Informe de Engranes Helicoidales

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ANÁLISIS DE TRENES DE ENGRANES HELICOIDALES DE UNA CAJA DE ENGRANAJES PLANETARIOS HELICOIDALES DE ALTA VELOCIDAD, PARA MÁQUINA DE INSPECCIÓN DE SEGURIDAD 
RESUMEN 
Los engranes helicoidales son ampliamente utilizado en automóviles, energía eólica, robots y otras industrias debido a su transmisión estable, gran capacidad de carga y larga vida útil .En el presente artículo se propuso estudiar y analizar los engranes de una caja de cambios, determinando las direcciones de la fuerza de empuje, la velocidad y dirección que se ejerce en el eje c y la distancia entre centro, teniendo en cuenta las dimensiones ofrecidas en los catálogos de engranes helicoidales que se utilizan en la caja de cambio, utilizando la herramienta de MATLAB para analizar los resultados anteriores. Se realizó el análisis de movimientos de los trenes de engranes a través de Solidworks. 
Palabras clave: engranes, helicoidales, elementos finitos 
INTRODUCCIÓN 
Aunque los engranajes son tan antiguos como las palancas, las poleas, las ruedas y otros mecanismos similares, no fue hasta mediados del siglo XVII cuando se sentaron realmente las bases para la teoría de los engranajes y el desarrollo de la tecnología de engranajes (González Pérez, 2003) . 
El sistema de engranajes helicoidales es ampliamente utilizado en automóviles, energía eólica, robots y otras industrias debido a su transmisión estable, gran capacidad de carga y larga vida útil. A diferencia de los engranajes rectos, los bordes de los engranajes helicoidales no son paralelos al eje de rotación, sino que están colocados en ángulo. Como los engranajes son curvos, este ángulo hace que el perfil del diente sea un segmento helicoidal, lo que hace que dos o tres dientes de cada engranaje estén siempre en contacto con el piñón (Liu et al., 2019). 
Jain (2001) define el término "sistema de engranajes" como un elemento de transmisión de potencia que normalmente se utiliza para transmitir potencia o movimiento de rotación de un eje a otro. Maitra (2005) establece que los engranajes deben diseñarse para transmitir alta potencia con poco o menos ruido y vibración (Cockerham & Waite, 1976) .
MARCO TEORICO 
Los sistemas de engranajes constan de varios engranes y son componentes principales de muchas aplicaciones de ingeniería, como los trenes de transmisión en los automóviles (Schurr et al., 2014).
Los engranajes helicoidales son cilíndricos con flancos de dientes inclinados. Tienen una alta relación de contacto y excelente silencio y vibración reducida en comparación con los engranajes rectos, y transmiten potencia de manera eficiente. Se utilizan principalmente en aplicaciones de alta carga debido a su número de dientes y su capacidad para distribuir las cargas de manera eficiente y reducir el desgaste de los componentes. Sin embargo, a pesar de su alta eficiencia de transmisión, los engranajes helicoidales tienen importantes problemas de fallas, como la distribución del empuje en el eje del engranaje debido a la fricción por deslizamiento de los dientes del engranaje (Salawu et al., 2021).
Las ventajas de los engranajes helicoidales son que transmiten más potencia que los engranajes rectos, también pueden transmitir velocidades más altas, son más silenciosos y duraderos; además, pueden transmitir el movimiento del eje transversal. Una de sus desventajas es que se desgastan más que los engranajes rectos, son más caros de fabricar y generalmente requieren más lubricación que los engranajes rectos (Mobley, 2001).
Figura 1. Engrane Helicoidal, tomada de: (Turbosquid, 2022) [Ver anexo 1].
Los engranajes helicoidales simples se fabrican con el mismo equipo que los engranajes rectos, pero los dientes se cortan en ángulo con el eje del engranaje y siguen una trayectoria helicoidal. El ángulo en el que se juntan los dientes del engranaje se llama ángulo hélice, como se muestra en la Figura 2. Este ángulo hace que la posición de contacto de los dientes del engranaje con el engranaje de acoplamiento varíe en cada sección (Mobley, 2001).
Figura 2. Ángulo de hélice, tomada de: (Mobley, 2001) [Ver anexo 2].
