MATEMATICA I

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Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua, Managua 
UNAN – Managua 
Facultad Regional Multidisciplinaria, Matagalpa 
 
 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 2 
 
 
 
 
 
 
Contendo 
Introducción ........................................................................................................ 4 
Objetivos Generales de la Asignatura ................................................................ 6 
Unidad I: Álgebra ................................................................................................ 7 
1.1. Factorización ......................................................................................... 8 
1.1.1. Fórmulas de factorización ............................................................... 8 
1.2. Fracciones Algebraicas ....................................................................... 20 
1.3. Simplificación de expresiones algebraicas .......................................... 20 
1.3.1. Operaciones con fracciones algebraicas ...................................... 21 
1.4. Ecuaciones .......................................................................................... 28 
1.4.1. Ecuaciones lineales ...................................................................... 29 
1.4.2. Ecuaciones cuadráticas ................................................................ 35 
1.5. Sistemas de ecuaciones lineales ........................................................ 39 
1.6. Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas .................................. 44 
1.7. Desigualdades .................................................................................... 47 
1.7.1. Desigualdades lineales ................................................................. 47 
1.7.2. Desigualdades cuadráticas ........................................................... 53 
Unidad II: Funciones ........................................................................................ 57 
2.1. Función ............................................................................................... 58 
2.2. Función lineal ...................................................................................... 59 
2.3. Función cuadrática .............................................................................. 63 
2.4. Función cúbica .................................................................................... 66 
2.5. Función definida por partes ................................................................. 68 
2.6. Función exponencial ........................................................................... 71 
2.7. Función logarítmica ............................................................................. 75 
Unidad III: Límites y Continuidad ...................................................................... 79 
3.1. Idea de límite de una función en un punto ............................................. 80 
3.2 Definición formal de límite ....................................................................... 82 
3.3. Teoremas de límites ............................................................................... 85 
MATEMÁTICA I 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 3 
 
 
3.4. Límites al Infinito ................................................................................... 91 
3.5. Limites Infinitos ................................................................................... 96 
3.5. Aplicaciones de límites ........................................................................ 98 
3.6. Asíntotas de una función ................................................................... 103 
3.6.1. Asíntotas Verticales .................................................................... 103 
3.6.2. Asíntotas horizontales ................................................................ 104 
3.7. Continuidad de una Función ............................................................. 109 
3.7. Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales ........ 112 
3.8. Continuidad de una función en un intervalo ...................................... 113 
Unidad IV: La Derivada en una variable ......................................................... 117 
4.1. Interpretación geométrica de la derivada .......................................... 118 
4.1.1. Pendiente de la Recta Tangente ................................................ 118 
4.2. Teorema de diferenciación ................................................................ 120 
4.3. Derivadas de Orden Superior ............................................................ 124 
4.4. Derivación Implícita ........................................................................... 125 
4.5. Análisis Marginal ............................................................................... 128 
4.5.1. Costo Marginal............................................................................ 128 
4.5.2. Ingreso y Utilidad Marginal ......................................................... 129 
4.5.3. Productividad Marginal ............................................................... 131 
4.5.4. Producción Marginal ...................................................................... 132 
4.5.5. Tasa de Impuesto marginal ........................................................... 132 
4.6. Valores extremos de una función ...................................................... 135 
4.6.1. Puntos críticos ............................................................................ 135 
4.6.2. Función creciente y función decreciente ..................................... 136 
4.6.3. Concavidad ................................................................................. 138 
 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 4 
 
 
Introducción 
La primera edición del libro de texto para el estudiante “MATEMÁTICA I” es un 
esfuerzo del Departamento de Educación y Humanidades de la Facultad 
Regional Multidisciplinaria, Matagalpa, UNAN Managua. 
 
El propósito fundamental de esta obra es dotar a los estudiantes de un material 
pedagógico basado en el programa de la asignatura de Matemática I, la cual se 
sirve en las carreras de Administración de empresas, Contabilidad, 
Mercadotécnica, Economía y Economía Agrícola, con el fin de aportar 
conocimientos básicos que contribuye a la adquisición de conceptos y principios 
necesarios para el desarrollo del pensamiento lógico que permite la compresión 
de fenómenos enfocados a las ciencias económicas y administrativas pero cuya 
fundamentación está en la Matemática. 
 
Primero se pretende reforzar los conocimientos previos de la Matemática 
importantes como son los algunos contenidos de Álgebra y Funciones para luego 
introducir al estudiante a sus primeros acercamientos con el estudio del Cálculo, 
comenzando con límite y continuidad y por último la derivada de funciones de 
una variable. 
 
La primera unidad ALGEBRA, trata de contenidos relacionados a la factorización, 
operaciones con facciones algebraicas, ecuaciones y desigualdades. 
 
La segunda unidad FUNCIONES, se realiza un resumen de las gráficas de 
funciones lineales, cuadráticas, cubicas, seccionadas, logarítmicas y 
exponenciales, así como problemas de aplicación. 
 
LÍMITE Y CONTINUIDAD es la tercera unidad, en ella se presenta: La idea de 
límite de una función, La definición de Límite, Teoremas de Límite, Limites 
Infinitos, Limites al Infinito, Asíntotas de una Función y la Continuidad de una 
función en un punto y en un intervalo. 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 5 
 
 
La cuanta unidad DERIVADAS EN UNA VARIABLE REAL se aborda contenidos 
como: Interpretación geométrica de la derivada, Definición de derivada, 
Teoremas de Diferenciación, Derivada implícita, Derivada de orden superior, 
Determinación de valores máximos y mínimo de una función. Máximo y mínimo 
absoluto de funciones en un intervalo cerrado,Criterio de la primera derivada, 
Criterio de la segunda derivada, Concavidad y punto de inflexión, Construcción 
de gráficas de funciones. 
 
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 Nesly Laguna – Mayling Zamora 6 
 
 
Objetivos Generales de la Asignatura 
 
 
N° CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES 
 
1 
Analizar conceptos, 
definiciones, 
axiomas, 
propiedades y 
teoremas de los 
contenidos de 
Algebra, Modelos 
funcionales, límites y 
continuidad y 
Derivadas de 
Funciones en una 
variable. 
 
Aplicar conceptos, 
definiciones, axiomas, 
propiedades y teoremas 
de Algebra, Modelos 
Funcionales, Límites y 
Continuidad y Derivadas 
de Funciones en una 
variable en la solución de 
problemas de la vida 
diaria. 
Valorar la 
importancia de 
Álgebra, Modelos 
Funcionales y, 
límites y continuidad 
y Derivadas de 
Funciones en una 
variable como 
herramienta para la 
solución de 
problemas de su 
entorno social. 
 
2 Dominar el 
vocabulario y la 
notación propia de 
Algebra, Modelos 
funcionales, límites y 
continuidad y 
Derivadas de 
Funciones en una 
variable. 
 
Aplicar el vocabulario y la 
notación correcta de 
Algebra, Modelos 
funcionales, límites y 
continuidad y Derivadas 
de Funciones en una 
variable en la resolución 
de ejercicios del entorno. 
Apreciar el trabajo 
individual y en 
equipo basado en la 
responsabilidad y en 
la cooperación. 
 
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 Nesly Laguna – Mayling Zamora 7 
 
 
Unidad I: Álgebra 
 
Objetivos de la unidad 
Objetivos Conceptuales 
 Identificar los casos de factorización de acuerdo a sus características y 
resolver fracciones algebraicas 
 Dominar al menos un método de solución para resolver ecuaciones 
lineales, cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales, sistema lineal 
cuadrático y desigualdades lineales y cuadráticas. 
Objetivos Procedimentales 
 Aplicar los casos de factorización en la resolución de operaciones con 
fracciones algebraicas. 
 Resolver problemas de la vida cotidiana, utilizando ecuaciones lineales, 
cuadráticas y sistemas lineales y desigualdades. 
Objetivos Actitudinales 
 Valorar la importancia del Álgebra como herramienta para la solución de 
problemas de su entorno social. 
 
Contenidos de Unidad 
 
Contenidos Cognitivos Contenidos 
Procedimentales 
Contenidos 
Actitudinales 
Casos de factorización y 
sus características. 
Operaciones con fracciones 
algebraicas. 
Método de solución para 
resolver ecuaciones 
lineales, cuadráticas, 
sistemas de ecuaciones 
lineales, cuadráticas. 
Desigualdades lineales y 
cuadráticas. 
Aplicación de los casos de 
factorización en la resolución 
de operaciones con fracciones 
algebraicas. 
Resolucion de problemas de 
la vida cotidiana utilizando 
ecuaciones lineales, 
cuadráticas y sistemas 
lineales y desigualdades. 
Valoración de la 
importancia del 
Álgebra como 
herramienta 
para la solución 
de problemas 
de su entorno 
social. 
 
 
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 Nesly Laguna – Mayling Zamora 8 
 
 
1.1. Factorización 
 
Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de 
sus factores. 
 
Una expresión queda completamente factorizada cuando representa como el 
producto de la mayor cantidad posible de factores de "primer grado" o "factores 
lineales". 
 
Se llama factores lineales las que tienen grado 1. 
 Factor primo, es decir no se puede seguir factorizando. 
Ejemplo: (𝑥 + 3)2 su factor primo es (𝑥 + 3) 
 
1.1.1. Fórmulas de factorización 
 
Factor común 
 
a. Se halla el M.C.D. de los coeficientes de los términos de la expresión 
dada. 
b. Se divide cada término entre el M.C.D. 
c. El resultado de dividir se escribe dentro de un paréntesis. 
 
Ejemplos 
 
Factorizar las expresiones algebraicas 
a) 24𝑥3𝑦2𝑚4 + 36𝑥4𝑦3𝑚 − 8𝑥2𝑦 𝑧3 
El M.C.D. es: 𝟒𝒙𝟐𝒚 
Dividiendo nos queda: 𝟒𝒙𝟐𝒚 (6𝑥𝑦𝑚4 + 9𝑥2𝑦2𝑚 − 2𝑧3) 
 
b) 12𝑚2𝑛 + 24𝑚3𝑛2 − 36𝑚4𝑛3 + 48 𝑚5𝑛4 
El M.C.D. es: 𝟏𝟐𝒎𝟐𝒏 
 Dividiendo nos queda: 𝟏𝟐𝒎𝟐𝒏 (1 + 2𝑚𝑛 − 3𝑚2𝑛2 + 4𝑚3𝑛3) 
c) 17𝑎5𝑏2 − 51𝑎4𝑏3 + 85𝑎2𝑏𝑧4 = 𝟏𝟕𝒂𝟐𝒃 (𝑎3𝑏 − 3𝑎2𝑏2 + 5𝑧4) 
MATEMÁTICA I 
 
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d) 4𝑛 + 12𝑛 = 𝟒𝒏 (1 + 3𝑛)} 
 
e) 27𝑥3𝑦2𝑧 − 18𝑥𝑦𝑧2 + 9𝑥2𝑦3𝑧 = 𝟗𝒙𝒚𝒛 (3𝑥2𝑦 − 2𝑧 + 𝑥𝑦2) 
 
f) 55𝑥8/3 + 5𝑥5/3 − 15𝑥2/3 = 𝟓𝒙𝟐/𝟑 (11𝑥6/3 + 𝑥3/3 − 3) 
= 𝟓𝒙𝟐/𝟑 (11𝑥2 + 𝑥 − 3) 
= 5𝑥2/3 (11𝑥2 + 𝑥 − 3) 
 
g) 𝑏 (𝑥 − 𝑎) + 𝑥 (𝑥 − 𝑎) = (𝒙 − 𝒂) (𝑏 + 𝑥) 
 
h) 7𝑚3 (𝑥 + 8)2 − (𝑥 + 8)3 = (𝒙 + 𝟖)𝟐 [7𝑚3 − (𝑥 + 8)] 
= (𝒙 + 𝟖)𝟐 [7𝑚3 − 𝑥 − 8] 
 
i) 𝑚2 (5𝑥 − 3𝑎) + 2𝑎𝑏𝑛 (5𝑥 − 3𝑎) = (𝟓𝒙 − 𝟑𝒂) (𝑚2 + 2𝑎𝑏𝑛) 
 
j) 3𝑏(𝑎 + 1) + 𝑎 + 1 = 3𝑏 (𝑎 + 1) + 1 (𝑎 + 1) = (𝒂 + 𝟏) (3𝑏 + 1) 
 
k) (𝑥 − 1) (𝑥 − 2) (𝑥 − 3) + (𝑥 − 1) (𝑥 − 2) − (𝑥 − 1) + 3 (𝑥 − 1) (𝑥 − 3) 
= (𝒙 − 𝟏)[(𝑥 − 2) (𝑥 − 3) + (𝑥 − 2) − 1 + 3(𝑥 − 3)] 
= (𝒙 − 𝟏) (𝑥 − 3) [𝑥 − 2 + 1 + 3] 
= (𝒙 − 𝟏) (𝑥 − 3) (𝑥 + 2) 
 
