Matematica

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i 0 = 1 
i 1 = i = √−1 
i 2 = −1 
i 3 = − i 
i 4 = 1 
II 
 Naturales (ℕ) 
 Primos: 2, 3, 5… (tiene 2 divisores) 
 Múltiplos: n, 2n, 3n… 
 MCM (mínimo común múltiplo): menor N° que contiene a… 
 MCD (máximo común divisor): mayor N° … Contenido en… 
 Cardinales ℕ∗: 0, 1, 2, 3… 
Enteros ( ℤ ): 
 a < b  -a > -b 
 b+d > a+c {a < bc < d 
 |x| = a → x = ±a 
 |x| ≷ a → −a ≷ x ≷ a 
 |x − y| = |y − x| 
 a ⋅ b = 0 SSi {a = 0b = 0 
 −a > 0 SSi a < 0 
Racionales (ℚ ): 
 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑 → 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 𝑆𝑆𝑖 {𝑎 = 𝑘𝑐𝑏 = 𝑘𝑑 
Directamente proporcional 
 
 𝑎𝑏 = (𝑐𝑑)−1 𝑆𝑆𝑖 𝑎𝑐 = 𝑏𝑑 𝑆𝑆𝑖 {𝑎𝑐 = 𝑘𝑏𝑑 = 𝑘 
 
Inversamente proporcional. 
Cont. Racionales 
 No existe 𝑎0 (∀𝑎) 𝑜𝑜 ; 0−𝑛 , ∀𝑛𝜖ℕ 
 
 𝑎𝑏 < 𝑐𝑑 𝑆𝑆𝑖 𝑎𝑑 < 𝑏𝑐 
 —0—a2—a—1—1𝑎 — 
 0<a<1 
Imaginarios y complejos (II y ℂ) 
 a + bi forma binomica → a parte real (x), b parte imaginaria (y) (a, b) forma par ordenado 
 Conjugado: z = a + bi y z = a − bi 
 Opuesto: a + bi y −a – bi 
 Modulo: |z| = √a2 + b2 
 (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i 
 (a + bi) · (c + di) = (ac−bd)+(ad + bc)i 
 a+bic+di = (a+bi) · (c−di)(c+di) · (c−di) = (ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2 = ac+bdc2+d2 + bc+adc2+d2 i 
Decimales: 
 0,1 = 110 
 0, 1 = 19 
 0, 36 = 3699 = 411 
 1,234 = 1234−123900 1,234 = 1,234 ⋅ 1100 
Factorización: 
 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 
 (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 (𝑎 ± 𝑏 ± 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ± 2𝑎𝑏 ± 2𝑎𝑐 ± 𝑏𝑐 
 𝑎3 ± 𝑏3 = (𝑎 ± 𝑏)(a2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3 
 (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) = 𝑥2 + 𝑥(𝑝 + 𝑞) + 𝑝𝑞 
 𝑎(𝑎 + 𝑏 + 1) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎 
Potencias: 
 (−𝑎)2 = 𝑎2 
 𝑎−𝑝 = 1𝑎𝑝 
 (𝑎𝑝)𝑞 = 𝑎𝑝𝑞 
 𝑎𝑝𝑏𝑝 = (𝑎𝑏)𝑝 
 𝑎𝑝𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞 
 𝑎𝑝𝑏𝑝 = (𝑎𝑏)𝑝 
 𝑎𝑝𝑎𝑞 = 𝑎𝑝−𝑞 
 00 : ∉ ℝ 
Raíces: 
 𝑎𝑝𝑞 = √𝑎𝑝𝑞 
 √𝑎𝑝 ⋅ √𝑏𝑝 = √𝑎𝑏𝑝 
 √𝑎𝑝 ⋅ √𝑏𝑞 = √𝑎𝑞𝑝𝑞 ⋅ √𝑏𝑝𝑝𝑞 
 √𝑎𝑝√𝑏𝑝 =√𝑎𝑏𝑝 
 √𝑎𝑞𝑝 = (√𝑎𝑝 )𝑞 
 √√𝑎𝑞𝑝 = √𝑎𝑝𝑞 
 √𝑎2 = |𝑎| 
Logaritmos: b>0 
 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 = 𝑐 ⟺ 𝑏𝑐 = 𝐴 
 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑀𝑁) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑀 + 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑁 
 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑀𝑁 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑀 − 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑁 
 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 
 𝑙𝑜𝑔𝑏2𝐴2 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴 = log𝐴log𝑏 
 𝑙𝑜𝑔𝑏1 = 0 ∀𝑏 𝑎𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒 
Ecuación de 2do grado: 
 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 → 𝑥 = −𝐵±√𝐵2−4𝐴𝐶2𝐴 
 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝐵𝐴 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 𝐶𝐴 
 𝑥1 − 𝑥2 = √𝐵2−4𝐴𝐶𝐴 
 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = Δ {Δ > 0:ℝ y ≠ Δ = 0:ℝ e = Δ < 0: ∄ ℝ, ℂ 
 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 → (𝑥 + 𝐷)(𝑥 + 𝐸) = 0 𝑥1 = −𝐷; 𝑥2 = −𝐸 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐷 + 𝐸 = 𝐵 ; 𝐷 ⋅ 𝐸 = 𝐶 ; 𝐴 = 1 
Función Cuadrática: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
 Si 𝑎 > 0 ● Si 𝑎 < 0 ● si Δ = 0 ● si Δ > 0 ● si Δ < 0 
 
