SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA 
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN 
UNIDAD EDUCATIVA “JUAN JOSÉ RONDÓN” 
5TO AÑO – SECCIÒN “B” 
ÁREA DE FORMACIÒN: MATEMÁTICA 
VALLE DE LA PASCUA – ESTADO GÚARICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESOR: ESTUDIANTES: 
JOSÉ FERNÁNDEZ ABRAHAM ALFONSO PEREZ GAMARRA 
C.I. V.-31.031.766 
 HENRY JOSÉ MARTINEZ CHIRE 
C.I. V.-31.531.836 
 EMILIO JOSÉ NAVARRO DÍAZ 
C.I. V.-31.295.046 
 
 
VALLE DE LA PASCUA, ENERO 2021 
PARTE UNICA: DESARROLLO 
 
1.- DEFINIR ECUACIÒN LINEAL 
Una ecuación lineal es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, 
denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos y desconocidos 
(denominados variables), y que involucra solamente sumas y restas de una variable a la 
primera potencia. Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el 
sistema cartesiano. 
1.1.- ELEMENTOS 
Miembros: Son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo 
igual. 
Términos: Son los sumandos que forman los miembros de una ecuación lineal. 
Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación lineal. 
Términos Independientes: Son los que no esta acompañado de ninguna incógnita, 
es decir, que no multiplican a ninguna incógnita. 
 
2.- DEFINIR ECUACIÒN LINEAL CON DOS VARIABLES (X; Y) 
Una ecuación lineal con dos variables es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, 
y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas. 
3.- DEFINIR ECUACIÒN LINEAL CON TRES VARIABLES (X; Y; Z) 
Una ecuación lineal con tres variables es una igualdad del tipo ax+by+cz=d, donde 
a, b, c y d son números, y «x», «y» y «z» son las incógnitas. 
4,. DEFINIR SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de 
ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer 
grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas. 
4.1.- NOTACIÒN SIMBÓLICA 
 
5.- CLASIFICAR LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que 
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: 
 Sistema incompatible si no tiene ninguna solución. 
 Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse 
entre: 
 Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. 
 Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. 
Quedando así la clasificación: 
 
 
 
 
 
 
 
6.- DEFINIR LOS SIGUIENTES METODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE 
ECUACIONE LINEAL 
6.1.- MÉTODO DE REDUCCIÒN 
Consiste en multiplicar una ó las dos ecuaciones por algún número de modo que 
obtengamos un sistema en que los coeficientes de x o de y sean iguales y de signo 
contrario, para eliminar dicha incógnita al sumar las dos ecuaciones. 
6.2.- MÉTODO POR CRAMER (DETERMINANTES) 
El método Cramer es una manera de resolver un sistema lineal, por medio del 
determinante de una matriz. También se le llama Regla de Cramer. Para 
poder aplicar este método se deben cumplir las siguientes condiciones: 
1. El número de ecuaciones debe ser igual número de incógnitas, es decir, 
si tenemos dos variables, debemos tener dos ecuaciones. 
2. El determinante de la matriz de los coeficientes debe ser distinto de 
cero. 
3. Las ecuaciones deben estar preparadas, de tal manera que las 
incógnitas queden en columnas a la izquierda del signo igual y los 
términos independiente a la derecha. 
 
6.3.- MÉTODO DE LA ECUACIÒN MATRICIAL (INVERSA DE LA 
TRASPUESTA DE LA MATRIZ ADJUNTA) 
Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales 
mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en 
multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de 
ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo: 
 
Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución 
(es incompatible). 
7.- REALIZAR UN EJEMPLO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
CON DOS VARIABLES Y DOS ECIACIONES A TRAVÉS DEL MÉTODO DE 
REDUCIÓN. 
𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟖 
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒 
Multiplico la segunda ecuación por 2 para poder eliminar la incógnita «y» 
𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟖 
𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖 
Sumo las ecuaciones 
8𝑥 = 16 
Despejo el valor de x 
𝑥 =
16
8
= 𝟐 
Sustituyo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones para conseguir el valor 
de «y» En este caso, lo sustituiré en la segunda ecuación 
2𝑥 + 𝑦 = 4 
2(2) + 𝑦 = 4 
4 + 𝑦 = 4 
𝑦 = 4 − 4 = 𝟎 
 
Solución x = 2; y = 0 
 
8.- REALIZAR UN EJEMPLO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
CON TRES VARIABLES Y TRES ECIACIONES A TRAVÉS DEL MÉTODO DE 
REDUCIÓN. 
 
 Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineal 
 
 
 Tomo las dos primeras ecuaciones y elimino la incógnita x. Como en la primera 
ecuación el coeficiente de la x es 2 y en la segunda es 1, multiplico esta por -2 
 
 
 
Tomo la ecuación que queda con una cualquiera de las dos que tome anteriormente. 
En este caso voy a tomar la segunda. 
 
