RES-TRIANGULOS-EJER-RESUELTOS

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CURSO 2013/2014 
José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 1 
EJERCICIOS RESUELTOS: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Y FÓRMULAS 
MATEMÁTICAS 
 
 
Ejercicio nº 1.- 
 
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la 
longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos. 
 
 
Solución: 
 
Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto: 
 
 
 
cm 981144225
2251441512
2
2222
222



bb
bb
cba
 
 
Hallamos los ángulos: 
 
"12'523660
15
9  B̂,B̂sen
c
b
B̂sen
 
48"'75390   B̂Â
 
90Ĉ 
 
Por tanto: 
 
 



90ˆ cm; 15
"12'5236ˆ cm; 9
48"'753ˆ cm; 12



Cc
Bb
Aa
 
 
 
 
Ejercicio nº 2.- 
 
Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura: 
 
 
 
Halla el valor de c y la longitud del cable. 
 
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Solución: 
 
 
 
m 775
60
55
60 ,
sen
a
a
sen 


 
m 892
60
55
60 ,
tg
x
x
tg 


 
 
Por otra parte, si consideramos el otro triángulo: 
 
m 787
40
55
40 ,
sen
b
b
sen 


 
m 965
40
55
40 ,
tg
y
y
tg 


 
 
Por tanto: 
 
La longitud del cable es a + b = 5,77 + 7,78 = 13,55 metros. 
El valor de c es x + y = 2,89 + 5,96 = 8,85 metros. 
 
 
 
Ejercicio nº 3.- 
 
Si sen a = 0,35 y 0° < a < 90° halla (sin calcular a): 
 
    a) 180 b) 180sen cos  
 
 
Solución: 
 
 a) 180 0,35sen sen    
 b) 180cos cos     
 
Necesitamos saber cuánto vale cos a: 
 
2 2 2 21 0,35 1sen cos cos        
2 20,1225 cos 1 cos 0,8775      
0,94 (es positivo, pues 0 90 )cos     
 
 Por tanto, 180 0,94cos cos      
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Ejercicio nº 4.- 
 
Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos: 
 
 
 
 
Solución: 
 
:senos los de teorema el con ángulo el Hallamos B̂
 
 
 
 
B̂sensenB̂sen
b
Âsen
a 6
105
10


 
 
"9'2535580
10
1056 

 B̂,
sen
B̂sen
 
solución). unahay solo agudos; ser de han y obtuso, es (Como ĈB̂Â
 
 
ˆHallamos el ángulo :C 
 
  "51'3439180   B̂ÂĈ
 
 
Calculamos el lado c: 
 
 
m 66
105
10
"51'3439
,c
sensen
c
Âsen
a
Ĉsen
c


 
 
Por tanto: 
 
"51'3439ˆ m; 6,6
"9'2535ˆ m; 6
105ˆ m; 10






Cc
Bb
Aa
 
 
 
 
Ejercicio nº 5.- 
 
Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110°. Al 
cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho 
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punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro? 
 
 
Solución: 
 
Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno: 
 
 
 
38209170421561
110523425234
2
222
,x
cosx

 
 
km 2071
3850692
,x
,x


 
 
Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km. 
 
 
 
Ejercicio nº 6.- 
 
ˆa) En un triángulo se conoce 5 cm, 3 cm y 85 . ¿Cuántos triángulos hay
 con estos datos?
a b A  
 
ˆb) Comprueba que no hay ningún triángulo que cumpla 5,8 cm, 5 cm y 110 .b c C   
 
 
Solución: 
 
a 
 
 
ˆCalculamos aplicando el teorema del seno:
ˆ 3 85ˆ 0,5977
ˆ ˆ 5
B
a b b sen A sen
senB
asen A senB

    
 
 
ˆHay dos soluciones para :
ˆ ˆ ˆ ˆ36 42' 24'' y 143 17' 36'' (esta no es válida pues 180 )
B
B B A B      
 
 
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Por tanto, solo hay un triángulo con los datos dados. 
 
b 
 
 
ˆCalculamos aplicando el teorema del seno:
ˆ 5,8 110ˆ 1,09 1
ˆ ˆ 5
B
b c b senC sen
senB
csenB senC

     
 
 
No existe ningún triángulo con esos datos. 
 
 
 
Ejercicio nº 7.- 
 
Para medir la altura de una torre CD nos hemos situado en los puntos A y B, cuya distancia es de 
150 m y hemos tomado las medidas que aparecen en la figura. 
 
 
 
Calcula la altura de la torre. 
 
 
Solución: 
 
Para calcular la altura en el triángulo , necesitamos conocer , y esto podemos
obtenerlo aplicando el teorema del seno en el triángulo 
CD DCA CA
CAB.
 
 
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150 150 48
136,08 m
55 48 55
CA sen
CA
sen sen sen
 
   
  
 
 
En el triángulo DCA se tiene: 
 
 
 
40 136,08 40 114,18 m
136,08
CD
tg CD tg       
 
La torre tiene una altura de 114,18 m. 
 
 
Ejercicio nº 8.- 
 
Demuestra la siguiente igualdad: 
 
 
xsen
xsenxcos
xcosxcosxsen
21
2



 
 
 
Solución: 
 
     
  






xsenxcosxsenxcos
xcosxcosxsenxcosxsen
xsenxcos
xcosxcosxsen 22
 
 
   






xcos
xcosxcosxsenxcosxsen
xsenxcos
xcosxcosxsen
2
222 22
22
2
 
 
xsenxcosxsenxcosxsenxcosxsen 2121222  
 
 
 
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Ejercicio nº 9.- 
 
Resuelve la ecuación: 
 
0
2
1
2 2  xsenxcos
 
 
 
Solución: 
 
0
2
1
0
2
1
2
222
2


xsenxsenxcos
xsenxcos
 
0
2
12 xcos
 
2
12 xcos
 
2
2
2
1
xcos
 
 
























kx
kx
xcos
k
kx
kx
xcos




360225
360135
2
2
 siendo
360315
36045
2
2
Z
 
 
Ejercicio nº 10.- 
 
Demuestra que: 
 
   
   
  

  
1sen a b sen a b
cos a b cos a b tg b
 
 
 
Solución: 
 
sen a  b  sen a  b  sen a cos b  cos a sen b  sen a cos b  cos a sen b  2 sen a cos b 
cos a  b)  cos a  b  cos a cos b  sen a sen b  cos a cos b  sen a sen b 
 2 sen a sen b 
 
Por tanto: 
 
   
   
2 1
2
sen a b sen a b sena cosb cosb
cos a b cos a b sena senb senb tg b
  
  
  