 
 
 𝑓(0) = 𝑐 
 Raíces de la ecuación: 𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎 
2 positivas y distintas ( ℕ∗), corta en dos puntos a X. 
1 positiva 2( ℕ∗), corta en un punto a X (es tangente) 
0 positiva (ℕ∗), no intersecta a X 
 vertice y eje de simetria : (− 𝑏2𝑎 , − 𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎 ) 
 
Inecuaciones (ℝ) 
 ∉ ℝ = ∅ (conjunto vacío (sin solución)) 
 al × 𝑜 ÷ con un N°- , a N°- aplicar potencia par o aplicar el inverso 
multiplicativo, se debe invertir la desigualdad. 
 ∪ (unión) todas las respuestas de los conjuntos, ∩ (intersección) 
respuestas en común con todos los conjuntos. 
 𝑎 < 2𝑥 > 𝑏 → 𝑎 < 2𝑥 ∨ 2𝑥 > 𝑏 , u operar para ambos lados a la vez (𝑎 < 2𝑥 > 𝑏 → 𝑎2 < 𝑥 > 𝑏2). 
 ∧ significa “y” (esto genera una ∩), ∨ significa “o” (esto genera una ∪) 
 Tipos de Sol. : 𝑥 > 0 𝑥 ≤ 𝑎 
 ]0,∞+[ {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 > 0} ]∞−, 𝑎] {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≤ 𝑎} 
 En los sist. De inecu. , cada inecu. Se desarrolla por separado, pero su 
resultado es la ∩ de ambos. 
Función lineal y afín: 
 Forma general: ax + by + c = 0 
 Forma principal: f(x) = mx + n 
 𝑚 = 𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1 o − 𝑎𝑏 o 𝑡𝑔 𝛼 
 Ecuación de la recta que 
pasa por dos puntos 𝑦−𝑦1𝑥−𝑥1 = 𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1 
 Punto pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
 Distancia de un punto 
a la recta |𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎2+𝑏2 
𝑎>0 𝑎>0 𝑎>0 𝑎<0 𝑎<0 𝑎<0 
● C = coordenada y en donde la 
parábola intersecta al eje y. 
● determinar 𝑓(𝑥) con las raíces 
de la 𝑓(𝑥)  se crea un 
cuadrado de binomio con x y las 
raíces con signo contrario. 
Función afín: 𝑓(𝑥)=𝑚𝑥 + 𝑛 
La diferencia se debe por que la lineal 
pasar por el punto (0,0) o origen y la 
afín no necesariamente. Por ello la 
lineal puede quedar definida como 𝑦 = 𝑚𝑥 
n : Coeficiente de posición, 
representa la coordenada y 
del punto de intersección 
con el eje Y. 
m : Pendiente; m > 0: 𝑓(𝑥) 
creciente, m = 0: 𝑓(𝑥) 
constante (// a X), 
m < 0: 𝑓(𝑥)decreciente. 
 
