Regresión y Correlación Lineal Simple (5)

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REGRESIÓN Y CORRELACIÓN 
La regresión y la correlación son dos técnicas estrechamente relacionadas y comprenden una forma 
de estimación. 
En forma más específica, el análisis de correlación y regresión comprende el análisis de los datos 
muestrales para saber qué es y cómo se relacionan entre si dos o más variables en una población. 
El análisis de correlación produce un número que resume el grado de asociación entre dos variables; 
y el análisis de regresión da lugar a una ecuación matemática que describe dicha relación. 
El análisis de correlación generalmente resulta útil para un trabajo de exploración cuando un 
investigador o analista trata de determinar que variables son potencialmente importantes, el interés 
radica básicamente en la fuerza de la relación. La correlación mide la fuerza de una entre variables; 
la regresión da lugar a una ecuación que describe dicha relación en términos matemáticos 
Coeficiente de Correlación lineal de Pearson 
El estimador muestral más utilizado para evaluar la asociación lineal entre dos variables X e Y es el 
coeficiente de correlación de Pearson (r). Se trata de un índice que mide si los puntos tienen 
tendencia a disponerse en una línea recta. Puede tomar valores entre -1 y +1. Es un método 
estadístico paramétrico, ya que utiliza la media, la varianza,…y por tanto, requiere criterios de 
normalidad para las variables analizadas. 
Regresión Lineal Simple: 
 La regresión está dirigida a describir como es la relación entre dos variables X e Y, de tal manera 
que incluso se pueden hacer predicciones sobre los valores de la variable Y, a partir de los de X. 
Cuando la asociación entre ambas variables es fuerte, la regresión nos ofrece un modelo estadístico 
que puede alcanzar finalidades predictivas. 
La regresión supone que hay una variable fija, controlada por el investigador (es la variable 
independiente o predictora), y otra que no está controlada (variable respuesta o dependiente). La 
correlación supone que ninguna es fija: las dos variables están fuera del control de investigador. 
 
En este tema se presentan el coeficiente de correlación y la regresión lineal simple como las dos 
técnicas estadísticas más utilizadas para investigar la relación entre dos variables continuas X e Y. 
Gráficamente el diagrama de dispersión o nube de puntos permite obtener información sobre el tipo 
de relación existente entre X e Y, además de ayudarnos a detectar posibles valores atípicos o 
extremos. 
 
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE 
Cierta universidad desea determinar si los promedios puntuales en notas de los estudiantes, pueden 
explicar el número de ofertas laborales que reciben después de graduarse. Para el efecto se cuenta 
con la siguiente información: 
Estudiantes: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Punteos (x): 3.25 2.35 1.02 0.36 3.69 2.65 2.15 1.25 3.88 3.37 
Ofertas (y): 3 3 1 0 5 4 2 2 6 2 
 
Con la información antes detallada se le solicita resuelva los siguientes incisos: 
1. Diagrama de dispersión o esparcimiento 
2. Ecuación de regresión lineal simple 
3. Error estándar de estimación 
4. ¿Cuántas ofertas laborales tendrá un estudiante cuyo promedio es de 4.88? 
5. Estimación de intervalo con el 68% de confianza 
6. Índices o coeficientes de correlación y determinación 
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN O ESPARCIMIENTO 
 
FUENTE: DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA 
 
 
Estudiantes
Punteos 
(x)
Ofertas 
Laborales (y) xy x2 y2
1 3.25 3 9.75 10.5625 9
2 2.35 3 7.05 5.5225 9
3 1.02 1 1.02 1.0404 1
4 0.36 0 0 0.1296 0
5 3.69 5 18.45 13.6161 25
6 2.65 4 10.6 7.0225 16
7 2.15 2 4.3 4.6225 4
8 1.25 2 2.5 1.5625 4
9 3.88 6 23.28 15.0544 36
10 3.37 2 6.74 11.3569 4
Σ 23.97 28 83.69 70.4899 108 
 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
O
FE
R
TA
S
PUNTEOS
PUNTEOS Y OFERTAS LABORALES DE LOS 
ESTUDIANTES GRADUANDOS DE LA 
UNIVERSIDAD DE SALAMANCA
ECUACIÓN DE REGRESIÓN SIMPLE LINEAL 
Fórmula: Yc= a + bx 
 
