Guia - Progresiones y Series Aritmeticas

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Colegio España 
Concepción 
Olga Saavedra 
 
 Guía de Aprendizaje N.º 4: Progresiones y Series 
 Unidad Procesos Infinitos 
 Cuarto Electivo 
Nombre ………………………………………………………………………………. curso …………… 
 Aprendizaje Esperado: Conocen las progresiones aritméticas y geométricas; aplican 
algunas propiedades en la resolución de problemas 
. 
Concepto de progresión: se denomina progresión a toda sucesión, en la cual siempre entre 2 
términos consecutivitos cualquiera de ella hay una misma relación. 
 Ejemplo1) La siguiente sucesión 𝒂𝒏 = 2,5,8, 11, …,3n-1 ,es una progresión. 
 En este caso podemos comprobar que cada número, después del primero, tiene una 
diferencia de 3 unidades con el anterior o el siguiente. 
 Ejemplo 2) La sucesión 𝒂𝒏= 2,4,8,16,32……. 2
n, es una progresión también. En ella cada 
 término, después del primero, se obtiene multiplicando el anterior por 2 . 
 Ejemplo 3) La sucesión 𝒂𝒏= 2,6,12, 20,……, n(n+1), no es progresión .En este caso 
,podemos comprobar que no hay una relación constante entre dos términos consecutivos . 
Puedes comprobar si son progresiones o no. 
1) 𝒂𝒏 = 5,8,11, 14,……..,3n+2 ------------------------------------- 
 
2) 𝒂𝒏 = 3,8,15,32,………,n(n+2) ……………………………………….. 
 
3) 𝒂𝒏 = 3,9,27,81,243, ……..3 . 3
n-1 --------------------------------- 
 
4) 𝒂𝒏 = 4,12,24,40,……….2n(n+1) ----------------------------------- 
 
 
 
 
 
Concepto de serie : 
Se denomina serie a la suma de términos consecutivos de una progresión . 
La serie se denomina finita o infinita, según se considere un número finito o infinito de 
términos de la progresión, respectivamente. 
 
 
 
 
 
Progresión y Serie Aritmética 
Una progresión es Aritmética si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una 
diferencia constante. 
Esta diferencia se designa con la letra “d”. 
Si 𝑎1 , 𝑎2 y 𝑎3 son 3 términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia “d” , 
entonces se cumple que : 𝑎3 - 𝑎2 = 𝑎2 - 𝑎1 = d 
 Ejemplo: 2,4,6,8 ……es una progresión aritmética porque la diferencia entre 4-2 =2, 6-4 =2 
y 8-6 = 2, da lo mismo. 
En general si 𝑎1, 𝑎2,𝑎3,….. 𝑎𝑛 es una P. A. de n términos podemos ,dar a conocer la formula 
para calcular su término enésimo 𝑎𝑛 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n-1). d 
 donde 𝑎1 : primer término de la P.A. 
 n : número de términos de la P.A. 
 d : diferencia aritmética de la P.A. si d > 0 es creciente , d< 0 es 
decreciente y si d =0 es constante la P.A. 
 𝑎𝑛 : término enésimo de la P.A. 
 
 Observación : P.A. ( significa progresión Aritmética ) 
 
Progresión Serie 
10,20,30,40… 10+20+30+… 
4,7,10,13,16… 4+7+10+13+… 
2,4,8,16,32,3… 2+4+8+16… 
3,1,1/3, 1/9, 1/27… 3+1+ 1/3 + 1/9 +… 
Cada una de las siguientes 
sucesiones es una progresión 
.La suma de sus términos es 
una serie , si se considera la 
suma de sus n primeros 
términos entonces la serie es 
finita 
 
 
 
Progresión 
Aritmética 
Diferencia de la 
P.A 
 Primer 
termino 
 1,4,7,13,16,…….. d = 3 𝑎1 = 1 
 5, 
19
4
 , 
9
2
 , 
17
4
, 4,…. d = -
1
4
 𝑎1 = 5 
 -6 ,-1 ,4, 9 , 14 , ….. d = 5 𝑎1 = -6 
 
 Ejemplo1 : Calculemos el término que ocupa el lugar 20 en la P.A. 3,7,11,15,….. 
Tenemos que: 𝑎1 = 3 d = 4 y n = 20 
Por lo tanto, reemplazando en la fórmula 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n-1). d 
 𝑎20 = 3 + ( 20 -1 ) . 4 = 3 + 19 . 4 
 𝑎20 = 3 + 76 = 79 // 
 
Ejemplo 2 : Si en una P.A. se tiene que 𝑎1 = 5 , d= 2, calcular es el número de términos que 
tiene esta progresión si 𝑎𝑛 = 203. osea el enésimo termino es 203 si la diferencia entre cada 
uno es d= 2 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n-1). d 
 203 = 5 + (n-1) . 2 multiplicando por 2 
 203 = 5 + 2n -2 despejando n 
 203 -5 +2 = 2n 
 200 =2n /:2 
 
