NUMEROS-REALES (1)

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NUMEROS REALES 
 
Los números naturales 
Con los números naturales contamos los e lementos de un conjunto (número 
cardinal ) . O b ien expresamos la posi c ión u orden que ocupa un e lemento en 
un conjunto (ordinal ) . 
E l conjunto de los números natura les está formado por: 
N= {0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6 , 7, 8, 9, . . .} 
 
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural . 
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número 
natural , só lo ocur re cuando e l minuendo es mayor que sust raendo. 
5 − 3 
3 − 5 
E l cociente de dos números naturales no siempre es un número natural , 
só lo ocurre cuando la d iv is i ón es exacta. 
6 : 2 
2 : 6 
Podemos ut i l i zar potencias , ya que es la forma abrev iada de escr ib i r un 
producto formado por var ios factores igua le s. 
http://www.vitutor.com/di/n/a_1.html
http://www.vitutor.net/1/a_c.html
http://www.vitutor.net/1/a_c.html
http://www.vitutor.net/1/a_0.html
La raíz de un número natural no siempre es un número natural , só lo 
ocur re cuando la ra íz es exacta. 
Los números enteros 
Los números enteros son de l t ipo: 
= { . . .−5, −4, −3, −2, −1, 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5 . . .} 
 
Nos permiten expresar: e l d inero adeudado, la temperatura bajo cero, la s 
profund idades con respecto a l n ive l de l mar, e tc. 
La suma , la diferencia y e l producto de dos números enteros es otro 
número entero . 
E l cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , 
só lo ocurre cuando la d iv is i ón es exacta. 
6 : 2 
2 : 6 
Podemos operar con potencias , pero e l exponente t iene que ser un número 
natural . 
 
 
La raíz de un número entero no s iempre es un número entero , só lo ocurre 
cuando la ra íz es exacta o s i se t rata de una ra íz de índ ice pa r con rad icando 
posi t ivo . 
 
Los números racionales 
Se l lama número raciona l a todo número que puede representarse como e l 
cociente de dos enteros, con denomina dor dist into de cero . 
 
 
Los números dec imales (dec imal exacto, per iód ico puro y per iód i co mixto) 
son números raciona les ; pero los ot ros números dec imales i l im itados no. 
La suma, la diferencia, e l producto y el coc iente de dos números 
raciona les es otro número racional . 
Podemos operar con potencias , pero e l exponente t iene que ser un número 
entero . 
La raíz de un número racional no s iempre es un número racional , só lo 
ocur re cuando la ra íz es exacta y s i e l índ i ce es par e l rad icando ha de ser 
posi t ivo . 
 
Los números irracionales 
http://www.vitutor.com/di/e/a_9.html#re
Un número es irracional s i posee inf initas cif ras decimales no per iódicas , 
por tanto no se pueden expresar en forma de f racción . 
E l número i rrac ional más conocido es , que se def ine como la re lac ión 
ent re la long i tud de la c i r cunferenc ia y su d iámetro. 
= 3 .141592653589.. . 
Ot ros números i rracionales son: 
E l número e aparece en procesos de crec imiento, en la desint egrac ión 
rad iact iva, en la fórmu la de la catenar ia , que es la curva que podemos 
aprec iar en l os tend idos e léct r icos. 
e = 2 .718281828459.. . 
E l número áureo , , ut i l i zado por art istas de todas la s épocas (F id ias , 
Leonardo da V inc i , A lberto Durero , Da l í , . . ) en la s proporc iones de sus obras. 
 
Números reales 
 
E l conjunto formado por los números raciona les e ir raciona les es e l 
con junto de los números rea les , se designa por . 
 
Con los números reales podemos rea l izar todas las operac iones, excepto 
la radicación de índice par y radicando negat ivo, y la div is ión por cero . 
La recta real 
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la 
recta un número real . 
 
Representación de los números reales 
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta 
aprox imación como queramos, pero hay casos en los que podemos 
representar los de forma exacta. 
 
