Seminario Herramientas Matemáticas en Farmacia Sesión 1

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HERRAMIENTAS 
MATEMÁTICAS EN 
FARMACIA
SEMINARIOSEMINARIO
Elaborado por: 
Ing. Jorge Luis Rodríguez P.
OBJETIVO 
SESIÓN 1: 
Realizar operaciones 
con polinomios.
OPERACIONES
CON 
POLINOMIOS
OPERACIONES
CON 
POLINOMIOS
Elaborado por: 
Ing. Jorge Luis Rodríguez P.
POLINOMIOS
Es una expresión 
algebraica formada por una 
combinación de números y 
letras. 
Está compuesto por el 
producto entre un número y 
una o más variables (letras) 
elevadas a exponentes.
Monomio 
Partes de un Monomio 
POLINOMIOS
Un polinomio es la 
agrupación de dos o más 
monomios. Es una 
expresión algebraica 
formada por números, letras 
y exponentes. Consiste en 
la suma o resta de 
diferentes términos o 
monomios.
Polinomio 
Partes de un Polinomio 
Ejemplos de 
Polinomios de 
distintos Grados
GRADO DE UN POLINOMIO
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
TIPOS DE POLINOMIOS
TIPOS DE POLINOMIOS
TIPOS DE POLINOMIOS
Según el número de términos
Monomio
Binomio
Trinomio
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Para hallar la suma de dos o más polinomios se deben sumar los términos de los polinomios que son 
semejantes. Es decir, la suma de polinomios consiste en sumar los términos que tienen la misma parte literal 
(mismas variables y mismos exponentes).
Adición (Suma Algebraica) 
Método 1
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Adición (Suma Algebraica) 
Método 2
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Multiplicación 
Ejemplo 
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Multiplicación 
Continuación del ejemplo 
OPERACIONES CON POLINOMIOS
DIVISIÓN
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada
término del polinomio entre el monomio. 
Ejemplos: 2245 32796)( xentrexxxxP 
     

222425
2245
3 :273:93:6
3:)2796(
xxxxxx
xxxx
xentrexyyxxQ 257)( 3 
  




x
xy
x
yx
xxyyx
2
5
2
7
2:)57(
3
3
932 23  xx
yyx
2
5
2
7 2 
COCIENTE DE UN POLINOMIO 
ENTRE UN MONOMIO
Para dividir un polinomio entre un polinomio, se siguen 
los siguientes pasos: 
1º) Se ordenan los términos del dividendo (si falta algún término, se
deja el espacio) y del divisor y se dispondrán como una división
normal.
xxxxxP 3011202)( 243 
23)( 2  xxxQ
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
COCIENTE DE POLINOMIOS
2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término 
del divisor, así se obtiene el primer término del cociente. 
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
2x
3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término 
del divisor y el producto pasa restando al dividendo. 
2x4x
234
2
2
23
23
xxx
x
xx



22x33x4x
COCIENTE DE POLINOMIOS
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
4º) Se suman algebraicamente. 
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer 
término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. 
Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa 
restando al dividendo.
2x
234 23 xxx 
29x
x5
xxx
x
xx
10155
5
23
23
2


x10
2030  x35x
35x 215x
COCIENTE DE POLINOMIOS
6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio 
resto sea menor que el grado del polinomio divisor. 
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
2x
234 23 xxx 
203095 23  xxx
x5
xxx 10155 23 
x20
6
12
8
26x x18
x2
2026x
COCIENTE DE POLINOMIOS
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
2x x5 6
82 x
Polinomio dividendo
)(xD
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
Polinomio divisor
Polinomio cociente
Polinomio resto
)(xd
)(xc
)(xr
2x x5 6
82 x
COCIENTE DE POLINOMIOS
32x4x 211x x30 20
)(xD
)23( 2  xx
)(xd )(xc )(xr
)65( 2  xx  )82( x
Prueba de la división:
Si el resto de la división es 0 (polinomio nulo), la división se llama exacta y se
dice que:
 El polinomio es divisible por , o múltiplo de .
 El polinomio es factor por , o divisor de .
 82121021815365 223234 xxxxxxxxx
COCIENTE DE POLINOMIOS
21
6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4
Realiza la siguiente división:
-6x3 + 8x2 2x2
- 9x2+ 15x
- 3x
9x2- 12x
+ 3x - 8
+ 1
-3x + 4
- 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
COCIENTE DE POLINOMIOS
La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener
fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio
por un binomio de la forma .