Factor común por Agrupación de términos 
a) 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 + 𝐛𝐱 + 𝐚𝐲 
= (𝐚𝐱 + 𝐛𝐱) + (𝐚𝐲 + 𝐛𝐲) = 𝐱(𝐚 + 𝐛) + 𝐲 (𝐚 + 𝐛) 
= (𝐚 + 𝐛) (𝐱 + 𝐲) 
b) 𝐱𝟑 + 𝐱𝟐 + 𝐱 + 𝟏 = (𝐱𝟑 + 𝐱𝟐) + (𝐱 + 𝟏) = 𝐱𝟐(𝐱 + 𝟏) + (𝐱 + 𝟏) 
= (𝐱 + 𝟏) (𝐱𝟐 + 𝟏) 
c) 𝟑𝐚 − 𝐛𝟐 + 𝟐𝐛𝟐𝐱 − 𝟔𝐚𝐱 = (𝟑𝐚 − 𝐛𝟐) + (𝟐𝐛𝟐𝐱 − 𝟔𝐚𝐱) 
= (𝟑𝐚 − 𝐛𝟐) + 𝟐𝐱(𝐛𝟐 − 𝟑𝐚) 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 10 
 
 
= (𝟑𝐚 − 𝐛𝟐) − 𝟐𝐱(𝟑𝐚 − 𝐛𝟐) = (𝟑𝐚 − 𝐛𝟐) (𝟏 − 𝟐𝐱) 
d) 𝟐𝐚𝐦 − 𝟐𝐚𝐧 + 𝟐𝐚 − 𝐦 + 𝐧 – 𝟏 = 𝟐𝐚(𝐦 − 𝐧 + 𝟏) + (−𝐦 + 𝐧 − 𝟏) 
= 𝟐𝐚(𝐦 − 𝐧 + 𝟏) − (𝐦 − 𝐧 + 𝟏) = (𝐦 − 𝐧 + 𝟏) (𝟐𝐚 − 𝟏) 
e) 𝐚𝟑 + 𝐚𝟐 + 𝐚 + 𝟏 + 𝐱𝟐 + 𝐚𝟐𝐱𝟐 
= (𝐚𝟑 + 𝐚) + (𝐚𝟐 + 𝟏) + 𝐱𝟐 + 𝐚𝟐𝐱𝟐 
= 𝐚(𝐚𝟐 + 𝟏) + (𝐚𝟐 + 𝟏) + 𝐱𝟐 (𝟏 + 𝐚𝟐) = (𝐚𝟐 + 𝟏) (𝐚 + 𝟏 + 𝐱𝟐) 
 
Trinomio cuadrado perfecto 
 
Características de un trinomio cuadrado perfecto 
a. Ordenar el Trinomio. 
b. El primero y tercer términos deben ser positivos. 
c. Los extremos deben ser cuadrados perfectos, es decir tienen raíz 
cuadrada exacta. 
d. El segundo término debe ser el doble producto de las raíces cuadradas 
de los extremos, es decir del primero y tercer términos. 
𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)𝟐 
𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = (𝒂 − 𝒃)𝟐 
 
Ejemplos 
a) 𝑥4 ⏟
𝐱𝟐
− 4𝑥2⏟
 
2(2)x2 
 + 4 ⏟
𝟐
= (x2 − 2)2 
 
b) 1 + 49𝑥4𝑦2 + 14𝑥2𝑦 = 49𝑥4𝑦2⏟ 
7x2y
 + 14𝑥2𝑦 ⏟ 
2(7x2y)(1)
+ 1⏟
1
 
c) − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 = −[𝒙𝟐⏟
𝒙
 − 𝟐𝒙 ⏟
𝟐(𝒙)
+ 𝟏⏟
𝟏
] = −[𝐱 − 𝟏]𝟐 
d) 𝟒𝒂𝟐 ⏟
𝟐𝐚
+ 𝟒𝒂𝒃⏟
𝟐(𝟐𝐚)𝐛 
 + 𝒃𝟐⏟
𝐛
 = (𝟐𝐚 + 𝐛)𝟐 
 
e) 𝟑𝟐𝒂𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝒚𝟐𝒂𝟑 − 𝟏𝟔𝟎𝒙𝒂𝟑𝒚 
 
Este caso es de factor común, pero 
luego tenemos un trinomio 
cuadrado perfecto porque cumple 
las caracterlísticas 
MATEMÁTICA I 
 
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= 𝟖𝒂𝟑 (𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 − 𝟐𝟎𝒙𝒚) 
= 𝟖𝒂𝟑 (𝟒𝒙𝟐 ⏟
𝟐𝒙 
− 𝟐𝟎𝒙𝒚 ⏟ 
𝟐(𝟐𝒙)(𝟓𝒚)
+ 𝟐𝟓𝒚𝟐)⏟ 
𝟓𝒚
 
= 𝟖𝒂𝟑 (𝟐𝒙 − 𝟓𝒚)𝟐 
 
f) 𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟐⏟ 
𝟐(𝒙 + 𝟏) 
 + 𝟒(𝒙 + 𝟏)⏟ 
𝟐[𝟐(𝒙+𝟏)𝟏]
 + 𝟏⏟
𝟏
 
= [𝟐(𝒙 + 𝟏) + 𝟏]𝟐 
= [𝟐𝒙 + 𝟐 + 𝟏]𝟐 
= (𝟐𝒙 + 𝟑)𝟐 
 
g) 𝟗(𝒙 − 𝒚)𝟐 ⏟ 
𝟑(𝒙 − 𝒚) 
+ 𝟏𝟐 (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐)⏟ 
𝟐∙𝟑(𝒙−𝒚).𝟐(𝒙+𝒚) 
 + 𝟒 (𝒙 + 𝒚)𝟐⏟ 
 𝟐(𝒙+𝒚)
 
= [𝟑(𝒙 − 𝒚) + 𝟐(𝒙 + 𝒚)]𝟐 = 
= (𝟑𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚)𝟐 
= (𝟓𝒙 − 𝒚)𝟐 
 
Diferencia de cuadrados 
a) 𝑥𝟒⏟
√𝑥4=𝑥2
 − 𝟏⏟
√𝟏=𝟏
 
= (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟏) 
= (𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟏) 
b) 𝒙𝟐⏟
√𝑥2=𝑥
 − 𝟒⏟
𝟐
= (𝒙 + 𝟐) (𝒙 − 𝟐) 
c) (𝒂 + 𝒙)𝟐 ⏟ 
(𝒂+𝒙)
− (𝒙 + 𝟐)𝟐⏟ 
𝒙+𝟐
 
= [𝒂 + 𝒙 + 𝒙 + 𝟐] [𝒂 + 𝒙 − (𝒙 + 𝟐)] 
= [𝒂 + 𝟐𝒙 + 𝟐] [𝒂 + 𝒙 − 𝒙 − 𝟐] 
= (𝒂 + 𝟐𝒙 + 𝟐) (𝒂 − 𝟐)MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 12 
 
 
d) 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝒙𝟐 = (𝒂𝟐⏟
𝒂
+ 𝟐𝒂𝒃 ⏟
𝟐(𝒂)(𝒃)
+ 𝒃𝟐⏟
𝒃
 ) − 𝒙𝟐 
= (𝒂 + 𝒃)𝟐⏟ 
𝒂+𝒃
 − 𝒙𝟐⏟
𝒙
= (𝒂 + 𝒃 + 𝒙) (𝒂 + 𝒃 − 𝒙) 
 
e) 𝟏 − 𝒂𝟐 − 𝒅𝟐 + 𝟐𝒂𝒅 = 𝟏 − (𝒂𝟐 ⏟
𝒂
− 𝟐𝒂𝒅 ⏟ 
𝟐(𝒂)(𝒅)
+ 𝒅𝟐⏟
𝒅
) 
= 𝟏⏟
𝟏
 − (𝒂 − 𝒅)𝟐 ⏟ 
𝒂−𝒅
= [𝟏 + (𝒂 − 𝒅)] [𝟏 − (𝒂 − 𝒅)] 
= (𝟏 + 𝒂 − 𝒅) (𝟏 − 𝒂 + 𝒅) 
 
f) (𝟓𝒙 − 𝟒)𝟐 ⏟ 
𝟓𝒙−𝟒
− 𝟒 (𝟑𝒙 + 𝟐)𝟐⏟ 
𝟐(𝟑𝒙+𝟐)
 
= (𝟓𝒙 − 𝟒)𝟐 − [𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟐)]𝟐 
= (𝟓𝒙 − 𝟒 + 𝟐(𝟑𝒙 + 𝟐) ) (𝟓𝒙 − 𝟒 − 𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟐) ) 
= (𝟓𝒙 − 𝟒 + 𝟔𝒙 + 𝟒) (𝟓𝒙 − 𝟒 − 𝟔𝒙 − 𝟒) 
= 𝟏𝟏𝒙 (−𝒙 − 𝟖) = −𝟏𝟏𝒙 (𝒙 + 𝟖) 
g) 𝒎𝟐 − 𝟐𝒎𝒏 + 𝟔𝒎 − 𝟔𝒏 + 𝒏𝟐 
= 𝒎𝟐 − 𝟐𝒎𝒏 + 𝒏𝟐 + 𝟔𝒎 − 𝟔𝒏 
= (𝒎𝟐 ⏟
𝒎
− 𝟐𝒎𝒏⏟ 
𝟐(𝒎)(𝒏)
 + 𝒏𝟐 ⏟
𝒏
) + (𝟔𝒎 − 𝟔𝒏) Agrupamos los términos 
= (𝒎 − 𝒏)𝟐⏟ 
𝒎−𝒏
 + 𝟔(𝒎 − 𝒏) 
= (𝒎 − 𝒏) (𝒎 − 𝒏 + 𝟔) 
 
h) 𝟐𝟓(𝒙 − 𝒚)𝟐 − 𝟒(𝒙 + 𝒚)𝟐 
= [𝟓(𝒙 − 𝒚)]𝟐 − [𝟐(𝒙 + 𝒚)]𝟐 
= [𝟓(𝒙 − 𝒚) + 𝟐(𝒙 + 𝒚)] [𝟓(𝒙 − 𝒚) − 𝟐(𝒙 + 𝒚)] 
= [𝟓(𝒙 − 𝒚) + 𝟐(𝒙 + 𝒚)] [𝟓(𝒙 − 𝒚) − 𝟐(𝒙 + 𝒚)] 
= (𝟕𝒙 − 𝟑𝒚) (𝟑𝒙 − 𝟕𝒚) 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 13 
 
