Q07_spin_22

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Física Teorica 2
CLASE 7. SPIN DEL ELECTRON
J. E. Miraglia
Departamento de Física. Facultad de Ciencias Exactas
y Naturales. Universidad de Buenos Aires. Argentina.
(Dated: April 25, 2017)
Abstract
MOMENTO MAGNETICO Y SPIN CLASICO. Precesión de un dipolo magnetico en un campo
magnético constante: Larmour. Movimiento de un dipolo magnético en un campo magnético vari-
able.
MECANICA CUANTICA. Spin. Spin 1/2. Rotaciones. Mediciones del spin. Experimento de
Stern Gerlach (1922).
MOMENTO MAGNETICO DE SPIN. Precesión de Larmour: tratamiento cuántico
APENDICE. Spin a lo largo de un eje arbitrario
REPASO DE FISICA 3
Falta: de todo
PACS numbers:
1
A. MOMENTO MAGNETICO Y SPIN CLASICOS
Como se vio en Física 3, un partícula puntual de carga q y masa m que se mueve en una
órbita caracterizada por un momento angular orbital
−→
L posee un momento magnético
orbital µL dado por
−→µ L =
q
2m
−→
L . (1)
Recordemos que el momento angular
−→
L = −→r ×−→p , con −→p = m−→v .
Si tuviesemos un cuerpo rígido cargado rotante también vale la misma expresión in-
cluyendo el momento angular de spin
−→
S
−→µ S =
q
2m
−→
S , (2)
donde ahora
−→
S = I−→ω , siendo I el momento de inercia y ω la velocidad angular.
B. Precesión de un dipolo magnetico en un campo magnético constante: Larmour.
En Física 3 también se vió que −→µ en presencia de una campo magnético constante B
sufre un torque −→τ y tiene una energía potencial U dada por
−→τ = −→µ ×−→B = torque, (3)
U = −−→µ · −→B = energía, (4)
de esta última resulta que si B = cte entonces U = cte y
−→
F =-
−→∇U = 0 y por lo tanto no hay
una fuerza neta: el centro de masa queda en reposo (o se mueve con velocidad constante).
Pero existe un torque que hace rotar al momento magnético. Sus ecuaciones de moviminto
clásicas estarán dadas por (Goldstein)
d
−→
S
dt
= −→τ = −→µ ×−→B = q
2m
−→
S ×−→B. (5)
Lo hemos hecho para spin el
−→
S pero vale tambíen para el orbital
−→
L . Como d
−→
S es perpen-
dicular a
−→
S , su modulo S =
∣∣∣−→S
∣∣∣, permanece constante y representa un movimiento de −→S
alrededor de la dirección de
−→
B con velocidad angular
ωL =
qB
2m
= frecuencia de Larmour. (6)
Resulta entonces un movimiento circular uniforme y en Mecánica se lo conoció como prece-
sión de Larmour.
2
FIG. 1:
C. Movimiento de un dipolo magnético en un campo magnético variable
Volviendo nuevamente a Física 3, se vió que −→µ en presencia de una campo magnético
ahora variable B -aparte de la precesión de Larmour local´- sufre una fuerza dada por
−→
F = −−→∇U = −−→∇
(
−−→µ · −→B
)
=
(−→µ · −→∇
)−→
B, (7)
= µx
∂Bx
∂x
êx + µy
∂By
∂y
êy + µz
∂Bz
∂z
êz. (8)
Supongamos un campo magnético variable en la dirección z del tipo lineal
Bz = B0 + αz,
formalmente debemos generalizarlo a
−→
B = (−αx)êx + (B0 + αz)êz. (9)
La componente en x la consideramos para satisfacer la condición
−→∇ · −→B = ∂Bx
∂x
+
∂Bz
∂z
= −α+ α = 0, (10)
como debe ser (aunque nos interesaremos solamente en la deflección en z). Supongamos
α < 0, entonces,
Fz = µz
∂Bz
∂z
= −µz |α| ⇒



