Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (5)

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Luego podemos afirmar que:
— *1 — 1 __ p-1/4
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
(x ^ f = (2-“ f = 2-“ = ( 2 - f = (1 )^
Nuevamente; si = a" «» x = a; podemos afirmar 
que:
x^= ^ ;co m o xe E"
8. Calcular el valor de x en:
Resolución:
Eliminando el paréntesis en el primer miembro:
(4l25*)25'‘ ^ 4(s2i5
Transforrnando convenientemente cada miembro:
4(S3)*¡52)* ^ 45IO ^ 453*52* ^ 45IO ^ c 
= 9 3 x + 2 x = 1 0 X = 2
9. Calcutar a en: a” ° + a^° + ... +a^” - 81
81 veces
= 5 ’
Resolución:
Observemos que en el primer miembro el amando 
se repite 81 ve c^ , entonces:
a32° + a ^ + . . . + a ^ = 81"’
81 veces
Entonces:
81 'a ^ = 81®’ =» a“ ° = B l“ 
pero: 81 = 3̂
^ â ”̂ = (3'')“ * = 3“ ° =» a“ ® = 3“ ° a = 3
10. Si x ^ = 4, hallar:
E =
1 X* 
,256
,112+Jx
Resolución:
Transfomiemos convenientemente la expresión E:
Como x ^ = 4:
E =
_L**
.266 .2 5 6
J _ 4 < J - 2 5 6 Jx
^ 2 5 6 ' — ^2 5 6
= x ^ * 4
PRO BLEM AS RESUELTOS M • a
B « -
(n -3 ) veen
1. Reducir:A= x ^O
x x x ...X
(n + 3) veces
Resolución:
Por definición de potencia; 
A =
2. Determinar el exponente final de x en:
M = 15 radicales
Resoiución:
Por propiedad:
M = ... 15factores
M = x V x ^ . . x ’*
15(16)
M = -15 ^ M = X 2 =, M = x’“
Exponente final: 120
J„3 3j~4
3. Reducir: 
Resolución:
Aplicando la regla práctica: ~ r 77=®Vx ^=®Vx 
®Vx
4. Reducir: A = -- ^— r ; n g Z"
3 x 2 “ x 7 " " ’
Resolución:
Factorizando: A =
3X16X7"+’
5. Si: 2 '* = calcular: (4*)* + + (16*V
Resolución:
C ° ™ : 2 " = 5 - F = 5 - 2 - = 3
La expresión a calcular se transforma:
(22)2x ^ (2^)"’ + (2*)*^:
2 ‘* + 2‘ + 2^; (2“)‘ +(2’') + (2*) ̂
Reemplazando: 3* + 3 + 3 ̂= 93
6. Calcuiar el valor de: E = ^
,_____ y
Para: x =
y + 1
Resoiución:
Del dato: x = x^-^=y»
— = yy =»
x^ + ̂ '/x 
’'V7
= y + 1 x' +
y + 1
1
=>'7x
Reemptazando: E = =
como: = y*' E =
y
E = 2y>'
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7. Reducir: A - 
Resolución:
A =
A =
A =
A =
3^3
î N v i ^ r = H ( r ¥ ÿ
^ñ*2¡2̂‘>í3 q2 _ + 2 _ 2
8. Sabiendo que se cumple: 3 ® i3 V 5 ^^ = 1
Encuentre el valor de: H 2'̂ ̂ 2*V2 
Resolución:
Del dato, se reduce por regla práctica:
bc-n̂ +1
= 1 =» 3 = 3 " ’
^ bc+c^+-\ ^ =» be + 0* + 1 = -abe
abe
=» abe + be + ĉ = -1
La expresión pedida, se reduce por regla práctica.
9. Si: X € IR̂ - {1}, hallar el valor de n que verifica la 
Igualdad:
f i
X _
1 ^ V lx i
Y dar como respuesta el valor de: (2n + 3) h- 7. 
Resolución:
De la igualdad
i
 ̂x
/ 1 \ " y-x
+ y*+yx*
X ^ 1 ■I (x ) ^ x2yy» + y2>'x>'
Se obtiene: I x - ' ’-Ix-' f T ' - 
z ± _ Q _ n
- x « = x ^ “ - 2! = 2 Í
Reemplazando en lo que se pide:
2(9)+ 3 21 o
— 7— - T " - ^
10. Si 3 - '" '*+ 3 (3 " "^ y i2 (3 '^ -^ 
3 "'^ ' + 2 (3 * '^ V 6 (3 ’̂ -') 
hallar el valor de x.
