Factorización Trinomios Cuadrados Parte III_0

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con Tu Profesor Virtual 
Kharla Mérida 
Matemática de 2do Año Factorización 
 Con este objetivo cerramos el ciclo de artificios matemáticos para transformar 
trinomios cuadrados a formas que permitan factorizar de con simpleza. Completar 
trinomios cuadrados perfectos será una herramienta común en procedimientos y 
cálculos de niveles más avanzados de matemática y geometría analítica. 
Agreguemos este conocimiento a nuestra caja de herramientas matemáticas. 
1 
 En ocasiones es necesario transformar nuestro entorno de para lograr 
mejores estados. El éxito ocurre cuando esas transformaciones producen 
bienestar general. El éxito basado en bienestar individual es una ilusión. 
Descripción 
7 
7ma Unidad 
7.5 Trinomios Cuadrados. 
Parte III 
Factorización 
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Kharla Mérida 
Matemática de 2do Año Factorización 
 Aplicar Productos Notables, Ejercicios. 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. De Factorizaciones Enteras 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 1 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 2 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 3 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 4 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 5 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 6 
2 
 Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al 
encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una 
dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el 
Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones. 
Conocimientos Previos Requeridos 
Contenido 
Videos Disponibles 
 Descomposición de Números en Factores Primos, Potenciación, Reglas de los Signos. 
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https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_1
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_1
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https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_1
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_1
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
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https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomios_cuadrados_perfectos_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_2
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_3
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_3
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_3
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_3
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_3
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_3
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_3
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https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_4
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_4
https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_iii-trinomio_cuadrado_perfecto_con_factorizaciones_enteras_ejercicio_4
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Kharla Mérida 
Matemática de 2do Año Factorización 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. De Factorizaciones Enteras 
 Es hora de conocer otra estrategia para factorizar trinomios 
cuadrados que no satisfacen las características de un Trinomio 
Cuadrado Perfecto. Se trata de Completación de Trinomio 
Cuadrado Perfecto. Veamos con ejemplos este mecanismo. 
2x ± bx ± c
1ro. Identificamos el cuadrado perfecto: x2. 
 Los primeros 3 términos forman un TCP. 
• Tiene 3 términos, 
• Dos términos son cuadrados perfectos 
• El doble producto de las raíces cuadradas da 6x. 
Factorizar 
2x 6x + 5
¿Qué haremos para factorizar? 
2x 6x + 5
Cuadrado 
Perfecto 
2do. Ubicamos el término que contiene la raíz 
del CP, x. 
2x 6x + 5
Coeficiente de x: 6 
3ro. Dividimos el coeficiente de x entre 2, y 
elevamos al cuadrado. 
2
6
9
2
 
 
 
4to. Sumamos el valor obtenido, 9, y lo restamos 
para que no se altere la expresión. 
2= x 6x + 9 9+ 5 
 2x 6x + 9 9+ 5 
x 3
2 x 3 
5to. Factorizamos el TCP y efectuamos la resta 
de los términos libres. 
 
2
x 3 4  
Esto es una diferencia de cuadrados (son dos 
cuadrados perfectos restándose). 
 
2
x 3 4 
x 3 2
6to. Factorizamos la diferencia de cuadrados.   x 3 2 x 3 2    
  x 5 x 1  7mo. Efectuamos las restas dentro de los 
paréntesis. 
  2x 6x + 5 x 5 x 1   
Observaciones. 
• Es un trinomio, porque tiene 3 términos. 
• Es cuadrado, porque hay un cuadrado perfecto. 
• No es TCP porque no tiene dos cuadrados perfectos. 
Guiones Didácticos 
3 
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Matemática de 2do Año Factorización 
2 x 6 
Cuadrado 
Perfecto 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 1 
¿Qué haremos para factorizar? 
Observaciones. 
• Es un trinomio, porque tiene 3 términos. 
• Es cuadrado, porque hay un cuadrado perfecto. 
• No es TCP porque no tiene dos cuadrados perfectos. 
Factorizar 
2x 12x 13 
1ro. Identificamos el cuadrado perfecto: x2. 
 Los primeros 3 términos forman un TCP. 
• Tiene 3 términos, 
• Dos términos son cuadrados perfectos 
• El doble producto de las raíces cuadradas da 6x. 
2do. Ubicamos el término que contiene la raíz 
del CP, x. 
3ro. Dividimos el coeficiente de x entre 2, y 
elevamos al cuadrado. 
4to. Sumamos el valor obtenido, 36, y lo restamos 
para que no se altere la expresión. 
2x 12x 13 
Coeficiente de x: 12 
2x 12x 13 
2
12
36
2
 
 
 
