Aplicaciones de

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Sumamos las
áreas de las
secciones
transversales
y tomamos el
limite si n 
A = V =
x
y
L: x= c
x
y
L: y= c
Ejemplo:
x
a
b
f(x)-g(x) dxA=
Sea f(x) y g(x) funciones
continuas y positivas en
el intervalo cerrado [a, b].
Donde el área de la región
esta limitada por la
gráfica de f(x) y g(x), las
rectas x=a, x=b y el eje x
Aplicac
iones de
 
la Integral Definida 
a
b
1) Area de una region en el plano: 
Las propiedades de la
integral de Riemann
establecen que : “si el
integrando es positivo
entonces la integral
calculada representa el área
de la región estudiada” 
x
y
x
y
x
y
x=a x=b
x=a x=b
x=a x=b
A
A A
Caso 1 Caso 2 Caso 3
En los tres casos la expresión f(x)-g(x) es positiva, por
lo tanto esta representa el area limitada por las
graficas f(x) y g(x), ademas de las rectas x=a y x=b
y= f(x)
y= g(x)
y= f(x)
y= g(x)
y= f(x)
y= g(x)
2) Calculo de Volumen de un solido
Calculo del volumen de un solido conocidas sus secciones
transversales
Deseamos
conocer el
volumen del
solido
Se particiona
el solido 
Obtenemos
una sección
transversal
Calculamos
el área de la
sección
transversal
OBTENEMOS:
a
b
Área de las secciones transversales dx V=
Ejemplo:
(Lados)2 entonces
a
b
(f(x)-g(x)) dx
2
Calculo del volumen de un solido de revolución 
Solido de revolución:
Es un solido que se
genera al girar una
región dada respecto a
una recta L también
dada. 
La recta L se llama “eje
de revolución”
y
R R
x
y
y= f(x)
x
y
y= f(x)
L: x= c
y= f(x)
L: x= c
Se utiliza cuando la región tiene completo contacto con el
eje de revolución. “Se crea un radio desde f(x) hasta la recta
L (eje de revolución).
y
A =
(f(x)- Y ) dx
V =
a
b
a
b
2
Se aplica cuando la región no tiene contacto con el eje de
revolución. “En este caso se crean dos radios un radio mayor
y un radio menor y el volumen será la diferencia de ambos”
L: y= c
x
y
R
y= f(x)
y= g(x)
L: y= c
x
y
y= f(x)
Radio
Mayor
L: y= c
x
y
y= g(x)
Radio
Menor
a
b
a
b
(g(x)- c) dx
2V =Radio Menor: 2
V= 
a
b
[f’(x)] 
2L= 1 + dx
d
1
Si la curva viene dada en su forma paramétrica con t ∈
[a, b]
b
a
b
(f(x)- c) 
2
(g(x)- c) dx
2
- 
Radio Mayor:
es aquel que
atraviesa la
región 
Radio Menor:
es aquel que no
toca la región 
Método del Disco:
Calculo del volumen de un solido de revolución 
x
y= f(x)
L: y= y0
(radio)2 (radio) dx2
Entonces: V= 0
radio= (f(x)- Y ) 0
Método de la Arandela
(f(x)- c) dx
2V =Radio Mayor: 1
V= V - V 1 2
3) Longitud de arco:
Consideramos f(x) definida en el intervalo [a, b],
conocemos 2 puntos que pertenecen a la grafica. Con
esto podemos obtener la longitud de arco asi: 
Observacion:
Si la curva viene expresada por x= g(x) y Y ∈ [c, d],
entonces 
c
[g’(y)] 
2L= + dy
a
[x’(t)] 
2L= dt[y’(t)] 2+