 
Trinomios de la forma : x2n + bxn + c 
𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄 = (𝒙𝒏 + 𝒖) (𝒙𝒏 + 𝒗) 
 𝒖 + 𝒗 = 𝒃 
 𝒖𝒗 = 𝒄 
Ejemplos 
𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙 + 𝟑) (𝒙 + 𝟐) 
Para colocar los signos en los paréntesis se sigue la siguiente regla: 
 En el primer paréntesis va el signo de b 
 En el segundo paréntesis va el producto de los dignos de b y c. 
 El mayor de los números va en el primer paréntesis. 
a) 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 = (𝒙 + 𝟐) (𝒙 − 𝟏) 
b) 𝒂𝟐 − 𝟏𝟏𝒂 + 𝟐𝟖 = (𝒂 − 𝟕) (𝒂 − 𝟒) 
c) 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝒃 − 𝟓𝟎𝒃𝟐 = (𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒃) (𝒙𝟐 + 𝟓𝒃) 
d) 𝒙𝟔 − 𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝟔𝒚𝟐 = (𝒙𝟑 − 𝟏𝟑𝒚) (𝒙𝟑 − 𝟐𝒚) 
e) (𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟐 − 𝟗) = (𝒙𝟐 + 𝟗) (𝒙𝟐 − 𝟏) 
f) 𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟗 = (𝒙𝟐 − 𝟗)(𝒙𝟐 − 𝟏) = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) 
g) 𝒙𝟖 − 𝟏𝟎𝒙𝟒 + 𝟏𝟔 = (𝒙𝟒 − 𝟖) (𝒙𝟒 − 𝟐) 
h) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 – 𝟑𝟎 = (𝒙 + 𝟏𝟓) (𝒙 − 𝟐) 
i) 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 = (𝒙 + 𝒂) (𝒙 + 𝒃) 
j) 𝒙𝟐 − (𝒂𝒃 + 𝒄𝒅)𝒙 + 𝒂𝒃𝒄𝒅 = (𝒙 − 𝒂𝒃) (𝒙 − 𝒄𝒅) 
k) 𝒙𝟓 − 𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 = 𝒙(𝒙𝟒 − 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒) = 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟑𝟔)(𝒙𝟐 − 𝟒) 
 = 𝒙(𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) 
l) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 – 𝟖𝟐 = (𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟐) 
m) (𝒂 + 𝒃)𝟐 − 𝟏𝟐(𝒂 + 𝒃) + 𝟐𝟎 = (𝒂 + 𝒃 − 𝟏𝟎) (𝒂 + 𝒃 − 𝟐) 
n) 𝒙𝟔 − 𝟕𝒙𝟑 – 𝟖 = (𝒙𝟑 − 𝟖) (𝒙𝟑 + 𝟏) = (𝒙𝟑 − 𝟐𝟑) (𝒙𝟑 + 𝟏𝟑) 
 = (𝒙 − 𝟐) (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟏) (𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏) 
 
Trinomio de la forma: 𝒂𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄 
a) 𝟔𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟔 
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=
𝟔𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟔
𝟔
 
=
𝟔 ∙ (𝟔𝒙𝟒) + 𝟔 ∙ (𝟓𝒙𝟐) − 𝟔 ∙ (𝟔)
𝟔
 
=
𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟓 ∙ (𝟔𝒙𝟐) − 𝟑𝟔
𝟔
 
=
(𝟔𝒙𝟐 + 𝟗)(𝟔𝒙𝟐 − 𝟒)
𝟑 ∙ 𝟐
 
= (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑)(𝟑𝒙𝟐 − 𝟐) 
 
b) 𝟓𝒙𝟔 + 𝟒𝒙𝟑 – 𝟏𝟐 
=
𝟓𝒙𝟔 + 𝟒𝒙𝟑 – 𝟏𝟐
𝟓
 
=
𝟓 ∙ (𝟓𝒙𝟔) + 𝟓 ∙ (𝟒𝒙𝟑) –𝟓 ∙ (𝟏𝟐)
𝟓
 
=
𝟐𝟓𝒙𝟔 + 𝟒(𝟓𝒙𝟑) − 𝟔𝟎
𝟓
 
=
(𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟎)(𝟓𝒙𝟑 − 𝟔)
𝟓
 
= (𝒙𝟑 + 𝟐)(𝟓𝒙𝟑 − 𝟔) 
 
c) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟓 
=
𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟓
𝟐
 
 
=
𝟐 ∙ (𝟐𝒙𝟐) − 𝟐 ∙ (𝟏𝟏𝒙) + 𝟐 ∙ (𝟓)
𝟐
 
=
𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟏(𝟐𝒙) + 𝟏𝟎
𝟐
 
=
(𝟐𝒙 − 𝟏𝟎)(𝟐𝒙 − 𝟏)
𝟐
 
= (𝒙 − 𝟓)(𝟐𝒙 − 𝟏) 
 
Factorizaciones cúbicas 
 
a) 3𝑥2𝑦 + 𝑦3 + 3𝑥𝑦2 + 𝑥3 = 𝑥3⏟
𝑥
+ 3𝑥2𝑦⏟ 
3(𝑥)2(𝑦)
+ 3𝑥𝑦2⏟ 
3(𝑥)(𝑦)2
+ 𝑦3⏟
𝑦
= (𝑥 + 𝑦)3 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 15 
 
 
b) 𝑥6⏟
𝑥2
 + 3𝑥4⏟
3(𝑥2)2(1)
 + 3𝑥2⏟
3(𝑥2)(1)2
 + 1⏟
1
= (𝑥2 + 1)3 
 
 
c) 𝑦6 + 3𝑥3𝑦4 = 𝑥9⏟
 x3 
+ 3𝑥6𝑦2 ⏟ 
3(𝑥3)2(𝑦2)
+ 3𝑥3𝑦4 ⏟ 
3(𝑥3)(𝑦2)2
+ 𝑦6 ⏟
y2
= (𝑥3 + 𝑦2)3 
 
d) 𝑥3 ⏟
𝑥
− 8⏟
2
= 𝑥3 − 23 = (𝑥 − 2) (𝑥2 + 2𝑥 + 4) 
e) (𝑥3⏟
𝑥
 + 𝑦3⏟
𝑦
) = (𝑥 − 𝑦) (𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
 
f) 𝑥8𝑦 − 64𝑥2𝑦7 = 𝑥2𝑦 (𝑥6 ⏟
𝑥3
− 64𝑦6⏟ 
8𝑦3
) 
= 2𝑦 (𝑥3 − 8𝑦3)(𝑥3 + 8𝑦3) = 𝑥2𝑦(𝑥3 − (2𝑦)3)(𝑥3 + (2𝑦)3) 
 
g) 8𝑎6 − 1 − 12𝑎4 + 6𝑎2 = 8𝑎6⏟
2𝑎2
− 12𝑎4 + 6𝑎2 − 1⏟
1
= (2𝑎2 − 1)3 
 
h) 𝑥6 − 25𝑥3 − 54 = (𝑥3 − 27) (𝑥3 + 2) = [(𝑥3 − 33] (𝑥3 + 2) 
= (𝑥 − 3) (𝑥2 + 3𝑥 + 9) (𝑥3 + 2) 
 
Factorización utilizando la regla de Ruffini 
 
En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones 
sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores 
son de la forma (𝑥 ± 𝑎). 
 
Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (𝑥 ± 𝑎) si al reemplazar 
el valor 𝑥 por “𝑎” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “𝑎” de los 
Esta es diferencia de cuadrados 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 16 
 
 
posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del 
polinomio”. 
 
Se trata de buscar, para el polinomio 𝑃(𝑥), factores de la forma (𝑥 ± 𝑎). Para 
hallar el posible valor de "𝑎" se escogen los submúltiplos o divisores del término 
independiente entre el coeficiente del primer término. 
 
Si al reemplazar “𝑥” por “𝑎”, se obtiene que el valor numérico del polinomio 𝑃(𝑥) 
es cero, (𝑃(𝑎) = 0) entonces (𝑥 – 𝑎) es un factor de 𝑃(𝑥) y se factoriza: 𝑃(𝑥) =
 (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥), donde 𝑄(𝑥) es el cociente. 
 
Cuando se tiene un factor, se divide por Ruffini se comprueba que el residuo es 
cero y se trata de seguir factorizando el cociente. 
 
Generalmente se comienza tomando 
 a = 1 ó a = -1 
 
Ejemplos 
a) Factorizar: 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 – 𝟕𝒙 + 𝟔 
Sea 𝑥 = 1, 𝑃(1) = 13 − 7(1) + 6 = 0 Se tomará 1 para la división porque da 0. 
 𝑥 − 1 es factor de 𝑃(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 Es el cociente 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 = (𝑥 + 3) (𝑥 − 2) 
(𝑥3 − 7𝑥 + 6) = (𝒙 − 𝟏) (𝑥 + 3) (𝑥 − 2) 
b) Factorizar: 𝑥3 + 2𝑥2 − 17𝑥 + 6 
Probamos con divisores de 6 
 𝑥 = 1 ⟹ (1)3 + 2(1)2 − 17(1) + 6 = −8 
 𝑥 = −1 ⟹ (−1)3 + 2(−1 )2 − 17(−1) − 6 = 12 
1 0 – 7 +6 +1 
 + 1 +1 -6 
1 + 1 – 6 0 
Como la división es exacta 
tomaremos como primer factor 
el binomio (𝑥 − 1) el cual resulta 
de cambiar el signo de +1 
Como el resultado es un trinomio 
se puede factorizar como tal 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 17 
 
 
 𝑥 = 3 ⟹ (3)3 + 2 (3)2 − 17(3) − 6 = 27 + 18 + 6 − 51 = 0 Se 
toma 3 para dividir 
𝑥 − 3 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 + 5𝑥 − 2 Este es el cociente y no es factorizable 
= (𝑥 − 3) (𝑥2 + 5𝑥 − 2) Esta es la factorización final. 
 
c) Factorizar: 𝑚3 − 12𝑚 + 16 
 Si 
𝑚 = 1 ⟹ (1)3 − 12(1) + 16 = 5 
𝑚 = −1 ⟹ (−1)3 − 12(−1) + 16 = 27 
𝑚 = 2⟹ (2)3 − 12(2) + 16 = 0 Tomaremos 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑚2 + 2𝑚 – 8 Este es el cociente de la división 
𝑚2 + 2𝑚 − 8 = (𝑚 + 4) (𝑚 − 2) 
(𝑚 − 2) (𝑚 + 4) (𝑚 − 2 ) 
(𝑚 − 2)3 (𝑚 + 4) 
 
d) 𝑥4 − 15𝑥2 − 10𝑥 + 24 
𝑥 = 1 ⟹ (1)4 − 15(1)2 − 10(1) + 24 = 0 
 
1 +2 – 17 +6 +3 
 + 3 +15 – 6 
1 + 5 – 2 0 
1 0 – 12 +16 +2 
 + 2 +4 – 16 
1 + 2 – 8 0 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (𝑥 − 1) (𝑥3 + 𝑥2 − 14𝑥 − 24) 
Ahora 
𝑥3 + 𝑥2 − 14𝑥 − 24 
𝑥 = 1 ⟹ (1)3 + (1)2 − 14(1) − 24 = −36 
𝑥 = −2 ⟹ (−2)3 + (−2)2 − 14(−2) − 24 = −8 + 4 + 28 − 24 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 − 𝑥 – 12 Esto resulta de esta división 
𝑥2 − 𝑥 − 12 = (𝑥 − 4) (𝑥 + 3) Esta es su factorización 
La factorización de todo el polinomio es: 
 (𝑥 − 1) (𝑥 + 2) (𝑥 − 4) (𝑥 + 3) 
Completación de cuadrados 
 
Pasos a seguir para completar elcuadrado: 
 
Lo primero será identificar la parte del Trinomio Cuadrado Perfecto, Toda la 
expresión es una parte de un TCP 
25𝑎2 + 54𝑎2𝑏2 + 49𝑏2 
Re-escribiendo la misma expresión: (5𝑎)2 + 54𝑎2𝑏2 + (7𝑏)2 
Para que sea un TCP debemos tener a: (2)(5𝑎2)(7𝑏2) = 70𝑎2𝑏2 
De los cuales, sólo tenemos 54𝑎2𝑏2 faltan entonces 16𝑎2𝑏2 para tener un 
Trinomio Cuadrado Perfecto. Luego completando el Trinomio Cuadrado 
Perfecto: 
 
25𝑎2 + 54𝑎2𝑏2 + 49𝑏2 + 𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 – 𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 
1 0 – 15 – 10 +24 +1 
 + 1 +1 – 14 – 24 
1 + 1 – 14 – 24 0 
1 +1 – 14 – 24 – 2 
 –2 +2 + 24 – 24 
1 –1 – 12 0 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 19 
 
 
(25𝑎2 + 54𝑎2𝑏2 + 49𝑏2 + 𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐) − 𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 
(25𝑎2 + 𝟕𝟎𝒂𝟐𝒃𝟐 + 49𝑏2) − 𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 
 
Seguidamente se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto que queda dentro del 
paréntesis 
(25𝑎4 + 𝟕𝟎𝒂𝟐𝒃𝟐 + 49𝑏4) − 𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 = (5𝑎2 + 7𝑏2)2 − (4𝑎𝑏)2 
Ahora aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados: 
 (5𝑎2 + 7𝑏2)2 − (4𝑎𝑏)2 = [(5𝑎2 + 7𝑏2) + (4𝑎𝑏)][(5𝑎2 + 7𝑏2) −
(4𝑎𝑏)] 
Por lo tanto la factorización final es: 
25𝑎4 + 54𝑎2𝑏2 + 49𝑏4 = (5𝑎2 + 7𝑏2 + 4𝑎𝑏)(5𝑎2 + 7𝑏2 − 4𝑎𝑏) 
 
Ejemplos 
a) 𝑥4 + 𝑥2 + 1 
 = 𝑥4 + 𝑥2 + 1 + 𝑥2 − 𝑥2 
 = 𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 𝑥2 
 = (𝑥2 + 1)2 − 𝑥2 
 = (𝑥2 + 1 − 𝑥) (𝑥2 + 1 + 𝑥) 
b) 𝑥4 + 64 
 = 𝑥4 + 64 + 16𝑥2 − 16𝑥2 
 = 𝑥4 + 16𝑥2 + 64 − (4𝑥)2 
 = (𝑥2 + 8)2 − (4𝑥)2 
 = (𝑥2 − 4𝑥 + 8) (𝑥2 + 4𝑥 + 8) 
c) 𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4 
 = 𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4 + 𝑥2𝑦2 − 𝑥2𝑦2 
 = 𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4 − (𝑥𝑦)2 
 (𝑥2 + − (𝑥𝑦)2 
 (𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) (𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
 
4. 𝑥5 + 𝑥 + 1 
 = 𝑥5 + 𝑥 + 1 + 𝑥2 − 𝑥2 
 = 𝑥5 − 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 
 = 𝑥2(𝑥3 − 1) + (𝑥2 + 𝑥 + 1) 
 = 𝑥2(𝑥 − 1) (𝑥2 + 𝑥 + 1) + (𝑥2 + 𝑥 + 1) 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 20 
 
 
 
1.2. Fracciones Algebraicas 
 
Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma 
)(
)(
xq
xp
, donde 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥)
 𝑝(𝑥); 𝑞(𝑥)  0. 
 
