Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (50)

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quedan 5 lugares alternados para que se sienten 
los varones y esto se realiza de [5 = 120.
El total de formas diferentes obtenidas es:
24x 120 = 2880
49. Determine una expresión equivalente al simplificar
2'’ [(2n)! f
(4n)!!(2n-1)!!
Resolución:
• (2n)i! = 2 x 4 x 6 x 8 x ...(2n)
De otra forma: (2n)ü = 2n(n!)
• (2n - 1)1! = 1 x 3 x 5 x 7 x ... X {2n - 1)
De otra forma: {2n - 1)!! = —
2'’ - 'ín -1 )!
• (4n)*! = 2̂ "{2n)5
Reemplazando nos queda:
2 l(2 '')!f 2"(2n!)2" n - 1)1
(2n-1)
2'"(2n)!x ,
2 - '{n -1 )
2"(2n)(2n- 1 )!2 "-\n - 1)1.
2""(2n - 1)!
2 7̂2n - 1)!
2"{2)2"-'n(n-1)! 2 "̂n! = ni
50. Cuántos números pares y mayores que 5 x 10̂ se 
pueden formar con los dígitos: 1,2,3,4, 5, 6, Si no 
hay repetición de dígitos?
Resolución;
Dígitos a usar: 1. 2, 3, 4, 5, 6; los números pares 
mayores que 500 000, que se pueden formar con 
dichos dígitos, necesariamente tienen que empe­
zar con la cifra 5 o 6.
Es decir, los números son de la forma:
5abcde o 6abcde 
Caso (1)
Sabcde 
Se puede 
permutar 
de 4! = 24 
maneras
Por ser par, solo pue­
de tomar 3 valores
=» Cantidad de n.‘ 
Caso (2)
6abcde 
Similar al 
caso (1)
: 1 X 24 X 3 = 72
Como la 1.® cifra es par, e 
puede tomar sólo 2 valores
=> Cantidad de n.° = 1 x 24 x 2 = 48
La cantidad total de n° pares mayores que 5x10® 
es: 72 + 48 = 120
51. Salvador ordenará nueve libros en la repisa de 
su dormitorio. Determine de cuántas maneras los
puede acomodar si la condición es que tres libros 
específicos Jamás deben estar juntos.
Resoluctón:
El número de formas en que se puede ordenar los 
libros es: Pg = 9!
El número de formas en que se pueden ordenar los 
9 libros de manera que 3 de ellos siempre estén 
juntos (los 3 hacen como un solo elemento) es:
P; = 7!, pero entre los 3 se pueden permutar.
^ n.° total de formas: 7! x 3!
Lo pedido es: 9! - 71 x 3! = 332 640
52. Timoteo se encuentra en el origen de un sistema 
cartesiano rectangular de ejes OX y OY. Él puede 
dar solo un paso a la vez, para el norte (N) o para 
el este (E). Cuántas trayectorias puede recorrer, si 
da exactamente 4 pasos?
Resolución;
Lo puede realizar de ia siguiente manera:
Primer paso 2 formas
Segundo paso 2 formas
Tercer paso 2 formas
Cuarto paso 2 formas
Como: n.° de trayectoria o n.° de formas
.-. n.° total de trayectorias: 2 x 2 x 2 x 2 = 16
53. Cuántos números de tres dígitos, sin digitos repeti­
dos, pueden escribirse con los digitos del conjunto 
{3; 4; 5; 6; 7; 8}
Resolución;
Dígitos a usar: {3; 4; 5; 6; 7; 8}
Números a formar: abe
*1' •i'4'
n.“ de valores que puede tomar —*-654
Cuando "a” toma cualquiera de los 6 valores, en­
tonces, “b" puede tomar cualquiera de los 5 restan­
tes mientras que “c" solo podrá tomar cualquiera 
de los 4 valores restantes.
Total de n.° de 3 dígitos: 6 x 5 x 4 = 120
54. Sobre una mesa se encuentran 10 bolas de fas 
cuales 5 son azules, 3 son blancas y las restantes 
de color negro. ¿De cuántas maneras diferentes se 
pueden colocar dichas bolas en fila?
Resolución;
Este problema corresponde a permutaciones con 
repetición, nótese que intervienen 10 elementos 
(5 bolas azules, 3 blancas y 2 negras).
=» n.° de maneras diferentes en que se puede co-
10!locar dichas bolas en fila es:
55312»
1 0 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 !