µz > 0, Fz < 0, para abajo
µz < 0, Fz > 0, para arriba
. (11)
Clásicamente uno debería ver en la pantalla de salida una distribución constante entre dos
limites (DelaPeña)
3
D. MECANICA CUANTICA
En el experimento anterior no se ve un continuo, sino que hay 2S + 1 picos bien
definidos.
En particular, el electrón presenta sólo dos correspondientes a ms = −12 y +12 , ver
figura (es esencialmente el experimento de Stern Gerlagh que veremos mas adelante) . No
es impar, con lo que no puede asociarse a un momento angular orbital. Cuando se trata
de momento angulares entonces vale obviamente la misma expresión: por lo que presenta
2L + 1 picos (siempre número impar!) correspondientes a la proyecciones ml = −l, −l +
1, 0, l − 1, l.
En general tratandosé de spin se encuentra un número par o impar de picos, corre-
spondientes a ms = −s/2, −s/2 + 1, s/2− 1, s/2. Otros valores de s de interés son
s = 0, mesones Pi
s = 1/2, electrones, positrones protones neutrones...
s = 1, fotones
s = 3/2, part´culas delta
s = 2, gravitones
E. Spin
La evidencia experimental entonces nos dice que en general las partículas tienes un mo-
mento magnético intrinseco−→µ S caracterizado como cualquier momento angular por S2 y Sz,
y satisface las mismas propiedades que
−→
L , o sea,
−̂→
S = (Ŝx, Ŝy, Ŝz), (12)
S2 |s m〉 = ℏ2s(s+ 1) |s m〉 , (13)
Sz |s m〉 = ℏm |s m〉 . (14)
El operador
−̂→
S satisface las propiedades generales de cualquier momento angular, a
veces llamadas trademarks
4
[ Ŝ2, Ŝx] = [ Ŝ
2, Ŝy] = [ Ŝ
2, Ŝz] = 0, (15)
[ Ŝ2,
−̂→
S ] = 0, (16)
[ Ŝx, Ŝy] = i�Ŝz, [ Ŝy, Ŝz] = i�Ŝx....[ Ŝz, Ŝx] = i�Ŝy, (17)
También se pueden definir los operadores escaleras
Ŝ± = Ŝx ± iŜy, (18)
Ŝx =
Ŝ+ + Ŝ−
2
, Ŝy =
Ŝ+ − Ŝ−
2i
, (19)
que operan así
S± |s m〉 = �
√
s(s+ 1)−m(m± 1) |s ±m〉 . (20)
Hasta aca hemos hecho un simple cut and paste remplazando L̂ por Ŝ
I. SPIN 12
Es el mas importante debido a que es el spin de los electrones. De la misma manera que
llamamos en el caso orbital al ket |l ml〉 ; introducimos los kets |s ms〉 =
∣∣1
2
,± 1
2
〉
, aunque
hay diferentes notaciones, por ejemplo



∣∣1
2
,+ 1
2
〉
= |+〉 = χ+ = α = ↑ =

 1
0


∣∣1
2
,− 1
2
〉
= |−〉 = χ− = β = ↓ =

 0
1


. (21)
(Notas de CT 141 y Sakurai) " Uno está siempre con ganas de encontrar la forma de la base
del momento de spin en términos de {θ, ϕ} tal como lo es el momento angular (recordemos
que el ket |l m〉 tiene una expresion y es el armónico esférico: 〈r̂ |l m〉 = Y mll (θ, ϕ)). El
intento es futil (! Sakurai), ya que no deriva de de ninguna variable de posición y momento.
Hay varios intentos fallidos tales como proponer Y
±1
2
1
2
(θ, ϕ) pero es inutil. Entonces el
momento angular del spin no se deriva de ninguna variable de posición y momento. El
electrón aquí no tiene extensión espacial: es un punto. Formalmente el spin NO tiene un
análogo clásico".
5
Si con momentos angulares escribiamos φL = Σmalm |l m〉 , ahora con el spin será
φS = a
∣∣∣∣
1
2
,+
1
2
〉
+ b
∣∣∣∣
1
2
,− 1
2
〉
= a |+〉+ b |−〉 = aχ+ + bχ−, (22)
= a

 1
0

+ b

 0
1

 =

 a
b

 = espinores. (23)
En este espacio cualquier operador se va a representar por matrices 2 × 2. La base para
expresar cualquier operador será sólo 4 y se llaman matrices de Pauli
σx =

 0 1
1 0

 , σy =

 0 −i
i 0

 , σz =

 1 0
0 −1

 , 1̂ =

 1 0
0 1

 , (24)
y obedecen las siguientes reglas
σ2x, = σ
2
y = σ
2
z = 1̂, (25)
σxσy + σyσx = 0, (26)
σxσy = iσz, (27)
σjσk = δjk + i
∑
l
εjklσkσl (ijk ≡ xyz), (28)
Tr(σx) = Tr(σy) = Tr(σz) = 0, (29)
Det(σx) = Det(σy) = Det(σz) = −1, (30)
σx,σy, σz, hermíticos⇒ observables. (31)
En total analogía con el momento angular, se define entonces
−̂→
S =
ℏ
2
−̂→σ =
(
Ŝx, Ŝy, Ŝz
)
, (32)
(33)
Ŝx =
ℏ
2
σ̂x, Ŝy =
ℏ
2
σ̂y, Ŝz =
ℏ
2
σ̂z, (34)
que satisface como vimos
Ŝ2 = Ŝ2x + Ŝ
2
y + Ŝ
2
z =
3
4
ℏ
2

 1 0
0 1

 = 3
4
ℏ
2 1̂.
6
Podemos verificar todas las relaciones haciendo algebra muy simple.
Ŝ2χ+ =
3
4
ℏ
2χ+ ,
3
4
ℏ
2