2= x 12x + 36 36 13  
 2= x 12x + 36 49 
6x
 
2
x 6 49  
 
2
x 6 49 
x 6 7
  x 6 7 x 6 7    
  x 13 x 1  
5to. Factorizamos el TCP y efectuamos la resta 
de los términos libres. 
Esto es una diferencia de cuadrados (son dos 
cuadrados perfectos restándose). 
6to. Factorizamos la diferencia de cuadrados. 
7mo. Efectuamos las restas dentro de los 
paréntesis. 
4 
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Matemática de 2do Año Factorización 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 2 
 Esta expresión cuadrática puede ser factorizada por factor común, pero la 
utilizaremos en esta ocasión para modelar la factorización completando TPC 
214y + yFactorizar 
Observaciones. 
• Es un binomio, porque tiene 2 términos. 
• Es cuadrado, porque hay un cuadrado perfecto. 
• No es TCP. 
214y + y
¿Qué haremos para factorizar? 
1ro. Identificamos el cuadrado perfecto: y2. 
 Los primeros 3 términos forman un TCP. 
• Tiene 3 términos, 
• Dos términos son cuadrados perfectos 
• El doble producto de las raíces cuadradas da 6x. 
2do. Ubicamos el término que contiene la raíz 
del CP, y. 
3ro. Dividimos el coeficiente de y entre 2, y 
elevamos al cuadrado. 
4to. Sumamos el valor obtenido, 49, y lo restamos 
para que no se altere la expresión. 
5to. Factorizamos el TCP y efectuamos la resta 
de los términos libres. 
Esto es una diferencia de cuadrados (son dos 
cuadrados perfectos restándose). 
6to. Factorizamos la diferencia de cuadrados. 
7mo. Efectuamos las restas dentro de los 
paréntesis. 
Cuadrado 
Perfecto 
214y + y
Coeficiente de y: 14 
2
14
49
2
 
 
 
2=14y + y 49 49 
2 y 7 
 2= y 14y + 49 49 
7y
 
2
y 7 49  
 
2
y 7 49 
y 7 7
  y 7 7 y 7 7    
  y 14 y 
 214y + y y y 14 
5 
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Matemática de 2do Año Factorización 
FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 3 
29 m 8m Factorizar 
Observaciones. 
• Es un trinomio, porque tiene 3 términos. 
• Es cuadrado, porque hay un cuadrado perfecto. 
• No es TCP. 
¿Qué haremos para factorizar? 
1ro. Ordenamos los términos y sacamos 
factor común. 
 Los primeros 3 términos forman un TCP. 
• Tiene 3 términos, 
• Dos términos son cuadrados perfectos 
• El doble producto de las raíces cuadradas da 6x. 
3ro. Ubicamos el término que contiene la raíz del 
CP, y. 
4to. Dividimos el coeficiente de m entre 2, y 
elevamos al cuadrado. 
5to. Sumamos el valor obtenido, 16, y lo restamos 
para que no se altere la expresión. 
6to. Factorizamos el TCP y efectuamos la resta 
de los términos libres. 
Esto es una diferencia de cuadrados (son dos 
cuadrados perfectos restándose). 
7mo. Factorizamos la diferencia de cuadrados. 
8vo. Efectuamos las restas dentro de los 
paréntesis. 
2 m 4 
Cuadrado 
Perfecto 
2m 8m+ 9  
Coeficiente de m: 8 
 2m 8m 9  
2
8
16
2
 
 
 
 2= m 8m+16 16 9   
  2= m 8m+16 25  
4m
  2m 4 25   
  2m 4 25   
m 4 5
  m 4 5 m 4 5     
  m 1 m 9   
2do. Ordenamos los términos e identificamos el 
cuadrado perfecto: m2. 
 2m 8m 9   
  29 m 8m 1 m m 9    
Distribuimos el menos en el primer paréntesis   1 m m 9  
6 
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FACTORIZACIÓN.Completación de TCP. Ejercicio 4 
227 y + 26yFactorizar 
Observaciones. 
• Es un trinomio, porque tiene 3 términos. 
• Es cuadrado, porque hay un cuadrado perfecto. 
• No es TCP. 
¿Qué haremos para factorizar? 
1ro. Ordenamos los términos y sacamos 
factor común. 
 Los primeros 3 términos forman un TCP. 
• Tiene 3 términos, 
• Dos términos son cuadrados perfectos 
• El doble producto de las raíces cuadradas da 26y. 
3ro. Ubicamos el término que contiene la raíz del 
CP, y. 
4to. Dividimos el coeficiente de y entre 2, y 
elevamos al cuadrado. 
5to. Sumamos el valor obtenido, 169, y lo 
restamos para que no se altere la expresión. 
6to. Factorizamos el TCP y efectuamos la resta 
de los términos libres. 
Esto es una diferencia de cuadrados (son dos 
cuadrados perfectos restándose). 
7mo. Factorizamos la diferencia de cuadrados. 
8vo. Efectuamos las restas dentro de los 
paréntesis. 
2 y 13 
Cuadrado 
Perfecto 
Coeficiente de y: 26 
 2y 26m 27   
2
26
169
2
 
 
 