1º) Se ordenan los términos del dividendo y del divisor. 
532)( 23  xxxxD
1)(  xxd
REGLA DE RUFFINI
532)( 23  xxxxD 1)(  xxd
2º) Se colocan los coeficientes
de cada término. Si no
apareciera algún término entre el
de mayor grado y el de menor se
coloca un 0.
2 1 3 5
3º) A la izquierda se coloca el número que se resta a en , en este 
caso el y se baja el coeficiente del término de mayor grado.
1
4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado por el que se ha
colocado a la izquierda . El resultado del producto se coloca debajo
del coeficiente del término siguiente y se suman.
2
2
3
REGLA DE RUFFINI
5º) El resultado de la suma se
vuelve a multiplicar por el número
situado a la izquierda y se repite
el proceso.
2 1 3 5
1
2
2
3
3
0
0
5
El último número (recuadro rojo) se corresponde con el resto de la
división mientras que el resto de números de la fila inferior son
los coeficientes del cociente.
xxxc 32)( 2  5)( xr
532)( 23  xxxxD 1)(  xxd
REGLA DE RUFFINI
Realiza las siguientes divisiones, indicando el cociente y el resto obtenido:
)3(:)113052() 23  xxxxa
2 -5 -30 11
-3
2
-6
-11
33
3
-9
2
3112: 2  xxCociente
Resto: 2
)2(:)223() 4  xxxb
-1 0 0 -3 22
2
-1
-2
-2
-4
-4
-8
-11
-22
0
1142: 23  xxxCociente
Resto: 0
NOTA: El polinomio cociente es de un grado menor que el grado del
polinomio dividendo.
APLICACIÓN DE LA REGLA DE RUFFINI
Teorema del Resto:
El resto de dividir un polinomio entre , es igual al
valor numérico del polinomio para .
R = P(a)
Esto se deduce de la definición de división, cuando el divisor
:
RxCaxxP  )()()(
Cuando :
RaCaaaP  )()()(
RaCaP  )(0)(
P(a)= R
TEOREMA DEL RESTO
Sin efectuar la división, calcula el resto:
)3(:)113052() 23  xxxxa
11)3(30)3(5)3(2)3( 23  PR
11)3(3095)27(2 R
11904554 R = 2
)2(:)223() 4  xxxb
22232)2( 4  PR
22616 R = 0
TEOREMA DEL RESTO
El resto de dividir el polinomio 3 2 entre 
es . Hallar el valor de .
62111)1( 23  kPR
Aplicando el Teorema del Resto: 
6211  k
4k
3 2
APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL RESTO
Teorema del Factor: Un polinomio tiene como factor
, si el valor numérico del polinomio para es .
Este resultado también proviene de la definición de división,
cuando el divisor :
RxCaxxP  )()()(
Si el resto :
)()()( xCaxxP 
Esta relación indica que es un factor o divisor del
polinomio .
TEOREMA DEL FACTOR
Comprobar si es un factor del polinomio
3 2 .
Aplicando el Teorema del Factor, si , entonces 
será un factor de :
9)3(6)3(2)3()3( 23  PR
9181827)3(  PR
03636)3(  PR
Entonces es un factor de 3 2
porque el resto es .
APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL FACTOR
Comprobar si el factor es un factor del polinomio
3 2 , aplicando Ruffini:
1 2 -6 -9
-3
1
-3
-1
3
-3
9
0
)3()3( 2  xxx 962 23 xxx
)(xD )(xd )(xC )(xR
COMPROBACIÓN POR RUFFINI
Las raíces de 
un polinomio 
son los valores que 
lo hacen cero, es decir,
las soluciones de 
la ecuación .
Un polinomio de grado , tiene como máximo, raíces
reales.
Si un polinomio tiene raíces enteras, estas son divisores
del término independiente .
RAÍCES DE UN POLINOMIO
Para hallar las raíces enteras de un polinomio, se aplica el teorema del resto
a los divisores del término independiente.
Si el resto es , se dice que ese número es raíz del polinomio. 