 
Operaciones con números reales 
 
 
Suma de números reales 
Propiedades 
1.Interna : 
E l resul tado de sumar dos números reales es ot ro número rea l . 
a + b 
+ 
2.Asociat iva : 
E l modo de agrupa r los sumandos no var ía e l resul tado. 
(a + b) + c = a + (b + c) · 
 
3.Conmutat iva : 
E l orden de l os sumandos no var ía l a suma. 
a + b = b + a 
 
4.Elemento neutro : 
E l 0 es e l e lemento neutro de la suma porque todo número sumado con é l da 
e l mismo número . 
a + 0 = a 
+ 0 = 
5.Elemento opuesto 
Dos números son opuestos s i a l sumarlos obtenemos como resultado el 
cero. 
e − e = 0 
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. 
−(− ) = 
Diferencia de números rea les 
La diferencia de dos números rea les se def ine como la suma del minuendo 
más el opuesto del sustraendo . 
a − b = a + (−b) 
Producto de números reales 
La regla de los s ignos de l producto de los números enteros y racionales 
se s igue manten iendo con los números reales . 
 
Propiedades 
1.Interna : 
El resultado de mult ip l icar dos números reales es otro número real. 
a · b 
2.Asociat iva: 
El modo de agrupar los factores no var ía e l resultado. S i a , b y c son 
números rea les cua lesquiera , s e cumple que: 
(a · b) · c = a · (b · c) 
(e · ) · = e · ( · ) 
3.Conmutat iva: 
 E l o rden de los factores no varía e l producto. 
a · b = b · a 
 
4. Elemento neutro : 
El 1 es el e lemento neutro de la mult ipl icación , porque todo número 
mult ip l i cado por é l da e l mismo número. 
a ·1 = a 
· 1 =1 
5. Elemento inverso : 
Un número es inverso de l otro s i a l mult ipl icar los obtenemos como 
resultado el e lemento unidad. 
 
 
6.Distribut iva : 
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los 
productos de d icho número por cada uno de los sumandos. 
a · (b + c) = a · b + a · c 
· (e + ) = · e + · 
7.Sacar factor común: 
Es e l proceso inverso a la prop iedad d ist r ibut iva. 
Si var ios sumandos t ienen un factor común, podemos transformar la 
suma en producto extrayendo dicho factor. 
a · b + a · c = a · (b + c) 
· e + · = · (e + ) 
Divis ión de números reales 
La divis ión de dos números reales se def ine como el producto del 
dividendo por el inverso del div isor. 
Intervalo abierto y cerrado 
 
Definición de interva lo 
Se l lama intervalo a l conjunto de números rea les comprendidos ent re ot ros 
dos dados: a y b que se l laman ext remos del interva lo . 
Intervalo abierto 
Intervalo abierto , (a, b) , e s e l conjunto de todos los números reales 
mayores que a y menores que b . 
(a, b) = {x / a < x < b} 
 
Intervalo cerrado 
Intervalo cerrado , [a, b] , es e l conjunto de todos los números reales 
mayores o igua les que a y menores o igua les que b . 
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b} 
 
Intervalo semiabierto por la izquierda 
Intervalo semiabierto por la izquierda , (a , b] , es e l conjunto de todos 
los números reales mayores que a y menores o igua les que b . 
(a, b] = {x / a < x ≤ b} 
 
Intervalo semiabierto por la derecha 
Intervalo semiabierto por la derecha , [a, b) , es e l conjunto de todos los 
números reales mayores o iguales que a y menores que b . 
[a, b) = {x / a ≤ x < b} 
 
Cuando queremos nombrar un con junto de puntos formado por dos o más de 
estos interva los, se ut i l i za e l s igno (unión ) ent re e l l os . 
Semirrectas 
 
Semirrectas 
Las semirrectas estándeterminadas por un número. En una semirrecta se 
encuentran todos los números mayores (o menores) que é l . 
x > a 
(a, +∞) = {x / a < x < +∞} 
 
x ≥ a 
[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞} 
 
x < a 
(-∞, a) = {x / -∞ < x < a} 
 
x ≤ a 
(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a} 
 
Valor absoluto de un número real 
 
Valor absoluto de un número rea l a , se escr ibe |a| , es e l mismo número a 
cuando es posit ivo o cero , y opuesto de a, s i a es negat ivo . 
 