 1 0
0 1

×

 1
0

 = 3
4
ℏ
2

 1
0

 ,
Ŝ2χ− =
3
4
ℏ
2χ− ,
3
4
ℏ
2

 1 0
0 1

×

 0
1

 = 3
4
ℏ
2

 0
1

 ,
Ŝzχ+ =
ℏ
2
χ+ ,
ℏ
2

 1 0
0 −1

×

 1
0

 = ℏ
2

 1
0

 ,
Ŝzχ− = −± ℏ2χ− , ℏ2

 1 0
0 −1

×

 0
1

 = −ℏ
2

 0
1

 .
(35)
De la misma manera se puede probar que [ Ŝ2, Ŝx/y/z] = 0. Entonces, como era de esperar, χ±
son autofunciones de Ŝ2y Ŝz con autovalores
3
4
ℏ
2 y ±ℏ/2.
Debemos notar algo muy importante hemos elegido la base del espinor χ± en términos
de Ŝz, por lo que deberíamos haberlos llamado
χ
(z)
± = χ± porque Ŝzχ
(z)
± = ±
ℏ
2
χ
(z)
± . (36)
Si quisiese obtener el autovalor de Ŝx elijo
χ
(x)
+ =
1√
2

 1
1

 , y χ(x)− =
1√
2

 1
−1

 (37)
ya que
Ŝxχ
(x)
+ =
ℏ
2
χ
(x)
+ ,
ℏ
2

 0 1
1 0

×

 1
1
 1√
2
= ℏ
2

 1
1

 1√
2
,
Ŝxχ
(x)
− = −ℏ2χ
(x)
− ,
ℏ
2

 0 1
1 0

×

 1
−1

 1√
2
= −ℏ
2

 1
−1

 1√
2
.
(38)
De la misma manera podemos eligir los autovalores de Ŝy
χ
(y)
+ =
1√
2

 1
i

 , y χ(y)− =
1√
2

 1
−i

 , (39)
porque satisface
Ŝyχ
(y)
± = ±
ℏ
2
χ(y)± . (40)
7
Obviamente valen los siguientes productos escalares
χ
(z).†
± · χ(z).± = 1, χ(x).†± · χ(x).± = 1, χ(y).†± · χ(y).± = 1, (41)
(42)
χ
(z).†
+ · χ(z).− = 0, χ(x).†+ · χ(x).− = 0, χ(y).†+ · χ(y).− = 0. (43)
Pero tener cuidado ya 


χ
(x).
± =
1√
2
(
χ
(z).
+ ± χ(z).−
)
χ
(y).
± =
1√
2
(
χ
(z).
+ ± i χ(z).−
) , (44)
entonces
χ
(x) †
+ · χ(y).± =
1± i
2
�= 0, (45)
χ
(x) †
− · χ(y).± =
1∓ i
2
�= 0. (46)
A. Rotaciones
DelaPeña: "Los espinores son objetos matemáticos que deben distinguirse claramente de
otros objetos con varias componentes, como podría ser, por ejemplo, un vector en el plano.
En particular, las propiedades de transformación de los espinores frente a rotaciones del
sistema coordenado les son peculiares y, de hecho, son las que se utilizan para definirlo".
Tal como vimos en la clase de leyes de conservacion introducimos la rotación alrededor de
n̂ dada por
−→
δθ×−→r tiene como generador al operador momento angular L (copio textual)
R̂
(L)
−→
θ
= e−
i
ℏ
θn̂·−̂→L (47)
Aquí es exactamente los mismo: el operador de rotaciones por el ángulo alrededor de un eje
n̂ que pasa por el origen. es:
R̂n̂(θ) = e
− i
ℏ
θn̂·−̂→S = e−
i
2
θn̂·−̂→σ (48)
donde hemos reemplazado el operador momento angular
−̂→
L por el de spin
−̂→
S . y hemos
usado
−̂→
S = ℏ
2
−̂→σ sabiendo que −̂→σ = (σ̂x, σ̂y, σ̂c). Desarrollando la exponencial en una serie
de potencias
R̂n̂(θ) =
∑
k
1
k!
(
− i
2
θ n̂ · −̂→σ
)k
, (49)
=
∑
k
1
(2k)!
(
−iθ
2
)2k (
n̂ · −̂→σ
)2k
+
∑
k=0
1
(2k + 1)!
(
−iθ
2
)2k+1 (
n̂ · −̂→σ
)2k+1
. (50)
8
Usando la siguiente propiedad
(−̂→σ · −→A
)(−̂→σ · −→B
)
=
−→
A · −→B + i−̂→σ ·
(−→
A ×−→B
)
, (51)
puede probarse que
(
n̂ · −̂→σ
)2k
= 1̂, (52)
(
n̂ · −̂→σ
)2k+1
= n̂ · −̂→σ , (53)
con lo cual resulta que
R̂n̂(θ) = 1̂
∑
k=0
(−1)k
(2k)!
(
θ
2
)2k
+ n̂ · −̂→σ
∑
k=0
(−i) (−1)2k+1
(2k + 1)!
(
θ
2
)2k+1
, (54)
= 1̂ cos
θ
2
− i n̂ · −̂→σ sin θ
2
, (55)
Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que un espinor no es invariante frente a
una rotación por el ángulo de 2π
χ′ = R̂n̂(θ = 2π)χ = cosπ χ = −χ, (56)
es decir cambia de signo bajo una rotación por el ángulo 2π (recupera el signo con una
rotación 4π). Puesto que esta rotación del sistema rotación del sistema coordenado deja el
sistema físico absolutamente igual, concluimos que un espinor no puede representar direc-
tamente una cantidad física, sino que las magnitudes físicas serán combinaciones bilineales
(productos) de espinores, las cuales sí permanecen invariantes frente a rotaciones por el án-
gulo 2π , debido al doble cambio de signo. En la práctica, esto no es una limitación, pues por
las reglas generales de la mecánica cuántica sabemos que lo que nos interesa son cantidades
tales como valores esperado que involucran producto de espinores.
B. Mediciones del spin
Vamos a medir el haz de electrones que salen de un determinado proceso experimental
(por ejemplo una colisión), es un dato, el espinor resultante es
χ =
aχ
(z)
+ + bχ
(z)
−√
a2 + b2
=
1√
a2 + b2

