MATRICES y DETERMINANTES

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ANALISIS MATEMATICO II-MATEMATICA II 
PROF. Y LIC EN FÍSICA-PROF. Y LIC. EN QUIMICA PROF: DR. RAUL G. ORTEGA 
Año 2022: “Las Malvinas son Argentinas” 
 
 1 
 
VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES 
Vectores 
 
Definición: Un vector es un segmento orientado. 
 
Sus elementos son: 
 
ORIGEN DIRECCIÓN SENTIDO MODULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
ORIGEN: es el punto de aplicación del vector. 
DIRECCIÓN: es la recta de acción del vector. 
SENTIDO: es la flecha que indica hacia donde se dirige el vector. 
MODULO: es una medida de su magnitud y se expresa como la longitud del vector. 
 
 Un vector se puede representar en dos o tres dimensiones, aunque puede contar 
con tantas dimensiones como sean necesarias. En general en un espacio de n 
dimensiones Rn , un vector x tiene n componentes 
 
 x=(x1;x2;x3;..........;xn) 
 
lo que constituye una n-upla. 
 
 La estructura del vector x depende de la dimensión del espacio sobre el cual 
trabajemos; así en R2 , tendremos un vector de dos componentes 
 
 x=(x,y) 
 
 
 
 
modulo 
direccion 
origen sentido 
 
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 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o en tres dimensiones , R3, un vector de tres componentes 
 
 x=(x,y,z) 
 
 
Operaciones entre vectores 
 
 Las operaciones mas elementales son la suma entre vectores y la 
multiplicación de un vector por un escalar. 
 Dados dos vectores 
 x=(x1;x2;x3;..........;xn) 
 
 y=(y1;y2;y3;..........;yn) 
 
 la suma analítica de los vectores es 
 
x+y=(x1+y1;x2+y2;x3+y3;...............;xn+yn) 
 
Es decir, la suma de dos vectores es otro vector, cuyas componentes se obtienen al 
sumar las componentes correspondientes entre ellos. 
 
Si r es un numero real, entonces el producto de un vector por un escalar es: 
 
 rx=(rx1;rx2;rx3;..........;rxn) 
 
es decir se multiplica por el mismo escalar cada una de las componentes del vector. 
 
x 
y x 
 
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Propiedades 
 
 Dados dos vectores x e y ; y dos escalares r y s; se puede verificar que se 
cumplen las siguientes propiedades: 
 
1) rx + sx =(r+s)x 
2) rx + r y = r(x + y) 
3) r(sx)=(rs)x 
4) x + y = y + x 
5) (x + y) + z = x + (y + z) 
6) x + 0 = x 
7) x + (-x) = 0 
 
 
Versores de la Base Canónica 
 
 Existe una base natural canónica de versores fundamentales. Un versor es un 
vector de modulo 1. La base canónica en un espacio de dimensión n es el conjunto 
 
 {e1 ; e2 ; e3 ; ...........; en} 
 
donde e1 = (1,0,0,...............,0) 
 
 e2 = (0,1,0,...............,0) 
 
 e3
 = (0,0,1,0,...........,0) 
 .............................. 
 .............................. 
 
 en = (0,0,0,...............,1) 
 
En el sistema cartesiano de coordenadas xyz, suelen utilizarse los versores 
fundamentales i ; j ; k , que coinciden respectivamente con los ejes coordenados; estos 
son : 
 i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1) 
 
Y se representan de la siguiente manera en R3. 
 
 
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Cualquier vector en Rn 
 
 x = (x1 ; x2 ; x3 ; ........; xn) 
 
se puede expresar como una combinación lineal de los versores de la base. Es decir que 
cualquier vector se puede escribir como 
 
 x= x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + ........+ xn en 
 
 El conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto S se denomina 
espacio generado por S. 
 
 Un conjunto de vectores x1; x2 ; .....; xn se dice que son linealmente 
independientes (LI) si para ciertas constantes c se cumple que 
 
 c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + ............+ cn xn = 0 
 
con c1 = c2 = ........= cn = 0 
 
si los elementos c, son todos 0c para la combinación lineal y se obtiene el vector 
nulo, entonces los vectores son linealmente dependientes (LD). 
 
 
x 
y 
z 
k 
j 
i 
 
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Producto Escalar 
 
Dados los vectores en Rn 
 
 x=(x1;x2;x3;..........;xn) 
 
 y=(y1;y2;y3;..........;yn) 
 
 se define el producto punto , escalar o interno; entre los dos vectores como 
 
 x.y = x1y1 + x2y2 + x3y3 + ............+ xnyn 
 
el resultado del producto escalar es siempre un numero. 
 
En el producto escalar se cumple 
 
 x.y = cosyx 
 
donde  es el ángulo entre los vectores, yx es producto de los módulos de los 
vectores. Los módulos de los vectores se calculan como 
 
 22
3
2
2
2
1 ...... nxxxxx ++++= 
 
 22
3
2
2
2
1 ....... nyyyyy ++++= 
 
esta relación es muy útil ya que se puede aplicar para calcular el ángulo entre los 
vectores si conocemos su producto escalar y sus módulos. Entonces 
 
 
 
yx
yx


=cos 
 
si los vectores son ortogonales (perpendiculares) entre si se cumple que x.y = 0, se 
puede verificar ya que 0
2
cos =

. 
 
 
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Propiedades 
 
 Las propiedades mas importantes del producto escalar son 
 
-Positividad x.x >0 si x 0 
 
-Conmutatividad x.y = y.x 
 
-Distributividad (x + y) .z = x.z + y.z 
 
-Asociatividad (rx) . y = r (x.y) siendo r escalar 
 
 
Además, se define el largo o norma del vector como 
 
 
22
2
2
1
2
............... nxxxx +++=

 
 
o bien con el producto escalar como 
 
 xxx

= 
 
Ejemplo: Calcular el producto escalar entre los vectores 
 
 a = (1 ; 2 ; 3) b = (0 ; 4 ; -2) 
 
entonces a.b = 1.0 + 2.4 + 3.(-2) = 2 
 
Calcular también el ángulo entre los vectores 
 
ba
ba


=cos = =
−++++ 222222 )2(40321
2
 
 
 
2014
2
cos = 
 
 
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 7 
 





= −
20.14
2
cos 1 
 
 
Producto Vectorial 
 
Dados los vectores en Rn 
 x=(x1;x2;x3;..........;xn) 
 
 y=(y1;y2;y3;..........;yn) 
 
 se define el producto vectorial , o externo; entre los dos vectores como 
 
 
 senyxyx .=

 
 
donde  es el ángulo entre los vectores. La gran diferencia con el producto escalar esta 
en que el producto vectorial nos da por resultado otro vector, perpendicular al plano en 
el que están contenidos los vectores que se multiplican. Según se observa en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si el producto vectorial se realiza en sentido contrario, es decir xy

 , el resultado es 
otro vector del mismo modulo y dirección pero de sentido contrario. En la figura el 
yx

 
y

 
 
x

 
 
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vector debería apuntar hacia abajo. Inmediatamente resulta evidente que el producto 
vectorial es anticonmutativo. 
 
 xyyx

 
 
El producto vectorial se anula cuando el ángulo entre los vectores es 0 o 180o; por lo 
tanto si al realizar el producto vectorial se anula, es decir 
 
 0= yx

 
 
podemos concluir que los vectores son paralelos. 
 
La forma practica de realizar el producto vectorial es la siguiente, dados: 
 
 x=(x1 ; x2 ; x3) 
 
 y=(y1 ; y2 ; y3) 
 
escribimos un determinante donde en la primera fila están los versores, en la segunda 
fila el primer vector y en la tercerafila el segundo vector que interviene en el producto 
vectorial. 
 
 
21
21
31
31
32
32
321
321
ˆˆˆ
ˆˆˆ
yy
xx
k
yy
xx
j
yy
xx
i
yyy
xxx
kji
yx +−==

 
 
como aun no hemos estudiado determinantes podemos aplicar directamente el resultado 
de la operación anterior, esto es: 
 
 ( ) ( ) ( )kyxyxjyxyxiyxyxyx ˆˆˆ
122131132332 −+−+−=

 
 
 
Ejemplo: Calcular el producto vectorial dc

 ; dados )3;3;1(=c

 y )4;2;2( −=d

 
 
 
 
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 9 
 
22
31ˆ
42
31
ˆ
42
33
ˆ
422
331
ˆˆˆ
kji
kji
dc +
−
−
−
=
−
=

 
 
( ) ( ) ( ) kjikjidc ˆ4ˆ10ˆ18ˆ62ˆ46ˆ612 −+−=−+++−−=

 
 
Entonces el vector resultante es: ( )4;10;18ˆ −−=e .- 
 
 
MATRICES 
 
 Una matriz es un arreglo rectangular de números, organizados en filas y 
columnas. Se designan siempre con letras mayúsculas A, B, C, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las matrices se clasifican según su número de filas (m) y columnas (n); en 
matrices en tipo (filas x columna)=m x n. 
 Por ejemplo B es una matriz tipo 2x3 
 
 
 








−
=
165
430
B 
 
Los elementos de una matriz se designan con letras minúsculas y dos subíndices; 
el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenecen. Así la matriz B 
es: 
 
A= 
Fila 
Columna 
 
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 10 
 
 





=
232221
131211
bbb
bbb
B 
 
Cuando el numero de filas es igual al número de columnas la matriz se dice que 
es cuadrada (m=n). Por ejemplo la matriz C es una matriz cuadrada tipo 3x3. 
 
 










−=
311
022
643
C 
 
Si la matriz es 1.x.n; es decir tiene una sola fila se llama matriz fila o bien vector 
fila. 
Por ejemplo 
 ( )521=D 
 
Idénticamente, si tiene una sola columna es una matriz columna o bien un vector 
columna. Por ejemplo: 
 
 














−
=
12
7
5
2
E 
 
Existe también una matriz especial llamada matriz identidad, la cual es siempre 
cuadrada (2x2); (3x3), (4x4); etc. Se caracteriza por tener todos sus elementos iguales a 
cero, excepto los de la diagonal principal que son iguales a uno. Se designa con la letra 
I. Una matriz identidad (3x3) es: 
 
 










=
100
010
001
I 
 
También se puede escribir designando sus elementos de la siguiente manera: 
 
 
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


=
==
=
jisia
jisia
I
ij
ij
0
1
 
 
Intentaremos ahora definir operaciones elementales entre matrices. 
 
Suma de Matrices 
 
 Toda vez que intentemos sumar matrices, se debe verificar primero que estas 
sean del mismo tipo, de lo contrario la operación no se puede realizar. Al sumar dos 
matrices se obtiene como resultado otra matriz del mismo tipo, cuyos elementos se 
obtienen al sumar los elementos que son correspondientes. Es decir se suman elementos 
correspondientes a la misma fila y columna. 
 Si sumamos las matrices A y B obtenemos por resultado una matriz C. 
 
 





=
2221
1211
aa
aa
A 





=
2221
1211
bb
bb
B 
 
entonces la suma es: 
 
 





++
++
==+
22222121
12121111
baba
baba
CBA 
 
Producto de una Matriz por un Escalar 
 
 Si una matriz se multiplica por un escalar, se obtiene una matriz del mismo tipo 
donde sus elementos resultan de multiplicar cada uno de los elementos de la matriz 
original por el escalar. 
 
 





=





=
2221
1211
2221
1211
rara
rara
aa
aa
rrA 
 
Producto de Matrices 
 
 La condición fundamental para realizar el producto de matrices es : el numero 
de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. Cuando esto 
se cumple se dice que las matrices son compatibles para el producto. El resultado es una 
 
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matriz que tiene la cantidad de filas de la primera y el numero de columnas de la 
segunda. Así si multiplicamos una matriz A de tipo m.x.n; por una matriz B de tipo 
n.x.p; la matriz resultante es una matriz C de tipo m.x.p. 
 En cambio si queremos realizar el producto BA, este no es posible , pues p no es 
igual a m. Resulta evidente que el producto de matrices es anticonmutativo. 
 
 BAAB  
 
 El producto se realiza siempre como fila x columna, en forma idéntica al 
producto escalar entre vectores. 
 
Para visualizar esta operación vamos o tomar el caso en que la matriz A es 2x2 y la 
matriz B es tipo 2x3. 
 En primer lugar se debe siempre cumplir con la condición de compatibilidad 
entre las matrices para realizar el producto. 
 Si queremos encontrar el producto AB; rápidamente nos damos cuenta que es 
posible ya que el numero de columnas de A es 2 y es igual al número de filas de B. 
 En cambio; si queremos hacer el producto BA, este no se puede realizar ya que 
el numero de columnas de B, ahora como primera matriz en la operación, es 3; lo que 
no es igual al número de filas de A, ahora en el papel de la segunda matriz, que es 2. 
 Escribiremos las matrices en forma genérica. 
 
 
 





=
2221
1211
aa
aa
A 





=
232221
131211
bbb
bbb
B 
 
Para realizar el producto la hacemos siempre como fila por columna, como en el 
producto escalar de vectores; tomando la primera fila de A la cual se multiplica 
sucesivamente por todas las columnas de B. Luego repetimos el procedimiento con la 
segunda fila de A multiplicada sucesivamente por todas las columnas de B. En ese 
orden se trabaja hasta que se completa el producto de todas las filas de la primera matriz 
por todas las columnas de la segunda. 
 Intentando ser algo mas explicativo, diremos que el producto de la primera fila 
de A por la primera columna de B nos da el elemento (1,1) de la matriz resultante. La 
primera fila de A por la segunda columna de B nos da el elemento (1,2) de la resultante; 
y así sucesivamente. 
 Si el producto AB nos da como resultado la matriz C esta es : 
 
 
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 





+++
+++
=
232213212222122121221121
231213112212121121121111
babababababa
babababababa
C 
 
 En todas las operaciones, existe un elemento neutro, es decir aquel que 
interviene en la operación sin alterar el resultado. Para el caso del producto de matrices 
es la matriz identidad. Se puede probar que toda vez que se multiplique una matriz por 
la matriz identidad, se obtiene por resultado la misma matriz. 
 
 A I = I A = A 
 
 Donde A es cualquier matriz , I es la matriz identidad. 
 
 Si se cumple que 
 
 A B = B A = I 
 
Se dice que la matriz A es invertible y B se llama la matriz inversa de A; y 
generalmente se designa con A-1. Entonces se escribe: 
 
 A A-1 = A-1 A = I 
 
Dada una matriz 2x2; 
 
 





=
dc
ba
A 
 
la matriz inversa es 
 
 





−
−
−
=−
ac
bd
bcad
A
11 
 
siempre que 0−bcad . 
 
Ejemplo: dadas las siguientes matrices realizar el producto entre ellas. 
 
 
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









−=
03
12
45
D 










−−=
267
352
122
E 
 
 D es del tipo (3x2) 
 E es del tipo (3x3)Si buscamos el producto DE=(3x2)(3x3) este no se puede realizar ya que el numero de 
columnas de la primera no es igual al número de filas de la segunda. 
 
El producto ED=(3x3)(3x2) se puede realizar ya que son compatibles y da como 
resultado una matriz (3x2). 
 
 










−










−−=
03
12
45
267
352
122
ED = F 
 
 










+−++
++−+−−
+−+++
=
062861232
05891010
0.1)1.(24.23.12.25.2
ED =F 
 
 










−−=
2253
311
617
F 
 
 
DETERMINANTES 
 
 Si M es una matriz cuadrada se puede calcular su determinante. 
 Cuando tenemos una matriz (2x2), o sea 
 
 





=
dc
ba
M 
 
 
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para calcular el determinante encerramos la matriz entre barras, y el determinante es el 
producto de la matriz principal menos el producto de la otra diagonal, es decir 
 
 
 bcda
dc
ba
M ..det −== 
 
Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz A 
 
 





=
16
35
A 
 
entonces 
 133.61.5
16
35
det −=−==A 
 
Por lo tanto el determinante de la matriz A es detA=-13.- 
 
 En general para matrices cuadradas de mas elementos se aplica la formula 
siguiente: 
 
 jj
n
j
j AaA 11
1
1 det)1(det 
=
+−= 
esta formula expresa el método de eliminación por filas y columnas. El elemento a1j 
recibe el nombre de pivote; mientras que A1j es la matriz que queda al eliminar la fila y 
la columna que corresponde al pivote. 
 Aplicando este método a una matriz (3x3), tendremos 
 
 










−
=
121
020
321
A 
 
entonces 
 =
−
=
121
020
321
det A 
 
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 16 
 
Los pivotes seran a11 ; a12 ; a13 o sea los elementos primero ; segundo y tercero, 
respectivamente de la fila 1. Por ejemplo al tomar el pivote a12=2 debemos eliminar la 
fila 1 y la columna 2; por la tanto queda la matriz 
 
 
11
00
12
−
=A 
 
idéntico trabajo se debe hacer con los otros dos pivotes. Entonces el determinante de la 
matriz A es: 
 
 =+
−
−
−
=
21
20
.3
11
00
.2
12
02
.1det A 
 
donde nos han quedado solamente a resolver determinantes de tipo (2x2); los cuales 
sabemos ya como calcular. 
 
 =−+−−−−= )20.(3)00.(2)02.(1det A 
 
 8)6(02det −=−+−−=A 
 
Propiedades de los Determinantes 
 
1-Si B es una matriz que se obtiene de la matriz A, por multiplicar alguna columna por 
el escalar r; entonces se cumple que: 
 
 det B = r.det A 
 
2-Si una matriz tiene una columna con elementos nulos entonces su determinante es 
cero. 
 
3-Si dos columnas de una matriz A son iguales el determinante de A es cero. 
 
 
 
 
 
 
ANALISIS MATEMATICO II-MATEMATICA II 
PROF. Y LIC EN FÍSICA-PROF. Y LIC. EN QUIMICA PROF: DR. RAUL G. ORTEGA 
Año 2022: “Las Malvinas son Argentinas” 
 
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Referencias Bibliográficas 
 
-k. Hoffmann, R. Kunze. Algebra Lineal . Ed. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 
1994. Cap. 5: Determinantes. 
 
-R. Williamson, R. Crowell, H. Trotter. Calculo de Funciones Vectoriales. Ed. 
Prentice Hall International. 1972. Cap 1: Algebra Lineal.