Ejercicios de Thevenin y Norton

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Tema0 Circuitos Eléctricos/ Ejercicios Resueltos 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__1/19 
Calcular el equivalente Thevenin y Norton entre los puntos a y b en el circuito de 
la figura 
 
Para calcular el equivalente Thevenin “abrimos” entre los puntos a y b 
Calcularemos así la tensión 
en circuito abierto Vth 
 
 
 
 
Asignamos intensidades de mallas. Sumamos tensiones a lo largo de los recorridos 
 
 
De las ecuaciones obtenemos el valor I2 y como no circula intensidad por la resistencia de 6 
la tensión buscada es Vab =-3+Vc: 
El resultado obtenido es Vth=-2.5V 
Para calcular La resistencia equivalente cortocircuitamos ambas fuentes de tensión: 
 
4
a 
6
5
2
2 Rth 
   


5.86)5//5(
65//42//2
th
th
R
R
+ 
Rth 
Vth 
RL 
a 
b 
3v 
4
2v 
b 
c 
6
52
Vth 
a 
+ 
+ 
d 
3v 
4
2v 
b 
c 
6
5
2
2
Vth 
I2 
I1 
a 
+ 
+ 
d 
335
,
2)(540
2)(22
2
21
1222
211









cththc VVVIV
II
IIII
III
Mallas
+ 
3v 
2v 
b 
a 4 6
5
2
2
+ RL 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__2/19 
 
Para calcular el equivalente Norton cortocircuitamos los puntos a y b 
Calculamos la intensidad por ese cortocircuito 
Escribimos las ecuaciones de mallas 
 
 
 
 
 
 
Resolviendo el sistema calculamos IN.=-5/17A 
Naturalmente se cumple Vth/IN=Rth 
c 
3v 
2v 
b 
a 
6
5
2
2
IN 
4
IN 
I1 I2 
+ 
+ 
d 













5)(63
2)(5)(40
2)(22
2
1222
211
III
IIIII
III
NN
N
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__3/19 
 Dado el circuito de la figura 1 calcule: 
 a) La relación io / ii. 
 b) La relación vi / ii. 
 c) La relación vo / vi. 
 d) La relación vo / vs. 
 e) La resistencia equivalente vista desde RL, anulando vs. 
 Datos: Rs = 600 ; RB = 500 K; Rie = 1.5 K; Roe = 100 K; RL = 2.5 K. 
 
 
 
Comentario 
 
 El circuito de la figura es el circuito equivalente de pequeña señal de un amplificador 
basado en un transistor bipolar. Las relaciones que se pide calcular en el enunciado son los 
parámetros de dicho amplificador: 
a) Ganancia en corriente: Ai = io / ii 
b) Impedancia de entrada: Zi = vi / ii 
c) Ganancia en tensión: Av = vo / vi 
d) Ganancia en tensión Avs = vo / vs 
e) Impedancia de salida Zo 
 En este ejemplo vamos a ver que una vez obtenido el circuito equivalente de pequeña 
señal, para analizar dicho circuito, es decir, para obtener los parámetros del amplificador, basta 
con utilizar las leyes de Kirchoff y la ley de Ohm. 
 
vs 
 
RB 
120ib 
RL Rie Roe 
ib ii io 
+ 
vi 
– 
+ 
vo 
– 
Figura 1 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__4/19 
Solución 
 
 En la figura 2 se reproduce el circuito de la figura 1, marcando las mallas que vamos a 
emplear en su análisis. Se han elegido éstas ya que en este caso se pueden utilizar como 
variables (intensidades de malla) las corrientes que se dan en el enunciado, que incluyen la 
corriente del generador y su variable de control. El sentido es el fijado en el enunciado, que se 
corresponde con el standard en el caso de los amplificadores. 
 
Figura2 
 
 El nudo E engloba distintos "puntos" de la representación del circuito, ya que todos 
estos "puntos" están directamente unidos por cables, de modo que desde el punto de vista 
eléctrico son el mismo punto (Tienen el mismo potencial). En este caso este nodo se haya 
conectado a tierra, así que el potencial de ese punto se considera 0 y se toma de referencia para 
Figura 3 
 
el potencial en el resto de los nodos. El circuito sería exactamente el mismo si en la 
representación gráfica el nodo E se hubiera representado como un solo punto. (Véase el 
ejemplo de la figura 3). 
 