 a
b

 , (57)
9
Los valores a y b son conocidos (o deseo medirlos experimentalmente.). Pueden ser valores
complejo.
1) Medición en z : lo hago pasar en un campo magnético variable a lo largo del
eje z tal cual como lo vimos. El valor medio será por el 2do postulado de la mecánica
cuántica (recordemos que σz/x/y es un observable)
〈σz〉 = χ†σ̂zχ =
(
a∗ b∗
)
√
|a|2 + |b2|
×

 1 0
0 −1

×

 a
b

 1√
|a|2 + |b2|
=
|a|2 − |b2|
|a|2 + |b2|
, (58)



Si b = 0, ⇒ 〈σz〉 = +1, 100% spin up.
Si a = 0, ⇒ 〈σz〉 = −1, 100% spin down.
Si a = b, ⇒ 〈σz〉 = 0, 50% spin up y 50%spin up.
(59)
De colimador magnético en z salen entonces dos haces con probabilidades que están deter-
minadas por el 4to postulado de la mecánica cuántica
spin up: P
(
χ
(z)
+
)
=
∣∣∣χ(z)†+ · σ̂zχ
∣∣∣
2
=
∣∣∣∣∣∣
χ
(z)†
+ ·
aχ
(z)
+ − bχ(z)−√
|a|2 + |b2|
∣∣∣∣∣∣
2
=
∣∣∣∣∣∣
a√
|a|2 + |b2|
∣∣∣∣∣∣
2
, (60)
=
|a|2
|a|2 + |b2|
(61)
spin down: P
(
χ
(z)
−
)
=
∣∣∣χ(z)†− · σ̂zχ
∣∣∣
2
=
∣∣∣∣∣∣
χ
(z)†
− ·
aχ
(z)
+ − bχ(z)−√
|a|2 + |b2|
∣∣∣∣∣∣
2
=
∣∣∣∣∣∣
−b√
|a|2 + |b2|
∣∣∣∣∣∣
2
,
=
|b|2
|a|2 + |b2|
(62)
donde usamos
σ̂zχ =

 1 0
0 −1



 a
b

 = 1√
|a|2 + |b2|

 a
−b

 . (63)
Medir en z significa proyectar en z. Obviamente
〈σz〉 =
|a|2 − |b2|
|a|2 + |b2|
= P
(
χ
(z)
+
)
− P
(
χ
(z)
−
)
.
2) Medición subsiguiente en x : Vamos a tomar sólo un haz ques sale del proceso
anterior -por ejemplo— el del spin up y renormalizandolo
χ′′ =
aχ(z)+√
|a|2 + |b2|
→

renormalizando ×
√
|a|2 + |b2|
a

 → χ′′ → χ(z)+ (64)
10
y vamos a pasarlo por un campo magnético variable ahora en la dirección x. El valor
medio será
〈σx〉 = χ(z)†+ σ̂xχ(z)+ =
(
1 0
)
×

 0 1
1 0

×

 1
0

 = 0. (65)
Lo cual era esperable, ya que está perfectamente definido en z e indefinido en x (e indefinido
en y también). Tendré entonces nuevamente dos haces uno con up y otro con down con
respecto a x
spin up : P
(
χ
(x)
+
)
=
∣∣∣χ(x)†+ · σ̂xχ(z)+
∣∣∣
2
=
∣∣∣χ(x)†+ · χ(z)−
∣∣∣
2
=
∣∣∣∣
1√
2
∣∣∣∣
2
=
1
2
,
spin down : P
(
χ
(x)
−
)
=
∣∣∣χ(x)†− · σ̂xχ(z)+
∣∣∣
2
=
∣∣∣χ(x)†− · χ(z)+
∣∣∣
2
=
∣∣∣∣−
1√
2
∣∣∣∣
2
=
1
2
,
donde usamos
σ̂xχ
(z)
+ = σx =