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Fuencion expotencial: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 𝑎 = ℝ + 
 𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 
 
Función Logarítmica 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 
 𝑎 = ℕ ≠ 1 
 a > 1 
 
 
 
 
 
 0< a < 1 
 
 
 
 
 
Interés simple y compuesto 
 𝐶𝑖 : Capital Inicial ● Simple: 𝐶𝑓 = 𝐶𝑖(1 + 𝑛 ⋅ 𝑖%) 
 𝐶𝑓: Capital Final ● Compuesto: 𝐶𝑓 = 𝐶𝑖(1 + 𝑖%)^𝑛 
 𝑖%: Interés del Periodo 
 𝑛: N° de periodos 
 
Función potencia 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 ● n par ● n impar 
 𝑛 = ℕ ≠ 1 
 𝑎 = ℝ +𝑎 
Mayor es 𝑛, 
Mas recto es 
El vértice. −𝑎 
 
Mientras mas 
Lejos de 0 sea 𝑎 , más cerca del eje Y. 
 
Transformaciones isométricas (≅) 
 Traslación ● Rotación ● Simetrías 
 (Reflexiones) 
 axial 
 (recta) 
 
 Punto (x,y) 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅ ≅ 𝐵𝐵′̅̅ ̅̅ ̅ ≅ 𝐶𝐶′̅̅ ̅̅̅ 90° (-y,x) 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ //𝐴′𝐶 ′̅̅ ̅̅ ̅̅ ; 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ //𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ ; 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ //𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ 180° (-x,-y) 
vector de traslación 270° (y,-x) central (rotación de 180°) 𝑇(𝑢, 𝑣) 360° (x,y) 
Congruencia (≅) 
 ∢ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 
 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 
 Criterios 
ALA 
LAL 
LLL 
LLA 
Figuras Equivalentes 
 Son aquellas con 
igual Área 
3⋅42 = 6𝑢2 6⋅22 = 6𝑢2 
Semejanza (∼) 
 ∢ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 
 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 
 Criterios 
AA 
LAL 
LLL 
LLA 
Polígonos 𝑁 = N° lados del polígono 
 
 Suma ∢ int. = (𝑁 − 2) ⋅ 180° 
 suma∢ ext. = 360° 
 N° de diagonales = 𝑁(𝑁−3)2 
 
Apolonio y Thales: 
 Valido para cualquier triangulo. 
Si 𝐶𝐷 es bisectriz 
del triángulo, 
 
𝑎𝑢 = 𝑏𝑣 
 
 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 
 𝐴𝐴+𝐵 = 𝐷𝐷+𝐶 = 𝑒𝑓 
 
 Semejanza △ 𝑂𝐵𝐷 ∼△ 𝑂𝐴𝐶 
 Euclides (solo △ equilatero) y Pitagoras: 
 ℎ𝑐 = 𝑎⋅𝑏𝑐 
 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑎⋅𝑏2 
 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑐⋅ℎ𝑐2 
 ℎ𝑐2 = 𝑝 ⋅ 𝑞 
 𝑎2 = 𝑐 ⋅ 𝑝 
 𝑏2 = 𝑐 ⋅ 𝑞 
 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 → 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠 
Triangulos. 
 Equilatero: lados y angulos iguales, triangulo 
regular. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑙𝑎𝑑𝑜2 √3, 𝑎𝑟𝑒𝑎 = 𝑙𝑎𝑑𝑜24 √3 
 Isósceles: dos lados y angulos iguales. 
 Escaleno: todos sus distintos. 
 Acutángulo: tiene todos sus angulos 
interiores agudos (menores de 90°) 
 Rectángulo: tiene un angulo recto (90°). 
 Obstusangulo: un angulo obtuso (mayor de90°). 
Relación de ángulos 
 