a= (Σy * Σx2) – (Σx * Σxy) (28 * 70.4899) – (23.97 * 83.69) = 
 (N * Σx2) – (Σx)2 (10 * 70.4899) – (23.97)2 
 
1973.7172 – 2006.0493 = - 32.3321 = -0.24806 aprox. -0.25 
704.899 – 574.5609 130.3381 
 
b= N (Σxy) – (Σx * Σy) = 10(83.69) – (23.97 * 28) 
 (N * Σx2) – (Σx)2 (10 * 70.4899) – (23.97)2 
 
836.9 – 671.16 = 165.74 = 1.27161 aprox. 1.27 
704.899 – 574.5609 130.3381 
 
Yc= a + bx Yc= -0.25 + 1.27x 
 
ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN 
Fórmula: S= Σy2 – aΣy – b Σxy = 108 – (-0.25) (28) – (1.27) (83.69) = 
 N 10 
 
 S= 108 + 7 – 106.2863 = 8.7137 = 0.93347 
 10 10 
S= 0.93 ofertas laborales 
 
¿Cuántas ofertas laborales tendrá un estudiante cuyo promedio es de 4.88? 
 
Yc= a + bx = Yc= -0.25 + 1.27 (4.88) = 5.9476 aprox. 6 ofertas laborales 
 
 
Estimaciones de intervalos existentes 
68% = I = Yc + S 
95% = I = Yc + 2S 
99% = I = Yc + 3S 
 
Estimación de intervalo con el 68% de confianza 
I = Yc + S = 6 + 0.93 = 6 – 0.93 = 5.07 6 + 0.93 = 6.93 
[De 5.07 a 6.93 ofertas laborales] 
 
Índices o coeficientes de correlación y determinación 
Coeficiente de correlación 
 NΣxy – (Σx) (Σy) 10(83.69) – (23.97) (28) 
r = [NΣx2 – (Σx)2] [NΣy2 – (Σy)2] [10(70.4899) – (23.97)2] [10(108) - (28)2] 
 
r = 836.9 – 671.16 = 165. 74 = 165.74 
 [704.899 – 574.5609] [1080 - 784] [130.3381] [296] 196.41811 
 
r = 0.84381 aprox. 0.84 
Análisis: La correlación existente entre los promedios puntuales y las ofertas laborales 
recibidas por los graduandos de la universidad es alta y positiva. 
 
Coeficiente de Determinación (Es el grado influencia que tiene la variable independiente 
sobre la dependiente) 
C.D. = (r)2 * 100 = (0.84381)2 * 100 = 71.20% 
Análisis: Los promedios puntuales inciden de manera medianamente alta en las ofertas 
laborales recibidas por los graduandos de la universidad. 
 
 
 
 
 
De una determinada empresa se conocen los siguientes datos, referidos al volumen de 
Ventas (en millones de quetzales) y al gasto en publicidad (en miles de quetzales) de los 
últimos 6 años. 
Volumen de ventas (millones Q.) Gastos Publicidad (miles Q.) 
10 16 
15 32 
20 48 
22 56 
30 64 
32 80 
 
Con la información antes detallada se le solicita resuelva los siguientes incisos: 
1. Diagrama de dispersión o esparcimiento 
2. Ecuación de regresión lineal simple 
3. Error estándar de estimación 
4. ¿Cuántos millones de quetzales en ventas se obtendrán con una inversión 
en publicidad de 90? 
5. Estimación de intervalo con el 95% de confianza 
6. Índices o coeficientes de correlación y determinación