 
 
 
 
 Así conseguí el sistema equivalente, con la segunda ecuación del sistema inicial más 
las dos ecuaciones donde he reducido la x 
 
 
 
 Elijo las dos últimas ecuaciones, y por reducción elimino la z. Como en la primera 
ecuación el coeficiente de z es 3 y en la segunda es 1, multiplico esta por -3 
 
 
 
𝑦 =
−14
−14
= 𝟏 
 
 Sustituyo el valor de y en la ecuación 3𝑦 + 𝑧 = 1 
3(1) + 𝑧 = 1 
3 + 𝑧 = 1 
𝑧 = 1 − 3 = −𝟐 
 Sustituyo el valor de z y de y en la ecuación 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 6 
𝑥 + 1 − (−2) = 6 
𝑥 + 1 + 2 = 6 
𝑥 + 3 = 6 
𝑥 = 6 − 3 = 𝟑 
 
Solución: x = 3; y = 1; z = − 2 
 
 
 
9.- REALIZAR UN EJEMPLO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
CON TRES VARIABLES Y TRES ECIACIONES A TRAVÉS DEL MÉTODO DE 
CRAMER (DETERMINANTES). 
 
 
 
 
 
 La matriz de coeficientes del sistema es; 
 
 
La matriz de incógnitas es 
 
 
La matriz de términos independientes es 
 
Calculando el determinante de A: 
 
Podemos aplicar la regla de Cramer. 
La matriz A1 es como A pero cambiando la columna 1 por la columna B: 
 
Calculamos x: 
 
La matriz A2 es como A pero cambiando la columna 2 por la columna B: 
 
Calculamos y: 
 
La matriz A3 es como A pero cambiando la columna 3 por la columna B: 
 
Calculamos z: 
 
Por tanto, la solución del sistema es 
 
10.- REALIZAR UN EJEMPLO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON TRES 
VARIABLES Y TRES ECUACIONES A TRAVÉS DEL MÉTODO DE LA 
ECUACIÓN MATRICIAL (INVERSA DE LA TRASPUESTA DE LA MATRIZ 
ADJUNTA) 
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −3 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 8 
 
Matriz de Coeficientes Matriz de las Variables Matriz de Valores 
𝐴 = (
2 −1 3
1 1 1
3 2 −1
), 𝑋 = (
𝑥
𝑦
𝑧
), 𝐵 = (
−3
2
8
) 
 
𝐴 × 𝑋 = 𝐵 → 𝑋 = 𝐴−1 × 𝐵 
 
Matriz Inversa = 𝐴−1 =
1
|𝐴|
× 𝐴𝑑𝑗 𝐴 y 𝐴𝑑𝑗𝐴 = 𝐵𝑇 
Prueba de Existencia 
|𝐴| = (
2 −1 3
1 1 1
3 2 −1
) = (
2 −1 3
1 1 1
3 2 −1
2 −1
1 1
3 2
) = −2 − 3 + 6 − (9 + 4 + 1)
= 1 − (14) = −13 
 
|𝐴| = −13 ≠ 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 
 
Adjunta de la matriz A 
|𝐴| = (
2 −1 3
1 1 1
3 2 −1
) → 𝐵 = (
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑏21 𝑏22 𝑏23
𝑏31 𝑏32 𝑏33
) → 𝐵 = (
−3 4 −1
5 −11 −7
−4 1 3
) 
 
𝑏11 = (
1 1
2 −1
) = −1 − (2) = −3, 𝑏12 = (
1 1
3 −1
) = −1 − (3) = −4, 
𝑏13 = (
1 1
3 2
) = 2 − (3) = −1 
𝑏21 = (
−1 3
2 −1
) = 1 − (6) = −5, 𝑏22 = (
2 3
3 −1
) = −2 − (9) = −11, 
𝑏23 = (
2 −1
3 2
) = 4 − (−3) = 7 
𝑏31 = (
−1 3
1 1
) = −1 − (3) = −4, 𝑏32 = (
2 3
1 1
) = 2 − (3) = −1, 
𝑏33 = (
2 −1
1 1
) = 2 − (−1) = 3 
 
𝑩𝑻 = (
−3 5 −4
4 −11 1
−1 −7 3
) → 𝑨𝒅𝒋𝑨Matriz Inversa 
𝑨−𝟏 =
𝟏
|𝑨|
× 𝑨𝒅𝒋𝑨 =
𝟏
−𝟏𝟑
× (
−𝟑 𝟓 −𝟒
𝟒 −𝟏𝟏 𝟏
−𝟏 −𝟕 𝟑
) 
Remplazando 
𝑋 = 𝐴−1 × 𝐵 
(
𝑥
𝑦
𝑧
) = −
1
13
∙ (
−3 5 −4
4 −11 1
−1 −7 3
) × (
−3
2
8
) = −
1
13
(
−13
−26
13
) = (
1
2
−1
) 
 
Solución: x = 1, y = 2, z = -1