 0 1
1 0



 1
0

 =

 0
1

 = χ(z)− . (66)
Obviamente
〈σx〉 =
|a|2 − |b2|
|a|2 + |b2|
= P
(
χ
(x)
+
)
− P
(
χ
(x)
−
)
.
3) Otra medición mas, ahora nuevamente en z. Supongamos que tomo uno de los
haces por ejemplo en correspondiente a χ
(x)
+ y renormalizandolo
χ′′′ =
1√
2
χ
(x)
+ →
(
renormalizando×
√
2
)
→ χ′′′ → χ(x)+ , (67)
y vamos a pasarlo por un campo magnético variable nuevamente en la dirección z. El valor
medio será
〈σz〉 = χ(x)+ σ̂zχ(x)+ =
(
1 1
)
√
2
×

 1 0
0 −1

×

 1
1

 1√
2
= 0. (68)
Tendré entonces nuevamente dos haces uno con up y otro con down con respecto nuevamente
a z
spin up : P
(
χ
(z)
+
)
=
∣∣∣χ(z)†+ · σ̂zχ(x)+
∣∣∣
2
=
∣∣∣χ(z)†+ · χ(x)−
∣∣∣
2
=
∣∣∣∣+
1√
2
∣∣∣∣
2
=
1
2
, (69)
spin down : P
(
χ
(z)
−
)
=
∣∣∣χ(z)†− · σ̂zχ(x)+
∣∣∣
2
=
∣∣∣χ(z)†− · χ(x)−
∣∣∣
2
=
∣∣∣∣−
1√
2
∣∣∣∣
2
=
1
2
, (70)
donde hemos usado
σ̂zχ
(x)
+ =
1 0
0 −1
1√
2