Resolución:
= 2’
3^x3 ’̂ + 3^x3 ’'^ -2 ^ x 3
,2 13
3®x3‘ + 2 x 3 ^ x 3 * - 2 x 3 ' 
Factorizando (3x2):
3"^3“ + 3 ^ -2 ^
= 2'
= 2’ ^ f = 2*433“ (3® + 2 x 3 ^ -2 )
Utilizando el caso I: 2^= 2*’ ’ ^ x - 1 = 3 x = 4
I k *"*" ' _i_ K > + 2 , C « + 3
Resolución:
i
5 X 5” + 5^X S'*+ 5^x5* _ /cz^x-i
5 "V 5” + 5 -^x5 ''+ 5 -^x5 ’* ̂ '
= 5'5” (5 + 5 ̂+ 5̂ ) 
5 *(5 -V 5 'V 5 '^
5*^ = 5^-2 =*4/x = 2 x -2 ;
..2
155
3 1 ^ g 2 x - 2
125
=» X* - x - 2 = o « (X - 2)(x + 1) = o 
X = 2 V X = -1 ; com oxeZ* =» x = 2 
Nos piden: x + 8 = 10
12. Si x^^ = 4, hallarel valorde X®.
Resolución:
Recordar: x*“ = {x*f
De: = 2 ̂ =» x ̂= 2 (por et caso lll)
Nos piden: x* = (x ^ = 2® x* = 8
13. Si: X. y € Tt, tal que y - x > 2; hallar el valor más 
simple de:
l x * ^ V + y ^^V 
I >,2yyx ̂ y2xĵ y
Resolución:
Buscando bases Iguales:
» y-> x‘ xV'' +
x2yy-+y-x 
Al extraer la expresión común tenemos:
X V ( X Ñ ^
,2»vy
x V (x "+ y ’‘)
14. Dar las condiciones para que la expresión sea ra­
cional entera:
+ 1 0 2 6 3 ^ + (m -3 )W + 7
mx®
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Resolución:
La expresión será racional entera si: todos los ex­
ponentes de la variable x son enteros y positivos. 
Para que ello suceda en primera circunstancia de- 
tierá anularse Vx y V x; ello se produce aiar>do sus 
coeficientes tomen el valor de cero.
Luego: n - 2 = 0 ^ n = 2 ; m - 3 = 0 ^ m = 3 
Reemplazando y reduciendo al mínimo:
^ +1025Vx® + 7 = -V)r* + 1025x^ + 7
X®
E(x) = + 1025x^ + 7 = 1026x^ + 7
15. Luego de simplificar:
P = k I Vn
1 ïn 'Vn'Vnnff
R = '^m^"Vm ■"Vñ "
"Vm^Viñ "Vm^"Vñ 
Hallar: M = P"
Resolución:
Recuerde que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n̂ 
Transformando por partes:
- " ■ F F Ï Ï = -" '/íí = " V ’
-oFTn =<-'‘>‘-'’'V¡T = '''VíT
■VrWnW = 'V n"’V iï"'"Vn= "Vñ "Vñ "Vñ
Reemplazando estos valores:
P =
Si: a = Vñ; b = "Vñ; c - "Vñ
Desdoblando:
R = '"Vm"Vm* "’Vm"‘Vñ é); í
. - » Kr» ni =(1)™ =1
"Vm"’Vm"Vm*™Vñ 
... M = P'̂ = n 
16. Simplificar:
E =
™¡. b - c
Resolución:
Llevando los radicales a exponentes fracdonarios;
División de bases iguales:
F = — b-c ate c-a a+b a-fa
[x * “ X ̂ X “ '
Operando en cada exponente;
2(a + b)
2c 2a 2b c
2(a + b) 2(be’ +ca*+ab̂
E = X* X*“ X = = X
1 r
r v x ^ - ' “Vx'-“ 'Vx*-“> J i ■ •■p=V
3
363a
¡ 6tci »+c ; a+b
ÍX “ ix " íx ' ,
b - c i c - a ■ a ^ b i 
X - 'X •’ ;x
2(a+b)
ab̂ + bê + câ
E = sb(a + b)
Por dato: ^ ~ ^ a^b - ca* = be*
ab̂ + â b-câ + câ
Reemplazando: E = x = >
17. Si 2®" ” = 4'*" hallar el valor de n. 
Resolución:
Recordar: (a*) ̂= a*’' A 4 = 2*
_ .'»-iO .n*20 -n-30 ,.n + 20
De: 2® =4* =»2® = (2')"
Recordar: a* a' = a*"^^
2 23n-90_^j2n + 41 ^
=» 3 n -9 0 = 2n + 41 n = 131
18. Calcular el valor de:
P =
1
f f SOveces
8 1 - ® ^ 8 1 ^ . . 8 1 ® ^
1 ^ 2 7 ® ^
# )
226Bvacea
Resolución:
Analizando dos de los exponentes:
"k i l
= ( V 3 ) ^ = ( ^ r
Ahora si: a =
P = 9 i
m rrr*
3x2268
[(3^*1
= ’ = 3-^*---Í=27
19. Luego de simplificar los (2k) radicales que existe 
para L y M. respectivamente, donde:
m
- i
1
X
n A
A >
X ; 1̂ = '^x ™Vx
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Señalar el cociente que resulta de dividir el expo­
nente final de X en L por el final de x en M.