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 {2 = 4 = 6 = 81 = 3 = 5 = 7 
 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑡𝑜: 𝛼 + 𝛽 = 90 
 𝑠𝑢𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝛼 + 𝛽 = 180 
Rectas en el plano 
 Forma general: ax + by + c = 0 
 Forma principal: y = mx + n 
 𝑚 = 𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1 o − 𝑎𝑏 o 𝑡𝑔 𝛼 
 Ecuación de la recta que 
pasa por dos puntos 𝑦−𝑦1𝑥−𝑥1 = 𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1 
 Punto pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
 Distancia de un punto a la 
recta 
|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎2+𝑏2 
 Punto medio (𝑥1+𝑥22 , 𝑦1+𝑦22 ) 
 Distancia √(𝑥2 − 𝑥2)2 + (𝑦2 − 𝑦2)2 = 𝑑𝐴𝐵 
 Ecu. de los segmentos : 𝑥𝑎 + 𝑦𝑏 = 1 
Circunferencia: 
 Longitud de arco 𝐴�̂� = 2𝜋𝑟𝛼360° 
 Dos cuerdas paralelas forman 
 entre ellas arcos congruentes. 
 𝐴𝐵// 𝐶𝐷 → 𝐴�̂� ≅ 𝐵�̂� 
 
 Dos cuerdas congruentes 
determinan arcos congruentes 
y viceversa. 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷 ↔ 𝐴�̂� ≅ 𝐵�̂� 
 
 Dos segmentos tangentes 
trazados desde un punto 
exterior a la circunferencia son 
congruentes. 𝐶𝐴 ≅ 𝐶𝐵 
Base media 
 Triángulo: 𝑀𝑁 = 𝐵𝐶2 
 
 Trapecio: 𝑀𝑁 = 𝐴𝐵+𝐷𝐶2 
B C B’ C’ 
 A A’ 
B C B’ C’ 
 A’ 
 A 
// 
// 
E 
 
F 
E 
F 
n : Coeficiente de 
posición, representa la coordenada “y” del 
punto de intersección 
con el eje Y. 
 
Rectas paralelas (//) y 
perpendiculares (⊥) 
 // : m1 = m2 
 ⊥ : m1 ⋅ m2 = -1 
Intersección de dos 
rectas = sistema con 
ambas ecuaciones 
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Circunferencia: 
 En todo cuadrilátero 
circunscrito en un círculo la 
suma de los lados opuestos 
son la misma. 
 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 ≅ 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 
 
 Si el radio de una 
circunferencia es 
perpendicular a una 
cuerda, entonces la divide 
en dos segmentos de igual 
medida y viceversa; 
además el radio divide al 
arco que subtiende la 
cuerda en dos arcos congruentes y viceversa. 𝐴𝑂 ⊥ 𝐵𝐶 ⟺ 𝐵𝐷 ≅ 𝐷𝐶 y 𝐴𝑂 ⊥ 𝐵𝐶 ⟺ 𝐵�̂� ≅ 𝐴�̂� 
 
 El ángulo centro es igual 
al arco que corta, un 
ángulo inscrito es la 
mitad del arco. 
 Todo ángulo inscrito en una 
semicircunferencia es recto. ∡𝐵𝐶𝐴 = 90° 
 
 Todo ángulo interior es 
igual a la semisuma de las 
medidas de los arcos que 
comprenden sus lados y 
sus prolongaciones. ∡𝐷𝐸𝐴 = 𝐶�̂�+𝐷�̂�2 
 
 Todo ángulo exterior 
es igual a la semidife 
-rencia de los arcos 
que comprenden sus 
lados. ∡𝐶𝐸𝐷 = 𝐶�̂�−𝐵�̂�2 
 
 En todos los cuadriláteros 
inscritos en una circunfe 
-rencia los ángulos opues 
-tos son suplementarios. ∡𝐶𝐷𝐴 + ∡𝐴𝐵𝐶 = 180° ∡𝐵𝐶𝐷 + ∡𝐷𝐴𝐵 = 180° 
 Proporcionalidad entre 
las cuerdas de una 
circunferencia. 𝐴𝐸 ⋅ 𝐸𝐵 = 𝐶𝐸 ⋅ 𝐸𝐷 
 