En particular, el ángulo de la hélice puede estar a ambos lados de la línea central del engranaje. Alternativamente, puede ser una hélice "hacia la derecha" o "hacia la izquierda" si se compara con el ángulo de hélice de la rosca. La figura 3 muestra el engranaje helicoidal visto desde lados opuestos. Un par de engranajes helicoidales deben tener el mismo paso y ángulo de hélice, pero opuestos (uno a la derecha y otro a la izquierda) (Simmons & Maguire, 2020).
Figura 3. Hélice de mano derecha e izquierda, tomada de: (Mobley, 2001) [Ver anexo 3].
APLICACIONES 
Los engranajes helicoidales están diseñados para aplicaciones exigentes, como transportadores de minería, fábricas de papel, prensas de extrusión, coladas continuas o grúas portuarias. Los engranes helicoidales se utilizan normalmente en maquinaria donde el accionamiento debe funcionar en un rango de velocidad más alto (maquinaria de hotel) o niveles de ruido más bajos (automóviles, acondicionadores de aire). También se utilizan con frecuencia en máquinas que requieren una transmisión de alto par con ejes paralelos.
Figura 4. Caja de engranajes planetarios helicoidales de alta velocidad, para máquina de inspección de seguridad
METODOLOGÍA 
Debido a las aplicaciones en la que se emplean los trenes de engranes helicoidales, tomamos como referencia el ejercicio 13-16 del libro de Diseño en ingeniería mecánica de Shigley de la undécima edición, modificando las condiciones de los parámetros para adaptar el ejercicio al funcionamientos de los trenes de engranes en una caja de cambios, teniendo en cuenta el catálogo de fabricación [Ver anexo 4].
Ejercicio 13-16 
13–16 The double-reduction helical gearset shown in the figure is driven through shaft a at a speed of 700 rev/min. Gears 2 and 3 have a normal diametral pitch of 12 teeth/in, a 30° helix angle, and a normal pressure angle of 20°. The second pair of gears in the train, gears 4 and 5, have a normal diametral pitch of 8 teeth/in, a 25° helix angle, and a normal pressure angle of 20°. The tooth numbers are: N2 = 12, N3 = 48, N4 = 16, N5 = 36. Find:
(a) The directions of the thrust force exerted by each gear upon its shaft
(b) The speed and direction of shaft c
(c) The center distance between shafts
[Ver anexo 5]
Modificación del ejercicio 13-16 
El tren de engranes helicoidales de doble reducción de la figura se impulsa mediante un eje a con una velocidad de 3000 rpm. Los engranes 2 y 3 tienen diámetro de paso de (30 mm) 1,1811 in y (120 mm) 4,7244 in respectivamente, un ángulo de la hélice de 21,5° y un ángulo de presión normal de 20°. El segundo par de engranes del tren, engranes 4 y 5, tiene un diámetro de paso (60mm) 2,3622 in y (135 mm) 5,3149 in, un ángulo de la hélice de 21,5° y un ángulo de presión normal de 20°. Los números de dientes son: N2 = 15, N3 = 60, N4 = 20, N5 = 45. Determine: 
a) Las direcciones de la fuerza de empuje que ejerce cada engrane sobre su eje.
b) La velocidad y dirección del eje c.
c) La distancia de los centros entre los ejes y el paso diametral normal
Figura 5. Problema 13-16
· Análisis de fuerzas 
Para el análisis de fuerzas se realizó el diagrama de cuerpo libre, para saber las direcciones de la fuerza de empuje que ejerce cada engrane sobre su eje, como se muestra en la figura 5. 
Figura 6. Dirección de la fuerza de empuje [Ver anexo 6]
· Cálculo de la velocidad y dirección del eje c
Para hallar la velocidad y la dirección del eje c, primero hallamos el valor de los trenes de engranes con la ecuación (13-30) 
Ahora para hallar la velocidad del eje c utilizamos la ecuación (13-31) 
Para hallar la dirección del engrane c nos basamos en la teoría del libro Shigley 11th el cual nos dice que es positivo cuando el último engranaje gira en el mismo sentido que el primero y negativa si la última gira en sentido contrario. 