El polinomio 𝑝(𝑥) es el numerador y 𝑞(𝑥) el denominador de la fracción 
algebraica 
 
Ejemplos de fracciones algebraicas 
 
)2x,4x(
8x2x
4x3
)d(
7
y3x2
)c(
2
3
x
3x2
8
)b()3x(
3x
5x
)a(
2














 
 
1.3. Simplificación de expresiones algebraicas 
 
Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y 
su denominador se pueden dividir por un mismo factor. 
Ejemplos 
 
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 
3 3 2 3
5
24 8 3
21
a b a ab
ab


2 37 3b ab
2
2
8
7
a
b
 
b) 
yx
yx
42
105

 
 
 
Al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que 
tienen un factor común que es (𝑥 – 2𝑦), entonces lo factorizamos y luego 
simplificamos los factores comunes del numerador y denominador al mismo 
tiempo 
5 ( 2 )5 10
2 4
x yx y
x y


 2 ( 2 )x y
5
2
 
Esta es una simplificación de fracción 
en la que sus componentes son 
monomios 
En esta fracción sus términos son binomios por lo 
cual se deberán factorizar y después simplificar 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 21 
 
 
c) 
16
127
2
2


x
xx
 
 
Podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que: 
 
 
Luego: 
2
2
( 4)7 12
16
xx x
x
 


( 3)
( 4) ( 4)
x
x x

 
3
4
x
x



 
d) 
1
1
2
3


xx
x
 
Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: 
𝑥3 – 1 = (𝑥 – 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) 
Entonces: 
23
2
( 1) ( 1)1
1
x x xx
x x
  

  2( 1)x x 
1x  
 
1.3.1. Operaciones con fracciones algebraicas 
 
Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, 
se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el 
denominador y se suman o restan los numeradores. 
 
1.3.1.1. Adición de fracciones algebraicas 
Ejemplos 
Adición de fracciones algebraicas con igual denominador 
Consideremos los siguientes casos 
a) 
5
19x17
5
19x14x3
5
)19x14()x3(
5
19x14
5
x3 






 
b) 
x
b23a10
x
b19a17b4a7
x
)b19a17()b4a7(
x
b19a17
x
b4a7 








 
4)4)(x(x162x
3)4)(x(x127x2x


MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 22 
 
 
c) 
 
 
2
b3a2
b3a22
b3a2
b6a4
b3a2
)b5a8()b2a7()b9a5(
b3a2
b5a8
b3a2
b2a7
b3a2
b9a5


















 
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores 
distintos 
 
En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores 
distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores 
(mínimo común denominador) 
A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el 
denominador común. 
Ejemplos 
Consideremos los siguientes casos: 
a) 
yx10
y3x2
xy15
y4x3
22



 
Calculemos el m. c. m. de los denominadores factorizándolos: 
yx52yx10
yx53xy15
22
22


 
m.c.m. = 2222 yx30yx532  
 
Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fracciones 
para igualar los denominadores: 
22
22
22
22
22
222222
yx30
y9xy14x6
yx30
y9xy6xy8x6
yx30
)y3x2(y3)y4x3(x2
yx30
)y3x2(y3
yx30
)y4x3(x2
yx10
y3x2
xy15
y4x3














 
b) 
b4a4
a6b
b3a3
ba2





 
 
Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores: 
)ba(4b4a4
)ba(3b3a3


 
m.c.m.= )ba(12)ba(43  
Luego, amplifiquemos las fracciones: 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 23 
 
 
)ba(12
b7a26
)ba(12
a18b3b4a8
)ba(12
)a2b(3)ba2(4
)ba(12
)a6b(3
)ba(12
)ba2(4
b4a4
a6b
b3a3
ba2




















 
 
(c) 
12mm
20m9
6mm
m613
22 




 
 
Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores: 
 
)4m)(2m)(3m(.m.c.m
)4m)(3m(12mm
)2m)(3m(6mm
2
2



 
Luego, amplificamos las fracciones 
)4m)(2m)(3m(
12m13m3
)4m)(2m)(3m(
40m18m20m9m2452m6m13
)4m)(2m)(3m(
)20m9)(2m()m613)(4m(
)4m)(2m)(3m(
)20m9)(2m(
)4m)(2m)(3m(
)m613)(4m(
)4m)(3m(
20m9
)2m)(3m(
m613
12mm
20m9
6mm
m613
2
22
22


























 
 
Factoricemos el numerador: 
 
    4m33m12m13m3 2  
Obtenemos 
8m6m
4m3
)4m)(2m(
4m3
)4m)(2m)(3m(
)4m3)(3m(
)4m)(2m)(3m(
12m13m3
2
2











 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 24 
 
 
Entonces 
8m6m
4m3
12mm
20m9
6mm
m613
222 







 
 
1.3.1.2. Multiplicación de fracciones algebraicas 
 
En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las 
fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre sí, 
simplificando si es posible. 
 
Ejemplo 
a) 
yw7
xz6
w
z2
y7
x3
 
 
b) 
x2
y10x15
y4x9
xy2x3
22
2 



 
 
Factorizamos los polinomios y simplifiquemos. 
x (3 2 )x y
(3 2 )x y (3 2 )x y
5 (3 2 )x y

2 x
5
2
 
 
c) 
7m7
21m7
m8m2m
mm
9m
6m5m
223
3
2
2








 
 
Factoricemos y simplifiquemos 
4m
1
)1m)(1m(7
)3m(7
)2m)(4m(m
)1m)(1m(m
)3m)(3m(
)2m)(3m(
)1m(7
)3m(7
)8m2m(m
)1m(m
)3m)(3m(
)2m)(3m(
22
2



















 
 
1.3.1.3. División de fracciones algebraicas 
 
Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones 
aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la 
fracción divisor. 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 25 
 
 
 
Ejemplosa) 
x3
y4
x9
y20
y5
x3
y20
x9
y5
x3 2
2
3
3
2
 
 
b) 
y12x6
y45x15
y15x5
y4x2
y45x15
y12x6
y15x5
y4x2











 
Factoricemos y simplifiquemos 
2 ( 2 )x y
5 ( 3 )x y
15 ( 3 )x y

6 ( 2 )x y
1
1
1
  
 
c) 
yx
y2x2
1
yx
y2x2
yx
yx
22
22







 
Al factorizar y simplificar resulta: 
( )x y ( ) 2( )
1
x y x y
x y
 


22( )x y  
 
d) 
98a14
1
12a6
14a5a
98a14
12a6
14a5a 22







 
Factoricemos y simplifiquemos 
( 7)a  ( 2)a 
6 ( 2)a 
1
14 ( 7)a


1
84
 
 
1.3.1.4. Operaciones combinadas con fracciones algebraicas 
 
Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en 
primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las 
multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. 
 
Ejemplos 
a) 
4
a3
2
a
5
a2
 
Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones 
40
)a1516(a
40
a15a16
40
a35a28
8
a3
5
a2
4
a3
2
a
5
a2 222 




 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 26 
 
 
b) 
x
4
16
x5
2
x3 2
 
En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición 
4
x11
4
x5x6
4
x51x32
4
x5
2
x3
x
4
16
x5
2
x3 2




 
 
c) 











4
5
y15x10
y12x8
y9x4
y3x2
22
 
Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el 
numerador y el denominador, para simplificar si es posible. 
y3x2
y3x2
:
y9x4
y3x2
4
5
)y3x2(5
)y3x2(4
y9x4
y3x2
2222 















 
Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor 
invertida. 
y3x2
1
y3x2
y3x2
)y3x2)(y3x2(
y3x2







 
 
d) 
22
22
22 yxyx
yx
y2x2
y6x6
yxy2x
y3x3













 
Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos. 
22
22
2 yxyx
yx
)yx(6
)yx(2
)yx(
)yx(3








 
 
 
 
utoevaluación 
 
I. Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda 
1) 
x
3
x2
5
x5
9
 2) 
x3
5
x2
7
x
6
2
 
3) 
m5
1m3
m2
2m 


 4) 
x12
5x2
x8
6x 


 
5) 
1m
5
2m

 6) 1a
3a2
7


 
7) 
1b3
5
1b

 8) 4c
3c
c9


 
A 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 27 
 
 
9) 
2aa
a3
1a
2
22 


 10) 
12mm
m7
4m
m
2 


 
11) 
24p5p
2
12pp
1p
22 



 12) 
x
y
xy2x
xy2
y2x
x
2




 
13) 
9d
)1d(6
3d
d
3d
1d
2 






 14) 
yx
y
yxy
x
y
x2
2
2



 
15) 
a2b3
b2a3
b2a3
b3a2





 16) 
1m
m
1m
2
1m
4
2 




 
17) 
3z
3
3z5z2
1z6
2 



 
18) 
12xx
5x4
xx318
9
24x10x
2
222 





 
19) 
3a4a
4a2
3a
1
2aa
5a2
22 






 20) 
1m
1
3m2m
11m
3m2m
1m3
22 






 
21) 
8p2p
6
6p5p
1p
12pp
17p
222 






 
22) 
2d5d3
1
2dd6
7
1dd2
d3
222 




 
II. Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas 
1) 
4
3
3
4
ab7
yx5
ba3
xy2
 2) 
2x19
)ba(17
x2
)ba(3 

 
 
3) 
w
z
6x
5x
3x
2x






 4) 
315
87
54
43
yx
yx
yx
yx



 
5) 
 
 
 
 52
432
543
32
yx
ba
ba
yx
 6) 
 
 
 
 332
52
32
243
nm
dc
cd
nm





 
7) 
y5x20
b14a21
b10a15
y3x12





 8) 
x
yx
y42x42
y7x7
yx
y2x2
22







 
9) 
8a6a
ab
ab
4a3a
2
5
2
2



 10) 
18a11a
10a7a
15a8a
18a9a
2
2
2
2





 
11) 
15z2z
21z10z
14z9z
16z10z
2
2
2
2





 12) 
6
12
2410
166
2
2
2
2





mm
mm
mm
mm
 
13) 
x2x
12x7x
16x8x
12x7x
9x6x
9x
2
2
2
2
2
2








 14) 
y30x30
y3x3
y5x5
yxyx
yxy2x
yxy2x
yx
yx 22
22
22
33
22











 
15) 
2a9a4
8a17a2
9a9a2
6a7a2
2
2
2
2





 16) 
22
22
22
22
1092
672
12112
12
baba
baba
baba
baba




 
17) 
2222
33
y2xy2x2
y6x6
yx
yx





 18) 
y15x15
y7xy7x7
yx
y5xy10x5 22
33
22





 
19) 
10b3b
5b4b
14b9b
21b10b
15b2b
16b10b
1b2b
12b8b
2
2
2
2
2
2
2
2











 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 28 
 
 
III. Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas 
 
(1) 
3
2
3
3
b9
ab14
:
b18
a35
 (2) 
523
986
1064
785
cba
cba
:
cba
cba
 
(3) 
3
3
43
23
x
y9
:
bxya54
yxab24
 (4) 
32
2
33
22
yb
ax3
:
yab
bxa
 
(5) 
yx21x14
a
:
a
xy9x6
233
2


 (6) 
1a2a
aa
:
aa
aa
2
23
2
3




 
(7) 
2m3m
3m2m
:
8m2m
16m8m
2
2
2
2




 (8) 
14c5c
7c8c
:
10c7c
5c6c
2
2
2
2




 
(9) 
9x6x
3x4x
:
18x3x
24x10x
2
2
2
2




 (10) 
28m3m
32m4m
:
21m4m
48m14m
2
2
2
2




 
(11) 
6p5p4
4p8p3
:
3p7p4
2pp3
2
2
2
2




 (12) 
1a6a8
1aa12
:
5a8a4
1a5a6
2
2
2
2




 
(13) 
20mm
16m6m
:
4m5m
2m3m
2
2
2
2




 (14) 
22
22
22
33
yxy2x
yx
:
yxy2x
yx




 
(15) 
22
22
22
44
yxy2x
yx
:
yxy2x
yx




 (16) 
1x
1x
:
1x
xx3




 
 
