Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (135)

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5 8 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c i a S a p i e n s 
Itankl + lsenklL - lim 1
2 cos
L = lim -------
2cos
2 - k s e n ( - |)
Como: 1 - sen2x = (cosx - senx)^
(cosx - senxf - (cos^x - sen^x)sen2x
1 itank +|senk:' LJ :
f ^ “ K \ k .0 s e n ( - |
L = 1 lim2cos 1k_ 
Como: k -> 0
|tank| + jsenk| 
s e n ( - |)
L = 1
2 c o s 1 k- o -
 7 lim
2cos1k_o
L = ^ ^ ^ lim 
2cos1k.n
= - k = |k|
tank
+
senk
- k - k
sen^- 1)
-h
tank senk
|k¡ !k¡
 ̂ sen(-1)
2 '
(- 1)
tank
k + senk
k
sen^- 1)
L = 1 11 l + l 11
eos 1 1 = - ^ [ 2 ] COSV ^
L = 2sec1
39. Evaluar: |ím ~ 2sen2x'
* _ i\ cos2x
4
Resolución:
Sea: L = |¡m / sec^x - 2sen2x 
n\ cos2x
4
Evaluando para x = -^
L =
s e c ^4 -2 s e n í
cos^
9 O— = ^ (indeterminado)
Procuremos levantar la indeterminación: 
L = lím
- 2sen2x
L = lím
L = lím
cos2x I
1 - 2cos^xsen2x 
cos^xcos2x
1 - (1 + cos2x)sen2x
cos'^xcos2x
1 - sen2x - cos2xsen2x 
cos^xcos2x
L = lím
L = lím
cos^x(cos^x - sen^x) 
eos X - senx f - ( eos x - senx |(cos x - senx)sen2x
eos x(cosx + senx Ileos x - senx)
(cosx - senx)[cosx - senx - (cosx + senx)sen2x] 
. - i cos^x(cosx + senx)(cosx - senx)
[cosx - senx - (cosx + senx)sen2x]
X . i cos^x(cosx + senx)
Evaluando para x = -^:
L =
c o s | - se n | - (c o s | + sen^}sen | 
c c s ^ |{c o s i + sen |)
fí(f-f)
Oframaneraderesolver: L= lím í ^ ~ 2sen2x
cos2x
4
Como: sec^x = 1 + tan^x 
2tanxsen2x =
1 + tan X
cos2x = 1 - tan X 
1 + tan^x
Reemplazando y efectuando operaciones se llega 
a:
(tangx+ 1)(tanx- 1)(tan^x+ 1)+ 2(tanx - 1)̂ 
,-2 -{tanx + 1)(tanx - 1)
[_ _ + 1)(tan^x + 1) + 2(tanx - 1)
>-í -( ta n x+ 1 )
Evaluando para: x =
L = - 2
40. Evaluar: lim í52im x^co sn x 
x̂
Resolución;
L = |¡rn f ‘̂ osmx - cosnx\
* -° \ x" /
Notemos que:
cosmx - cosnx = 2sen ̂ jsen^ ~ '
Luego:
L = lím
(n + m)x (n - m)x 
2sen — y -^ s e n
(n + m)x (n - m)x
sen sen-— =-¡—
1 = 2 lím ---------- ¿---------------- í -----
«-0 x x
(n + m)x (n - m}x
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L = 2 n + m w n - mi
(n + mix (n -m ix
(n + m}x {n - m ix
2
41. La ecuación de la demanda de un juguete es 
p^x = 5000, donde se venden x juguetes por mes 
cuando el precio es p unidades monetarias (um) 
por juguete. Se espera que en t meses, cuando 
t e [0; 6], el precio del juguete será p um, donde 
20p = t̂ + 7t + 100. ¿Cuál será la intensidad es­
perada de cambio de la demanda después de 5 
meses? No exprese x en términos de t; use la regla 
de la cadena.
Resolución:
5000 ^ p ^ 1 ^ .|QQj
20
^ = X ’ ( P , , ) X P \ , ^ X ’ - - 1 2 ^
p’ = ^ ( 2 t + 7)
dx
dt
10000
^ ( t ^ + 7t+100)
x ~ i 2 t + 7)
8 x10 '(2 t + 7)
(t^ + 7 t+ 1 0 0 rx2 0 
dx 4x10®(2t + 7)
dt, (t ̂+ 7t+ lOOf
= - 16,6
42. Dada f(x) = x ̂ y g{x) = f{x^), calcule: (a) f(x^); 
(b)g’(x)
Resolución:
a) Si f(x) = x^ entonces; f{x^) = (x̂ )̂
Haciendo: x̂ = u
f(u) = û
= f’(u) = 3u' f(x ') = 3x"
b) Sif(x) = x̂
g(x) = f(x^) == 9(x) = x®
=. g’(x) = 6x®
43. Hallar f(x), si; f{x) = (5 - 3xf^
Resolución:
f ( x ) - | ( 5 - 3 x ) "'=D.{5-3x}
f(x)= |(5 -3 x ) '" ( -3 ) f’(x) =
44. Si: g(x) = V4x^ - 1, hallar: g'(x) 
Resolución:
g’(x )= l(4 x ^ -1 } -^ U (4 x = - 1)
-2
( 5 - 3 x r
g'(x) = l(4x^ - 1) ""(Bx) g'(x) = .