· Cálculo para hallar la distancia entre centros y el paso diametral normal 
Utilizamos las ecuaciones (13-1) y (13-18)Despejamos la ecuación a de la ecuación (13-18) 
Reemplazamos a en la ecuación (13-1)
Ahora hallamos el paso diametral normal para los engranes 2 y 3, entonces la ecuación anterior nos quedaría: 
Engrane 2 
Engrane 3 
Para hallar la distancia de centros entre el engrane 2 y 3, está dada por: 
Ahora hallamos el paso diametral normal para los engranes 4 y 5, entonces la ecuación anterior nos quedaría: 
Engrane 4 
Engrane 5
Para hallar la distancia de centros entre el engrane 4 y 5, está dada por: 
· Análisis Computacional
Para el modelo 3D, hacemos uso de la biblioteca Toolbox, la cual brinda una amplia variedad de piezas y complementos industriales, tal como son los engranes helicoidales que constituyen el sistema de trenes de reducción de velocidad del ejercicio 13-16. Con las medidas obtenidas del catálogo KHG. realizamos el análisis de movimiento del sistema y así comprobamos su funcionamiento. 
Para el análisis de movimiento aplicamos una fuerza rotacional en el engrane 2 de 3000 RPM la cual es la velocidad de un motor eléctrico de alta velocidad estos son los que se usan en los sistemas de bandas transportadoras, en los que se requiere una reducción de tal como se emplea en el ejercicio del libro. 
Complementando el análisis computacional, se realiza el procedimiento analítico en la plataforma de Matlab, donde se realiza de manera automática los cálculos, con la facilidad de variar datos como la velocidad de entrada y entre otros factores y observar los resultados y la analizar la diferencia que puede haber o no.
RESULTADOS 
· Análisis de fuerzas 
Analizando la figura 6. Las fuerzas tendrían la siguiente dirección:
La fuerza axial del engranaje 2 sobre el eje a está en la dirección z negativa. La fuerza axial del engranaje 3 sobre el eje b está en la dirección z positiva. La fuerza axial del engranaje 4 sobre el eje b está en la dirección z positiva. La fuerza axial del engranaje 5 sobre el eje c está en la dirección z negativa.
· Cálculo de la velocidad y dirección del eje c
Ahora para hallar la velocidad del eje c utilizamos la ecuación (13-31) 
Entonces nuestro eje c está en dirección positiva es decir:
· Cálculo para hallar la distancia entre centros y el paso diametral normal 
Ahora hallamos el paso diametral normal para los engranes 2 y 3, entonces la ecuación anterior nos quedaría: 
Engrane 2 
Engrane 3 
Para hallar la distancia de centros entre el engrane 2 y 3, está dada por: 
Engrane 4 
Engrane 5
Para hallar la distancia de centros entre el engrane 4 y 5, está dada por: 
· Análisis computacional 
· Diseño 3D
Figura 7. Diseño en 3D del sistema de reducción de velocidad [Ver anexo 7]
· Velocidad del Engrane 2 (Entrada)
Figura 8. Relación de velocidad del engrane 2 con respecto al tiempo [Ver anexo 8]
Convertimos las unidades de deg/s a rpm 
· Velocidad de Engranes 3 y 4
Figura 9. Relación de velocidad del engrane 2 con respecto al tiempo [Ver anexo 9]
Convertimos las unidades de deg/s a rpm 
· Velocidad de engrane 5 (Salida) 
Figura 10. Relación de velocidad del engrane 2 con respecto al tiempo [Ver anexo 10]
Convertimos las unidades de deg/s a rpm 
· Códigos de Matlab
· Ejercicio 13 – 16 [Ver anexo 11] 
%Ejercicio 13-16 del libro de diseño para ingeniería mecánica de shigley,
%11va edición 
%Engranes y trenes de engranes
%Scrip para resolver ejerccio 
%Este scrip lo programo: Juan Tirado, 12/02/2022
%Diseño de Maquinas II
%-------------------------------------------------------------------------
close all
clear all
clc
%Datos del ejercicio 
N_2 = 12; %T (dientes)
N_3 = 48; %T (dientes)
N_4 = 16; %T (dientes)
N_5 = 36; %T (dientes)
n_l = 700; %rev/min 
P_23 = 12; %Dientes/pul 2 - 3
PSI_23 = 30; %Angulo de helice 2 - 3
P_45 = 8; %Dientes/pul 4 - 5
PSI_45 = 25; %Angulo de helice 4 - 5 
PHI = 20; %Angulo de presion. 