200
2
 = n , n = 100 
El número de términos de esta progresión es 100 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3 : Si en una P.A. se tiene que el quinto número osea 𝑎5 = 26 y d = 6 , cuál será 
 𝑎20 ? Debemos determinar el 𝑎1 primero . 
 Sabemos que 𝑎5 = 𝑎1 + (n-1).d 
 26 = 𝑎1 + ( 5-1).6 
 26 = 𝑎1 + 4 .6 
 26 = 𝑎1 + 24 despegando 𝑎1 = 2 
Ahora teniendo 𝑎1 = 2 ,se puede determinar 𝑎20 
 𝑎20 = 𝑎1 + ( n-1) .d 
 𝑎20 = 2 + (20-1 ).6 
 𝑎20 = 2 + 114 = 116 // 
 
El termino que ocupa el lugar 20 es 116 . 
Ejemplo 4 ; Calcular el 𝑎10 de la sucesión 2,
5
2
 , 3 ,
7
2
 ,…. 
Debemos calcular “d” d= 
5
2
 -2 =
1
2
 tenemos 𝑎1= 2 , n = 10 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n-1). d 
 𝑎10 = 2 + ( 10-1 ). 
1
2
 
 𝑎10 = 2 + 9 . 
1
2
 = 2 + 
9
2
 = 
13
2
 , entonces 𝑎10 = 
13
2
 
 
 
Serie de una Progresión Aritmética finita (suma de los n primeros términos de una P.A.) 
Esta expresión o formula 1) 𝑆𝑛 =
𝑛
2
[2𝑎1 + (n-1) d] nos permite calcular la suma de los n 
primeros términos de una progresión aritmética conocidos 𝑎1 , d, y el número de términos 
Esta otra expresión 2) 𝑆𝑛 =
𝑛
2
 [ 𝑎1 + 𝑎𝑛 ] También permite calcular suma de los n primeros 
términos de una P.A pero la diferencia está en que se necesita n: número de términos de una 
P.A. el primer término 𝑎1 y el ultimo 𝑎𝑛. 
 
 
 
Ejemplo 1: Calcular la suma de una progresión de los primeros 100 términos si el 𝑎1 = 6 , d= 4 
. Aquí se utiliza la fórmula 𝑆𝑛 =
𝑛
2
[2𝑎1 + (n-1) d] 
 𝑠100 =
100
2
 [ 2.6 + (100-1). 4] 
 𝑠100 = 50 [ 12 + 99. 4] 
 𝑠100 = 50. 408 
 𝑠100 = 20400 
Ejemplo 2 Un oficial envía a muchos soldados les ordena a formarse en una disposición 
triangular consecutivos para una exhibición ,de manera que la primera fila llevara 1 soldado 
,fila 2 llevara 2 soldados y así sucesivamente , llegando al final a la fila numero 100 con 100 
soldados ¿ Cuantos soldados se necesitan en total para completar las 100 filas . 
 Aquí debemos utilizar en este caso la fórmula 2 𝑆𝑛 =
𝑛
2
 [ 𝑎1 + 𝑎𝑛 ] 
 𝑆𝑛 =
𝑛
2
 [ 𝑎1 + 𝑎𝑛 ] 
 𝑆𝑛=
100
2
 [1 + 100 ] = 50 .101 = 5050 
 
TRABAJO INDIVIDUAL 
1) El sexto término de una P.A. es 15 y el primero es 5 .Escriba la Progresión Aritmética 
 
 
 
2) Determine la sumatoria de la progresión anterior 
 
 
3) ¿Qué lugar ocupa el numero 109 en la progresión: -15,-11,-7,……? 
 
 
 
4) La medida de cada ángulo interior 𝛼 , 𝛽, 𝛾 𝑦 𝛿 de un cuadrilátero están en progresión 
aritmética. sabiendo que el ángulo 𝛼 = 45° , 𝛿 = 135° . Determina los otros 2 ángulos 
𝛽 𝑦 𝛾 . 
 
 
 
 
5) Encontrar el noveno término 𝑎9 de la sucesión 5,8,11,14,… 
 
 
 
6) Encontrar el 𝑎12 de la sucesión 4, 
9
2
 , 5, 
11
2, … .. 
 
 
 
7) Al soltar un péndulo se toman mediciones de la altura en centímetros ,en diferentes 
posiciones de cada oscilación como se muestra e la progresión : 
1680,1480,1280,……¿Qué altura tendrá el péndulo en su octava oscilación? 
 
 
 
 8) Un señor por limpiar un muro de 15 metros de largo teniendo en cuenta la siguiente 
progresión ,por el primer piso $2 ,por el segundo $7, por el tercero 412 , por el cuarto $17 y así 
sucesivamente .¿cuanto dinero cobra por dicho trabajo?