 
1.4. Ecuaciones 
 
Igualdad es la que se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 
2𝑥 + 3 = 5𝑥 − 2 
Una igualdad puede ser: 
Igualdad falsa 
2𝑥 + 1 = 2 · (𝑥 + 1) 
2𝑥 + 1 = 2𝑥 + 2 
1 ≠ 2 𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜 
Igualdad verdadera 
2𝑥 + 2 = 2 · (𝑥 + 1) 
2𝑥 + 2 = 2𝑥 + 2 
2 = 2 
Identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. 
2𝑥 + 2 = 2 · (𝑥 + 1) 
2𝑥 + 2 = 2𝑥 + 2 
2 = 2 
Ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. 
𝑥 + 1 = 2 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 29 
 
 
𝑥 = 1 
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen 
a ambos lados del signo igual. 
 
Los términos son los sumandos que forman los miembros. 
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen números y variables 
(incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. 
 
Ejemplo de ecuación: 5𝑥 + 4 = 8 
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, 
normalmente la x). 
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4 
 
1.4.1. Ecuaciones lineales 
 
Se dice que una ecuación es lineal o de primer grado cuando su variable está 
elevada a la potencia 1. 
 
Ejemplos de ecuaciones lineales 
3𝑥 + 1 = 𝑥 − 2 
𝑥
2
= 1 − 𝑥 + 
3𝑥
2
 
Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2. 
 
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la 
ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es 
irrefutable. 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 30 
 
 
En el ejemplo podemos probar con algunos valores sustituyéndolos en el lugar 
de la variable x: 
 
Si 𝒙 = 𝟏 ⟹ 𝟑(𝟏) + 𝟏 = 𝟏 − 𝟐 llegaríamos a 𝟒 = −𝟏, esto es falso 
Si 𝑥 = −1 ⟹ 𝟑(−𝟏) + 𝟏 = 𝟏 − 𝟏 llegaríamos a −𝟐 = −𝟑 tampoco. 
 
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales 
para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. 
 
Operaciones Justificación 
3𝑥 + 1 = 𝑥 − 2 
 
Sumar o restar a los dos miembros un mismo 
número. En este caso restar 1 a los dos 
miembros y restar x a los dos miembros: 
3𝑥 + 1 − 1 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 − 2 − 1 Reducción de términos semejantes 
2𝑥 = −3 
2𝑥
2
 = 
−3
2
 
Multiplicar o dividir los dos miembros por un 
mismo número. 
En este caso se divide por 2 
𝑥 = 
−3
2
 
Esta es la solución de la ecuación lineal 
𝑥 = 1.5 El resultado se puede dividir 
 
Comprobamos el resultado obtenido sustituyendo en la ecuación el valor 
encontrado 
3(−1.5) + 1 = −1.5− 2 
−4.5 + 1 = −3.5 
−3.5 = −3.5 
Resolvamos ahora la siguiente ecuación: 
𝑥 − 3 = 2 + 𝑥 
 
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta 
igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x. 
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución. 
Resolvamos ahora 
2𝑥 − 1 = 3𝑥 + 3 − 𝑥 − 4 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 31 
 
 
Ahora habrás llegado a la expresión 𝟎 = 𝟎 ¿qué significa ahora? La igualdad 
que has obtenido es cierta, pero se te han eliminado la x ¿Cuál es la solución? 
Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!. Compruébalo 
sustituyendo x por 0, 1, −3 u otro valor que desees. 
En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor 
de x es solución). 
Este tipo de ecuaciones se denominan identidades} 
 
Ejemplo de ecuaciones lineales 
a) 2𝑥 + 6 = 20 
2𝑥 = 20 − 6 
2𝑥 = 14 
2𝑥
2
=
14
2
 
𝑥 = 7 
 
b) 4𝑥 − 9 = 2𝑥 + 3 
4𝑥 + − 9 = 2𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
4𝑥 − 2𝑥 = 3 + 9 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎 
2𝑥 = 12 𝑆𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑥 
2𝑥 
2
=
12
2
 
𝑥 = 6 
 
1.4.1.1. Problemas de aplicación 
 
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver 
problemas de la vida cotidiana 
a) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más 
que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos suman la edad 
del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano? 
Se pasa el + 6 que está sumando a restar a la 
derecha del igual 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 32 
 
 
Solución 
Primero plantearemos los datos, elegimos uno de los valores desconocidos para 
llamarle x: 
x = Edad del hermano menor. 
A partir de ello se expresan los datos del problema y se planteará una igualdad 
(ecuación): 
𝑥 + 3 ∶ Edad del hermano mediano 
𝑥 + 3 + 4 = 𝑥 + 7: Edad del hermano mayor 
 
Ecuación: suma de las edades de los hermanos 𝑥 + 𝑥 + 3 + 𝑥 + 7 = 40, 
 
Resolviendo la ecuación se obtiene 
𝑥 = 10 años, esta es la edad del hermano menor 
Luego las edades de los tres hermanos son 10. 
𝑥 + 3 = 10 + 3 = 13 años es la edad del hermano mediano 
𝑥 + 7 = 10 + 7 = 17 años, es la edad del hermano mayor. 
 
b) Un número y su quinta parte suman 18. ¿Cuál es el número? 
 
x = el número buscado. (Definición de la incógnita) 
Su quinta parte es 
1
5
𝑥 (transformación al lenguaje algebraico). 
𝑥 +
1
5
𝑥 = 18 (es el planteamiento de la ecuación). 
Resolvemos la ecuación: 
𝑥 +
1
5
𝑥 = 18 
5𝑥 + 𝑥 = 90 
6𝑥 = 90 
𝑥 =
90
6
 
𝑥 = 15 
Notamos que al volver a leer el problema x = 15 es coherente con el 
enunciado, la quinta parte de 15 es 3. 15 más 3 suman 18. 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 33 
 
 
c) Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas tenía? 
y = número de ovejas que tenía. 
Un tercio de las que tenía es 
𝑦
3
 
El planteamiento será una resta: 𝑦 −
𝑦
3
= 24 
Resolvemos la ecuación: 
𝑦 −
𝑦
3
= 24 
3𝑦 − 𝑦 = 72 
2𝑦 = 72 
𝑦 =
72
2
 
𝑦 = 36 ovejas. 
Son 36 ovejas y un tercio de 36 es 12. Si restamos 36 menos 12 es 24 que 
es el número de ovejas con las que llegó. 
 
d) En una tienda, de un producto me rebajaron el 15% y pagué C$51. 
¿Cuánto costaba el producto? 
𝑎: es el precio del producto 
𝐸𝑙 15% 𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠 
15
100
𝑎 
Lo que costaba el producto menos la rebaja es lo que pagué: 
𝑎 −
15
100
𝑎 = 51 
Resolviendo la ecuación: 
𝑎 −
15
100
𝑎 = 51 
100𝑎 − 15𝑎 = 5100 
85𝑎 = 5100 
𝑎 =
5100
85
 
𝑎 = 60 córdobas. 
El 15% de 60 córdobas son 9 córdobas, entonces pagué 60 − 9 = 51 
 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 34 
 
 
 
utoevaluación 
 
I. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones: 
a) 4𝑥 = 2𝑥 − 12 
b) 8𝑥 − 24 = 5𝑥 
c) 7𝑥 + 12 = 4𝑥 − 17 
d) 3𝑥 − 25 = 𝑥 − 5 
e) 5𝑥 + 13 = 10𝑥 + 12 
f) 6𝑥 − 12 + 4𝑥 − 1 = −𝑥 − 7𝑥 + 12 − 3𝑥 + 5 
g) 2𝑥 − (𝑥 + 5) = 6 + (𝑥 + 1) 
h) 8 − (3𝑥 + 3) = 𝑥 − (2𝑥 + 1) 
i) 4𝑥 − 2 = 7𝑥 − (𝑥 + 3) + (−𝑥 − 6) 
 
II. Resuelve las situaciones con ecuaciones lineales 
1. Juana tiene 5 años más que Amparo. Si entre los dos suman 73 años, 
¿qué edad tiene cada una? 
2. Un padre tiene 3 veces la edad de la hija. Si entre los dos suman 48 años, 
¿qué edad tiene cada uno? 
3. Determinar tres números consecutivos que suman 444. 
4. Tengo 
2
3
 de lo que vale un ordenador. ¿Cuánto vale el ordenador si me 
faltan sólo C$318 para comprarlo? 
5. Después de caminar 1500 m me queda para llegar al colegio 
3
5
 del camino. 
¿Cuántos metros tiene el trayecto? 
6. Un pastor vende 
5
7
 de las ovejas que tiene. Después compra 60 y así 
tendrá el doble de las que tenía antes de la venta. ¿Cuántas ovejas tenía 
en un principio? 
7. Determinar un número que sumado con su mitad y su tercera parte de 55. 
8. Tres socios tienen que repartirse 3.000€ de beneficios. ¿Cuánto le tocará 
a cada uno, si el primero tiene que recibir 3 veces más que el segundo y 
el tercero dos veces más que el primero? 
 
A 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 35 
 
 
1.4.2. Ecuaciones cuadráticas 
 
Ecuaciones cuadráticas 
Definición Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma 𝒂𝒙𝟐 +
𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 donde a, b, y c son números reales y a es un número diferente de 
cero. 
 
Ejemplos 
Resolver la ecuación cuadrática mediante factorización 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 05x2x3 2  
3 ∙ (3𝑥2) − 3 ∙ (2𝑥) − 3 ∙ (5)
3
= 0 
9𝑥2 − 2 ∙ (3𝑥) − 15
3
= 0 
(3𝑥 − 5)(3𝑥 + 3)
3
= 0 
(3𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = 0 
3𝑥 − 5 = 0 𝑥 + 1 = 0 
3𝑥 = 5 𝑥 = −1 
𝑥 =
5
3
 
b) 04x3x 2  
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1) = 0 
𝑥 − 4 = 0 𝑥 + 1 = 0 
𝑥1 = 4 𝑥2 = −1 
c) 12𝑥2 + 18𝑥 = 0 
6𝑥(2𝑥 + 3) = 0 
6𝑥 = 0 2𝑥 + 3 = 0 
𝑥 =
0
6
 2𝑥 = −3 
𝑥1 = 0 𝑥2 =
−3
2
 
Ecuación de segundo grado que 
es un trinomio que tiene la 
forma: 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
Esta ecuación de segundo grado es un 
trinomio que tiene la forma: 
𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
 Esta ecuación cuadrática tiene dos 
términos que son el cuadrático y el 
lineal y lo podemos resolver 
mediante el factor común. 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolver la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general 
05x2x3 2  5c ,2b ,3a  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4(3)(−5)
2(3)
 
𝑥 =
2 ± √4 − (−60)
6
 
𝑥 =
2 ± √64
6
 
𝑥 =
2 ± √4 + 60
6
 
𝑥 =
2 ± 8
6
 
𝑥1 =
2 + 8
6
 𝑥2 =
2 − 8
6
 
𝑥1 =
10
6
 𝑥2 =
−6
6
 
𝑥1 =
5
3
 
 
Este es un caso especial, pero se 
resuelve de la misma forma: 
factorizando, finalmente la solución 
llevará la variable a. 
d) 10𝑥2 − 25 = 0 
10𝑥2 = 25 
𝑥2 =
25
10
 