%Solucion
%Ecuaciones extraidas del libro de diseño para ingeniería mecánica de shigley, 11va edición 
%Procedemos a realizar el croquis del sistema, para eso hallamos los
%diametros de cada engrane, despejandolos de la ecuacion 13-1 
d_2 = N_2/P_23; %Diametro 2 
d_3 = N_3/P_23; %Diametro 3
d_4 = N_4/P_45; %Diametro 4
d_5 = N_5/P_45; %Diametro 5
X_1 = [0 0]; 
C_1 = (d_2 + d_3)/2; 
X_2 = [0 C_1];
C_2 = (d_4 + d_5)/2; 
X_3 = [0 C_1+C_2];
viscircles(X_1,d_2/2,'LineStyle','-');
viscircles(X_2,d_3/2,'LineStyle','-');
viscircles(X_2,d_4/2,'LineStyle','--');
viscircles(X_3,d_5/2,'LineStyle','-');
%a 
%Una vez establecido el diagrama de cuerpo libre, podemos ditacminar
%hacia donde se encuentran dirigigas las fuerzas de empuje de cada engrane,
%con respesto a la fuerza de empuje inicial 
disp('Determine la direccion de fuerza de empuje inicial del engranaje 2')
Dir = input('escriba 1 para sentido de las manecillas del reloj y 2 para sentido conrario de las manecillas del reloj'); 
if Dir == 1
 disp('Direccion empuje Engrane N° 2 sentido de las manecillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 3 sentido contrario de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 4 sentido contrario de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 5 sentido de las manesillas del reloj')
else 
 disp('Direccion empuje Engrane N° 2 sentido contrario de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 3 sentido de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 4 sentido de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 5 sentido contrario de las manesillas del reloj')
end 
%b
%para hallar la velocudad y a direccion del eje c, primero hallamos el
%valor de los trenes de engranes
%usamos la ecuación 13-30 
e = (N_2*N_4)/(N_3*N_5); 
%para hallar la velocidad del eje c, utilizamos la ecuacion 13-31
n_c = e*n_l;
%Para hallar la dirección del engrane c nos basamos en la teoría del libro
%Shigley 11th el cual nos dice que e es positivo cuando el último engranaje
%gira en el mismo sentido que el primero y negativa si la última gira en 
%sentido contrario. Entonces nuestro eje c esta en dirección positiva es decir:
if Dir == 1
 n_c = n_c; 
else
 n_c = -1*n_c; 
end
disp('La velocidad y direccion del eje 3 es')
x1 = ['n_c = ',num2str(n_c),' rev/min'];
disp(x1)
%c
%Para hallar la distancia de los centros utilizamos las ecuaciones 
%13 - 1 y 13 - 18 
%Despejando Pt de la ecuacion 13 - 18 y reemplazando en la ecuacion 13 - 1
%engrane 2
dp_2 = N_2/(P_23*cosd(PSI_23)); 
%engrane 3
dp_3 = N_3/(P_23*cosd(PSI_23)); 
%distancia entre centros enre el engrane 2 y 3 
c_ab = (dp_2 + dp_3)/2 ;
%engrane 4
dp_4 = N_4/(P_45*cosd(PSI_45)); 
%engrane 5
dp_5 = N_5/(P_45*cosd(PSI_45)); 
%distancia entre centros enre el engrane 4 y 5
c_bc = (dp_4 + dp_5)/2 ;
x2 = ['c_ab = ',num2str(c_ab),' in'];
x3 = ['c_bc = ',num2str(c_bc),' in'];
disp('la distancia de centros entre el eje a y el eje b es')
disp(x2)
disp('la distancia de centros entre el eje b y el eje c es')
disp(x3)
· Ejercicio aplicativo trenes de engrane [Ver anexo 12]
%Ejercicio 13-16 del libro de diseño para ingeniería mecánica de shigley,
%11va edición 
%Engranes y trenes de engranes
%Scrip para resolver ejerccio 
%Este scrip lo programo: Juan Tirado, 12/02/2022
%Diseño de Maquinas II
%------------------------------------------------------------------------
close all
clear all
clc
%Datos del ejercicio 
N_2 = 15; %T (dientes)
N_3 = 60; %T (dientes)
N_4 = 20; %T (dientes)
N_5 = 45; %T (dientes)
n_l = 3000; %rev/min 
d_2 = 1.1811; %Diametro 2 según catalogo 
d_3 = 4.7244; %Diametro 3 según catalogo 
d_4 = 2.3622; %Diametro 4 según catalogo 
d_5 = 5.3149; %Diametro 5 según catalogo 
PSI_23 = 21.5; %Angulo de helice 2 - 3
PSI_45 = 21.5; %Angulo de helice 4 - 5 
PHI = 20; %Angulo de presion. 
