MateII_Modulo5_Ej_Res_2013 (2)

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01/10/2013
1
Matemáticas II – Curso 2013
Módulo 5
Ejercicios resueltos
Ej.1)
1416301243012)2.(210.3
)()(2)(3
)]()(2)(3[
12)(2)(10)(
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
=−=−−=−−+=
=−+=
=−+
=−==
∫∫∫
∫
∫∫∫
−−−
−
−−−
dxxhdxxgdxxf
dxxhxgxf
dxxhdxxgdxxf
01/10/2013
2
Ej.2)
123.4]107[4
]1052[4]]105[2[4
]])()([)([4
])()([4)(4)
5105
)()()()
10)(5)(10)(
5
1
9
5
7
1
7
5
9
7
9
5
7
5
7
1
5
1
9
5
7
1
5
1
==+−=
=+−−=−−−=
=−−=
=−=
−=−=
=−=
===
∫∫ ∫
∫∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫∫∫
−−
− −
−−
dxxfdxxfdxxf
dxxfdxxfdxxfb
dxxfdxxfdxxfa
dxxfdxxfdxxf
Ej.3)
4
)2(2)2(.22.2
2
4
4)14(
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
||
=
=−−+−+−=+
−
=
=+−=+−
−−
−−− ∫∫∫
x
x
dxdxxdxx
01/10/2013
3
Ej.4)
Ej.5)
7)0) == AbAa
14)14) −=−= AbAa
Ej.7)
....666,4
3
14
]18[
3
2
]14[
3
2
2/3
63)
3
1
2
1
3
1
3
2
1
2)
2/32/3
4
1
2/3
4
1
2/1
4
1
1
0
2
1
01
0
3
1
0
2
1
0
2
1
0
|
|
|
==
=−=−==
≤≤
≥⇒>⇒






==
==
∫
∫
∫∫
∫
∫
x
dxx
dxxb
dxxxdx
x
dxx
x
xdx
a
01/10/2013
4
Ej.8)
⇐=+
⇐==−==
+≤
∫
∫
∫∫
14577,81
5,7
2
15
)
2
1
2
16
(
2
1)
4
1
2
4
1
2
4
1
4
1
2
4
1
|
dxx
x
xdx
dxxxdxa
Ej.8)a)
01/10/2013
5
Ej.9)
⇐−+=−+=
=
+
−+=
−+=−+=
−+=
⇐+−==
⇐++−=
+−=
∫
∫
∫
∫
)()(4
)(
1
)(4
)(
)()(
)(4
3
2
.
2
3
)(
)(
)(
)(4
3
2
)()(4
3
2
)(
)()(4)()
174)()(
2
7
)(
174)()
2
2
2
22
2/1
2/32/3
2
3
24
3
xsecxcosx
xcos
xcosx
xcos
xsenxcos
xcosxdxxg
dx
d
xcos
xsen
xsenxxtanxsenxdxxg
xsecxcosxxgb
xxxfdxxf
dx
d
cxxxdxxf
xxxfa
Ej.10)
( )
5225
2
2
3.
3
2
2
4
5
23
2
2
522)
4
4
4
)
5
5
5
)
232
3
2
3
4
23
5
4
5
44
5
4
+++=+++=
++++=+++
−
−
=+
−
=
==+=
∫
∫
∫∫
∫∫
−
−
−
xxxxx
x
dx
d
cx
x
x
x
dxxxxh
x
dx
d
c
x
dxxb
xx
dx
d
c
x
dxxa
01/10/2013
6
Ej.11)
⇐+−=⇒=+−=
−=+−⇒−=+−=
+−=
−=+=
⇐+−=
=⇒+−==⇒+−=
=+=
1)(4
7
4
)(143
343)0(.40
7
4
)0(
)(4
7
4
)(
3)0()(4)
5
1
)(
5115)1(
1
)(
5)1(;
1
1)
4/7
1
4/7
4/7
4/3
2
xcosxxfc
cccosf
cxcosxxf
fxsenx
dx
df
b
x
xxf
ccfc
x
xxf
f
xdx
df
a
321
Ej.12)
)1,3(
4
59
6
4
)(
4
59
4
9
181
18
4
9
1)3(6
4
)3(
1
)1,3(
6
4
)(
)1,3(6
2
65,0)(
2
2
2
'
−⇒+−=
⇐=−+−=
+−=−⇒+−=−
−
⇒+−=
−−=−=
porpasax
x
xf
c
cc
porpasaSi
parábolacx
x
xf
porpasequeHallar
x
xxf
01/10/2013
7
Ej.13)