 1
1

 = 1√
2

 1
−1

 = χ(x)− . (71)
11
Y esto es sorprendente (Grif p.158). Como es posible volver a tener spin down cuando se lo
eliminó en la primera medición? La explicación está en la lectura cuántica de lo que hemos
hecho
En 1) medimos el estado del sistema en z.
En 2) elegimos un haz el de +ℏ/2 con lo cual especificamos el estado del sistema (se
dice: la función de onda "colapso" en χ
(z)
+ autofunción de Ŝz con autovalor +ℏ/2). Como Ŝz
no conmuta con Ŝx ni Ŝy al quedar determinado Ŝz queda totalmente indeterminada Ŝz y
Ŝx razón por la cual medimos
〈
Ŝz
〉
=
〈
Ŝx
〉
= 0.
En 3) elegimos un haz: y decimos la función de onda re-"colapso" ahora en χ
(x)
+ auto-
función de Ŝx con autovalor +ℏ/2. Como Ŝx no conmuta con Ŝy ni Ŝz por lo que queda
totalmente indeterminada Ŝy y Ŝz razón por la cual medimos 〈Sy〉 = 〈Sz〉 = 0.
Entonces elegir un autoestado determinado significa colapsar la función de onda en el
autoestado correspondiente.
C. Experimento de Stern Gerlach (1922)
Es escencialmente la primera parte de la experiencia que describimos en 1). El projectile
en este caso no eran electrones sinó átomos de Ag neutros (CT p 392). Las condiciones
experimentales eran
temperatura del Horno ∼ 103 oK,
masa de átomo de Ag ∼ 1.8× 10−25Kg,
velocidad de los átomos ∼ 500 m/seg,
B ∼ 1 Tesla,
α = ∂B/∂z ∼ 10 miliTesla/cm,
La estructura de la plata con Z = 47 es [Kr]4d105s1. Por ser el estado externo 5s (l = 0)el
momento magnético orbital era nulo por lo cual se esperaba un sólo spot. Experimentalmente
se encontro 2 spots debido al spin del electron 5s, tal cual lo encontramos.
12
D. MOMENTO MAGNETICO DE SPIN
Como se vió en el átomo de hidrógeno el momento angular esta cuantificado en términos
de ℏ, entonces el momento magnético orbital µL dado por
−→µ L = −
e
2me
−→
L = − eℏ
2me
1
ℏ
−→
L = −gLµB
1
ℏ
−→
L , (72)
gL = 1 = factor giromagnético orbital, (73)
µB =
eℏ
2me
= 9.27400915 10−24
Joule
Tesla
= magnetón de Bohr (74)
El signo − es debido a la carga negativa del electrón. El factor gL es aquí redundante pero
será util posteriormente para relacionarlos con los valores experimentales del spin de otras
partículas.
El momento angular de spin
−→
S de cualquier partícula se puede expresar de la misma
manera. Para el electrón es
−→µ (e)S = −g
(e)
S µB
1
ℏ
−→
S , (75)
Se encuentra experimentalmente que
g
(e)
S = 2.00231930436182 = factor giromagnético de spin (76)
No sólo el electrón tiene momento magnético, otras partículas también, por ejemplo el protón
−→µ (proton)S = g
(proton)
S
e
2Mp
−→
S = g
(proton)
S
me
Mp
µB
1
ℏ
−→
S , (77)
g
(proton)
S = −5.5883, para otras partículas , (78)
g
(neutron)
S = +3.8263, (79)
g
(positron)
S = −g
(electron)
S +O(10−12). (80)
Notesé que µ
(proton)
S ∼ µ
(e)
S me/Mp por lo cual es muy pequeño. Inclusive se determina los
factores giromagnéticos para núcleos, así por ejemplo
g
(deuteron)
S = −0.8574, (81)
g
(42He)
S = 0. (82)
En física nuclear al factor gS está relacionado con el factor de Landé.
13
E. Precesión de Larmour: tratamiento cuántico
Consideremos un electrón inmerso en un campo magnético constante. El caso mas general
es que el electrón esté sujeto a un potencial vector
−→
A y potencial escalar V. En este caso a
la ecuación de Schrodinger se la conoce como la ecuación de Pauli (hay otra expresión de
Pauli mas popular, pero partimos de la mas simple)
iℏ
∂
∂t
ψ(r, t) =
[
1
2m
(
−̂→
P + e
−→
A )2 − eV −−→µ e ·
−→
B
]
ψ(r, t), (83)
−→µ e = momento magnético de spin del electrón (84)
= −g(e)S µB
1
ℏ
−→
S = −g(e)S µB
1
ℏ
ℏ
2
−̂→σ = −g
(e)
S µB
2
−̂→σ
∣∣∣∣∣
g
(e)
S
∼=2
∼= − eℏ
2me
−̂→σ , (85)
= −µB−̂→σ , (86)
donde hemos supuesto que g
(e)
S = 2. Propongo una solución del tipo
ψ(r, t) = ϕ(r)e−iEt/ℏχ(t), (87)
donde χ(t) es un espinor normalizado (〈χ|χ〉 = 1): Reemplazando en (83)
iℏ
∂
∂t
[
ϕ(r)e−iEt/ℏχ(t)
]
=
[
1
2m
(
−̂→
P + e
−→
A )2 − eV − µB−̂→σ ·
−→
B
] [
ϕ(r)e−iEt/ℏχ(t)
]
, (88)
Eϕ(r)e−iEt/ℏχ(t) + ϕ(r)e−iEt/ℏiℏ
∂
∂t
χ(t),
= e−iEt/ℏχ(t)
[
1
2m
(
−̂→
P + e
−→
A )2 − eV
]
ϕ(r)− e−iEt/ℏϕ(r)−→µ e ·
−→
Bχ(t), (89)
simplificando y reordenando
χ(t)
{
Eϕ(r)−
[
1
2m
(
−̂→
P + e
−→
A )2 − eV
]
ϕ(r)
}
,
= −ϕ(r)
{
iℏ
∂
∂t
χ(t) +−→µ e ·
−→
Bχ(t)
}
. (90)
Podemos proyectar sobre ψ†(r, t), integrar e igualar ambos miembros.
〈ϕ(r)|E −
[
1
2m
(
−̂→
P + e
−→
A )2 − eV
]
|ϕ(r)〉 = −E′, (91)
−〈χ(t)| iℏ ∂
∂t
χ(t) +−→µ e ·
−→
B |χ(t)〉 = −E′, (92)
14
y E′ es la constante de separación. Entonces las soluciones serán
(E + E′)ϕ(r) =
[
1
2m
(
−̂→
P + e
−→
A )2 − eV
]
ϕ(r), (93)
iℏ
∂
∂t
χ(t) =
[
E′ + µB
−̂→σ · −→B
]
χ(t) , (94)
donde hemos hecho −−→µ e ·
−→
B = µB
−̂→σ . Si tenemos sólo un campo magnetico entonces
−→
A =
1
2
−→r ×−→B. (95)
La solución de la ecuación (93) la encontraremos cuando estudiemos efecto Zeeman. Nos
concentraremos en la solución de la ec.(94). Si elegimos el eje z como la dirección de
−→
B = Bêz
entonces la ecuación en χ(t) es
∂
∂t
χ(t) =
1
iℏ
[E′ + µB Bσ̂z]χ(t), (96)
∂
∂t
χ(t) = −iωLσ̂zχ(t)− iω′χ(t); donde llamamos, (97)
ω′ =
E′
ℏ
, y recordar que, (98)
µBB
ℏ
=
µB︷︸︸︷
eℏ
2me
B
ℏ
=
eB
2m
= ωL = frecuencia de Larmour, (99)
Para resolver la ecuación (97) consideremos el spinor
χ(t) = a(t)χ
(z)
+ + b(t)χ
(z)
− =

 a(t)
b(t)

 . (100)
En t = 0 podemos adoptar la forma mas general según la ecuación (124)
a(0) = e−iφ/2 cos
θ
2
, y (101)
b(0) = e+iφ/2 sin
θ
2
, tal que: (102)
|a(0)|2 + |b(0)|2 = 1. (103)
15
Reemplazando en (97)
∂
∂t

 a
b

 = −iωL

 1 0
0 −1



 a
b

− iω′

 a
b

 , (104)