%Solucion
%Ecuaciones extraidas del libro de diseño para ingeniería mecánica de shigley, 11va edición 
 
%Procedemos a realizar el croquis del sistema
X_1 = [0 0]; 
C_1 = (d_2 + d_3)/2; 
X_2 = [0 C_1];
C_2 = (d_4 + d_5)/2; 
X_3 = [0 C_1+C_2];
viscircles(X_1,d_2/2,'LineStyle','-');
viscircles(X_2,d_3/2,'LineStyle','-');viscircles(X_2,d_4/2,'LineStyle','--');
viscircles(X_3,d_5/2,'LineStyle','-');
%a 
%Una vez establecido el diagrama de cuerpo libre, podemos ditacminar
%hacia donde se encuentran dirigigas las fuerzas de empuje de cada engrane,
%con respesto a la fuerza de empuje inicial 
disp('Determine la direccion de fuerza de empuje inicial del engranaje 2')
Dir = input('escriba 1 para sentido de las manecillas del reloj y 2 para sentido conrario de las manecillas del reloj'); 
if Dir == 1
 disp('Direccion empuje Engrane N° 2 sentido de las manecillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 3 sentido contrario de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 4 sentido contrario de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 5 sentido de las manesillas del reloj')
else 
 disp('Direccion empuje Engrane N° 2 sentido contrario de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 3 sentido de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 4 sentido de las manesillas del reloj')
 disp('Direccion empuje Engrane N° 5 sentido contrario de las manesillas del reloj')
end 
%b
%para hallar la velocudad y a direccion del eje c, primero hallamos el
%valor de los trenes de engranes
%usamos la ecuación 13-30 
e = (N_2*N_4)/(N_3*N_5); 
%para hallar la velocidad del eje c, utilizamos la ecuacion 13-31
n_c = e*n_l;
%Para hallar la dirección del engrane c nos basamos en la teoría del libro
%Shigley 11th el cual nos dice que e es positivo cuando el último engranaje
%gira en el mismo sentido que el primero y negativa si la última gira en 
%sentido contrario. Entonces nuestro eje c esta en dirección positiva es decir:
if Dir == 1
 n_c = n_c; 
else
 n_c = -1*n_c; 
end
disp('La velocidad y direccion del eje 3 es')
x1 = ['n_c = ',num2str(n_c),' rev/min'];
disp(x1)
%c
%Para hallar la distancia de los centros utilizamos las ecuaciones 
%13 - 1 y 13 - 18 
%Despejando Pt de la ecuacion 13 - 18 y reemplazando en la ecuacion 13 - 1
%engrane 2
Pn_2 = N_2/(d_2*cosd(PSI_23)); 
%engrane 3
Pn_3 = N_3/(d_3*cosd(PSI_23)); 
%distancia entre centros enre el engrane 2 y 3 
c_ab = (d_2 + d_3)/2 ;
%engrane 4
Pn_4 = N_4/(d_4*cosd(PSI_45)); 
%engrane 5
Pn_5 = N_5/(d_5*cosd(PSI_45)); 
%distancia entre centros enre el engrane 4 y 5
c_bc = (d_4 + d_5)/2 ;
x2 = ['c_ab = ',num2str(c_ab),' in'];
x3 = ['c_bc = ',num2str(c_bc),' in'];
disp('la distancia de centros entre el eje a y el eje b es')
disp(x2)
disp('la distancia de centros entre el eje b y el eje c es')
disp(x3)
ANÁLISIS Y CONCLUCIONES 
Gracias al previo análisis, la aplicación de los trenes de engranes es más común de lo que puede parecer, lo cual se convierte en un pilar importante dentro del diseño de máquinas, tanto industriales como caseras, debido a que el mercado encontramos motores o generadores de potencias, los cuales ya tienen definido una velocidad, la cual en algunos casos no es la requerida para el trabajo a implementar. Aquí es donde los trenes de engrane se convierten en multiplicadores y reductores de velocidad y potencia de los motores. 