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0 
|x| = 2 x = −2 x = 2 
|x|< 2 − 2 < x < 2 x (−2, 2 ) 
|x|> 2 x< 2 ó x>2 (−∞, 2 ) (2, +∞) 
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5 
 − 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7 
Propiedades del valor absoluto 
1 Los números opuestos t ienen igual valor absoluto . 
|a| = |−a| 
|5| = |−5| = 5 
2El valor absoluto de un producto es igua l a l producto de los valores 
absolutos de los factores. 
|a · b| = |a| ·|b| 
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10 
3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los 
valores absolutos de los sumandos . 
|a + b| ≤ |a| + |b| 
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7 
Distancia 
La distancia ent re dos números reales a y b, que se escr ibe d(a, b) , se 
def ine como e l valor absoluto de la diferencia de ambos números : 
d(a, b) = |b − a| 
La distancia entre −5 y 4 es: 
d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| 
Potencias 
 
Potencias con exponente entero 
 
 
Con exponente racional o fraccionario 
 
 
Propiedades 
1. a0 = 1 · 
2. a1 = a 
3. Producto de potencias con la misma base : Es ot ra potenc ia con la misma 
base y cuyo exponente es la suma de los exponentes . 
am · a n = am + n 
(−2) 5 · (−2)2 = (−2) 5 + 2 = (−2) 7 = −128 
4. Div is ión de potencias con la misma base : Es ot ra potenc ia con la misma 
base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes . 
am : a n = am - n 
(−2) 5 : (−2) 2 = (−2) 5 - 2 = (−2) 3 = -8 
5. Potencia de una potencia : Es ot ra potencia con la misma base y cuyo 
exponente es e l producto de los exponentes . 
(am)n=am · n 
[(−2) 3]2 = (−2) 6 = 64 
6. Producto de potencias con el mismo exponente : Es ot ra potencia con e l 
mismo exponente y cuya base es e l producto de las bases 
an · b n = (a · b) n 
(−2) 3 · (3)3 = (−6) 3 = −216 
7 .Cociente de potencias con e l mismo exponente : Es ot ra potencia con e l 
mismo exponente y cuya base es e l coc iente de las bases. 
an : b n = (a : b) n 
(−6) 3: 3 3 = (−2) 3 = −8 
Radical 
 
Un radica l es una expres ión de la forma , en la que n y a ; con ta l 
que cuando a sea negat ivo, n ha de ser impar. 
 
 
Potencias y radicales 
Se puede expresar un radical en fo rma de potencia : 
 
 
Radiales equivalentes 
Ut i l izando la notac ión de exponente f racc ionar io y l a prop iedad de las 
f racc iones que d i ce que s i se mu lt ip l i ca numerador y denominador por un 
mismo número la f racc ión es equiva lente , obt enemos que : 
 
S i se mult ip l ican o d iv iden e l índ ice y e l exponente de un radica l por un 
mismo número natural , se obt iene ot ro radical equ ivalente . 
 
Simplif icación de radicales 
Si ex iste un número natural que d iv ida a l índice y a l exponente (o los 
exponentes) de l rad i cando, se obt iene un radical s implif icado . 
 
Reducción de radicales a índice común 
 
1Hal lamos e l mínimo común múlt iplo de los índices , que será e l común índ ice 
2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resu l tado 
obtenido se mult ip l ica por sus exponentes correspondientes . 
 
 
 
 
Extracción e introducción de factores en un radical 
 
Extracción de factores fuera del signo radical 
Se descompone e l rad icando en factores . S i: 
1 Un exponente es menor que e l índ i ce , e l facto r co rrespondiente se deja en 
el radicando . 
 
 
2Un exponente es igual al índ ice , e l factor co rrespondiente sale fuera de l 
radicando . 
 
 
3Un exponente es mayor que el índice , se divide d i cho exponente por el 
índice . E l coc iente obtenido e s e l exponente del factor fuera de l rad icando y 
e l resto es e l exponente del factor dentro de l rad i cando. 
 
 
 
 
Introducción de factores dentro del signo radical 
Se introducen los factores e levados a l índice corre spondiente de l radica l . 
 
 
 
 
 
 
 
Suma de radicales 
 
Solamente pueden sumarse (o restarse ) dos radicales cuando son 
radicales semejantes , es decir , s i son radica les con e l mismo índice e 
igual radicando . 
 
 
 
Producto de radicales 
 
Radicales de l mismo índice 
Para mult ipl icar radicales con el mismo índice se mult ipl ican los 
radicandos y se deja el mismo índice . 
 
 
 
Cuando terminemos de rea l izar una operac ión extraeremos factores del 
radical , s i es posib le . 
Radicales de d ist into índice 
Pr imero se reducen a índice común y luego se mult ipl ican . 
 
 
 
 
 
 
Cociente de radicales 
 
Radicales del mismo índice 
Para d iv id i r rad ica le s con e l mismo índ ice se d ividen los radicandos y se 
deja el mismo índice. 
 