∂
∂t
a = −i(ωL + ω′)a
∂
∂t
b = +i(ωL − ω′)b
, (105)
y la solución es (106)


a(t) = a(0)e−i(ω
′+ωL)t
b(t) = b(0)e−i(ω
′−ωL)t
, (107)
χ(t) =

 e
−iφ/2 cos θ
2
e−i(ω
′+ωL)t
e+iφ/2 sin θ
2
e−i(ω
′−ωL)t

 . (108)
Notemos que φ/2 es una fase irrelevante que resetea el tiempo, con lo cual lo podemos
descartar. Ahora estamos en condiciones de calcular los valores medios
〈σx〉 = χ†σ̂xχ (109)
=
(
cos θ
2
e+i(ω
′+ωL)t, sin θ
2
e+i(ω
′−ωL)t
)
×

 0 1
1 0

×

 cos
θ
2
e−i(ω
′+ωL)t
sin θ
2
e−i(ω
′−ωL)t

 , (110)
= cos
θ
2
sin
θ
2
(
e+i2ωLt + e−i2ωLt
)
= sin θ cos(2ωLt), (111)
〈Sx〉 =
ℏ
2
〈σx〉 =
ℏ
2
sin θ cos(2ωLt), y en forma análoga (112)
〈Sy〉 =
ℏ
2
〈σy〉 =
ℏ
2
sin θ sin(2ωLt), (113)
〈Sz〉 =
ℏ
2
〈σz〉 =
ℏ
2
cos θ. (114)
Tal como vimos en el caso clásico la componente 〈Sz〉 alineada al campo magnético se
conserva en el tiempo, mientras que las componentes perpendiculares 〈Sx〉 y 〈Sy〉 rotan con
frecuencias 2ωL. El factor 2 sale porque g
(e)
S
∼= 2. Para el caso de la rotación del electron
alrededor nucleo el factor giromagnético orbital era unitario (gL = 1) por lo que en tal caso
rotará con sólo ωL. Cualquier otra partícula rotará proporcional al factor giromagnético que
tenga.
Finalmente nos queda determinar la energía de cada componente del espinor. Reescribi-
16
endo
[
iℏ
∂
∂t
]
 cos
θ
2
e−i(ω
′+ωL)t
0

 = (ω′ + ωL)

 cos
θ
2
e−i(ω
′+ωL)t
0

 , (115)
[
iℏ
∂
∂t
]
 0
sin θ
2
e−i(ω
′−ωL)t

 = (ω′ − ωL)

 0
sin θ
2
e−i(ω
′−ωL)t

 . (116)
El espectro energético tiene 2 componentes centradas en ω′ siendo la de mayor energía la
correspondiente al spin up en relación al campo magnético. La diferencia de energías es
∆E = (ω′ + ωL)− (ω′ − ωL) = 2ωL. Y esto da lugar a una espectroscopía.
II. APENDICE. SPIN A LO LARGO DE UN EJE ARBITRARIO
Sea û un versor unitario
û = (ux, uy, uz) = (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ), (117)
entonces el operador de spin en esa dirección es
Ŝu = û · Ŝu = sin θ cosφ Ŝx + sin θ sinφŜy + cos θŜz (118)
=
ℏ
2
sin θ cosφ

 0 1
1 0

+ ℏ
2
sin θ sinφ

 0 −i
i 0

+ ℏ
2
cos θ

 1 0
0 −1

 (119)
=
ℏ
2

 cos θ sin θe
−iφ
sin θe+iφ − cos θ

 = ℏ
2
σ̂u (120)
que satisface todas las propiedades conocidas;
Det(σ̂u) = −1, (121)
Tr(σ̂u) = 0, (122)
σ̂u es hermítico, etc. (123)
Los autovalores son χ
(u)
±



Ŝu χ
(u)
+ = +
ℏ
2
χ
(u)
+ ⇒ χ(u)+ =

 e
−iφ/2 cos θ/2
e+iφ/2 sin θ/2


Ŝu χ
(u)
− = −ℏ2χ
(u)
− ⇒ χ(u)− =

 −e
−iφ/2 sin θ/2
+e+iφ/2 cos θ/2


(124)
17
que satisface χ
(u)†
± · χ(u)± = 1 y χ(u)†± · χ(u)∓ = 0. la forma mas general será
χ(u) =
αχ
(u)
+ + βχ
(u)
−√
|α|2 + |β|2
(125)
Si se midiese en el eje z, el valor medio 〈σz〉 en el estado χ(u)sería
〈σz〉 = χ(u)
†
σ̂zχ
(u) = χ(u)
†