51x6x2
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55. ¿De cuántas formas diferentes se podrían sentar 
en una fila de 7 asientos, 4 hombres y 3 mujeres, de 
tal manera que las 3 mujeres siempre estén juntas?
Resoiución:
Supongamos la distribución:
Hi H, H.
Se considera como un 
solo elemento.
El n.° de maneras en que se pueden sentar, tal que 
ellas 3 siempre estén juntas, viene dado por:
Pj = 5! = 120
Pero entre ellas puede haber intercambio de posi­
ciones y como son 3, entonces, el n.° de maneras 
de intercambiar asientos entre ellas es: Pj 3! = 6 
Lo pedido viene dado por: 120 x 6 = 720
56. Determine el coeficiente del término y'® en el 
desarrollo de: (x̂ -i-
Resoiución:
Supongamos que el término en x̂® y’® ocupa lugar 
k+1 ;
□e; (x̂ + y')'“
Coef.
De aquí: 40 - 2k = 28 Ì . _ _
3k = i s r “ ®
Coef. pedido: C f
57. Hallar el término de mayor valor en el desarrollo de
1 1 ','00 
12 + 2>') ' cuando: x = 1
Resolución;
1Se puede escribir: (i+x)"^°
Como todos los términos del desarrollo de (1 + x)'“ 
estarán multiplicados por (1/2)'°“, bastará calcular 
el término de mayor valor numérico en (1 + x)’'“ ,
teniendo en cuenta lo siguiente: "
Luego, de (1 + x)’™ t.
1
t,., = C ^x ‘ ; t, = C’“ x^-’ 
100- k+ 1
Cioo .̂
1 00 1 
k - 1
Degradando:
Para x = 1
C;"_',x' 
xc;°°,x
> 1
f'lOO'-'k. 1
> 1
101 1 = k < 50,5
Podemos decir que para todo k hasta 50 se cumple 
que tk-1 tu, por tanto, el término de máximo valor 
es de lugar 51, Luego, para: t = 51. x = 1 
[100f = r'°° —1^1 V e n —
Término de máximo valor = hOO x2~ 
(l50f
l^ x [5 0
58. Calcular: C !|'-3C3 + 9Cj - 27C5 + ...; n e IN 
Resolución:
Teniendo en cuenta la teoría de números comple­
jos, Sabemos que:
(1 + /3 i r = CS + C Í( ^ i) + C l ( ^ í 3 i f + C5(/3i)^+ 
C 2(/3 ir+ C ; { i 3 \ f + ... + c : ( /3 ir 
(1 + /3 i r = Co + -/S iC '-aC j -3-/3ÍC3 + 9C4 +
9-ÍZ\C¡ - 27CI - •/3ÍC? + ... 
Agrupando parte real e imaginaria:
(1 + /3 i)n= (CS+3C2 + 9CÜ-27CS+...) +
(^C "-3 /3 C 3 + 9/3C5-27y3C; + ...)i ...(a)
Ahora, sea Z = 1 + /3i; lo transformemos a forma 
trigonométrica. Se puede escribir:
+ ^ Z = 2(cos§-usen f )
Luego, aplicando la ley de Moivre:
Z" = (1 + /3i)'’ - 2 ' ’(co s^+ ise n í^ )
Z" - (2'’cosí^) + (2"sení^)i ...(p)
De (a) y (P), igualando partes imaginarias, se tiene: 
2^sen^ = /3(C" - 3Ĉ + 9C ̂- 27C? + .,.)
