 valores absolutos) 
5 
b
a
b
a = , si 0≠b (El valor absoluto del cociente es igual al cociente de los 
respectivos valores absolutos). 
6 Si ob ≥ , ba = si y solo si ( ba = ∨ ba −= ) 
7 Si ob ≥ , ba ≤ si y solo si bab ≤≤− 
8 Si 0≥b , ba ≥ sí y solo sí ( ba −≤ ∨ ba ≥ ) 
9 Si ob > , ba < si y solo si bab ≤<− 
10 Si 0≥b , ba > sí y solo sí ( ba −< ∨ ba > ) 
 
UNA PREGUNTA INTERESANTE: ¿Verdadero o Falso? 
¿El valor absoluto de la suma es igual a la suma de los valores absolutos? 
Escriba su respuesta y recuérdela ……. cuando resuelva ecuaciones e inecuaciones con 
valor absoluto. 
 
 
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO QUE SE PUEDEN 
EXPRESAR EN UNA DE LAS SIGUIENTES “FORMAS TÍPICAS”: 
 
bu = bu ≤ bu < bu ≥ bu > 
 
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2 
Donde u es una expresión que depende de la incógnita x y b es un número real mayor 
o igual cero. 
PROCEDIMIENTO 
Se emplean las propiedades 6, 7 8, 9 ó 10, respectivamente obteniendo una ecuación o 
una inecuación EQUIVALENTE sin valor absoluto. 
Luego, aplique procedimientos indicados en Taller anterior. 
 
Ejemplos: 
1. 13 =+x (forma típica bu = ) 
si y solo si ( 13 =+x ∨ 13 −=+x ) según propiedad 6 
si y solo si ( 2−=x ∨ 4−=x ). ¿…………………………? 
Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es: 
{ }2,4−−=S . 
 
2 (Este ejemplo muestra que en algunos caso aplicaremos otras propiedades de valor 
absoluto, antes de llegar a una “forma típica”) 
 La inecuación 763510 ≤−−− xx 
 equivale con ( ) ( ) ( ) 72325 ≤−⋅−−⋅− xx acá factorizamos 
si y solo si ( ) ( ) ( ) 72325 ≤−⋅−−⋅− xx ¿……………………..? 
si y solo si 2
72 ≤−x ¿……………………..? 
(Acá llegamos a la forma típica bu ≤ con 2−= xu y 7=b ) 
 si y solo si 2
7
2
7 2 ≤−≤− x ¿……………………..? 
 si y solo si 2
11
2
3 ≤≤− x ¿……………………..? 
 Por lo tanto, el conjunto solución es de la inecuación es: 



−=
2
11
,
2
3
S . 
 
3. 62 >− xx (forma típica bu > ) 
ssi ( 62 −<− xx ∨ 62 >− xx ) ¿……………………..? 
ssi ( 062 <+− xx ∨ 062 >−− xx ) ¿……………………..? 
ssi ( Φ∈x ∨ ( ) ( ) 032 >−⋅+ xx ) ¿…………y..………..? 
ssi ∈x ( ] [ ] [∞−∞− ,32, U ) ¿……………………..? 
 
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3 
Por lo tanto, el conjunto solución es: 
] [ ] [∞−∞−= ,32, US . 
 
4. 3
16
52 ≤
+
−
x
x
 (forma típica bu ≤ ) 
ssi 3
16
52
3 ≤
+
−≤−
x
x
 ¿……………………..? 
ssi 
16
52
3
+
−≤−
x
x
 ∧ 3
16
52 ≤
+
−
x
x
 ¿……………………..? 
ssi 
( )
0
16
16352 ≥
+
+⋅+−
x
xx
 ∧ ( ) 0
16
16352 ≤
+
+⋅−−
x
xx
 ¿……………………..? 
ssi 0
16
220 ≥
+
−
x
x
 ∧ 0
16
816 ≤
+
−−
x
x
 ¿……………………..? 
(Para obtener la siguiente equivalencia, obtenga los “cuadros de variación de signos” de 
cada una de estas dos inecuaciones.) 
ssi ] [ [ [( ) ] ] ] [( )∞−−∞−∞−∞−∈ ,,,, 612110161 UIUx 
(Repase Intervalos. Vea ejemplos de uniones e intersecciones) 
ssi ] ] [ [( )∞−∞−∈ ,, 10121 Ux 
Por lo tanto, el conjunto solución es: 
] ] [ [∞−∞−= ,, 10121 US . 
 