++−=
++−=+−==
=⇒+=⇒+
+=
∫
∫
SíFSíF
NoFNoF
cxcosxF
cxcoscucosduusen
dxduxudxxsen
xsenxf
42
31
)32(
2
1
)(
)32(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
232)32(
)32()(
14)
!!
3024)(
103012)(
510154)(
1555)(
100001)0(
5
2
10
3
15
4
4
)(
110154)(
50.100.150.45)0(
1015410
2
30
3
12
)(
103012)(
108)1(30)1(
2
24
8)1(30
2
24)(
1)0(5)0(8)1(3024)(
3
22
231
234
234
231
11
1
1
23
1
231
22
22
2
2
2
2
2
123
OK
xxf
xxxf
xxxxf
xxxxxf
ccf
cxxxxxf
xxxxf
ccf
cxxxcxxxxf
xxxf
cc
fcx
x
xf
fffxxf







+=
++=
+++=
++++=
=⇒++++==
++++=
+++=
=⇒+++==
+++=+++=
++=
=⇒−=+−+−
−=−⇒++=
==−=−+=
01/10/2013
8
Ej.15)
⇐+−=
=⇒=+−=
+−=⇒−=
−=⇒+=−=⇒+=
==−==
19
3
)(
1100)0(
9
3
)(9)(
945)2()(
?)(1)0(5)2(2)(
3
3
2'
11
'
1
2'
'''
x
x
xf
ccf
cx
x
xfxxf
ccfcxxf
xfffxxf
Ej.16)
⇐+−=
=+−=⇒+−=
+−=
−=
−=⇒=+=⇒+=
=+=
32)(
32121.212
2
3
3
)(
)2,1(23)(
211.3)1(
2
6
)(
6)(1
3
11
3
1
3
2'
'2'
''
xxxg
cc
cxxxg
gráficalaapertenecexxg
ccgcxxg
xxgxy
01/10/2013
9
Ej.17)
⇐=
==⇒=
+==
−=
∫
∫
−
3
33
3
4
2
3
10
10
12
120
12120
)24(21202
))(()(
c
cc
cdxx
abcfdxxf
b
a
Ej.19)
⇐−=
=−−−−=−=+



>
≤
=
⇐=+=+−=+−=
=−=−=−+=−+=
=−+=−+
−−
−
−− −
∫∫
∫
∫ ∫∫
∫
2
2
)11(
2
)(
2
)(
0)(
0
)()()
321616222)
1343
2
8
3
2
5
2
3
3
2
5
2
3
3
2
5
4
6
)356()
2
2
0
0
2
0
0
4
0
2
0
4
4
4
2
4
0
0
4
1
0
24
1
0
24
1
0
3
||
||
|
|
π
ππ
π
π
π
π
π
xcos
x
dxxsenxdx
xsixsen
xsix
xfdxxfc
xxxdxxdxdxxb
xxx
xxxdxxxa
01/10/2013
10
20)a)
Ej.20)a)
⇐=+−+=−−+



−
=
±
=
+±−
=−−⇒−=−
−=−=
−−∫ 812,723
[))(12(
3,0
3,3
2
133
2
493
01312
12
|
3,3
3,0
23
22
3,3
3,0
22
2
xx
xxdxxxx
xxxxx
xyxxy
01/10/2013
11
Ej.20)b)
Ej.20)b)
⇐==−=−=−