 
 
http://www.vitutor.com/di/re/r10.html
Radicales de distinto índice 
Pr imero se reducen a índice común y luego se div iden. 
 
 
Cuando terminemos de rea l izar una operac ión simplif icaremos e l radica l , s i es 
posib le . 
 
 
 
 
 
Potencia de radicales 
 
Para e levar un radical a una potencia , se e leva a d icha potencia e l radicando 
y se deja e l mismo índice . 
 
http://www.vitutor.com/di/re/r10.html
 
 
 
 
 
 
Raíz de un radical 
 
La raíz de un radical es ot ro radical de igua l radicando y cuyo índ ice es el 
producto de los dos índices . 
 
 
 
 
 
 
 
Racionalización de radicales 
La racional izac ión de radicales consiste en quitar los radica les del 
denominador , lo que permite fac i l i tar e l cá lculo de operac iones como la suma 
de f racc iones. 
Podemos d ist inguir t res casos. 
1. Racional ización de l t ipo 
Se mult ipl ica e l numerador y e l denomina dor por . 
 
 
 
 
2. Racional ización de l t ipo 
Se mult ipl ica numerador y denominador por . 
 
 
3. Racionalización de l t ipo , y en genera l cuando e l denom inador 
sea un binomio con al menos un radical. 
Se mult ipl ica el numerador y denominador por e l conjugado del 
denominador. 
E l conjugado de un b inomio es igua l a l b inomio con e l s igno cent ra l cambiado: 
 
También tenemos que tener en cuenta que: " suma por diferencia es igual a 
diferencia de cuadrados " . 
 
 
 
 
 
 
 
Números reales y radicales. Resumen 
 
Los números irracionales 
Un número e s i r ra c iona l s i posee inf in i ta s c i f ra s dec imales no per iód i cas, por 
tanto no se pueden expresar en fo rma de f racc ión . 
Los números reales 
El conjunto formado por los números raciona les e ir raciona les es e l 
con junto de los números rea les, se designa por . 
Con los números reales podemos rea l izar todas las operac iones, excepto 
la radicación de índice par y radicando negat ivo y la div is ión por cero. 
Los interva los están determinados por dos números que se l laman ext remos. 
En un interva lo se encuentran todos los números comprend idos ent re ambos y 
también pueden estar los ext remos. 
Intervalos 
Intervalo abierto 
(a, b) ={x / a < x < b} 
Intervalo cerrado 
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b} 
Intervalo semiabierto por la izquierda 
(a, b] = {x / a < x ≤ b} 
Intervalo semiabierto por la derecha 
[a, b) = {x / a ≤ x < b} 
Semirrectas 
x > a 
(a, +∞) = {x / a < x < +∞} 
x ≥ a 
[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞} 
x < a 
(-∞, a ) = {x / -∞ < x < a} 
x ≤ a 
(-∞, a ] = {x / -∞ < x ≤ a} 
Valor absoluto 
 
Propiedades 
|a| = |−a| 
|a · b| = |a| ·|b| 
|a + b| ≤ |a| + |b| 
Distancia 
d(a, b) = |b − a| 
Entornos 
Se l lama entorno de centro a y radio r , y se denota por E r(a) o E(a,r) , a l 
intervalo abierto (a-r, a+r). 
E r(a) = (a-r, a+r) 
Entornos laterales: 
Por la izqu ierda 
E r(a
-) = (a-r , a) 
Por la derecha 
E r(a
+) = (a, a+r) 
Entorno reducido 
E r
*(a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a} 
 
Potencias 
Con exponente entero 
 
Con exponente racional 
 
Propiedades 
1.a0 = 1 · 7.an : b n = (a : b) n 
2.a1 = a 
3.am · a n = am + n 
4.am : a n = am - n 
5.(am)n=am · n 
6.an · b n = (a · b) n 
Radicales 
Un radica l es una expresión de la forma , en la que n y a ; 
con tal que cuando a sea negat ivo, n ha de ser impar . 
Se puede expresar un radical en forma de potencia: 
 