𝑥2 =
5
2
 
√𝑥2 = ±√
5
2
 
𝑥1 = −√
5
2
 𝑥2 = √
5
2
 
e) 10𝑥2 + 37𝑎𝑥 − 36𝑎2 = 0 
(2𝑥 + 9𝑎)(5𝑥 − 4𝑎) = 0 
2𝑥 + 9𝑎 = 0 5𝑥 − 4𝑎 = 0 
𝑥 = −
9𝑎
2
 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 =
4𝑎
5
 
 
Esta ecuación cuadrática tiene dos 
términos que son el cuadrático y el 
independiente y lo podemos 
resolver haciendo transposición de 
términos y luego extrayendo raíz 
cuadrada. Le colocaremos doble 
signo porque es una raíz par. 
Recuerda que la fórmula general 
es: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 37 
 
 
 
utoevaluación 
 
I. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 
1) x(2x – 3) – 3(5 – x) = 83 
2) (2x + 5)(2x – 5) = 11 
3) (7 + x)2 + (7 – x)2 = 1304) (2x – 3)(3x – 4) – (x – 13)(x – 4) = 40 
5) (3x – 4)(4x – 3) – (2x – 7)(3x – 2) = 214 
6) 8(2 – x)2 = 2(8 – x)2 
7) 5
4
4x
2
6x 22




 
8) 
2x
x7
x
3x5




 
9) x2 – 3x = 0 
10) 6x2 + 42x = 0 
11) x2 + ax = 0 
12) (x – 2)(x – 3) = 6 
13) (x – 2)(x + 5) = 9x + 10 
14) (2x + 6)(2x – 6) = (2x + 9)(3x – 4) 
15) (x + 3)2 – 8x – 9 = 0 
16) 2
2
x3
1x
4




 
17) x2 + 4ax – 12a2 = 0 
18) x2 – 5ax + 6a2 = 0 
19) 8
x3
x2
x5
x37





 
II. Resuelve las situaciones con ecuaciones de segundo grado 
1. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos 
números. 
2. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad 
que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. 
3. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de 
cerca. Calcula las dimensiones de la finca. 
A 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 38 
 
 
4. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los 
números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del 
triángulo es 24 m². 
5. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, 
sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 
48 m respectivamente. 
6. Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 
26
5
. 
7. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus 
cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números? 
8. El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles 
son esos números? 
9. Encuentra una fracción equivalente a 
5
7
 cuyos términos elevados al 
cuadrado sumen 1184. 
10. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de C$1560 por 24 litros 
de leche, 6 paquetes de jamón serrano y 12 litros de aceite. Calcula el 
precio de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que 
1 litro de leche y que 1 paquete de jamón cuesta igual que 4 litros de 
aceite más 4 litros de leche. 
11. Dos números que se diferencian en 3 unidades, multiplicados dan 88. 
Encuentra dichos números. 
12. Encuentra un número tal que el doble de su cuadrado sea igual a seis 
veces ese número. 
13. El perímetro de un rectángulo es 42 cm. Si la diagonal mide 15 cm. Halla 
la anchura del rectángulo. (Pon un lado en función del otro). 
14. La edad de un niño será dentro de 3 años el cuadrado de la que tenía 
hace tres. Halla los años que tiene. 
15. Al aumentar 5m el lado de un cuadrado, su área aumenta en 75 𝑚2. 
Calcula el lado del cuadrado. 
16. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm. 
menos que la altura y la diagonal mide 10 cm. 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 39 
 
 
17. Varios amigos se reparten un premio y les toca a 1500 euros a cada uno. 
Si hubieran sido cuatro amigos más, les hubiera tocado a 300 euros 
menos a cada uno. ¿Cuántos eran a repartir? 
18. Se tienen dos cuadrados distintos y el lado de uno de ellos es 4 cm. mayor 
que el lado del otro. Averigua la longitud de los dos lados sabiendo que la 
suma de sus áreas es 808 𝑐𝑚2. 
19. Calcula la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su área es la 
cuarta parte del área de otro cuadrado cuyo lado es 2 centímetros mayor. 
20. Halla dos números naturales consecutivos sabiendo que la suma de sus 
cuadrados es 103. 
 
1.5. Sistemas de ecuaciones lineales 
 
Definición Llamaremos sistema de m ecuaciones con n incógnitas, a un 
conjunto de ecuaciones de la forma: 
1nn1212111 bxa...xaxa 
⋮
mnmn22m11m bxa...xaxa 
} 
Los elementos ija son los coeficientes del sistema. 
Los elementos xi son las incógnitas del sistema. 
Los elementos bj serán los términos independientes. 
 
Ejemplos 
 





4yx2
3yx
 es un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas 
 
Definición: Llamaremos solución del sistema anterior (S), a todo vector o n-
upla (s1, s2,…, sn) que verifique todas las igualdades del sistema. 
 
Definición: Resolver un sistema será hallar el conjunto de sus soluciones. 
Atendiendo al número de soluciones, podemos clasificar los sistemas de la 
siguiente forma: 
 Si el sistema no tiene solución diremos que es incompatible. 
 Si el sistema tiene solución diremos que es compatible. 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 40 
 
 
 Si el sistema tiene una única solución diremos que compatible y 
determinado. 
 Si tiene infinitas soluciones diremos que es compatible e 
indeterminado. 








)soluciones (infinitas adosIndetermin
solución) (una osDeterminad
)(sin
...
sCompatible
soluciónlesIncompatib
LESlosdeiónClasificac 
 
Definición: Llamamos sistemas homogéneos a los que tienen todos los 
términos independientes nulos. 
 
Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales diremos que son equivalentes 
cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. 
 
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones 
algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma: 
{
𝒂𝐱 + 𝒃𝐲 = 𝐩
𝒄𝐱 + 𝒅𝐲 = 𝒒
 
donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los 
términos independientes. 
 
Resolución de un sistema de ecuaciones 
 
Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es encontrar un par 
de números (x, y) que cumplan a la vez las dos ecuaciones. 
 
Método de sustitución 
a) Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones. 
b) Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la 
ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución. 
c) Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación 
despejada obtenida en el primer paso. 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 41 
 
 
Ejemplo 
1. Entre José y Sergio tienen C$600, pero Sergio tiene el doble de córdobas 
que José. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 
Solución: Primero representaremos los datos mediante el uso de variables 
𝒙: Número de córdobas de José 
𝒚: Número de córdobas de Sergio. 
 
Vamos a expresar las condiciones del problema con ecuaciones: 
Si los dos tienen 600 córdobas, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. 
Si Sergio tiene el doble de córdobas que José, tendremos que y = 2x. 
Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema: 
{
𝒙 + 𝒚 = 𝟔𝟎𝟎
𝒚 = 𝟐𝒙
 
Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la segunda 
ecuación hay una incógnita ya despejada. Sustituimos el valor de 𝑦 = 2𝑥 en la 
primera ecuación, con lo que tendremos: 
𝒙 + 𝒚 = 𝟔𝟎𝟎 
𝒙 + 𝟐𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 
𝟑𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 
𝒙 =
𝟔𝟎𝟎
𝟑
 
𝒙 = 𝟐𝟎𝟎 
Ahora sustituimos 𝑥 = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con 
lo que tendremos: 𝒚 = 𝟐𝒙 
𝒚 = 𝟒𝟎𝟎 
Por tanto, la solución al problema planteado es que José tiene 200 córdobas y 
Sergio tiene 400 córdobas. 
 
Método de igualación 
 
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una 
incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos 
despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del 
proceso son las siguientes: 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 42 
 
 
a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 
b) Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de 
una incógnita que resulta. 
c) Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una 
de las ecuaciones despejadas de primer paso. 
 
Ejemplo 
a) En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 14 cabezas y 38 
patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral? 
Datos 
𝒙: Número de conejos 
𝒚: Número de gallinas 
Planteamos el sistema de ecuaciones:(Traducimos a lenguaje algebraico) 
 
{
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟒
𝟒𝐱 + 𝟐𝐲 = 𝟑𝟖
 
 
Resolvemos el sistema de ecuaciones por el Método de Sustitución:Despejamos x en primera ecuación: 𝒙 = 𝟏𝟒 – 𝒚 
Sustituimos en la segunda ecuación: 
𝟒 ( 𝟏𝟒–𝒚) + 𝟐𝒚 = 𝟑𝟖 
Resolvemos la Ecuación: 
𝟓𝟔–𝟒𝒚 + 𝟐𝒚 = 𝟑𝟖 
– 𝟒𝒚 + 𝟐𝒚 = 𝟑𝟖–𝟓𝟔 
–𝟐𝒚 =–𝟏𝟖 
𝒚 =
𝟏𝟖
𝟐
 
𝒚 = 𝟗 
Sustituimos 𝒚 = 𝟗 en (1) para calcular x: 
𝒙 = 𝟏𝟒–𝟗 
𝒙 = 𝟓 
Conejos: 𝒙 = 𝟓 Gallinas: 𝒚 = 𝟗 
 
 
Comprobación: 
 
𝟓 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒋𝒐𝒔 𝟓 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒋𝒐𝒔 · 𝟒 𝒑𝒂𝒕𝒂𝒔 = 𝟐𝟎 𝒑𝒂𝒕𝒂𝒔 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 43 
 
 
 −5x−5y=−60 5x 
+ 𝟗 𝒈𝒂𝒍𝒍𝒊𝒏𝒂𝒔 + 𝟗 𝒈𝒂𝒍𝒍𝒊𝒏𝒂𝒔 · 𝟐 𝒑𝒂𝒕𝒂𝒔 = 𝟏𝟖 𝒑𝒂𝒕𝒂𝒔 
𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏𝟒 𝒄𝒂𝒃𝒆𝒛𝒂𝒔 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟑𝟖 𝒑𝒂𝒕𝒂𝒔 
 
Método de Reducción 
b) He comprado un DVD y me ha costado 105 dólares. Lo he pagado 
con 12 billetes de dos tipos, de 5 dólares y de 10 dólares. ¿Cuántos 
billetes de cada clase he entregado? 
 
Datos: 
x: Número de billetes de 5 dólares 
y: Número de billetes de 10 dólares 
Planteamos el sistema de ecuaciones: (Traducimos a lenguaje 
algebraico) 
{
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐
𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 = 𝟏𝟎𝟓
 
 
Resolvemos el sistema de ecuaciones por el Método de Reducción: 
Multiplicamos la primera ecuación por (–5 ) para eliminar las x 
 
 
 
𝟓𝒚 = 𝟒𝟓 
𝒚 = 𝟗 
Despejamos x en la primera ecuación: x = 12 – y 
Sustituimos y = 9 x = 12 – 9 
 x = 3 
Número de billetes de 5 dólares: x = 3 
Número de billetes de 10 dólares: y = 9 
 
Comprobación 
3 billetes de $5 + 9 billetes de 10 = 12 billetes 
 3 billetes de 5 $ son 𝟑 · $𝟓 = 𝟏𝟓 $ 
+ 9 billetes de 10 $ son 𝟗 · $𝟏𝟎 = 𝟗𝟎 $ 𝟏𝟐 $ 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 44 
 
 
 
 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏𝟎𝟓 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 
 
 
1.6. Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas 
 
En los sistemas de ecuaciones no lineales, a diferencia de los lineales, 
aparecen ecuaciones en las que hay incógnitas de grado mayor que uno. En el 
caso de sistemas de dos ecuaciones de dos incógnitas, las ecuaciones ya no 
serán dos líneas rectas. Una de ellas, o las dos, pueden ser parábolas, elipses, 
hipérbolas. La solución será los puntos en los que las dos ecuaciones se corten. 
 
Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones 
 
Sea el sistema 
{
𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟖
𝐱 ⋅ 𝐲 = −𝟑
 
 
Solución 
Lo primero que vamos a hacer es manipular convenientemente la variable 𝒙 
 
𝒙 = −
𝟑
𝒙
 
𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟖 
(−
𝟑
𝒚
)
𝟐
− 𝒚𝟐 = 𝟖 
𝟗
𝒚𝟐
− 𝒚𝟐 = 𝟖 
(
𝟗
𝒚𝟐
− 𝒚𝟐 = 𝟖) (𝒚𝟐) 
𝟗 − 𝒚𝟒 = 𝟖𝒚𝟐 
−𝒚𝟒 − 𝟖𝒚𝟐 + 𝟗 = 𝟎 
 
En donde ahora hacemos el cambio 𝒕𝟐 ≡ 𝒚, lo que implica que 
−𝒚𝟒 − 𝟖𝒚𝟐 + 𝟗 = 𝟎 
−𝒕𝟐 − 𝟖𝒕 + 𝟗 = 𝟎 
Primero escogeremos una de las 
ecuaciones en la cual vamos a 
despejar una de las variables. 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 45 
 
 
 
 
Resolvemos la ecuación de segundo grado: 
𝑡 =
−(−8) ± √(−8)2 − 4(−1)(9)
2(−1)
 
𝑡 =
8 ± √64 − (−36)
−2
 
𝑡 =
8 ± √100
−2
 
𝑡 =
8 ± 10
−2
 
𝑡1 = −9 𝑡2 = 1 
 
Ahora deshacemos el cambio 
𝑡1 = −9 ⟹ 𝑥
2 = −9 ⟹ 𝑥 = √−9, que no tiene solución en ℝ 
𝑡2 = 1 ⟹ 𝑥
2 = 1 ⟹ 𝑥 = ±√1⟹ 𝑥 = ±1 
 
Sólo hay dos posibles valores de 𝑥. Hallamos el valor de 𝑦 para cada 𝑥: 
𝐱 ⋅ 𝐲 = −𝟑⟹ 𝑦 = −
3
𝑥
 
Si 𝑥 = −1, entonces 𝑦 = −
3
(−1)
= 3 
Si 𝑥 = 1, entonces 𝑦 = −
3
1
= −3 
 
Conclusión: La solución del sistema es 
(𝑥, 𝑦) = (1,−3) 
(𝑥, 𝑦) = (1,−3) 
 
 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 46 
 
 
 
utoevaluación 
 
I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones 
 
II. Resuelve las situaciones utilizando sistemas de ecuaciones 
1. La diferencia de dos números 40 y 1/8 de su suma es 11. Hallar los 
números. 
2. La suma de dos números es 3 y su producto es -4. Hallar los números. 
3. Determina dos números cuya suma es 9 y su producto 18. 
4. La diferencia de dos números es 5 y su producto 14. Hallar los números. 
5. Hallar dos números cuya suma es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. 
6. Determina dos números cuya suma de sus cuadrados es 13 y la diferencia 
de sus cuadrados es 5. 
7. Hallar un número que es 3/5 del otro y el producto de ellos resulta 2160. 
8. La diferencia entre un número y el doble de otro número es 5. Si el 
producto de ellos es 18, ¿cuáles son los números? 
9. La diferencia entre dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 34. 
¿Cuáles son los números? 
10. La diferencia de dos números es 7 y el producto de su suma por el número 
menor es 104. Hallar los números. 
A 
a) {
𝑥 + 6𝑦 = 27
5𝑥 + 8𝑦 = – 60
 g) {
x + y = 7
x · y = 12
 
b) {
3𝑥 – 27 = – 2
7𝑥 – 3𝑦 = 9 
 h) {
x2 + y2 = 52
xy = 24
 
c) {
2𝑎 + b = 0
3𝑎 – 2𝑏 = 13
 i) {
x2 + y2 = 34
x − y = −2
 
d) {
2𝑢 – 5𝑣 = 23
3𝑢 + 2𝑣 = 15
 
j) {
x2 + y2 = 29
 x2 − y2 = 21
 
e) {
 4𝑥 + – 2𝑦 = 12
 5𝑥 – 1𝑦 = 8 
 k) {
x + y + xy = 14
x + y = 6
 
f) {
 2x − 7y = 14
 5x + 8y = 2
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 47 
 
 
1.7. Desigualdades 
 
Desigualdad 
Se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o 
algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,  , , , 
 
 
1.7.1. Desigualdades lineales 
 
Resolver ecuaciones, por ejemplo, ─6𝑥 + 17 = 8 o 𝑥2 − 2𝑥 − 5 = 0 es una de 
las tareas tradicionales de las matemáticas. Pero es casi de la misma 
importancia en cálculo saber resolver una desigualdad, por ejemplo 
─2𝑥 + 6 < 70 o 𝑥2 − 2𝑥 46 ≥ 0 
 
Resolver una desigualdad 
Es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen 
verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución, en 
general, consta de un número o un conjunto finito de números, en cambio 
el conjunto solución de una desigualdad consta de un intervalo completo 
de números o, en algunos casos, la unión de tales intervalos. 
 
1.7.1.1. Propiedades de las desigualdades 
Dados dos números reales, siempre podemos compararlos y decidir si son 
iguales o cuál es más grande. 
Escribimos 𝑎 < 𝑏 para decir que 𝑎 es menor que 𝑏 y 𝑎  𝑏 para decir que 𝑎 es 
menor o igual que 𝑏. 
 
En la recta, 𝑎 < 𝑏 significa que el punto 
correspondiente a 𝑎 está a la izquierda del que 
corresponde a 𝑏. 
 
 
El orden en los números reales tiene las siguientes propiedades: 
a b
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 48 
 
 
1. Si a y b son números reales, sucede una y sólo una de las siguientes 
relaciones (propiedad de tricotomía): 
𝑖) 𝑎 = 𝑏 𝑖𝑖) 𝑎 > 𝑏 𝑖𝑖𝑖) 𝑎 < 𝑏 
2. Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 < 𝑐 (propiedad transitiva). 
 
3. Si a < b y c  IR, entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐. 
 
4. Si a < b, y c > 0 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 
 
5. Si a < b, y c < 0 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐. Podemos tener los tres casos siguientes 
 
−𝑏𝑐  − 𝑎𝑐 𝑏𝑐  𝑎𝑐 −𝑏𝑐  𝑎𝑐 
 
1.7.1.2. Intervalos 
Definición 
Dados dos números 𝑎, 𝑏 en Iℝ con 𝑎 menor que 𝑏, el intervalo definido por 𝑎 𝑦 𝑏 
es el conjunto de números x en Iℝ que están entre 𝑎 𝑦 𝑏. 
 
 
Los puntos 𝑎 𝑦 𝑏 pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos tener 
los siguientes casos: 
1. Si a y b pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo cerrado y escribimos: 
[a, b] = {x  IR  a  x  b}. 
 
a b c
a b a+c b+c
c
c
a b ac bc
a b-bc -ac 0 bc ac-a -b 0 b ac-bc -a 0
[ ]
a b
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 49 
 
 
2. Si a y b no pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo abierto y 
escribimos: (a, b) = {x  IR  a < x < b} 
 
3. Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenece al intervalo tenemos 
estos dos casos (intervalos semiabiertos o semicerrados): 
 
La noción de intervalo se puede extender, para denotar al conjunto de las 𝑥 ∈ ℝ 
queson más grandes o más chicas que un número dado. 
 Por ejemplo, para denotar al conjunto {𝑥  ℝ 𝑥 > 𝑎} escribimos (𝑎, +  ). 
 
 Los siguientes conjuntos son intervalos: 
(𝑎, + ) = { 𝑥  ℝ 𝑥 > 𝑎} 
 
[𝑎, + ) = { 𝑥  ℝ  𝑥  𝑎} 
 
( − , 𝑏) = {𝑥  ℝ  𝑥 < 𝑏 } 
 
( − , 𝑏] = {𝑥  ℝ  𝑥  𝑏 } 
 
( − , +) = ℝ 
 
1. Completa la tabla llenando los espacios con la notación adecuada. 
Intervalo Desigualdad Grafica en la recta. 
[−3, 5) −3 ≤ 𝑥  5 
 
(−∞,−5] 
[3, 8] 
(−5, 4) 
Resolver una desigualdad significa determinar el conjunto de números x para los 
cuales la desigualdad es cierta. A este conjunto de números se le llama conjunto 
solución. 
 
2. Resuelva la desigualdad 𝟐 + 𝒙 < 𝟗 𝒙 + 𝟔 y dibuje la gráfica de la 
solución en la línea recta. 
a b
( )
a b
)[
a b
( ]
+¥
a
(
a
[ +¥
)
b
-¥
-¥ ]
b
-¥ +¥
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 50 
 
 
Solución. 
La desigualdad es válida para algunos valores de x, pero para otros no. Para 
encontrar los valores para los cuales es válida utilizaremos las propiedades 
mostradas en los apartados 1 y 2. Para ello despejaremos la x en la parte 
izquierda de la desigualdad. 
En primer lugar restamos -2 a ambos 
lados de la desigualdad (usando la 
propiedad 3 con 𝑐 = −2): 
2 − 2 + 𝑥 < 9𝑥 + 6 − 2 
𝑥 < 9𝑥 + 4 
Luego se resta 9𝑥 de ambos 
miembros (usando la propiedad 3 con 
c = - 9x): 
𝑥 − 9𝑥 < 9𝑥– 9𝑥 + 4 
−8𝑥 < 4 
Ahora multiplicamos ambos 
miembros por (−1/8) (propiedad 5 
con 𝑐 = −1/8). Observa que al 
multiplicar por el número negativo 
cambiamos el orden de la 
desigualdad. Por lo tanto el conjunto 
solución está formado por todos los 
números mayores que −1/2. En otras 
palabras, la solución de la 
desigualdad es el intervalo 1,
2
 
 
 
. 
La representación gráfica de la 
solución se muestra a la derecha. 
 
   
1 -1
8 > 4
8 8
x
   
   
   
 
- 4
>
8
x o bien 
-1
>
2
x 
 
3. Hallar la solución de la desigualdad 𝟑𝒙 + 𝟓 ≤ −𝟕𝒙 + 𝟖 y represéntela 
gráficamente en la línea recta. 
Solución: Trataremos de despejar la x en la parte izquierda de la desigualdad 
utilizando las propiedades de las desigualdades mostradas en los apartados 
1, y 2 de este documento. 
Primero sumamos 7𝑥 a ambos lados, 
usando la propiedad 3. 
3x + 7x + 5  - 7x + 7x + 25 
10x + 5  25 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 51 
 
 
Ahora sumamos −5 a ambos lados 
utilizando la propiedad 3. 
10x + 5 -5  25 – 5 
10x  20 
Enseguida multiplicamos por 1/10. De esta 
manera tenemos que la solución está 
formada por todos los números menores o 
iguales que 2. En otros términos, la solución 
está dada por el intervalo (-  La 
representación gráfica de este intervalo se 
muestra a la derecha. 
 
   
1 1
10 20
10 10
x
   
   
   
 
x  2 
 
4. Hallar el conjunto de soluciones de la desigualdad 𝟐 + 𝟑𝒙 < 𝟓𝒙 + 𝟖 
e ilustrarlo en la línea recta. 
Solución: Las siguientes desigualdades son equivalentes: 
Sumando -2 a ambos lados de la 
desigualdad. 
2 + 3𝑥 < 5𝑥 + 8 
2 + 3𝑥 − 2 < 5𝑥 + 8 − 2 
3𝑥 < 5𝑥 + 6 
Sumando −5𝑥 a ambos lados de la 
desigualdad. 
3𝑥 – 5𝑥 < 5𝑥 − 5𝑥 + 6 
−2𝑥 < 6 
Multiplicamos por (−1/2) los dos lados de 
la desigualdad. Observa que cambiamos el 
orden de la desigualdad. Por consiguiente, 
el conjunto de soluciones es el intervalo 
(−3,+  ), que se ilustra en la gráfica de la 
derecha. 
 
(-1/2)(-2x)  (-1/2)(6) = -6/2 
x 
 
5. Resolver la desigualdad 𝟐𝒙 + 𝟑 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟕 y representar la solución en 
la línea recta. 
Solución: Despejaremos la variable x en la parte izquierda de la inecuación. 
Sumando −3 a ambos lados de la 
desigualdad. 
2x + 3 x +7 
2x + 3 - 3x +7 – 3 
2x x + 4 
Sumando −3𝑥 a ambos lados. 2x -3x x -3x + 4 
-x  4 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 52 
 
 
Multiplicamos por (−1) ambos lados 
para dejar x con signo positivo, (fíjate 
que cambiamos el orden de la 
desigualdad) y así tenemos que la 
solución es el intervalo (−4,+∞) La 
gráfica del intervalo se muestra a la 
derecha. 
(-1)(-x)  (-1)(4) 
x  -4 
 
 
6. Hallar la solución de la desigualdad 𝟕 < 𝟑𝒙 – 𝟐  𝟏𝟑 e ilustrarla en la 
recta de los números reales. 
 
Solución: En este caso tenemos una doble desigualdad en la que sólo en la 
parte intermedia aparece la variable x. La solución consta de todos los valores 
de x que satisfacen las dos desigualdades. Para resolverla despejaremos la 
variable x en la parte media de la desigualdad aplicando las propiedades dadas 
en los párrafos 1 y 2. 
Primero sumamos 𝟐 a toda la 
desigualdad, usando la propiedad 3. 
7 < 3𝑥 – 2  13 
7 + 2 < 3𝑥 – 2 + 2  13 + 2 
9 < 3𝑥  15 
Enseguida multiplicamos por (1/3) 
toda la desigualdad utilizando la 
propiedad 5. De esta manera 
tenemos que la solución está formada 
por todos los números 𝑥 mayores que 
3 y menores o iguales a 5. En otros 
términos, la solución está dada por el 
intervalo (3, 5]. La representación 
gráfica de este intervalo se muestra a 
la derecha. 
 