=
=
=
==
∫ 2
1
4
2
4
1
4
3
44
3
[)(
1
0
|
1
0
4
3/43
1
0
3
33
33
x
xdxxx
imaginario
x
x
xx
xyxy
01/10/2013
12
20)c)
20)c)
01/10/2013
13
20)c)
Ej.20)c)
∫ ∫ −−−+−−+−
⇐=
=⇒+=+⇒−=+−
⇐=⇒−=−
⇐=⇒+−=−
−=+−=−=
2
1
4
2
)]73()42[()]35()42[(
2
61233757353)3
373|42|)2
153|42|)1
7353|42|
dxxxdxxx
x
xxxxx
xxx
xxx
xyxyxy
01/10/2013
14
21)a)
21)a)
01/10/2013
15
Ej.21)a)
=−−
≥−≤
∫
+
−
dxx
yxy
]8)216[(
8216
2
2
2
2
Método de integración por 
sustitución
01/10/2013
16
Ej. 23)a)
( ) ( )
( )
k
xx
k
u
duu
dxxduxxu
dxxxx
+
++
=+=
+=++=
+++
∫
∫
11
5810
11
)1610(5810
16105810
2
11
11
10
2
2
10
Ej. 23)b)
⇐+
+
=+=
+=+=
++
∫
∫
k
xx
k
u
duu
dxxxduxxu
dxxxxx
4
)6524(
4
)308(54
)308()54(
4
4
3
562
562 3
01/10/2013
17
Ej.23)c)
kxxku
u
du
dxxxduxxu
dx
xx
xx
++=+=
+=+=
+
+
∫
∫
)8ln()ln(
)224(8
8
224
23
223
23
2
Ej.23)d)
⇐+−−=+=
−−=−+=
−+
−−
∫
∫
kxlnxsenxkuln
u
du
dxxlnxsenxduxcosxu
dx
xcosx
xlnxsenx
x
xx
x
x
))(.7)(4ln()(
))(.7)(4(7)(
)
7)(
)(.7)(4
(
3
34
4
3
01/10/2013
18
Ej.23)e)
⇐++=+=
+=+=





+
+
∫
∫
kxelnkuln
u
du
dxeduxeudx
xe
e
x
xx
x
x
)3()(
)3(3
3
3
Ej.23)f)
( )xk
udu
u
dxx
du
dxxduxu
dxxxdxxxdxxx
2
2/3
2/3
2/1
2
22242
21
6
1
42/3
1
2
4
421
)21()21(2
−−=+−=
=−−=−=
−=−=−
∫
∫∫∫
01/10/2013
19
Ej.23)g)
⇐++=+=
=⇒=+=⇒+
∫
∫
kxku
du
u
dx
du
dxduxudxx
)32(
9
2
3
2
.
3
1
3
3
33232
32/32/1
Ej.23)h)
( )
kxsenkusenduucos
dxduxu
dxx
+=+=
==
∫
∫
)7()()(
77
77cos
01/10/2013
20
Ej.23)i)
⇐+−=+−=
=⇒=
∫
∫
kxcoskucosduusen
xdxduxuxdxxsen
)4()()(
847.)4(
2
22
Ej.23)j)
kxsenk
u
duu
dxxcosduxsenu
dxxcosxsen
+=+=
==
∫
∫
)(
11
1
11
)()(
)()(
11
11
10
10
01/10/2013
21
Ej.23)k)
⇐+−=+−=−
−=−=
−
−
∫
∫
kekedue
dxduxudxe
xuu
x
Ej.23)l)
⇐+=+=
=⇒==
∫
∫
k
e
k
e
du
e
dxx
du
dxxduxudxex
xuu
x
333
3
3.
3
3 2232
Ej.23)n)
( ) ( ) ( )
( )
kee
aa
e
kee
aa
e
dz
e
dv
a
e
du
a
e
dxdzxz
dxadvxav
adxduaxu
dxedxedxedxeee
dxeedxee
xxa
ax
zv
u
zvu
xxaaxxxaax
x
xax
axxax ee
+−
+
−
=+−
+
−
=−
+
−
==
+=+=
==
=−−=−−
=