Ejemplo: Calcular las raíces enteras del siguiente polinomio: 
33)( 23  xxxxP
 3,1)3( Div
 31131)1( 23P
Las posibles raíces enteras serán: 
0 1 sí es raíz 
 3)1()1(3)1()1( 23P 0 -1 sí es raíz 
 33333)3( 23P  04862727 3 NO es raíz 
 3)3()3(3)3()3( 23P 0 -3sí es raíz 
Las raíces enteras de son , y . 
RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO
Cuando un polinomio no tiene término independiente, se debe extraer 
factor común de , 2, 3.... 
La raíz de ese monomio extraído siempre será . 
Ejemplo: Calcular las raíces enteras del siguiente polinomio 
24)( xxxP 
 1)1( Div
 11)1( 2Q
Las posibles raíces enteras serán: 
1 si es raíz 
 1)1()1( 2Q
0
Las raíces enteras de son , y .
)1()( 22  xxxP si es raíz doble 
0 -1 si es raíz 
)(xQ
RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO
Existen polinomios que no tienen raíces enteras. 
Ejemplo: Calcular las raíces enteras del siguiente polinomio
2)( 2  xxP
 2,1)2( Div
21)1( 2 P
Las posibles raíces enteras serán: 
 0 1 NO es raíz 
2)1()1( 2 P  0 -1 NO es raíz 
22)2( 2 P  0 2 NO es raíz 
2)2()2( 2 P  0 -2 NO es raíz 
no tiene raíces enteras. 
Se llaman polinomios irreducibles. 
RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Cuando se habla de factorizar una expresión algebraica, 
consiste en hallar dos o más factores, cuyo producto sea igual 
a la expresión propuesta. 
Ejemplos:
Definición:
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios de
menor grado, de forma que su producto sea el polinomio dado.
Ejemplo: Factorizar el siguiente polinomio: 
5117)( 23  xxxxP
Se busca una raíz mediante la Regla de Ruffini, entre las posibles raíces 
enteras:  5,1)5( Div
1 7 11 5
1
1
1
8
8
19
19
24
1 NO es raíz 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Ejemplo:
1 7 11 5
-1
1
-1
6
-6
5
-5
0
-1 sí es raíz 
)1()(  xxP )56( 2  xx
5117)( 23  xxxxP
Es necesario volver a probar si es raíz 
-1
1
-1
5
-5
0
sí es raíz 
)1()(  xxP )1(  x )5(  x
No existe un método único para factorizar un polinomio. Lo habitual es
buscar una raíz y expresarlo como multiplicado por el cociente.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Caso 1. Factor Común Caso 2. Agrupación de términos
Caso 3. Diferencia de Cuadrados
Caso 4. Trinomio Cuadrado Perfecto
𝟐Caso 5. Trinomio de la forma 𝟐
𝟐Caso 6. Trinomio de la forma 𝟐
Caso 7. Suma y Diferencia de Cubos Caso 8. Regla de Ruffini
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Caso 1. 
Factor Común
• Al factor que aparece en todos los términos de una expresión se le
llama factor común.
• Si en una expresión todos sus términos tienen factor común, este
será uno de los factores de factorización.
• Por lo cual lo primero que se tiene que hacer es determinar en la
expresión el factor común, y luego dividir todo el binomio o
polinomio dado entre dicho factor, indicando la factorización como
el producto del factor común por el cociente obtenido.
Al factorizar
El factor común es , por lo tanto la expresión quedaría de la siguiente manera:
ó , 
ya que en la expresión anterior todavía se puede seguir factorizando. Se trata de un
factor común monomio.
Ejemplo 1:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Al factorizar 2
El factor común es el binomio , por lo tanto la expresión quedaría de la
siguiente manera:
2 ó , 
ya que en la expresión anterior todavía se puede seguir factorizando. Se trata de un
factor común binomio.
Ejemplo 3:
Al factorizar
El factor común es el monomio
𝟐
𝟑
, por lo tanto la expresión quedaría de la
siguiente manera:
𝟐
Ejemplo 2:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Caso 2. 
Agrupación de 
términos
• Algunos polinomios no tienen un factor común a todos los 
términos; pero puede ocurrir que grupos de términos tengan 
cierto factor común.
• Agrupándolos y factorizando cada grupo puede resultar un 
factor común a todos los grupos del polinomio.
• Estas factorizaciones se llaman por agrupación de términos.