Nudo A Nudo A 
~
 
120ib 
Rie 
ib 
RL RB 
vS 
RS 
Roe 
v0 vi 
i0 
ii 
i0 
120ib 
ib 
ii 
E 
B 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__5/19 
 A continuación planteamos las ecuaciones de Kirchoff en las mallas: 
 
malla ii: – vs + ii Rs + (ii – ib) RB = 0 (1) 
 
malla ib: Rie + (ib – ii )RB = 0 (2) 
 
malla i0: i0 RL + (i0 + [120ib] ) Roe = 0 (3) 
 
 
 Al plantear las ecuaciones de malla ya se ha aplicado la ley de Ohm en las resistencias y 
se ha tenido en cuenta el signo de la fuente de tensión vs. En el caso de la fuente dependiente de 
corriente, no aparece explícitamente en la ecuación de su malla ya que el valor de la intensidad 
no es una variable independiente. 
 
 Las ecuaciones 1-3 forman el sistema de ecuaciones que nos permitirá resolver el 
circuito. Las variables que aparecen en el sistema son: ib, io, ii.además de vs. Vamos a obtener 
relaciones entre pares de variables, que es exactamente lo que nos pide el enunciado. 
 Veamos cómo operar para obtener los parámetros que pide el enunciado: 
 
a) Cálculo de Ai = io / ii 
 
 A partir de la ecuación (3) separando los términos en i0 e ib: 
 
 i0 RL + i0 Roe =-120ib Roe 
 
obtenemos: 
oeL
oe
b
0
RR
120R
i
i

 (4) 
de (2) separando las intensidades 
 ii RB =ib (Rie+RB)  
Bie
B
i
b
RR
R
i
i

 (5) 
La ganancia en intensidad queda entonces 
 
))((
1200
bieoeL
Boe
i
b
b
I
RRRR
RR
i
i
i
i
A

 (6) 
 
b) Cálculo de Zi = vi / ii 
 
 De acuerdo con el circuito de la figura 2, teniendo en cuenta la ley de Ohm: 
 
 iebi Riv  (7) 
 
 Anteriormente ya hemos encontrado una relación entre ib e ii . Sustituyendo: (7) y (5) 
 

 5.1495
RR
RR
i
i
i
v
i
v
Z
Bie
Bie
i
b
b
i
i
i
i (8) (16) 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__6/19 
c) Cálculo de Av = vo / vi 
 
 Aplicando la ley de Ohm en la resistencia RL: 
 
 vo = RL io (9) 
 
 Además hemos calculado ya Ai = io / ii y Zi = vi / ii. Teniendo esto en cuenta: 
 
 i
i
iL
iiLoLo v
Z
AR
iARiRv  (10) 
Por tanto: 
 12,195
Z
R
A
v
v
A
i
L
i
i
o
v  (11) 
 
d) Cálculo de Avs = vo / vs 
 
 La variable vs aparece en la ecuación de la malla ii (1): 
 – vs + Rs ii + RB i1 = 0 (12) 
 Teniendo en cuenta que vi = RB i1 y que ii = vi / Zi: 
 
is
i
s
i
ii
i
s
s
ZR
Z
v
v
;0vv
Z
R
v

 (13) 
 
 Teniendo en cuenta que Av = vo / vi, que ya está calculado y la ecuación (13): 
 25,139
ZR
AZ
v
v
v
v
v
v
A
is
vi
s
i
i
o
s
o
vs 

 (14) 
 
e) Cálculo de la impedancia de salida Zo (resistencia equivalente vista desde RL anulando 
vs) 
La resistencia buscada corresponde exactamente con la resistencia del equivalente Thevenin. 
Puesto que aparece una fuente dependiente, ésta no se puede anular, por lo que podemos optar 
por dos métodos para calcular esa resistencia: 
 Anular la fuente independiente y situar entre los terminales de salida una fuente 
TEST. La resistencia buscada se calculará como vTEST/iTEST 
Como vs es una fuente de tensión, anularla significa cambiarla por un cortocircuito. Por otra 
parte, para calcular la resistencia equivalente vista desde RL, "abrimos" el circuito entre los 
dos terminales de RL y "medimos" la resistencia entre esos dos puntos. Para resolverlo de 
forma analítica, suponemos una fuente de tensión vTEST que hará que circule una corriente 
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 Introduccióna la Electrónica. 2002-03__7/19 
iTEST, como se muestra en la figura 4. La resistencia equivalente (en este caso Zo), teniendo 
en cuenta la ley de Ohm, será: 
 
 
T EST
T EST
o
i
v
Z  (15) 
 
 
 
Tanto ii como ib son 0 ya que: 
 ii Rs +(ii-ib) RB = 0 (ib-ii) RB + ib Rie = 0 
 
La única corriente que circula es iTEST a través de Roe donde se cumple 
  K100R
i
v
ZvRi oe
TEST
TEST
oTESToeTEST 
 
 La otra posibilidad para 
calcular la impedancia de 
salida es calcular la 
tension Thevenin vth y la 
intensidad Norton iN, de tal 
manera que la resistencia 
buscada es vth/iN. 
 