 −−=−
+
++
∫∫∫
∫ ∫ ∫∫
∫∫
2)1(
2
2)1(22)1(2
222
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
21
2
2
22
)1()1(
22
22
2
01/10/2013
22
Ej.23)o)
⇐+−=+−=
==
∫
∫
kecoskucosduusen
dxedueudxesene
x
xxxx
)()()(
)(
Ej.23)p)
⇐+=+=
===
∫
∫
ke xke
du
e
dxx
du
dxxduxudxxe x
uu
6
6
10
556510
60
1
60
1
60
60
6010
Ej.24)
⇐=
−===
==
∫
∫
3
2
)0(
3
2
)
2
(
3
2
)(
3
2
2/3
)()()())((
0
1
2/
0
2/32/
0
2/3
2/
0
2/1
2/
0
2/1
|| 321
321
sensenxsen
u
duu
dxxcosduxsenudxxcosxsen
ππππ
π
01/10/2013
23
Ej.25
⇐=−=
=−=−=+=
===
=+=
+
∫
∫
−
426
23.21.2)9(2)1(2
2
2/1
1
1
1
1
2/18
0
2/1
8
0
2/1
8
0
2/1
8
0
2/1
8
0
|
||
x
uuduu
dxduxudx
x
Método de integración por 
partes
01/10/2013
24
Ej.27)
{
⇐++=
=−=
====
−=
∫∫
∫
∫∫
cxcosxsenx
dxxsenxsenxdxxcosx
xsenvxcosvuxu
dxxcosx
vduuvuduvu
v
u
)()(.
)()(.)(.
)()(1
)(.
...
'
''
''
321
Ej.28)a)
⇐−=−=
==⇒
⇐==
==⇒
∫
∫
∫
∫
)3(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
33)3(
)3(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
33)3()
xcosucosduusen
dxduxudxxsen
xsenusenduucos
dxduxudxxcosa
01/10/2013
25
Ej.28)b)
{
⇐++−=
=+−=
−==
==
∫
∫
cxcosxcos
dxxcosxcosxy
xcosvxsenv
uxudxxsenxb
v
u
)3(
9
1
)3(
3
1
)3(
3
1
)3(.
3
1
)3(
3
1
)3(
1)3(.)
'
'
'
43421
Ej.28)c)
⇐=
=++−=
)3(.
)3(
9
3
)3(3.
3
)3(
3
1'
xsenx
xcosxsen
x
xcosy
01/10/2013
26
Ej.29)
k
x
x
x
dxxx
x
x
v
x
u
xvxu
dxxx
+−=−=
==
==
=
∫
∫
16
ln
44
1
ln
4
4
1
ln
ln
44
3
4
4
'
3'
3
Ej.30)
( )kxxekeexex
evuevxu
dxexex
evxuevxu
dxex
xxxx
xx
xx
xx
x
++−=++−=
====
=−=
====
=
∫
∫
2222
1
2
2
22
''
2
''2
2
01/10/2013
27
Ej.31)
⇐++−=
=+−+−=+−+−=
=+−+−=++=
=+=+=−
+==−=−
∫∫∫∫
∫
cxx
cxxcxx
cxxcuu
duuduuduuudxxx
uxdxduxudxxx
)23()1(
15
2
)335()1(
15
2
))1(
5
3
1()1(
3
2
)1(
3
2
)1(
5
2
3
2
5
2
.)1(1.
111.
2/3
2/32/3
2/32/52/32/5
2/12/3
Ej.32)a)
⇐+−=
++−=+=
−====
∫
∫
∫
cxcosxxsendxxsenx
cxsenxcosxdxxcosxcosx
xcosvxsenvuxudxxsenxa
)(.)()(.
)()(.)()(..
)()(1)(.) ''
01/10/2013
28
Ej.32)b)
⇐++−=
=+−−=
=−=
==
==
∫
∫
cxxcosxsenx
cxxcosxsenxsenx
dxxsenxxsenx
xsenvxcosv
xuxudxxcosx
)(2)()2(
)]()([2)(.
)(.2)(.
)()(
2)(.
2
2
2
'
'22