Ejemplo: Al factorizar
se nota que el polinomio no tiene un factor común a todos los
términos, pero se puede agrupar tomando en cuenta los términos
que tengan algún factor común
donde los dos primeros términos tienen a como factor común, y
los dos últimos .
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Factorizando cada grupo quedaría:
.
Resulta que es un factor común de todo el polinomio, por lo que
factorizándolo se tiene:
Luego, se tendrá que
Caso 2. 
Agrupación de 
términos
• Algunos polinomios no tienen un factor común a todos los 
términos; pero puede ocurrir que grupos de términos tengan 
cierto factor común.
• Agrupándolos y factorizando cada grupo puede resultar un factor 
común a todos los grupos del polinomio.
• Estas factorizaciones se llaman por agrupación de términos.
Continuación del Ejemplo:
EJERCICIOS PROPUESTOS DE 
FACTORIZACIÓN
Factorizar:
EJERCICIOS PROPUESTOS DE 
FACTORIZACIÓN
Factorizar:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Caso 3. 
Diferencia de 
Cuadrados
La diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios
conjugados formados por las raíces cuadradas de los términos
de esta diferencia, teniendo en cuenta que los términos
simétricos de los binomios conjugados deben corresponder a la
raíz cuadrada del sustraendo en la diferencia de cuadrados.
Se pide factorizar 2 2
Solución:
Primero, se determina la raíz cuadrada de 2 que es .
Segundo, se determina la raíz cuadrada de 2 que es .
Por último, se obtienen los binomios conjugados multiplicando la suma
de estas raíces por su diferencia y se tiene:
2 2
Ejemplo:
EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN 
DE POLINOMIOS
Factorizar:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Caso 4. 
Trinomio 
Cuadrado 
Perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando su raíz cuadrada es
racional. Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene un
trinomio, este se denomina trinomio cuadrado perfecto, ya que
se obtiene al elevar al cuadrado el binomio , es decir:
𝟐 𝟐 𝟐
Se pide factorizar el polinomio 𝟐
Solución:
Se determina la raíz cuadrada del primer término que es:
Se determina la raíz cuadrada del tercer término que es:
Por lo tanto, 2 y son cuadrados perfectos y ambos términos
tienen signos positivos.
El doble del producto de las raíces es , que
corresponde al segundo término del polinomio
Así, es un trinomio cuadrado perfecto que al factorizar
resulta equivalente a 𝟐 .
Ejemplo:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
𝟐
Caso 5. 
Trinomio de la 
forma 
𝟐
Al resultado del producto de dos binomios con un término común
se le conoce como trinomio de la forma 𝟐 , cuyo
primer término es cuadrado perfecto, el segundo término tiene
un factor igual a la raíz cuadrada positiva del primero y el tercer
término es independiente de la letra del primer término.
Se pide factorizar el polinomio 𝟐
Solución:
En principio, se debe obtener dos binomios cuyo primer
término sea , es decir, la raíz cuadrada del primer término
del trinomio .
Ahora, se debe encontrar los segundos términos, que deben
ser números cuyo producto debe ser igual al término
independiente (que en este ejemplo es ) y cuya suma sea
igual al coeficiente de (que en este caso es ).
Ejemplo:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
El producto es positivo, lo que indica que ambos términos
deben ser positivos o negativos, además la suma también es
positiva , por lo que ambos deben ser positivos.
Los números buscados son y , ya que el producto de estos
equivale a , y la suma de los mismos resulta igual a .
Por lo cual, se tendrá que 
𝟐
𝟐
Caso 5. 
Trinomio de la 
forma 
𝟐
Al resultado del producto de dos binomios con un término común
se le conoce como trinomio de la forma 𝟐 , cuyo
primer término es cuadrado perfecto, el segundo término tiene
un factor igual a la raíz cuadrada positiva del primero y el tercer
término es independiente de la letra del primer término.
Continuación 
del Ejemplo:
EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factorizar:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
𝟐
Caso 6. 
Trinomio de la 
forma 
𝟐
Trinomios de este tipo provienen de multiplicar dos binomios,
donde los términos de un binomio son semejantes a los términos
del otro binomio.