¡Roe queda anulada por el 
cortocircuito! 
 
 
Del circuito Thevenin obtenemos oebth R120iv  
Del circuito Norton bN 120ii  
Puesto que ib no depende de la salida (las ecuaciones para ib son las mismas (1) (2)) Zo se 
calcula directamente como oe
b
oeb
N
th
0 R
120i
R120i
i
v
Z 


 
 
 Como hemos visto, simplemente utilizando las leyes de Kirchoff y la ley de Ohm y 
operando de forma adecuada, podemos calcular los parámetros característicos de un 
amplificador, una vez que tengamos el circuito equivalente de pequeña señal. 
~
 
120ib 
Rie 
ib 
RB 
vS 
RS 
Roe 
vth vi 
ii 
120ib 
ib 
ii 
E 
~
 
120ib 
Rie 
ib 
RB 
RS 
Roe 
iN vi 
ii 
120ib 
ib 
ii 
 
+ 
_ 
120ib 
Rie 
ib 
RB 
RS 
Roe 
vTEST vi 
iTEST 
ii 
iTEST 
120ib 
ib 
ii 
 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__8/19 
 
Calcular las intensidades de corriente que circulan por cada rama y las 
diferencias de tensión Vab, Vbc y Vcd y las tensiones Va, Vb y Vc en el siguiente 
circuito: 
 
4 V
10 
1k 50 
20 
2 mA
a b c
d
 
 
Comentario 
En la resolución de este problema se puede calcular la resistencia equivalente entre bd o bien 
mantener el circuito tal y como está. 
 
Solución 
 
A) Se calcula la resistencia equivalente del conjunto formado por las resistencias en paralelo de 
1k y de 50. 
3
1 1 1
1 10 50equR
 

 La resistencia equivalente tiene un valor de 47.62. (Notar que cuando se 
hace el paralelo de dos resistencias el resultado es menor que la menor resistencia, y se 
aproxima a ella si la otra es muy grande. El caso límite es que una de ellas sea 0, un 
cortocircuito, en cuyo caso el paralelo es 0, y la otra resistencia no tiene ningún efecto puesto 
que por ella no circula corriente). El circuito resultante es por lo tanto: 
4 V
10 

20 
2 mA
a c
I
1
b
2 mA
 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__9/19 
 
Se aplica la ley de las mallas de Kirchoff a la malla derecha (I1). Es además la única ecuación 
necesaria porque la intensidad de la otra malla es conocida de valor 2mA. La ecuación que se 
obtiene es: 
 
 3
1 14 10 47,62 2 10I I     
 
Resolviendo I1 = 71,1 mA. 
 
La corriente que circula por la resistencia de valor 47,62, es obviamente 71,1 -2 = 69.2mA 
 
Ahora se puede calcular las diferencias de tensión Vab, Vbc y Vcd. Se toma como origen de 
potenciales el punto que está conectado a tierra en este caso se trata de “d” por lo tanto Vd = 0. 
 
Vad = Va – Vd = 4 V. Como Vd =0  Va = 4V. 
 
 
Vab = Va – Vb = 71,1.10-3 x 10 = 0,71 V  4 – Vb = 0,71  Vb = 3,29 V 
 
Vbc = Vb – Vc = 2.10-3 x 20 = 40.10-3 V  3,29 – Vc = 40.10-3  Vc = 3,25 V 
 
Vcd = 3,25 V 
 
Puesto que se piden explícitamente las intensidades de todas las ramas se debe deshacer el 
paralelo para encontrar la intensidad por cada una de las resistencias. 
 
Conocemos la tensión Vbd=Vb, Si llamamos Ia a la intensidad en la resistencia de 1k y Ib en la 
de 50, escribimos las siguientes ecuaciones: 
 
mAII
IIvV
ba
babd
1,69
5010.129.3 3


 
 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__10/19 
Obteniéndose los valores que aparecen en la figura. 
 