De aquí, despejando el paréntesis:
c;* - 3C ̂+ 9C ̂- 27C? + ... = -^s e n i^
59. Hallar el término independiente de x en el desarro-
Resolución:
Supongamos que el término independíente ocupa 
el lugar k + 1
- t , „ - C?"x^''-^(-x r
Reduciendo: t , ., = C ^(-1)V "-^ '‘ ...(a)
De aqui; 3 n -3 k = 0 « n = k
xr. l3nEn (a); t„. , = C r(-1 )" TI de x: (-1)"
l2n la
60. Siendo n un número positivo, hallar el valor de
T - ^ [ c s " - c r + c r - c ^ " + , . . + c : : i
Resolución;
Sabemos que:
î = -1; i"* = 1, además (1 ± i)“ = -4 
Calculemos los desarrollos siguientes:
(1 + = C j" + C f ^ + C f + C f i ’ + ... + CT/"
(1 - ¡ r - c r - c r i + c^p-c3^''i"+..- + c ::i^
Sumamos miembro a miembro:
(1+ ir + ( i - i r = 2 f c f + + c y + . . .+ c:"í"'’]
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(1 + ¡ r + (1 - i)'" = 2[c^" - + c T - c r c:^]
Llamemos P 
(-4)" + (-4)" = 2p ^ 2(-4)" - 2p 
De aqui: (-1)" x 4" = p 
Reemplazando en lo pedido:
T= TíTÍ(-'')"x4"] = ( - i r ■ .̂T = { - ^ r 4
61. Hallar el equivalente de:
C ix (1 - X )"” ' + 2C2X^(1 - X)" ^ + ... + nClilx"
Resolución
Degradación de Índices: Ck = ^C^rJK
Aplicando en el problema:
nCS” ’x(1 - x)"’ '' + nC"’ V(1 - x)"’ ̂+ ... + nC":Jx'' 
Factorizamos nx y ordenamos: 
nx[C5’ (1 - x r ' + c r ’(1 - x r 'x + . . . + C":lx"-’] 
Observe que la expresión dentro del corchete es el 
desarrollo de: [(1 - x) + x]" ’ ’
=» nx(1)"’ '' .-. nx
/ 4 \ / 4
62. Si los coeficientes binomiales 2 V U
\ X ~ ^ X
equidistan de los extremos en el desarrollo de un 
binomio elevado a un exponente n g IN. Halle el 
valor de x.
Resolución:
Si los coeficientes 4
X' - X I 2 x -2 equidistan
de los extremos en el desarrollo de un binomio. Se
cumple que: (x̂ - x) + (2x - 2) = 4 
=> x̂ + x - 6 = 0=»x = 2 V x = - 3 
Como: (x̂ - X ) G IN A (2x - 2) g Dí =» x = 2
63. En (2a - se cumple que: -p = 1, además en:
(2x + (x + 7) '̂ + (-7 - x f - 2 f " el término inde­
pendiente es 64, Halle (a + n)"; donde: a > 0; n G IN; 
t.,: término enésimo
Resolución:
En (2a - â )8
5 (2a)^(-a^)^ =
3i
- ts = t,
(2af(-a^)^
=> - 8a' ̂= - 32a" v a > 0 = » a = 2 
En; [2x + (X + 7 f + ( - 7 - x f ' - 2f" = [2x - 21®' 
TI = 64 = (-2)®" = 2®" = 2® ^ 6n = 6 ^ n = 1 
(a + n)" = 3
64. En: |2x + —| , halle el término independiente.
Resolución:
De 2x ̂+ - X t,., = C®(2x )̂®-^U
=^TI: 2 4 -4 k = 0 = k = 6
TI = t, = C^2V = 28X4= 112
65. En (x + l + I + i + ^ 1 , halle la raíz cua­
drada del coeficiente del tercer término. 
Resolución:
, 7 110
En: (x + => Coef t, =
iCoiflT =
l í = 4 5 i l
10
l 2 .
21/5
66. Encontrar x, sabiendo que el término central de 
1
45(X! =
X + — es
X 4 , además; x > O
Resolución:
En el desarrollo de ^x + ^ j ; t 
Pero, como hay 9 términos
■X\''
'Ĉnirdl
t,
,4
■central
(t) .. x = 2
67. Un coleccionista de artículos precolombinos ha Ido 
a exponer sus mejores cerámicas Nazca. Dicho 
coleccionista ha decidido presentar 8 cerámicos 
de los 10 de su colección. ¿De cuántas maneras 
puede seleccionarlos. 5/3 de ellos no pueden faltar 
en la exposición?
Resolución:
Sean los cerámicos A, B y C los que no pueden fal­
tar en la exposición, como se ha decidido presentar 
8, entonces quedaría por seleccionar 5 cerámicos 
de los 7 que quedan; esto viene dado por;
. — 7x6
1x2
68. Un agente vendedor de productos farmacéuticos 
de primera calidad visita diariamente 5 farmacias 
en el Centro de Lima. Para no tratar de dar prefe­
rencias a uno u otro establecimiento ha decidido 
alterar el orden de sus visitas. ¿De cuántas mane­
ras puede hacerlo?
Resolución:
La primera farmacia que visite el vendedor, pue­
de ser cualquiera de las 5 indicadas (5 formas de 
elegir), la segunda solo puede ser elegida de los 4 
que han quedado (4 formas a elegir) y así sucesi­
vamente.
Ps = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
69. En un simposio organizado por la Municipalidad 
de Lima participan 4 alcaldes del Cono Norte y 3 
alcaldes del Cono Sur, los cuales están ubicados
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