Resolución:
Exp. final de x en L Se pide hallar: R = ,-..1 ___Exp. final de X en M
Para;
L =
= = i x - '
í ' - r - X ^
su De continúa
De esta observación se concluye que;
L = 'Vx-' "'■Ix-r.. "/P '~
2k radicales
Por inducción matemática:
Buscamos la ley de formación tomando de dos en 
dos puestos el últinio índice en n.
• Para dos radicales;
__________ (n-fi) (aplicando Ja
i x - ' " V ^ = x " regla práctica)
Para cuatro radicales;
Para seis radicales:
" ix - ' "-/x-' " {F '
(n + 1 )[(m)2 -(-(m) + l|
= X
Podemos observar que en el 2.“ factor se fonna 
una expresión en función de (m)'* ordenado 
donde (*) es uno menos que el exponente de su 
denominador.
Para 2k radicales;
(n + 1)f(m)"~'+(m)'^-^ + ...+ 1]
(m)^
Para M el análisis es análogo solo que el factor 
constante será dependiente de m y positivo.
(m + ... * l ]
=» k = X 
Luego;
- (n + 1)[(m)'‘ -V (m )* -^ + .. .+ l]
(m)^R =
(m + 1)t(m)^-V(m)'^-^4-...+ 1] 
(m )‘
... R =
\m +1
20. Simplificar abreviadamente;
Resolución:
Observar;
n-'
Operando con equivalencias;
Sea: c = 'VrV̂
Luego;
n H I
. - . 4 ? = n
21. Efectuar:
M =
\
3̂1 -m -j '/F
Resolución:
Efectuando;
[,■5™
M
Analizando expresiones claves, como:
• ^VF = ^VF = V3
• W = X 3 = Va® X V3 = 9̂ 73
• = î% =
. _ L _ V ? _ s jv
Reemplazando;
Haciendo; b = Vs =» b ̂= b® = b® = 3
22. Simplificar:
Resolución:
Recuerde que; 'Va" = ’Va'"; si; a > O 
Luego:
"Vi®
rV27 iJ4®-̂ -5 ?ñl
-3
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Observación: Vs*=*V5®x5 =VÍ®xVS = SxVS 
Operando:
- g
Uego: =
■Í+s%'J
^-{1 + 8^)
“73N V 3 ^
I 26.
Si hacemos que: V2 = a; Vs = b » 4 = a® 
Reempiazando:
Simplificar:
^V3‘ ' ‘ * x a ’ 
.-. “73* = 3
= V3“
P =
Itesolución:
Para transfonnar ei exponente:
Observación: = "“̂ 4 ^ = V i = 75
Sia>0 =» i á r 
Luego:
23 . Si: X"* * = 2 , donde: x > 0 ; ca lcu la r:
Resolución:
En el dato:
x~* = 2 elevando al cuadrado se tiene:
(x * "V = 2 ̂ =» (x-*)"“ ' = (2)*
Por comparación:
1 1 _L
x * = 2= *-L= 2 » x * = t t :̂ x = IÓ (puesx> 0)
X* 2
. . 4_Sx+1 4.^*, Mk
i ^ piden: x = x = x*
Reemplazando convenientemente:
,^ x + 1 f r ,UxX* /2 = [x ’‘p = x*^
Operando:
Transformando la base y reemplazando:
. „ 4 (1 //2 )2 _ „ 4 (1 « ) _ v 2 - /
" " l 7 2 j " 2
24 . Si { x ^ ' f “ = X"**, donde: x > 1; h a lla rx '. 
Resolución:
De: (x '-y ^* = x*’'^ (a T = á'
X**< : i
J i* ( 2 - x > ^
x‘ = x”̂ : caso I: a" = a" « m = n 
’̂ = x ’̂ =»x * = x* * « 2 = x* .V x* = 2
25. Simplificar
±UL.
V « (x* + x)
Resolución:
Haciendo que: a = x**’ + 1
Además: x - t x - = x - + 1 = i í iS l i i = = iX X X X
p = 72
■-ii-J2-J2
k-12
l-iacemos que: a = 72
P =
--a™
Pero: a = 72 =» P = 72"’ = - i P = '^
= ’ = a'
~ ■ P = ^
72 ■ 2
27. Simplificar:
T =
Resolución:
“Vs"
r-SSÜ
En: T =
Observación:
. 8
«/F «VT
. ■vr = ^ '‘‘78 '̂‘ ̂= '>78*
Operando y reemplazando sus equivalentes:
t = [«78^(«78'^^'®)
Haciendo: a = ®7s ^ a® = 8
T=[a*{a '^-’- í W = [a*a-*^ 
»*
= F =
T = ®78 3 = Ve
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