ACTIVIDAD 
Resuelva las siguientes inecuaciones: 
1 71 =+x 2 1041 >− x 3 1692 ≥−x 
4 652 ≤− xx 5 1
2
4 <
+
−
x
x
 6 10
25
31 ≥
−
−
x
x
 
7 33244637 >−⋅+−⋅ xx 8 542455 −−≤−⋅ xx 
9 110=+x 10 293 >++x 11 9910153 ≤+−x 
12 3657 ≥+− x 13 xx −=− 11 14 22 2575 xx −=− 
15 
22 7525 xx −≤− 16 22 2575 xx −<+ 17 22 2525 xx −=− 
AYUDAS: 
1 Los ejercicios 1, 2, 3, 4, 5 y 6 corresponden inmediatamente “formas típicas”. 
2 Los ejercicios 7 y 8 se pueden llevar a las formas típicas bu > y bu ≤
 respectivamente. 
3 Los ejercicios 9, 10, 11, 12 13, 14 y 15 no corresponden a “formas típicas”: 
3.1 Explique claramente porqué no corresponden a “formas típicas”. 
 
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4 
3.2 Resuelva los ejercicios 9, 10, 11, 12 13, 14 y 15. 
 
RESPUESTAS: 
1 { }6,8−=s 2 ] [ ] [∞−∞−= ,, 41149 Us 
3 ] ] [ [∞−∞−= ,55, Us 4 [ ] [ ]6,32,1 U−=s 
5 ] [∞= ,1s 6 [ ] { }5247195321, −=s 
7 ] ] [ [∞∞−= ,, 29162913 Us 8 [ ]3467 ,=s 
9 Φ=S 10 IRs = 
11 Φ=S 12 IRs = 
13 IRs = 14 { }25,25−=S 
15 [ ]25,25−=S 16 Φ=S 
17 [ ]5,5−=S 
 
 
OTRAS ECUACIONES E INECUACIONES EN LAS QUE APARECE LA INCOGNITA 
EN EXPRESIONES QUE INVOLUCRAN VALOR ABSOLUTO 
Se resuelven analizando casos que quedan determinados por los “puntos críticos”, 
entendiendo que son puntos críticos cada uno de los números reales en los que 
obtenemos cero al reemplazarlos en numeradores y/ó denominadores en una o más 
expresiones que aparecen en valor absoluto. 
PROCEDIMIENTO 
Cuando hay n puntos críticos analizamos 1´ +n casos. 
Cada caso corresponde a uno de los 1+n intervalos de la recta 
real obtenidos al ubicar los n puntos críticos sobre la recta, 
incluyendo cada punto crítico en solo uno de los casos. 
 
La solución de cada caso se DEBE INTERSECAR con el intervalo 
correspondiente a tal caso 
 Cuando no intersecamos con el intervalo, 
podríamos estar incluyendo seudo soluciones. 
 
La solución de la ecuación o inecuación de este tipo se 
obtiene uniendo las soluciones de los 1+n casos. 
 
EJERCICIO: 
 
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5 
Resuelva los ejemplos 1, 2, 3 y 4 de las páginas 2 y 3 empleando análisis por casos. 
 
EJEMPLOS 
1 Para resolver la inecuación: 
 86792351 −+>−⋅+− xxx 
Observamos en primer lugar que tres hay puntos críticos 7
6− , 51 y 29 ya que: 
051 =− x ssi 51=x ; 092 =−x SSI 29=x y 067 =+x ssi 76−=x 
Observando los tres puntos críticos en la recta real: 
 Caso 1 7
6− Caso 2 51 Caso 3 29 Caso 4 
 
nos percatamos que el análisis en casos es factible en las siguiente dos formas: 
 Forma 1 
] ]
] ]
] ]
] [∞
−
−∞−







,
,
,
,
4
3
2
1
2
9
2
9
5
1
5
1
7
6
7
6
Casso
Caso
Caso
Caso
 
 Forma 2 
] [
[ [
[ [
[ [∞
−
−∞−







,
,
,
,
4
3
2
1
2
9
2
9
5
1
5
1
7
6
7
6
Casso
Caso
Caso
Caso
 
Observe que no es factible otra forma por la condición: “incluyendo cada punto crítico en 
solo uno de los casos”. 
A continuación desarrollamos la “Forma 1”,( queda de tarea resolver empleando Forma 2) 
teniendo presente que: 
5
1
5
1
,
,
15
51
51
≥
≤



−
−
=−
x
x
si
si
x
x
x , 
2
9
2
9
,
,
92
29
92
≥
≤



−
−
=−
x
x
si
si
x
x
x y 
7
6
7
6
,
,
67
67
67
−≥
−≤



+
−−
=+
x
x
si
si
x
x
x 
Lo que resumimos a continuación: 
 
 
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CALCULO 1 P.C.I.6 
 ] ]76,−∞− ] ]5176 ,− ] ]2951 , ] [∞,29 
=+ 67x 67 −− x 67 +x 67 +x 67 +x 
=− x51 x51− x51− 15 −x 15 −x 
=− 92x x29− x29− x29− 92 −x 
 