Radiales equivalentes 
 
Simplif icación de radicales 
Si existe un número natural que divida al índice y a l exponente (o los 
exponentes) del radicando, se obt iene un radical s impl if icado. 
Reducción de radicales a índice común 
1. Hal lamos e l mínimo común múlt iplo de los índices , que será e l común 
índ i ce 
2. Divid imos el común índice por cada uno de los índices y cada 
resul tado obtenido se mult ip l ica por sus exponentes correspondientes. 
Extracción de factores fuera del signo radical 
Se descompone e l rad icando en factores . S i: 
Un exponente es menor que e l índ ice , e l factor co rrespondiente se deja en 
el radicando . 
Un exponente es igual al índ ice , e l factor cor respondiente sale fuera del 
radicando . 
Un exponente es mayor que el índice , se d ivide d i cho exponente por e l 
índice . E l cociente obtenido es e l exponente del factor fuera de l rad icando 
y e l resto es e l exponente del factor dentro de l rad icando. 
Introducción de factores dentro del signo radical 
Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del 
radical. 
Operaciones con radicales 
Suma de radicales 
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son 
radicales semejantess, es decir, s i son radica les con el mismo índice e 
igual radicando. 
Producto de radicales 
Radicales de l mismo índice 
 
Radicales de d ist into índice 
Primero se reducen a índice común y luego se mult ipl ican. 
Cociente de radicales 
Radicales de l mismo índice 
 
Radicales de d ist into índice 
Primero se reducen a índice común y luego se div iden. 
Potencia de radicales 
 
Raíz de un radical 
 
Racionalizar 
Consiste en quitar los radica les del denominador , l o que permite fac i l i ta r 
e l cá lculo de operac iones como la suma de f racc iones. 
Podemos d ist inguir t res casos. 
1. Del t ipo 
Se mult ipl ica e l numerador y e l denominador por . 
 
2. Del t ipo 
Se mult ipl ica numerador y denominador por . 
 
3. Del t ipo , y en genera l cuando e l denominador sea un binomio con 
al menos un radical. 
Se mult ipl ica el numerador y denominador por e l conjugado del 
denominador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números reales. Ejercicios 
1 C las i f i ca los números: 
 
2Representa en la recta: 
3 Representa en la recta rea l los números que ver i f ican las s iguientes re lac iones: 
|x| < 1 |x| ≤ 1 |x| > 1 |x| ≥ 1 
4Calcu la los va lores de las s iguientes potencias: 
 
 
 
 
5 Ha l la las sumas: 
 
 
 
 
6 Rea l iza las operac iones: 
 
 
 
 
7 Opera: 
 
8Efectúa: 
 
9Calcu la: 
 
 
10 Raciona l izar 
 
 
 
 
Números reales. Ejercicios 
1Representa en la recta: 
2 Representa en la recta rea l los números que ver i f ican las s iguientes re lac iones: 
|x −2| < 1 |x −2| ≤ 1 |x −2| > 1 |x −2| ≥ 1 
3Opera: 
 
4 Ca lcula : 
 
5 Raciona l izar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números reales. Ejercicios resueltos 
1 
Clas i f ica l os números: 
 
 
Representa en la recta: 
 
 
Representa en la recta rea l los números que ver i f ican las s iguientes 
re lac iones: 
|x| < 1 |x| ≤ 1 |x| > 1|x| ≥ 1 
|x| < 1 -1 < x < 1 x ( −1, 1) 
 
|x|≤ 1 -1 ≤ x ≤1 x [ −1, 1] 
 
|x| > 1-1 > x > 1 x ( -∞, −1) (1 , +∞) 
1 
|x| ≥ 1-1 ≥ x ≥ 1 x ( -∞, −1] [1, +∞) 
 
Ca lcula l os va lore s de las s iguientes potencias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ha l la las sumas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rea l iza las operac iones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Opera: 
 
 
Efectúa: 
 
 
Ca lcula : 
 
 
 
 
 
Raciona l izar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números reales. Ejercicios RESUELTOS 
1 
Representa en la recta: 
 
 
Representa en la recta rea l los números que ver i f ican la s s i guientes 
re lac iones: 
|x −2| < 1|x −2| ≤ 1 |x −2| > 1 |x −2| ≥ 1 
|x −2| < 1 -1 < x −2 < 1 1 < x < 3 
x (1, 3) 
 
|x −2| ≤ 1 -1 ≤ x −2 ≤ 11 ≤x ≤ 3 
x [1, 3] 
 
|x −2| > 1 -1 > x −2 > 1 1 > x > 3 
x (-∞ , 1) (3, +∞) 
 
|x −2| ≥ 1 -1 ≥ x −2 ≥ 11 ≥ x ≥ 3 
x (-∞ , 1] [3, +∞) 
 
Opera: 
 
 
 
 
 
Calcula : 
 
 
Raciona l izar: