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Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 1 APUNTES DE LAS CLASES TEÓRICAS DE FÍSICA IV – CLASE 1 1 ÓPTICA 1.1 INTRODUCCIÓN 1.1.1 ¿QUÉ ES LA LUZ? Recordar que deben haber aprendido que la física no explica el por qué de las cosas sino el cómo. Sólo las describe. “Las ciencias no tratan de explicar, incluso apenas tratan de interpretar, construyen modelos principalmente. Por modelo, se entiende una construcción matemática que, con la adición de ciertas interpretaciones verbales, describe los fenómenos observados. La justificación de tal construcción matemática es sólo y precisamente que se espera que funcione.” John von Neumann (1903-1957) Matemático Húngaro Por lo tanto, la pregunta del título de esta sección está formulada engañosamente, debiera ser más bien “¿cómo modelamos la luz?” ¿Qué modelo es más adecuado? • Rayos: ¿qué son? ¿de qué están hechos? • Ondas: ¿cuál es la perturbación que se propaga? ¿en qué medio? ¿está quieto ese medio? ¿Qué experiencias demuestran que es una onda? • Partículas: ¿Obedecen F ma ? ¿cómo se explica la interferencia? ¿cuál es su tamaño? En cualquier caso: ¿de dónde salen? ¿cómo desaparecen? ¿cómo se modelan los colores? ¿qué hace que los objetos sean transparentes o no? ¿por qué vemos objetos que no emiten luz? ¿Qué modelo representa bien la reflexión parcial en un vidrio? 1.1.2 ¿CUÁL ES LA DESCRIPCIÓN ACTUAL? ACTIVIDAD Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 2 La descripción que se ha comprobado explica todos los fenómenos observados hasta ahora es la que modela a la luz con partículas, llamadas fotones. Estas partículas obedecen una ley muy simple, pero que tiene dos grandes dificultades: Los cálculos son complicados y es “antiintuitiva”. Vamos a ver estas dos características cuando veamos la mecánica cuántica. Quizás entre los conceptos más chocantes están: el que ya no tiene sentido el término clásico “trayectoria” y que esta ley sólo permite calcular probabilidades. En definitiva se pierde el determinismo mecanicista. Figura 1: Fotografías del mismo objeto tomadas con intensidades de luz crecientes de izquierda a derecha y de arriba abajo. A intensidades muy bajas se hace evidente el carácter corpuscular de la luz. 1.1.3 ¿QUÉ DESCRIPCIÓN VAMOS A USAR NOSOTROS? En este curso vamos a describir a la luz como una onda. Esta es la descripción del electromagnetismo clásico (finales del siglo XIX). Por supuesto, vamos a verlo de una manera terriblemente limitada (1 mes aproximadamente). Aprovecharemos los conceptos que ya manejan de ondas y en particular de ondas electromagnéticas que han visto en las físicas precedentes. Esto además nos será útil en parte cuando veamos la mecánica cuántica formal en la segunda mitad de la materia. La luz, entonces, será para nosotros una onda. Este modelo ondulatorio fue propuesto primeramente por Christian Huygens, un físico y matemático holandés. De hecho no se sabía por aquel entonces qué tipo de onda era, qué tipo de perturbación se propagaba, en qué medio, ni tampoco que tuviera alguna conexión con la electricidad y el magnetismo. Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 3 Figura 2. Christian Huygens (1629-1695). Contemporáneo de Newton y pionero en la postulación del modelo ondulatorio de la luz Recién a finales del siglo XIX, inspirado tal vez en ideas de Michael Faraday, James Clerk Maxwell describió teóricamente a la luz como una onda electromagnética. Campos eléctricos que oscilaban generaban campos magnéticos que oscilaban, que a la vez generaban campos eléctricos que oscilaban y así sucesivamente. Las ecuaciones de Maxwell en medios lineales e isótropos permiten obtener la ecuación de onda para el campo eléctrico (y equivalentemente para el campo magnético): 2 2 2 1 E E t (1.1) Donde 1/ v es la velocidad de la luz en el medio. Si estamos en el vacío 8 0 01/ 3·10 /c m seg . Al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en un medio, lo llamaremos índice de refracción del medio y lo notaremos con la letra n c n v (1.2) Deberá ser por supuesto mayor que uno 1 . Una solución para esta ecuación es por ejemplo una onda plana: 0 0 ˆ( , ) sin( · )E r t E k r t k (1.3) 1 Hay acá en esta definición una sobresimplificación. Los índices de refracción pueden ser incluso números complejos. Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 4 y debe ser 1 /v k . Se conoce a como la frecuencia angular 2 f , a k como el vector de onda (que indica la dirección de propagación) y a su módulo | | 2 / )k k , se lo conoce como el número de ondas. De esta manera es posible también escribir .f v 0 es la fase inicial y k̂ (que es la dirección del campo eléctrico) es un versor perpendicular a la dirección de propagación ya que siempre los campos son transversales al desplazamiento cuando el medio es isótropo. Las ondas electromagnéticas suelen clasificarse de acuerdo a los valores de sus frecuencias o longitudes de onda por razones históricas (y también debido a nuestro sentido de la vista). El ojo detecta sólo un rango de longitudes de onda y a eso lo llamamos el espectro visible. Cada longitud de onda (o frecuencia) se corresponde con un color (ver Figura 3). Figura 3. Espectro electromagnético 1.2 ÓPTICA GEOMÉTRICA Dentro de la descripción ondulatoria, vamos todavía a simplificar el modelo un poco más. Utilizaremos un modelo de rayos. Un rayo será para nosotros una línea que es siempre perpendicular a los frentes de onda. El frente de onda es el conjunto de puntos contiguos que tienen el mismo valor de fase. Si el medio en el que se mueve la onda es isótropo y homogéneo, los rayos son líneas rectas. Una onda esférica estará representada por rayos divergentes que emanan de un punto; una onda plana estará constituida por rayos paralelos (ver Figura 4). Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 5 Figura 4. Representación de los frentes de onda y rayos asociados correspondientes a una onda plana (izquierda) y una onda esférica (derecha) Algunos resultados obtenidos con esta aproximación darán resultados correctos, sin embargo, quedarán fuera efectos que no son bien modelados por los rayos, como por ejemplo la difracción. 1.2.1 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS PLANAS Consideremos una onda plana que se acerca a una superficie también plana que separa 2 medios distintos ¿qué ocurre? Como vimos parte de la onda se refleja y parte se transmite (o refracta), cumpliendo con las siguientes observaciones experimentales. Figura 5. Reflexión y refracción de una onda plana sobre una superficie Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 6 1. Las direcciones de incidencia refracción y reflexión están todas contenidas en un mismo plano, que es normal a la superficie. 2. El ángulo de incidencia es igual al ángulo reflejado. 11 '. 3. Los ángulos incidente y refractado cumplen la siguiente relación: 1 2 1 2 sin sin v v o equivalentemente 1 1 2 2sin sinn n que se conoce como Ley de Snell. Adicionalmente podemos preguntarnos qué le pasa a la frecuencia y a la longitud de onda de la luz al pasar del medio de índice 1n al medio de índice 2n . Por la definición de índice, evidentemente la velocidad debe cambiar. En consecuencia, como f v , o debe cambiar , o debe cambiar f , o ambas. Para responder esto, debemos tener en cuenta que hay una onda electromagnética incidente que al llegar al medio material representado por el índice 2n perturbará a los electrones del medio. Los electrones comenzarán a oscilar con la misma frecuencia f de la onda y generarán por lo tanto una nueva onda (recordar la radiación de cargas aceleradas) de la mismafrecuencia. Concluimos entonces que al cambiar la velocidad en el medio de índice 2n lo que debe cambiar es la longitud de onda. Podemos escribir entonces: 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 n nc f v k k n n n (1.4) Principio de Fermat Calculemos ahora el tiempo que tarda la luz en ir de un punto 1P a otro 2P , por un camino arbitrario, poniendo como condición que se refleje en la superficie y que viaje en línea recta (ver Figura 6) Figura 6. Notación utilizada en el principio de Fermat en el caso de la reflexión (izquierda) y de la refracción (derecha) Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 7 1/2 1/2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1/2 1/2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) d z d z t z v v d z d L z v v (1.5) y veamos ahora para qué valor de 1z ese tiempo es mínimo. 