 2y 26m+169 169 27    
  2= y 26y +169 196  
13y
  2y 13 196   
  2y 13 196   
y 13 14
  y 13 14 y 13 14     
  y 27 y 1   
2do. Ordenamos los términos e identificamos el 
cuadrado perfecto: y2. 
 2y 26m 27   
  227 y + 26y 27 y y 1   
Distribuimos el menos en el primer paréntesis   27 y y 1  
2= 27 y + 26y
7 
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FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 5 
¿Qué hacemos para factorizar?. 
Factorizar 
4y + 4
Observaciones. 
• Es un binomio, porque tiene 2 términos. 
• Hay dos cuadrados perfectos. 
• No es TCP. 
1ro. Identificamos el cuadrado perfecto: y4. 
2do. Hallamos las raíces de los dos cuadrados 
perfectos, y2. 
3ro. Hallamos el doble de las raíces cuadradas. 
4to. Sumamos el producto obtenido, 4y2, y lo 
restamos para que no se altere la expresión. 
Cuadrado 
Perfecto 
 
2
2y + 4
2 
2 22 y 2 4y  
  
2
2 2 2y 4y 4 4y   
2y 2
22 y 2 
 
2
2 2y 2 4y  
 
2
2 2y 2 4y 
2y 2 22y
  2 2 2 2y 2 2y y 2 2y    
4y + 4
Nota: No hay término central en este polinomio (término que contiene y2) 
y2 
 
2
2 2 2y 4y 4y 4   
5to. Ordenamos la expresión reuniendo los tres 
términos positivos. 
Tenemos una diferencia de cuadrados. 
  2 2 2 2y 2y 2 y 2y 2    
  
2
2 2 2y 4y 4 4y   
6to. Factorizamos el TCP 
7mo. Factorizamos la diferencia de cuadrados 
Ordenamos los términos dentro de los paréntesis 
  4 2 2 2 2y + 4 y 2y 2 y 2y 2    
8 
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FACTORIZACIÓN. Completación de TCP. Ejercicio 6 
¿Qué hacemos para factorizar?. 
Factorizar 8 4m + 4n
Observaciones. 
• Es un binomio, porque tiene 2 términos. 
• Hay dos cuadrados perfectos. 
• No es TCP. 
1ro. Establecemos el cuadrado perfecto 
principal : m8. 
2do. Hallamos las raíces de los dos cuadrados 
perfectos, m4 y 4n2. 
3ro. Hallamos el doble de las raíces cuadradas. 
4to. Sumamos el producto obtenido, 4m4n2, y lo 
restamos para que no se altere la expresión. 
Cuadrado 
Perfecto 
2n2 
4 2 4 22 m 2n 4m n  
4m 22n
4 22 m 2n 
 
2
4 2 4 2m 2n 4m n  
4 2m 2n 4 24m n
  4 2 4 2 4 2 4 2m 2n 2m n m 2n 2m n    
8 4m + 4n
Nota: No hay término central en este polinomio (término que contiene m4) 
m4 
   
2 2
4 4 2 4 2 2m 4m n 4m n 2n   
5to. Ordenamos la expresión reuniendo los tres 
términos positivos. 
Tenemos una diferencia de cuadrados. 
6to. Factorizamos el TCP 
7mo. Factorizamos la diferencia de cuadrados 
Ordenamos los términos dentro de los paréntesis 
  8 4 4 4 2 2 4 4 2 2m + 4n m 2m n 2n m 2m n 2n    
   
2 2
4 2m + 2n
   
2 2
4 4 2 2 4 2m 4m n 2n 4m n   
   
2 2
4 4 2 2 4 2m 4m n 2n 4m n   
 
2
4 2 4 2m 2n 4m n  
  4 4 2 2 4 4 2 2m 2m n 2n m 2m n 2n    
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Matemática de 2do Año Factorización 
10 
A Practicar 
Factorizar los siguientes trinomios aplicando Completación de cuadrados 
1. a4 + 2a2 
2. m4 + 6m2n2 + 5n4 
3. x8 + 8x4 + 7 
4. a4 – a2 
9. x8 – 4x4y4 + 3y8 
10. m4 – 5m2n2 
11. 81a8 + 2a4 – 1 
12. c4 – 45c2 – 100 
5. a4 – 8a2b2 
6. x4 – 6x2 + 8 
7. 4a4 + 12a2b2 
8. 4z4 – 29z2 + 25 
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Matemática de 2do Año Factorización 
11 
¿Lo Hicimos Bien? 
1. a2(a2 + 2) 
2. (m2 – 2n + 3n2)(m2 + 2n + 3n2) 
3. (x4 + 1)(x4 + 7) 
4. a2(a2 – 1) 
5. a2(a2 – 8b2) 
6. (x2 – 4)(x2 – 2) 
7. 4a2(a2 + 3b2) 
8. (2z2 – 3z – 5)(2z2 + 3z – 5) 
9. (x4 – y4 – 2y4)(x4 + y4 – 2y4) 
10. m2(m2 – 5n2) 
11. (9a4 – 4a2 + 1)(9a4 + 4a2 + 1) 
12. (c2 – 5c – 10)(c2 + 5c – 10) 
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