Se pide factorizar el polinomio 𝟐
Solución:
Una forma de resolverlo es convertir estetrinomio en otro
que tenga la forma 𝟐
siendo esto posible multiplicándolo por el coeficiente del
primer término así:
𝟐
Luego, se escribe de otro modo
𝟐
Ejemplo:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Los factores deben ser dos binomios cuyo primer término sea 
y los segundos términos deben ser dos números cuyo producto 
sea y cuya suma sea :
𝟐
Factorizando resulta: 
Debido a que al trinomio original se multiplicó por 5, la expresión 
anterior se dividirá entre 5 para tener la factorización del trinomio 
original:
𝟐
Continuación 
del Ejemplo:
𝟐
Caso 6. 
Trinomio de la 
forma 
𝟐
Trinomios de este tipo provienen de multiplicar dos binomios,
donde los términos de un binomio son semejantes a los términos
del otro binomio.
EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Factorizar:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Caso 7. 
Suma y 
Diferencia de 
Cubos
Se tiene una suma o diferencia de cubos cuando en un binomio
ambos términos tienen raíz cúbica racional.
La suma de los cubos de términos se factoriza como el
producto de dos factores, uno de los cuales es la suma de las
raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de los
cuadrados de las mismas raíces, disminuida en su producto.
𝟑 𝟑 𝟐 𝟐
La diferencia de los cubos de dos términos se factoriza como el producto de dos
factores, uno de los cuales es la diferencia de las raíces cúbicas de esos términos, y
el otro es la suma de los cuadrados de las mismas raíces, incrementada en su
producto.
𝟑 𝟑 𝟐 𝟐
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Se pide factorizar el polinomio 𝟑
Ejemplo 1:
Planteando el producto de con resulta finalmente
𝟑 𝟐
La suma de los cuadrados de las raíces antes obtenidas resulta equivalente a
𝟐
Solución:
La suma de las raíces cúbicas de 𝟑 y es
Si a la suma anterior se le disminuye en el producto de las raíces calculadas, se tiene
𝟐 𝟐
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE 
POLINOMIOS
Se pide factorizar el polinomio 𝟑
Ejemplo 2:
Planteando el producto de con resulta finalmente
𝟑 𝟐
La suma de los cuadrados de las raíces antes obtenidas resulta equivalente a
𝟐
Solución:
La diferencia de las raíces cúbicas de 𝟑 y es
Si a la suma anterior se le incrementa el producto de las raíces calculadas, se tiene
𝟐 𝟐
EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN 
DE POLINOMIOS
Factorizar:
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Caso 8. 
Regla de Ruffini
a) Ordenar el polinomio en orden decreciente, en caso de que falte algún
término se deja el espacio o se completa con cero ya que el polinomio
debe estar completo.
c) Buscar todos los divisores del término independiente.
b) Verificar que el polinomio tenga término independiente; si no lo tiene se
extrae el factor común hasta conseguir el término independiente.
d) Formar una tabla y colocar los coeficientes del polinomio.
e) Colocar el primer divisor o raíz que se quiera usar en la esquina inferior izquierda, y bajar el primer
coeficiente tal cual esté. Para la selección del divisor debe tenerse presente que los números que se
van obteniendo o bajando se van a multiplicar por el divisor y luego el resultado de la multiplicación se
va a sumar o restar con los coeficientes que se tienen; el divisor que se escoja debe ser un número que
haga que al final se obtenga como resto cero.
Nota: Una manera de saber si un número es raíz; es sustituyendo en el polinomio ese número como el
valor de la variable (x), y si da cero (0) es raíz, si no da cero no lo es y se pasa al siguiente divisor.
f) Luego de obtener la primera raíz, el proceso se repite con los nuevos coeficientes obtenidos hasta que 
quede un sólo coeficiente o hasta que no exista ninguna raíz que haga que resulte como resto cero (0).
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Ejemplo 1: Se pide factorizar el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟓 − 𝟗𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙
Solución:
a) Se ordena y se completa el polinomio, resultando: 𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 − 𝟗𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙
b) Como su término independiente es cero, se extrae factor común, como sigue:
c) Se extrae los divisores del término independiente dentro del paréntesis: 
𝑫𝟏𝟐 = ±𝟏; ±𝟐; ±𝟑; ±𝟒; ±𝟔; ±𝟏𝟐
d) Se bajan los coeficientes, se forma la tabla y se empieza a buscar las raíces que den resto 
cero (0):
En principio, se probó con el (+1) y no dió resto cero; entonces se tomo tomó (−1)
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
+𝟏 𝟎 − 𝟗 + 𝟒 + 𝟏𝟐
+𝟏 − 𝟏 − 𝟖 + 𝟏𝟐 + 𝟎
−𝟏 −𝟏 + 𝟏 + 𝟖 − 𝟏𝟐
+𝟐
+𝟏 + 𝟏 − 𝟔 + 𝟎
+𝟐 + 𝟐 − 𝟏𝟐
+𝟏 + 𝟑 + 𝟎
+𝟐 + 𝟔+𝟐
−𝟑
+𝟏 + 𝟎
−𝟑
e) Como se observa, luego se tomó el (+2)
también como divisor de (12) y 
posteriormente se buscaron además los 
divisores de 6: 
𝐷 = ±1; ±2; ±3; ±6
Se probó con ±1 y no resultó, por lo que se 
tomó (+2), dando cero como resultado.