1 1 1 1/2 1/2 2 2 2 2 1 1 11 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) dt z z L z dz v vd z d L z (1.6) igualando a cero obtenemos (1.7) 1 1 1/2 1/2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) sin sin z L z d z d L z Podemos hacer lo mismo para el caso de la refracción. Toda la cuenta es similar salvo que se debe cambiar 1v por 2v cuando calculamos el tiempo en el medio donde está el punto 2P , llegando a 1 1 1/2 1/2 2 2 2 2 1 21 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 ( ) sin sin sin sin z L z v vd z d L z v v n n (1.8) Por lo tanto, podemos resumir las 3 leyes que se expusieron anteriormente en un único principio: Principio de Fermat: Para ir de un punto a otro, la luz sigue la trayectoria en la que el tiempo es mínimo. 1.2.2 REFLEXIÓN TOTAL INTERNA Cuando un haz de luz incide sobre una superficie que separa dos medios, parte de él se refracta y parte se refleja, como es fácil ver de la experiencia cotidiana al observar un vidrio. La ley de Snell muestra un caso muy particular cuando se incide desde un medio de índice de refracción mayor (u ópticamente más denso) sobre otro medio de índice menor (o menos denso ópticamente). Consideremos entonces la ley de Snell, Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 8 suponiendo que el haz va desde el medio con índice in al de índice rn y vale que i rn n . Despejando el ángulo de salida r , tenemos sin sin sin sin i i r r i r i r n n n n (1.9) que nos dice que para hay ángulo de salida sólo para algunos ángulos de incidencia, ya que habrá valores de i para los que la ley de Snell no tiene solución. Al caso de ángulo de incidencia límite, para el cual hay solución se lo llama habitualmente ángulo límite: arcsin rlim i n n (1.10) Por ejemplo, para un haz incidiendo desde un vidrio de 1.5in sobre el aire 1rn , tenemos que 42lim . Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 9 APUNTES DE LAS CLASES TEÓRICAS DE FÍSICA IV – CLASE 2 1.2.3 FORMACIÓN DE IMÁGENES – GENERALIDADES Cualquier objeto que es visible, lo es porque cada punto 2 de él está emitiendo ondas electrómagnéticas. O bien lo hace porque está emitiendo luz propia, transformando algún tipo de energía en luz (como por ejemplo el filamento de una lámpara incandescente) o bien porque está reflejando la luz que incide sobre él. Los rayos emitidos por cada punto del objeto que entran a nuestro ojo a través de la pupila se juntan en un punto sobre la retina, así cada punto en la retina se corresponde con un punto del objeto y se forma una imagen del objeto, que es interpretada por el cerebro. El ojo es entonces lo que se ha dado en llamar un sistema óptico ideal. Un sistema óptico ideal es un conjunto de elementos consistentes en combinaciones de superficies que separan distintos medios (p. ej. Lentes, espejos) que hace que los rayos emitidos desde cada punto de un objeto se junten en un único punto. Los sistemas ópticos ideales más elementales son los espejos, que vamos a ver a continuación. 1.2.4 ESPEJOS 1.2.4.1 ESPEJOS PLANOS Un espejo plano es una superficie perfectamente plana que refleja toda la luz que incide sobre él. Como vimos la clase pasada, cada rayo incidente se reflejará con un ángulo igual respecto a la normal (ver Figura 7). Figura 7. Reflexión de rayos en un espejo plano. 2 Un punto es algo ideal, basta para nosotros que sea una región suficientemente pequeña. Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 10 Los rayos que salieron del punto objeto oP y fueron reflejados por el espejo, parecen venir de un punto iP detrás del espejo. A este punto lo llamaremos la imagen del punto objeto oP . Cuando los rayos que salen del sistema óptico (aquí los rayos reflejados) no se juntan en un punto sino que se juntan sus proyecciones, diremos que la imagen es virtual. En el caso en que los rayos salientes del sistema óptico efectivamente se junten diremos que la imagen es real. Aprovechamos para definir la convención que vamos a utilizar en las teóricas: Trazamos una línea perpendicular al sistema óptico (en este caso al espejo plano). Esa línea será nuestro eje x . Tomamos el origen coincidente con el sistema óptico y definiremos el lado positivo hacia el lado desde donde incide la luz, es decir, desde donde vienen los rayos. El eje y lo definimos arbitrariamente, por comodidad en el dibujo fue tomado positivo hacia arriba. A un objeto cualquiera lo podemos pensar como un conjunto de fuentes puntuales, de manera que construyendo las imágenes de todos los puntos objeto ( , ,...o oP Q ) obtendremos su imagen, como el conjunto de todos los puntos imagen ( , ,...i iP Q ), como se muestra en la Figura 8. Figura 8. Formación de una imagen en un espejo plano Para un punto cualquiera (ver por ejemplo Figura 7) relacionando triángulos semejantes tendremos que vale i ox x (1.11) i oy y (1.12) Podemos definir entonces el aumento que sufre el objeto a través del sistema óptico como la relación de alturas entre un punto de la imagen y el correspondiente punto objeto: Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 11 i o y A y (1.13) En el caso particular de un espejo plano, entonces nos queda: 1A (1.14) 1.2.4.2 ESPEJOS ESFÉRICOS Cóncavos Para encontrar la imagen de un punto oP en un espejo cóncavo vamos a considerar sólo dos rayos, ya que veremos que para ángulos relativamente pequeños todos los rayos convergen en el mismo punto. Figura 9. Trazado de rayos en un espejo cóncavo. Un rayo es el que saliendo del punto objeto oP va y vuelve por el eje óptico, el otro es el que va desde oP hasta el punto A y luego se refleja de acuerdo con la ley de Snell. Ambos puntos se cortan sobre el eje óptico en el punto iP , que será por lo tanto la imagen del punto oP . Nuestro objetivo es encontrar la relación que hay entre sus coordenadas ox y ix , para ello consideremos la suma de los ángulos interiores de los siguientes triángulos: : : o o i i CAP CAP (1.15) Si sumamos ambas ecuaciones obtenemos 2o i (1.16) Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 12 Hasta aquí no hemos hecho ninguna aproximación, si ahora consideramos que los ángulos son pequeños 3 , podemos decir ; ;o i o i c h h h x x x (1.17) siendo h es la altura del punto A . Reemplazando esta última expresión en la ecuación (1.16) queda 1 1 1 2 1 1 1 2 co i o i xx x rx x (1.18) Donde en la última ecuación hemos hecho la sustitución cr x , con el siguiente cuidado: como la coordenada cx es positiva coincide con el valor del radio. Cuando consideremos espejos convexos seguiremos usando esta notación teniendo presente que ahí será 0r , esto significa que r no es el radio sino la coordenada x del centrode curvatura del espejo. Vamos a definir dos puntos muy relevantes en la formación de imágenes en sistemas ópticos. Foco imagen: El lugar donde se forma la imagen cuando el objeto está en el infinito (es decir el lugar donde se forma la imagen cuando los rayos llegan paralelos al sistema óptico) lim 2o i i x r f x (1.19) Foco objeto: El lugar donde hay que ubicar el objeto para que la imagen se forme en el infinito (es decir el lugar en el que hay que colocar el objeto para que los rayos emerjan paralelos del sistema óptico) lim 2i o o x r f x (1.20) Figura 10. Foco imagen (izquierda) y foco objeto (derecha) de un espejo cóncavo 3 A esta aproximación se la conoce como aproximación paraxial, ya que sólo tiene en cuenta rayos casi paralelos al eje óptico Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 13 En este caso los dos focos coinciden, como se observa también en la Figura 10, por lo que podemos escribir i of f f (1.21) Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación (1.18) de la siguiente forma 1 1 1 o ix x f (1.22) que se conoce como la ley de espejos. Notar que La ecuación (1.11) se obtiene tomando r en la ecuación (1.22) Trazado de Rayos La ecuación (1.22) nos permite entonces obtener analíticamente la posición de la imagen a través de un espejo si conocemos la posición del objeto y el foco del espejo. Una manera gráfica de hacerlo es mediante el trazado de rayos. Como a cada punto del objeto oP lo consideramos un emisor de ondas esféricas, podemos trazar rayos salientes de él y ver dónde se cortan una vez que han sido reflejados en el espejo. Todos se deberían cortar en un mismo punto iP , la imagen de oP . De esta forma determinamos geométricamente la ubicación de la imagen de cada punto del objeto. Hay 4 rayos que son sencillos de trazar, en la Figura 11 se muestran estos cuatro rayos para distintas posiciones ox objeto: 1. Un rayo que incide paralelo al eje x , se refleja pasando por el foco imagen. 2. Un rayo que pasa por el foco objeto se refleja paralelo al eje x 3. Un rayo que pasa por el centro de curvatura del espejo, vuelve por el mismo camino. 4. Un rayo que incide sobre el vértice (el cero del eje x ) se refleja con el mismo ángulo que incidió. Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 14 Figura 11. Trazado de rayos en la formación de imágenes a través de espejos cóncavos. Convexos El tratamiento para el caso de espejos convexos es exactamente el mismo que en el caso de espejos cóncavos. Sólo hay que ser cuidadosos con la definición de los ángulos y los signos de las coordenadas x del objeto, la imagen y sobre todo el centro de curvatura, que ahora será negativo ( 0r ) según nuestra convención. Se llega entonces a que es válida la misma ley de espejos (1.22), Usando la misma definición que antes para los focos imagen y objeto, vemos que la diferencia es que ahora los dos son negativos. Un trazado de rayos típico se muestra en la Figura 12. Figura 12. Trazado de rayos para el caso de un espejo convexo. Aumento El aumento de un espejo queda definido como en la ecuación (1.13), sólo que ahora al evaluar la expresión no nos queda igual a 1 como en el caso del espejo plano, sino que depende de la posición del objeto: Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 15 i i o o y x A y x (1.23) La última igualdad sale de considerar los triángulos semejantes sombreados en la Figura 13. Figura 13. Relación entre tamaños objeto-imagen Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 16 APUNTES DE LAS CLASES TEÓRICAS DE FÍSICA IV – CLASE 3 1.2.5 REFRACCIÓN EN UNA SUPERFICIE ESFÉRICA Vamos a considerar ahora cómo encontrar la imagen iP de un punto oP a través de una superficie esférica que separa dos medios de índice de refracción distintos, tal como se ve en la Figura 14. Figura 14. Formación de imágenes a través de una superficie esférica. De la misma forma que hicimos con espejos, planteamos la suma de los ángulos interiores de los triángulos: : : o o i i i r CAP CAP (1.24) i y r no son independientes, están vinculadas por la ley de Snell, que en la aproximación paraxial toma la forma 1 2 1 2 sin sini r i r n n n n (1.25) Multiplicando entonces la ecuación superior de (1.24) por 1n ; la inferior por 2n y luego sumando, se obtiene 1 2 1 2 0o in n n n (1.26) Aplicando otra vez la aproximación paraxial como en los espejos (¡cuidado la convención de signos!) Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 17 ; ;o i o i c h h h x x x (1.27) en la ecuación (1.26) nos queda 1 2 1 2 o i n n n n x x r (1.28) Que es la ley para la refracción en una superficie esférica. Recordar que cr x no es el radio de curvatura de la superficie sino su coordenada x . Por ejemplo, con la convención que estamos utilizando, en el ejemplo dibujado en la Figura 14, r es negativo. Calculemos ahora los focos, recordando la definición que dimos. Foco imagen: El lugar donde se forma la imagen cuando el objeto está en el infinito (es decir el lugar donde se forma la imagen cuando los rayos llegan paralelos al sistema óptico) 2 1 2 1 2 lim (Por ejemplo: si ; 0 0) o i i i x n f x r n n r f n n (1.29) Foco objeto: El lugar donde hay que ubicar el objeto para que la imagen se forme en el infinito (es decir el lugar en el que hay que colocar el objeto para que los rayos emerjan paralelos del sistema óptico) 1 1 2 0 1 2 lim (Por ejemplo: si ; 0 0) i o o x n f x r n n r f n n (1.30) Figura 15. Foco imagen (izquierda) y foco objeto (derecha) de una superficie refractora convergente Es importarte notar a través de las expresiones (1.29) y (1.30) que ahora los foco objeto e imagen quedan de lados distintos del origen y además tampoco son simétricos. Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 18 Aumento El aumento lo calculamos siempre como en la ecuación (1.13), pero ahora debemos ser cuidadosos al establecer la relación entre los cocientes de las coordenadas y y las coordenadas x . En la Figura 16 se muestra la relación entre i y o de manera que aplicando la ley de Snell nos queda: sin sin i i i i o o o o o i y x x n A y x x n (1.31) Figura 16. Aumento en el caso de una superficie refractora esférica Superficies planas El caso de formación de imágenes a través de la refracción por superficies planas puede ser tratado evaluando todas las expresiones anteriores tomando el límite r (¡hacerlo!). 1.2.6 LENTES DELGADAS Podemos pensar una lente como una superposición de dos superficies refractoras esféricas; por lo tanto aplicando dos veces la ecuación para la refracción (1.28) obtendremos la ecuación para las lentes. Al aplicar en etapas la ecuación (1.28) asumiremos además que el espesor de la lente es mucho menor que las distancias involucradas en el problema: focos objeto e imagen, distancias objeto e imagen. A las lentes que cumplan con esta propiedad las denominaremos lentes delgadas. Consideremos entonces el problema de la formación de imágenes a través de una lente delgada de la forma que se esquematiza en la Figura 17. Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 19 Figura 17. Las dos etapas consideradas en la formación de imágenes a través de una lente delgada Aplicando entonces la ecuación (1.28) a la primera etapa, obtenemos 1 1 m l m l o i n n n n x x r (1.32) O equivalentemente 1 1 l m m l i o n n n n x x r (1.33) Similarmente, para la etapa 2: 2 2 2 1 2 l m l m o i l m l m i i n n n nx x r n n n n x x r (1.34) Fíjense que hemos utilizado en la segunda línea que vale 2 1o ix x ¡que es cierto únicamente para el caso de lentes delgadas! Reemplazando (1.33) en la segunda línea de (1.34) queda 1 2 m m l m l m o i n n n n n n x r x r (1.35) Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 20 Y operando un poco 2 1 1 1 1 1l m o i m n n x x n r r (1.36) Si definimos 1 2 1 1 1l m m n n f n r r (1.37) Entonces (1.36) queda 1 1 1 o ix x f (1.38) Focos Aplicando para este caso la definición de focos que ya hemos usado antes, obtenemos: lim o i i x f x f (1.39) lim i o o x f x f (1.40) De manera que los focos en las lentes delgadas están ubicado en lados opuestos y a la misma distancia. Diremos que una lista es convergente cuando f>0 y diremos que es divergente cuando f<0. Esta definición es consistente con la idea intuitiva de lo que le ocurre a un haz de rayos paralelos que incide sobre la lente. Si la lente es convergente los rayos inicialmente paralelos se juntarán (convergerán) en un punto; en cambio, si la lente es divergente los rayos inicialmente paralelos se abrirán (divergerán) como saliendo de un punto al atravesar la lente. Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 21 Figura 18. Distintos tipos de lentes convergentes y divergentes Completar los signos de 1r y 2r en la Figura 18 comprobando que los signos de f son los adecuados. Trazado de Rayos y Aumento Conocida la ubicación de los focos, el trazado de rayos no tiene ninguna dificultad adicional a lo hecho con espejos o en la refracción a través de superficies esféricas. Del mismo modo, el cálculo del aumento al comparar triángulos semejantes es como en el caso de los espejos, salvo el detalle del signo al pasar de las coordenadas y a las coordenadas x . Ambas situaciones se muestran en la Figura 19. Figura 19. Trazado de rayos y aumento en una lente i i o o y x A y x (1.41) ACTIVIDAD Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 22 Potencia de una lente Una cantidad que se define complementariamente al foco de una lente es la potencia de una lente. El concepto es que cuanto más potente es una lente tanto más hará converger un haz de rayos paralelos que inciden sobre ella. Por lo tanto una buena definición de potencia es 1 ( ) P f en metros (1.42) La unidad para la potencia de una lente es dioptrías, cuando f está en metros, que es la unidad habitual que se utiliza en las ópticas para indicar la graduación de las lentes de corrección. Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 23 APUNTES DE LAS CLASES TEÓRICAS DE FÍSICA IV – CLASE 4 1.2.7 INSTRUMENTOS ÓPTICOS Habiendo visto ya la formación de imágenes con lentes, estamos en condiciones de considerar algunos instrumentos ópticos elementales. Lupa o Microscopio simple El instrumento óptico más sencillo es una lente convergente y se lo conoce como lupa. La idea es lograr una imagen aumentada del objeto que se quiere observar y que además esa imagen quede lo más cerca posible del ojo sin que el ojo pierda la capacidad de enfocar. Se toma como referencia promedio que la distancia óptima de observación para ver los detalles más finos de un objeto es 25 cm. Más cerca que eso el ojo tiene problemas para enfocar (siempre hablando de un promedio, hay personas que lo pueden acercar más y no tienen dificultades para enfocar). A esta distancia la llamaremos a veces la distancia de punto próximo o punto cercano. El trazado de rayos para una lente convergente utilizada como lupa se muestra en la Figura 20. Formación de imagen en una lupa. Aplicamos entonces a este caso la ecuación de lentes (1.38) fijando 25cm.ix 1 1 1 25cmox f (1.43) Por lo tanto el aumento nos quedará 25cmi o o x A x x (1.44) Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 24 Despejando ox de (1.43) obtenemos 25cm 25cm o f x f (1.45) Y reemplazándola en (1.44) 25cmf A f (1.46) Así que el aumento será tanto mayor cuanto más chico sea el foco o, equivalentemente, cuanto mayor sea la potencia de la lente. Si asumimos que el foco f es mucho menor que 25 cm, entonces podemos aproximar 25cm A f (1.47) Esta última aproximación es equivalente a decir que ox f en (1.44). Resumiendo entonces, la lupa es una lente convergente de distancia focal corta que produce una imagen virtual derecha y aumentada de un objeto cuando se lo ubica en una posición cercana a su foco. El objeto se posiciona de forma tal que la imagen virtual que se forma en el punto cercano, que queda a unos 25 cm de la lupa o equivalentemente a 25 cm. del ojo del observador si él ubica su ojo cerca de la lupa. Microscopio Compuesto o Microscopio Si se desea aumentar más el tamaño de una imagen, entonces se puede en primera instancia formar una imagen real y aumentada del objeto y luego a esa imagen observarla con una lupa. El instrumento óptico que hace eso se denomina microscopio compuesto o más sencillamente: Microscopio. La Figura 21 muestra el principio de funcionamiento. Figura 21. Esquema de funcionamiento del microscopio Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 25 A la lente más cercana al objeto se la denomina objetivo, tiene una distancia focal corta y forma una imagen intermedia real, invertida y aumentada cuando el objeto se ubica un poco más allá de su foco ( obf ) como se ve en la Figura 21. Esa imagen intermedia es luego observada a través de una segunda lente convergente que actúa como lupa. Esa segunda lente, detrás de la cual se coloca el ojo, se denomina en consecuencia ocular. La separación entre lentes está estandarizada a aproximadamente 16 cm. Un microscopio típico se muestra en la Figura 22. El sistema de lentes (objetivo-ocular) está encerrado en un tubo para evitar el ingreso de luz ambiente que quitaría contraste a la imagen. Algunos microscopios, como es el caso del que se muestra, tienen además un prisma para que sea más cómodo el posicionamiento del ojo. Los microscopios tienen habitualmente un revólver permite cambiar de objetivo de manera sencilla, una platina para posicionar el objeto a observar, un tornillo fino y otro grueso para ajustar la distancia entre el objeto y el objetivo y a veces también vienen provistos con un sistema de iluminación. Figura 22. Partes de un microscopio. Aplicando la expresión para los aumentos a través del objetivo y del ocular al esquema de la Figura 21 tenemos, http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=microscopio %C3%B3ptico partes&source=images&cd=&cad=rja&docid=_PXcCUcwHb97cM&tbnid=s26j2o8w3mRA4M:&ved=0CAUQjRw&url=http://oikos2011.wordpress.com/biologia_celular/&ei=83sKUryFEqXNiwKmh4GgCA&psig=AFQjCNFQsM-PyzaKRIbny-SEl0smEdODig&ust=1376505011158884 Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 26 16 cm 25 cm i ob o ob ob i oc o oc x L A x f f x A x f (1.48) El aumento total entonces será: 16 cm 25 cm ob oc ob oc A A A f f (1.49) Las lentes que se usan como objetivos y oculares en vez de caracterizarse por sus distancias focales se suelen caracterizar por sus aumentos. Como los aumentos del objetivo obA y ocular ocA están determinados por los focos obf y ocf ya que las distancias de formación de imagen están aproximadamente fijas, dar los aumentos o las distancias focales es indistinto. Telescopio Al observar objetos lejanos, lo que uno se propone no es lograr tener una imagen mayor sino conseguir a través del instrumento una imagen cercana del objeto en la que dos puntos de él estén angularmente más separados que cuando se observan a simple vista (o también llamada a ojo desnudo). Porejemplo: el límite del ojo humano es de aproximadamente unas 3 centésimas de grado, es decir que puede distinguir dos puntos de un objeto que estén separados a 5 cm ubicado a 100 metros de distancia. Si lográramos formar una imagen de ese objeto disminuida cinco veces ( 1/ 5A ) pero a 25 cm de distancia, en la imagen veríamos los mismos dos puntos del objeto separados a por 1 cm pero serían mucho más sencillos de distinguir por el ojo. Esa es la idea del telescopio. La Figura 23 muestra el principio de funcionamiento. Figura 23. Esquema de funcionamiento del telescopio. Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 27 Los rayos provenientes de un punto en el infinito llegan paralelos con un ángulo al objetivo del sistema óptico, formando una imagen intermedia de altura h , esta imagen real es luego observada a través del ocular, que actúa como lupa, de la manera que ya consideramos antes. El ángulo de salida de los rayos del punto imagen equivalente es . Como dijimos, en este caso lo que es relevante es el aumento angular, que lo definiremos como el ángulo de salida de los rayos de un punto de la imagen final del telescopio sobre el ángulo de entrada del punto objeto equivalente, por lo tanto / / oc ob ang ob oc h f f A h f f (1.50) Un telescopio con un gran aumento tendrá entonces una relación grande entre los focos de su objetivo y de su ocular. Limitaciones Los microscopios y telescopios ópticos tienen limitaciones que no hemos tratado ni lo haremos en este curso, pero que son importantes tener en cuenta. Aberración cromática: Los índices de refracción dependen de la longitud de onda de la luz incidente, por lo tanto, la distancia focal de las lentes dependerá levementedel color de la luz. Aberración esférica y coma: Las ecuaciones que usamos para las lentes y espejos valen en la aproximación paraxial, es decir a pequeños ángulos respecto al eje óptico. Cuando los ángulos son mayores, los rayos se enfocan en distintos puntos de acuerdo a la distancia a la que atraviesan la lente. Difracción: Algo de esto veremos en la siguiente sección. Baste por ahora decir que debido al carácter ondulatorio de la luz, al pasar por una abertura de tamaño limitado (el diámetro de las lentes o los espejos utilizados) un punto del objeto no forma exactamente un punto en la imagen, sino que tiene cierto tamaño. Este tamaño es mayor cuanto más chica es la abertura. http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=aberraci%C3%B3n+crom%C3%A1tica&source=images&cd=&cad=rja&docid=W3ARKIu7UFOQsM&tbnid=bxYfXnCgniCfyM:&ved=0CAUQjRw&url=http://diccionariofotografico.wikispaces.com/Aberraci%C3%B3n%2BCrom%C3%A1tica&ei=I5EKUorkL-nSigK52YDoCg&bvm=bv.50723672,d.cGE&psig=AFQjCNFVtQOpi_lXix_5l8zadOVDH1Bv5A&ust=1376510548450266