4 V
10 
1k 50 
20 
2 mA
a b c
d
71,1 mA
67,8 mA
3,3 mA
65,8 mA
 
 
 
B) Si no se calcula la resistencia equivalente entre bd, se calculan las intensidades que circulan 
por cada rama en el siguiente circuito: 
 
 
4 V
10 
1k 50 
20 
2 mA
a b c
d
I
1
I
3
I
2
I
4
 
 
 
Las ecuaciones que resultan para este circuito son: 
 
Malla de la izquierda 4 = 10 I1 + 1. 103 I2 
 
Primer nodo I1 = I2 + I3 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__11/19 
 
Segundo nodo I3 = I4 + 2.10-3 
 
Malla central 0 = 50 I4 – 1. 103 I2 
 
 
Despejando de la última ecuación se obtiene: I4 = 20I2 
 
Sustituyendo en la tercera resulta: I3 = 20 I2 + 2. 10-3 
 
Con lo que I1 = I2 + I3 ; I1 = 21I2 + 2.10-3 
 
Sustituyendo en la primera ecuación se obtiene: 
 
4 = 210I2 + 2. 10-2 + 1. 103 I2  I2 =3.29 . 10 -3 A = 3.29 mA 
 
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores resulta: 
 
I1 = 21I2 + 2.10-3 = 71.1 mA 
 
I3 = 20 I2 + 2. 10-3 = 67.8 mA 
 
I4 = 20I2 = 65.8 mA 
 
Una vez obtenidos los valores de las corrientes, el cálculo de los potenciales es idéntico al 
realizado anteriormente. 
 Tema0 Circuitos Eléctricos/ Ejercicios Resueltos 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__12/19 
Teorema de Thévenin 
Vamos a dar dos teoremas (Thévenin y Norton) que nos van a servir para hacer más fácil 
(simplificar) la resolución de los circuitos. 
 
a) Calcular la IL cuando RL = 1,5 k. 
b) Calcular la IL cuando RL = 3 k. 
c) Calcular la IL cuando RL = 4,5 k. 
 Ley de Kirchhoff de tensiones. 
 
a) 
 
b) 
 
 Tema0 Circuitos Eléctricos/ Ejercicios Resueltos 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__13/19 
c) 
 
 Thévenin. 
1. Quitar la carga RL. 
 
 
2. Hacemos mallas y calculamos VTh: 
 
 
3. Cortocircuitar las fuentes de tensión independientes y abrir las fuentes de corriente 
independientes. 
 
 
 Tema0 Circuitos Eléctricos/ Ejercicios Resueltos 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__14/19 
4. Unir la carga al circuito equivalente conseguido. 
 
 
Ahora aplicando Thévenin es mucho más fácil resolver el problema que teníamos. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
EJEMPLO: Calcular el equivalente de Thévenin del siguiente circuito: 
 Tema0 Circuitos Eléctricos/ Ejercicios Resueltos 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__15/19 
 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
 
 Tema0 Circuitos Eléctricos/ Ejercicios Resueltos 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__16/19 
Teorema de Norton 
 
Este teorema esta muy relacionado con el Teorema de Thévenin. Resolveremos el problema 
anterior usando el teorema de Norton. 
 
a) Calcular la IL cuando RL = 1,5 k. 
b) Calcular la IL cuando RL = 3 k. 
c) Calcular la IL cuando RL = 4,5 k. 
 Norton. 
1. Quitar la carga RL y poner un cortocircuito (RL = 0). 
 
 
2. Hacemos mallas y calculamos VTh: 
 
 
3. Cortocircuitar las fuentes de tensión independientes y abrir las fuentes de corriente 
independientes. 
 
http://www.sc.ehu.es/sbweb/electronica/elec_basica/tema1/Paginas/Pagina4.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/electronica/elec_basica/tema1/Paginas/Pagina4.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/electronica/elec_basica/tema1/Paginas/Pagina6.htm
 Tema0 Circuitos Eléctricos/ Ejercicios Resueltos 
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 ________________________________________Introducción a la Electrónica. 2002-03__17/19 
4. Unir la carga al circuito equivalente conseguido. 
 
 
Ahora aplicando Thévenin es mucho más fácil resolver el problema que teníamos. 
a) 
 
b) 
 
 Tema0 Circuitos Eléctricos/ Ejercicios Resueltos 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__18/19 
c) 
 
Como se ha dicho anteriormente los teoremas de Thénenin y Norton están relacionados, así se 
puede pasar de uno a otro. 
Paso de circuito Thévenin a circuito Norton 
Tenemos el circuito siguiente: 
 
Cortocircuitamos la carga (RL) y obtenemos el valor de la intensidad Norton, la RN es la misma 
que la RTh. 
 
Paso de circuito Norton a circuito Thévenin 
Tenemos este circuito: 
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 Introducción a la Electrónica. 2002-03__19/19 
 
Abrimos la carga (RL) y calculamos la VTh, la RTh es la misma que la RN. 
 
 
	Comentario
	Solución
	Teorema de Thévenin
	Teorema de Norton