Lo que comprobamos con el análisis de movimiento del sistema de engranaje estudiado, el cual su función era reducir la velocidad del eje de entrada 9 veces la magnitud ingresada e incluso aumentando la potencia del eje de salida, debido a que, como en todos los casos de física, la energía no se destruye o desaparece, solo es transforma. 
Observamos que, tanto en la práctica como en la teoría, los engranes utilizados deben cumplir los requisitos mínimos, que son establecidos en el libro de Shigley’s Mechanical Engineering Design, onceava edición, generando la mayor estabilidad de ventajas, incluso sin errores, debido a que deben ser cálculos exactos para que el funcionamiento sea el idóneo, es decir, el desfase entre engranes es un problema que afecta a todo el sistema de movimiento, para esto la selección correcta de los engranes en sus respectivos catálogos debe ser minuciosa y con fundamentos teóricos adecuados. 
REFERNCIAS 
Cockerham, G., & Waite, D. (1976). Computer-aided design of spur or helical gear train. Computer-Aided Design, 8(2), 84–88. https://doi.org/10.1016/0010-4485(76)90089-0
González Pérez, I. (2003). Diseño, simulación del engrane, estudio del contacto y análisis tensional de engranes cilíndricos rectos y helicoidales de bajo ruido y contacto mejorado. https://dialnet.unirioja.es/servlet/tesis?codigo=49726
Liu, J. W., Liu, J. P., Shu, X. B., Mikkola, A., & Ren, G. X. (2019). An efficient multibody dynamic model of three-dimensional meshing contacts in helical gear-shaft system and its solution. Mechanism and Machine Theory, 142, 103607. https://doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2019.103607
Mobley, R. K. (2001). Gears and Gearboxes. In Plant Engineer’s Handbook (pp. 629–637). Butterworth-Heinemann. https://doi.org/10.1016/B978-075067328-0/50041-0
Salawu, E. Y., Ajayi, O. O., Okeniyi, J. O., Inegbenebor, A. O., Afolalu, S., Ongbali, S., & Banjo, S. O. (2021). On the prediction of power loss in helical gearbox via simulation approach. Cleaner Engineering and Technology, 3, 100128. https://doi.org/10.1016/j.clet.2021.100128
Schurr, D., Ziegler, P., & Eberhard, P. (2014). Dynamic stress recovery in gear train simulations using elastic multibody systems. International Gear Conference 2014: 26th–28th August 2014, Lyon, 741–750. https://doi.org/10.1533/9781782421955.741
Simmons, C. H. . N. P., & Maguire, D. E. (2020). Manual of Engineering Drawing. Manual of Engineering Drawing. https://doi.org/10.1016/C2018-0-02309-9
ANEXOS
Anexo 1. Figura 1. Engrane Helicoidal 
Anexo 2. Figura 2. Ángulo de hélice 
Anexo 3. Figura 3. Hélice de mano derecha e izquierda
Anexo 4. Catalogo - Helical - Gears 
Anexo 5. Solucion Ejercicios 13 - 16 y aplicativo 
Anexo 6. Figura 6. Dirección de la fuerza de empuje
Anexo 7. Diseño en 3D del sistema de reducción de velocidad
Anexo 8. Figura 8. Relación de velocidad del engrane 2 con respecto al tiempo
Anexo 9. Figura 9. Relación de velocidad de los engranes 3 y 4 con respecto al tiempo
Anexo 10. Figura 10. Relación de velocidad del engrane 5 con respecto al tiempo
Anexo 11. Codigo MATLAB Ejercicio 13 - 16
Anexo 12. Codigo MATLAB Ejercicio Aplicativo de Trenes de Engrane
Anexo 13. CAD Base
Anexo 14. CAD Engrane 2
 Anexo 15. CAD Engrane 3
Anexo 16. CAD Engrane 4
Anexo 17. CAD Engrane 5
Anexo 18. CAD Trenes de Engrane
Anexo 19. Animación de Trenes de Engrane 
Anexo 20. Presentación MATLAB