 1 0
0 −1

χ(u) = |α|
2 −
∣∣β2
∣∣
|α|2 +
∣∣β2
∣∣
(que fue nuestra ecuación de partida Ec. (57) con a y b en lugar de α y β) y las proyecciones
spin up : P
(
χ
(z)
+
)
=
∣∣∣χ(z)†+ · σ̂zχ(u)
∣∣∣
2
=
∣∣∣∣∣∣
e−iφ/2√
|α|2 + |β|2
(α cos θ/2− β sin θ/2)
∣∣∣∣∣∣
2
(126)
spin down : P
(
χ
(z)
−
)
=
∣∣∣χ(z)†− · σ̂zχ(u)
∣∣∣
2
=
∣∣∣∣∣∣
− e
−iφ/2
√
|α|2 + |β|2
(α sin θ/2 + β cos θ/2)
∣∣∣∣∣∣
2
(127)
Luego sale del campo magnético en z en un autoestado de σ̂z con un espinor autofunción de
σ̂z
χ(z) =

 a
b

 , tal que



a = e
−iφ/2√
|α|2+|β|2
(α cos θ/2− β sin θ/2)
b = − e−iφ/2√
|α|2+|β|2
(α sin θ/2 + β cos θ/2)
(128)
Y establesco una conexión entre a, b, con α, β, θ y φ y así podría preparar un estado en
particular.
===================================================
REPASO. FISICA 3.
===================================================
A. Repaso. Momento magnético orbital clásico
Como una aplicación, calculemos el dipolo magnético de un átomo hidrogenide mod-
elizado como unmovimiento circular uniforme de un electrón de carga e y masa me que se
mueve en una orbita circular atraída por la carga central Ze. Si ω = 2πf es la velocidad
18
angular, y f la frecuencia, entonces podemos interpretar la corriente eléctrica convencional
como
i = ef = e
ω
2π
=
e
2π
v
r
, (129)
donde v es la velocidad tangencial y r el radio de rotación. La velocidad v puede obtenerse
con la ley de Newton sabiendo que la fuerza central esta determinada por la ley de Coulomb
F =
1
4πε0
Ze2
r2
= mear = me
v2
r
=⇒ v =
√
Ze2
4πε0mer
. (130)
Reemplazando (130) en (129) podemos calcular el dipolo magnético
−→m = iSn̂ = e
2π
1
r
v︷ ︸︸ ︷√
Ze2
4πε0mer︸ ︷︷ ︸
i
πr2︸︷︷︸
S
n̂ =
e2
2
√
Zr
4πε0me
n̂ . (131)
En MKSC, Z = 1 (hidrógeno), e = 1.6 × 10−19, me = 9.1 × 10−31, r = 5.1 × 10−11,
ε0 = 8.9 × 10−12, resulta que mH ≃ 9.1 × 10−24 ampere×m2. El valor experimental es el
magnetón de Bohr y resulta ser 9.27400915 × 10−24. Recordemos que este dipolo es creado
por el movimiento orbital del electrón girando alrededor del núcleo. En nuestro modelo, el
giro del electrón tiene un cierto momento angular
−→
l orbital, dado por
−→
l orb =
−→r ×−→p = rmevn̂ = rme
√
Ze2
4πε0mer
n̂ =
2me
e
−→m; o (132)
−→morb =
e
2me
−→
l orb . (133)
B. REPASO. Momento magnetico de cuerpos rigidos (spin)
Esta relación es mas general; también se verifica para el caso de r’igidos cargados rotando.
En este caso el movimiento es de spin (rotación sobre su mismo eje). A los efectos prácticos
consideremos una esfera hueca (modelo clásico muy primitivo para el electrón ). Supongamos
una esfera hueca de radio R, carga e y que rota a una velocidad angular −→ω = 2πfω̂. La
densidad de carga será σ = dq/d2s = e/(4πR2). Una faja (una espira) ubicada en un ángulo
polar entre θ y θ+dθ, tiene una longitud l = 2πr = 2πR sin θ, y un ancho de arco da = Rdθ
19
por lo la carga en dicha espira (o faja) será:
dq = σd2s =
σ︷ ︸︸ ︷
e
4πR2
d2s︷ ︸︸ ︷
2πR sin θ︸ ︷︷ ︸
l
Rdθ︸︷︷︸
da
, y la corriente es (134)
i(θ) =
dq
dt
= dq f =
e
4πR2
2πR sin θRdθ
︸ ︷︷ ︸
dq
ω
2π︸︷︷︸
f
=
eω
4π
sin θdθ . (135)
Esa espira tiene un (diferencial) de dipolo magnético de spin dado por
d−→mspin = iSω̂ =
eω
4π
sin θdθ
︸ ︷︷ ︸
i(θ)
π(R sin θ)2︸ ︷︷ ︸
S(θ)
ω̂ =
eR2
4
sin3 θ dθ −→ω . (136)
Sumando todas las posible espiras (integrando θ entre 0 y π), resulta:
−→mspin =
π∫
0
d−→mspin =
eR2
4
4
3
−→ω = eR
2
3
−→ω . (137)
Sabiendo que el momento de inercia de la esfera hueca usada es I = (2/3)meR
2, y que el
momento angular de un rigido es
−→
L = I−→ω , entonces:
−→mspin =
e
2me
−→
L . (138)
Y nuevamente tenemos la misma relación en este caso para una rotación de la esferá hueca
sobre su eje: spin. [Notemos que si consideramos el radio clásico del electrón que llamamos
radio de Thompson R = 2.81× 10−15 m, el ecuador del r’igido tendr’ia que ir a velocidades
mas rápidas que de la luz (crítica de Lorentz)]. Estas relaciones serán muy importante en
mecánica cuántica en relación al efecto Zeeman.
20