 Proporcionalidad 
entre las secantes 
de una 
circunferencia. 𝐹𝐷 ⋅ 𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 ⋅ 𝐹𝐶 
 
 Proporcionalidad 
entre una secante 
y una tangente de 
una 
circunferencia. 𝐷𝐴2 = 𝐷𝐵 ⋅ 𝐷𝐶 
3D 
 Distancia de dos puntos 3D √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2 + (𝑧1 − 𝑧2)2 
 Calculo de modulo de vector √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
Perímetros y Áreas: 
 Cuadrados 𝑃 = 4𝑎 Á = 𝑎2 = 𝑑22 
 Rectángulo 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏) Á = 𝑎 ⋅ 𝑏 
 Rombo 𝑃 = 4𝑎 Á = 𝑑⋅𝐷2 
 Romboide 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏) Á = 𝑏 ⋅ ℎ 
 
Perímetros y Áreas: 
 Trapecios 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 Á = (𝑎+𝑐)ℎ2 
 Deltoide 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏) Á = 𝑑1⋅𝑑22 
 Triángulos y equilátero 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 / 𝑃 = 4𝑎 Á = 𝑏⋅ℎ2 / Á = 𝑎2√34 
 Polígono Regular 𝑃 = 𝑛 ⋅ 𝑎 Á = 𝑎⋅𝜌2 ⋅ 𝑛 𝑛 = 𝑁° 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 
Perímetros y Áreas: 
 Círculo 𝑃 = 2𝜋𝑟 Á = 𝜋𝑟2 
 Sector circular 𝑃 𝑑𝑒 𝐴�̂� = 2𝜋𝑟𝛼360° 𝑃 = 2𝜋𝑟𝛼360° + 2𝑟 Á = 2𝜋𝑟2𝛼360° 
Volúmenes y áreas cuerpos geométricos 
 Cubo o hexaedro Á = 6𝑎2 𝑉 = 𝑎3 
 Paralelepípedo o ortoedro (rectángulo) Á = 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 
 Pirámide (base polígono y cara lateral 
triangulo) Á = Á𝑏𝑎𝑠𝑒 + Á𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 (Σ 𝑑𝑒 △) 𝑉 = 13 Á𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ ℎ 
 Cono Á = Á𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐺 ⋅ πr 𝑉 = 13 𝜋𝑟2 ⋅ ℎ 
 Cilindro Á = 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟) 
△Equilatero 
● ℎ = 3𝑟 = 32 𝑅 
● ℎ = 𝑎2 √3 
● Á△= (𝑎2)2 √3 
Trigonometría (no entra pero puede servir) 
𝛼 0° 30° 45° 60° 90° 
seno 0 12 √22 √32 1 
𝑠𝑒𝑛𝑜 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 ● Á del triángulo = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 ⋅ 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑜 (∢ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜) 
Sen 120° = sen(180°-30°) = sen 30° 
Sen 300° = sen(360°-60°) = sen 60° 
 𝑣 = 𝜋𝑟2ℎ 
 Esfera Á = 4𝜋𝑟2 𝑉 = 43 𝜋𝑟3 
 Prismas 𝑣 = Á𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ ℎ 
Ecuación de recta en 3D 
 Ecuación vectorial de la recta ● Ecuaciones continuas de la recta 𝑣⃗⃗⃗ (𝑡) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) → 𝑥−𝑥0𝑢1 = 𝑦−𝑦0𝑢2 = 𝑧−𝑧0𝑢3 
 Dos planos paralelos = 𝑎𝑎′ = 𝑏𝑏′ = 𝑐𝑐′ = 𝑑𝑑′ 
 
 
 
Teorema de la bisectriz 
 𝑏𝑎 = 𝑚𝑛 
 
 𝑏𝑚 = 𝑎𝑛 
 
= 
= 
R 
r 
a 
o 
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