 
 
1 1 1
9 < 3x 15
3 3 3
     
     
     
 
3 < x  5 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 53 
 
 
7. Resuelva la desigualdad 𝟐 + 𝒙 < 𝟗 𝒙 + 𝟔 y dibuje la gráfica de la 
solución en la línea recta. 
Solución. La desigualdad es válida para algunos valores de x, pero para otros 
no. Para encontrar los valores para los cuales es válida utilizaremos las 
propiedades mostradas en los apartados 1 y 2. Para ello despejaremos la x en 
la parte izquierda de la desigualdad. 
En primer lugar restamos −2 a ambos 
lados de la desigualdad (usando la 
propiedad 3 con 𝑐 = −2): 
2 − 2 + 𝑥 < 9𝑥 + 6 − 2 
𝑥 < 9 𝑥 + 4 
Luego se resta 9x de ambos 
miembros (usando la propiedad 3 con 
𝑐 = − 9𝑥): 
𝑥 − 9𝑥 < 9𝑥 – 9𝑥 + 4 
−8𝑥 < 4 
Ahora multiplicamos ambos 
miembros por (−1/8) (propiedad 5 
con 𝑐 = −1/8). Observa que al 
multiplicar por el número negativo 
cambiamos el orden de la 
desigualdad. Por lo tanto el conjunto 
solución está formado por todos los 
números mayores que −1/2. En otras 
palabras, la solución de la 
desigualdad es el intervalo 
1
,
2
 
 
 
. 
La representación gráfica de la 
solución se muestra a la derecha. 
 
   
1 -1
8 > 4
8 8
x
   
   
   
 
- 4
>
8
x o bien 
-1
>
2
x 
 
1.7.2. Desigualdades cuadráticas 
Para resolver una desigualdad que incluye polinomios de grado mayor que 1, se 
expresa cada uno de ellos como producto de factores lineales 𝑎𝑥 + 𝑏, o como 
factores cuadráticos irreducibles, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 o en las dos formas. Si alguno de 
estos factores es distinto de cero en un intervalo, entonces es positivo en el 
intervalo, o es negativo en él. Por consiguiente, si se escoge cualquier k en el 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 54 
 
 
intervalo, y si el factor es positivo (o negativo) cuando x = k, entonces es positivo 
(o negativo) en el intervalo. El valor del factor x = k. se llama valor de prueba, o 
de tanteo en k. 
 
Procedimiento en el método gráfico 
1. Se factoriza el polinomio. 
2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la 
parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo. 
3. Se traza una recta real por cada facto r y una recta real adicional para el 
resultado. 
4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor. 
5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso 
anterior. 
6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz. 
7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con 
un signo menos y a la derecha con un signo más. 
8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los 
signos de cada columna, dicho resultado se escribeen el lugar 
correspondiente de la recta real de resultados. 
9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos 
los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en 
cambio si el sentido de la inecuación es <, la solución será la unión de los 
intervalos señalados con el signo menos. Si el signo obtenido no coincide con el 
de la desigualdad, no tiene solución 
 
Ejemplo 
Resolver la siguiente desigualdad cuadrática. 
2𝑥2 − 𝑥 < 3 
Solución. Para emplear valores de prueba, en esencial tener 0 en un lado del 
signo de desigualdad. Por lo tanto, se procede como sigue. 
2𝑥2 − 𝑥 < 3 Desigualdad dada 
2𝑥2 − 𝑥 − 3 < 0 Se hace que un miembro sea 0 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 55 
 
 
(𝑥 + 1) (2𝑥 − 3) < 0 Se factoriza el trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐Los 
factores resultantes 𝑥 + 1 y 2𝑥 − 3 se igualan a cero y se despeja la variable en 
cada uno, de la siguiente manera 
𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −1 
2𝑥 − 3 = 0 ⟹ 𝑥 =
3
2
 
Estos valores los ubicamos en una recta numérica real, para formar los intervalos 
 
 
 
La solución será el intervalo que lleva el mismo signo de la desigualdad: 
𝑆 = (−1,
3
2
) 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 56 
 
 
 
 
utoevaluación 
 
I. Resuelva las desigualdades lineales. 
 
II. Determina la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas. 
1. x2 – 1  0 8. 2x2 + 3  7x 
2. 8x2 + 5x  0 9. 2x2 – 3x – 36 > x2 +2x 
3. x(x – 3) – 2x(x – 2) + 3x < 0 10. 3x2 + 16x – 12 < 0 
4. 4x2 – 1 < 0 11. 4x(x + 3)  -5 
5. 3x2 – 5x < 0 12. 3(2x2 + 1) > 11x 
6. x(x – 5) – 2x(x + 3) + 6  x2 – 
11x 
13. x(3x – 4) > 7 
7. x2 – 13x + 40 < 0 14. 𝒙(𝟑𝒙 − 𝟓) ≥ 𝟏𝟐 
 
 
 
 
A 
1) x52x3  6)      2x21x33x2  
2) x32x1  
7)  
3
x8
x32

 
3)    x32x233  
8) x3
4
x
2
8x4
5
3x3




 
4)   63x32  
9) 2
1x
3x2



 
5) x56x4  
10) 4
3
x51
x3
2
1x




 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 57 
 
 
Unidad II: Funciones 
 
Objetivos de la unidad 
Objetivos Conceptuales 
 Explicar los conceptos de la teoría de funciones a través de las distintas 
formas de representación. 
 Analizar las distintas funciones a través de sus características de acuerdo 
a su expresión analítica y/o gráfica. 
Objetivos Procedimentales 
 Identificar el dominio y el recorrido de los distintos modelos funcionales. 
 Representar los tipos de funciones, según sus características de acuerdo 
a su expresión analítica y/o gráfica. 
 Realizar lecturas de gráficas de los distintos modelos funcionales. 
 Resolver problemas de la vida cotidiana a través de algunos modelos 
funcionales. 
Objetivos Actitudinales 
 Valorar la importancia de la teoría de funciones en situaciones de su entorno. 
 Mostrar precisión y exactitud en la representación gráfica de modelos 
funcionales. 
 Mostrar compromiso y cooperación en el trabajo grupal. 
 
Contenidos 
Contenidos 
Cognitivos 
Contenidos 
Procedimentales 
Contenidos 
Actitudinales 
Formas de 
representar una 
función lineal, 
cuadrática, cúbica, 
definida por partes, 
exponencial y 
logarítmica 
 
Tipos de funciones y 
sus características de 
acuerdo a su 
expresión analítica 
y/o gráfica. . 
Identificación de dominio y 
recorrido de los distintos 
modelos funcionales. 
 
Representación de funciones, 
según sus características de 
acuerdo a su expresión 
analítica y/o gráfica. 
 
Realización de lecturas de 
gráficas de los distintos 
modelos funcionales. 
Resolución de problemas. 
Valoración de la 
importancia de las 
funciones en la vida 
cotidiana. 
 
Gráficas de modelos 
funcionales. 
 
 
Compromiso y 
cooperación en el 
trabajo grupal. 
 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 58 
 
 
2.1. Función 
 
Función 
Una función es una relación entre dos variables 𝑥 𝑒 𝑦. 
A cada valor de la 𝑥 (variable independiente) le corresponde un único valor de 
𝑦 (variable dependiente). 
 
La función se represente 
gráficamente sobre los ejes 
cartesianos. 
 
La primera gráfica corresponde a 
una función: a cada valor de x le 
corresponde un único valor de y. 
La segunda gráfica no es de una 
función: hay valores de x que les 
corresponde más de uno en y. 
 
Las funciones describen fenómenos mediante las relaciones entre las variables 
que intervienen. 
 
Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona el 
fenómeno que en ella se describe. 
 
Ejemplo 
La siguiente gráfica muestra la estatura media de 
un grupo de varones según su edad: 
a) ¿Cuál es la variable dependiente? ________ 
b) ¿y la independiente?___________ 
c) ¿Cuál es la estatura media a los 10 años? 
_________ 
d) ¿Cuál es la etapa de vida de crecimiento? 
___________ 
e) ¿A partir de qué edad se disminuye de altura? ___________ 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 59 
 
 
f) ¿A qué edad la altura es máxima? _____________ 
g) ¿Cuál es la altura mínima? ____________ 
 
2.2. Función lineal 
 
Función Lineal 
La función lineal es del tipo: mxyxf )( , con 𝑚 ∈ ℝ(m pertenece a los 
números reales). 
 
𝑓(𝑥) 𝑜 𝑦 se conocen como imagen de 𝑥, es el valor de 𝒚 para un determinado 
valor de 𝒙. 
 
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. 
Su dominio y rango es el conjunto de números reales. 
m es la pendiente de la recta. 
Si ),( 111 yxP y  222 , yxP entonces la 
pendiente de 
21PP es: 
12
12
xx
yy
m


 
 
 
La pendiente es la inclinación de la recta con 
respecto al eje de las abscisas (eje x). 
Si m es positivo (m ˃ 0), la función es creciente y 
el ángulo que forma la recta con la parte positiva 
del eje OX es agudo. 
 
Si m es negativo (m < 0), la función es 
decreciente y el ángulo que forma la 
recta con la parte positiva del eje OX es 
obtuso. 
 
 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 60 
 
 
Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar la variable 
independiente 𝑥 en ese intervalo aumenta también la variable dependiente 𝑦. 
 
Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable 
independiente 𝑥 en ese intervalo disminuye la variable dependiente 𝑦. 
 
Una función y = f(x) tiene un máximo relativo en un punto “𝑎” de su dominio si 
el valor de la función en ese punto, f(a), es mayor que los valores que toma la 
función en los puntos próximos a “𝑎”. 
 
Una función y = f(x) tiene un mínimo relativo en un punto “a” de su dominio si 
el valor de la función en ese punto, f(a), es menor que los valores que toma la 
función en los puntos próximos a “𝑎”. 
 
Ejemplo 
a) Graficar la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥 
Para ello debemos construir una tabla de valores que relacione las variables 
independiente y dependiente. 
X 1 2 
Y 3 6 
 
 
 
𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = ℝ 
𝑹𝒂𝒏𝒈 𝒇(𝒙) = ℝ 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 61 
 
 
b) Graficar la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −2𝑥 
 
 
 
Función afín a la lineal 
La función afín es del tipo: nmxy  ; donde m es la pendiente o inclinación 
de la recta y n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la 
recta con el eje de las ordenadas (eje y) 
 
Ejemplo 
a) Graficar la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 
 
X −2 1 
Y 4 −2 
X 1 2 
Y −1 1 
𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = ℝ 
𝑹𝒂𝒏𝒈 𝒇(𝒙) = ℝ 
MATEMÁTICA I 
 
 Nesly Laguna – Mayling Zamora 62 
 
 
 
 
 
b) Graficar la función 𝑦 = −4𝑥 + 2 
 
 
 
 
Función constante 
Un caso especial de 

y  f (x)  mx  b se obtiene cuando m = 0. Entonces 
𝒚 = 𝟎(𝒙) + 𝒃 o bien 𝒚 = 𝒃 
 
 
X 0 1 
Y 2 −2 
𝑫 = ℝ 
𝑹 = ℝ 
Esta gráfica la construimos 
buscando interceptos con los 
ejes X e Y 
𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑓(0)
= −4(0) + 2 
𝑦 = 2 
𝑦 = 0 ⟹ −4𝑥 + 2 = 0 
−4𝑥 = −2 
𝑥 = 0.5 
Esta gráfica la construimos 
buscando interceptos con los 
ejes X e Y 
𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑓(0) = 2(0) − 3