 
Caso 1: ] ]76,−∞−∈x , la inecuación queda: 
( ) ( ) ( ) 86729351 −−−>−⋅+− xxx ssi 221<x . 
Luego, el conjunto solución del caso 1 es: 
 ] [ ] ]762211 ,, −∞−∞−= IS ] ]76,−∞−= . 
Caso 2: Sí ] ]5176 ,−∈x , la inecuación queda: 
( ) ( ) ( ) 86729351 −+>−⋅+− xxx ssi 35<x 
Luego, el conjunto solución en este intervalo es: 
] [ ] ]5176352 ,, −∞−= IS ] ]5176 ,−= . 
Caso 3: Sí ] ]2951 ,∈x , la inecuación queda: 
( ) ( ) ( ) 86729315 −+>−⋅+− xxx ssi 27<x 
Luego, el conjunto solución del caso 3 es: 
] [ ] ]2951273 ,, I∞−=S ] [2751 ,= . 
Caso 4: Sí ] [∞∈ ,29x , la inecuación queda: 
 ( ) ( ) ( ) 86792315 −+>−⋅+− xxx ssi 213>x . 
Luego, el conjunto solución en este intervalo es: 
] [ ] [∞∞= ,, 292134 IS ] ]∞= ,213 . 
Finalmente, el conjunto solución S de la inecuación lo obtenemos uniendo las soluciones 
obtenidas en los cuatro casos (….explique porqué!!!). Es decir: 
4321 SSSSS UUU= ] [ ] [∞∞−= ,, 21327 U . 
2. Para resolver la inecuación: 
1039 22 ++≤− xxx 
Observamos que: 
 92 −x





−
−
−
=
,
,
,
9
9
9
2
2
2
x
x
x
 
sí
sí
sí
 
3
33
3
≥
≤≤−
−≤
x
x
x
 
 
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7 
 y xx 32 +





+
−−
+
=
,
,
,
3
3
3
2
2
2
xx
xx
xx
 
sí
sí
sí
 
0
03
3
≥
≤≤−
−≤
x
x
x
 
Luego hay tres puntos críticos, estos son 3− , 0 y 3 por lo que consideramos los 
siguientes cuatro casos: 
 
 Caso 1 3− Caso 2 0 Caso 3 3 Caso 4 
 
Caso 1: Si ] ]3,−∞−∈x , la inecuación queda: 
( ) ( ) 1039 22 ++≤− xxx ssi 319−≥x . 
 Luego la solución en este intervalo (caso) es: 
[ [ ] ]3,,3191 −∞−∞−= IS [ ]3,319 −−= 
Caso 2: si ] ]0,3−∈x , la inecuación queda: 
( ) ( ) 1039 22 +−−≤− xxx ssi 31≤x . 
Luego la solución en este intervalo es: 
] ] ] ]0,3, 312 −∞−= IS ] ]0,3−= . 
Caso 3: Si ] ]3,0∈x , la inecuación queda: 
( ) ( ) 1039 22 ++≤− xxx ssi 0132 2 ≥++ xx (inecuación cuadrática) 
ssi ( ) 0
2
1
12 ≥




 ++ xx (recuerde y refuerce factorización) 
ssi ] ] [ [( )∞−−∞−∈ ,1, 21Ux 
Luego, la solución en este caso es: 
] ] [ [( ) ] ]3,0,1, 213 IU ∞−−∞−=S ] ]3,0= . 
Caso 4: Si ] [∞∈ ,3x , la inecuación queda: 
( ) ( ) 1039 22 ++≤− xxx ssi 319−≥x . 
Luego, la solución en este intervalo es: 
[ [ ] [∞∞−= ,3,3191 IS ] [∞= ,3 . 
Teniendo presente los casos 1, 2 y 3 y 4 obtenemos la solución de la inecuación: 
4321 SSSSS UUU= = [ [∞− ,319 . 
Ejercicios: 
Resuelva las siguientes inecuaciones: 
 
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CALCULO 1 P.C.I. 
 
 
 
8 
1 x - 5+x 3≤ 2 7521 >−−+ xx 
3 xxx 213527 −+−<+ 4 xxx +=− 22 4 
5 1
31
4 ≥
+
+
−
−
x
x
x
x
 6 3
2
2
>+
x
x
 
 
Respuestas: 
1 [ [∞−= ,4S 2 Φ=S 3 ] [71,∞−=S 
4 { }4,, 4 3314 331 −= +−−−S 5 ] ] { }( ) [ [∞+−−∞−= ,1321,33, US 
6 ] [ { }( ) ] [ ] [∞+−−∞−−−−= ,5353,053,35 UUS .