Luego, se buscaron los divisores de 3:
𝐷 = ±1; ±3
Se probó con ±1 y +3, lo cual no resultó, 
por lo que se tomó (−3), dando cero como 
resultado.
Finalmente, el polinomio factorizado resulta 
𝑷 𝒙 = 𝒙𝟓 − 𝟗𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 = 𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟑 = 𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟐 𝟐 𝒙 + 𝟑
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Ejemplo 2: Se pide factorizar el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝟏𝒙𝟐 − 𝟕𝟒𝒙 + 𝟐𝟏
Solución:
a) El polinomio está ordenado y completo. Tiene término independiente, no aplica factor común.
b) Se extrae los divisores del término independiente: 
𝑫𝟐𝟏 = ±𝟏; ±𝟑; ±𝟕; ±𝟐𝟏
c) Se bajan los coeficientes, se forma la tabla y se empieza a buscar las raíces que den resto 
cero (0):
En principio, se probó con el (+1), (+3) y (+7) y no dió resto cero; entonces se tomó (−7)
+𝟔 + 𝟑𝟏 − 𝟕𝟒 + 𝟐𝟏
+𝟔 − 𝟏𝟏 + 𝟑 + 𝟎
−𝟕 −𝟒𝟐 + 𝟕𝟕 − 𝟐𝟏
CASOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Se continuó probando con el resto de los divisores enteros y no dió resto cero; entonces se 
plantea los divisores fraccionarios:
 é 
 é 
=
De donde se obtienen 16 fracciones irreducibles distintas: 
± ; ± ; ± ; ± ; ± ; ± ; ± ; ±
Se probó con los nuevos divisores y con + ⁄ dió resto cero:
+𝟔 + 𝟑𝟏 − 𝟕𝟒 + 𝟐𝟏
+𝟔 − 𝟏𝟏 + 𝟑 + 𝟎
−𝟕 −𝟒𝟐 + 𝟕𝟕 − 𝟐𝟏
+ 𝟏 𝟑
+𝟔 − 𝟗 + 𝟎
+𝟐 − 𝟑
+ 𝟑 𝟐
+𝟔 + 𝟎
+𝟗
Se probó con los divisores enteros de −9
y no dió resto cero; entonces se plantean 
los divisores fraccionarios resultando 10 
fracciones irreducibles 
± ; ± ; ± ; ± ; ±
Se probó con los nuevos divisores y con 
+ ⁄ dió resto cero 
Finalmente, el polinomio factorizado resulta 
𝑷 𝒙 = 𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝟏𝒙𝟐 − 𝟕𝟒𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝒙 + 𝟕 𝟑𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 − 𝟑
EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN 
DE POLINOMIOS
Factorizar:
NOTA:
El Método de Factorización de 
Ruffini es aplicable para polinomios 
de grado mayor o igual a dos.
PASOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO:
1.- Sacar factor común, de ser posible.
2.- Buscar las raíces enteras, poco a poco, y se va descomponiendo el
polinomio, hasta llegar a un polinomio de grado.
3.- Observar el polinomio de grado, de donde puede pasar:
a) Que sea un producto notable. Se factoriza, usándola.
b) Que no lo sea, se resuelve la ecuación de grado que sale al igualar
a cero el polinomio.
4.- Se escribe la factorización del polinomio, multiplicando por el coeficiente de
mayor grado si es distinto de uno .
RESUMEN FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ERRORES COMUNES EN LA 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
𝟐 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 𝟑
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 𝟐 𝟐
IDENTIDADES O PRODUCTOS NOTABLES
IDENTIDADES O PRODUCTOS NOTABLES