^ 3(4x -1 )
45. Si: g(y) 1 -, hallar: g'(y)
^25 - y'
Resolución:
g '{ y ) - l( 2 5 - y = ) ""D,(25-y=)
g’(y) = 1(25 - y )̂ 2y) g’(y) =
46. Si: f(x) = (5 - 2x^)-'ha lla r: f ’(x) 
Resolución;
f'(x) = -1 (5 - 2x^)-"'^D,(5 - 2x )̂ó
1 
3'
4x
3(5-2 x '
47. Si: f(y) = 3 c o s ^ /^ , hallar: f(y) 
Resolución:
f'{y) = 3 s e n '/^ D .(^/2^)
f(y) = - 3sen'/27 l(2 y 'r ''" x (4 y )
f'(y) = - 3 s e n V ^
4y
3(2y'
, - 4 y s e n ^ ^
(2y2\2.'3
48. S i:g(x)= , hallar: g(x)3x+ 1 
Resolución:
q’(x) = 1 2x -_5 
^ ' 2 3x + 1
g’{x) = ^
2 x -5
3x+ 1
2 x -5 -1;2 (3x + 1 )0 ,(2 x - 5 )- (2 x - 5 |D .(3 x + 1)
3x + 1 !3 x + lf
g'(x) = j
g’(x) = ~
g’(x) =
2 x -5 -1/2 (3x + 1)(2)-{2x -5)(3)
3x+ 1 (3x + l f
2 x -5 1y2 6x + 2 — 6x + 15
3x+ 1 (3x + 1)̂
17
2(3x+ i r í 2 x - 5)’'
49. Si: h{t) = hallar: h’(t)
v m
Resolución:
h’(t) =
h ’ ( t ) =
t+ 1
--1) ^ 'T " '
/ r n
t + 1
2 i ( r ^ 2 - /tT i
t +1 
( t + i ) - ( t - i )
( t + i n í t - 1)''
1
( t + 1)’'
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50. Hallar: j - ( ^dx' X
Resolución-.
x D . - ^ - V x ^ - 1 D J x ì
F’(x) =
X
1-1/2
F ’ ( x ) = 1 -
F’(x) = x ^ - (x ^ - 1)
51. Hallar: ^ / x ^ - 5 Vx^+3 dx
Resolución:
f ’(x) = Vx̂ - 5 D, Vx^ + 3 + 3 D, h ^ - 5
f(x) - 3 ( ^ j(x^ - 5j
f ( x ) = x(x^ + 3 ) ' '( x ^ - 5)- | ( x ^ - 5 ) + (x^ + 3)
.-. f'(x)= |(x ^ + 3)-’V - 5 )-’ '^(5x' - 1)
52. Un anuncio de cartón de 32 de zona impresa, 
debe tener márgenes superior e inferior de 2 m y
4
de m en los laterales. Determíne las dimensio­
nes del trozo más pequeño en cartón que pueda 
usarse para este propósito.
Resolución:
Del gráfico se observa: 
s=.xy = 32 ...(1)
s, = ( x - 4 ) ( y - | ) ...(2)
Operando (2) y reemplazando (1) en (2):
, _ 128 128 8^
3 x 3^
Derivando: s', = - •! = O
x" 3
X = 4/3 e y = | / 3
53. Calcule la altura del cono circular recto de mayor 
volumen posible que puede ser inscrito en una 
esfera de radio a unidades. Sea 29 la medida en 
radianes del ángulo vertical del cono.
Resolución:
El volumen del cono; 
V = p h - ( 1)
De ía figura: r = asen46 y h = a + acos4e 
Reemplazando en (1):
V = l7ia^sen^0(a + acos46)
V= lna'sen^40(1 + cos4e)
«J
V ~ j7ia'(2sen464cos48){1 + cos48) -
(sen^464sen40) = O 
2cos40(1 + cos49) - sen^40 = O 
3cos^46 + 2cos46 - 1 = 0
Resolviendo: cos40 = ^ = cos46 = - 1
Se descarta el segundo resultado.
Reemplazando en h: h - a + a | l j - ~a
54. Determinar una ecuación de la recta normal a la 
10curva y =
(1 4 -x
Resolución:
y = m = 20x
80 
4
(14 - X
en el punto (4; -5 )
^̂ 2 1 pafa: x = 4 
pend
1m x m, = - l= > m , = - ^ (pendiente de la recta 
tangente)
Ecuación de la recta normal; 
y - y, = m,(x - X,); (x,; y,) = (4, - 5)
y + 5 = - 4) = 20y + 100 = - x + 4
X + 20y + 96 = O
55. HaHe una ecuación de la recta tangente a la curva 
en el punto {2; 1)
, para: x = 2
Resolución:
32 1m - - ^ - = . m = - ' ^ {pendiente de la recta tangente)
Ecuación de la recta tangente en el punto {2; 1): 
y - y, = m(x - x,)
y - 1 - - | ( x - 2 ) ^ 2 y - 2 = - x + 2 
.-. X + 2y - 4 = O
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56. Hallar g'(x), si; g(x) = x^+ 1 
x̂ + 3
( x ' - 2x’ ’ + 1)
Resolución:
ííi D,(x^ - 2 x ’ ’ + 1) +
(x " -2 x ’ + 1)D, x^+ 1
g‘(x) =
g'(x) =
x^+ 1
x^ + 3
D,(x' - 2x’ ’ + 1)+ (x ̂- 2x’ ’ + 1
x ̂+ 3
x ̂+ 3)D.(x^ + 1) - (x^ + 1)D,(x"+ 3)
x '+ 1
x^ + 3
( x '+ 3 f 
(2x+ 2x-')+ (x̂ - 2x-’ + 1)
(x^ + 3 )(3x ')-(x '+ 1 )(2x)
^ (x̂ + 1)(2x + 2x~̂ 
x̂ + 3 
= ( x " + 1 ) ( 2 x + 2 x ~ 
x^+ 3
• + (x^-2x-’ +1)
i ñ -y i ¡2' \ ñ ^ Í2 Í2
3x" + 9x̂ - 2x‘ - 2) i = ( 2 / ( 2 ) 2
(x' + 3)" 1 .Ir,.
+ (x ^ -2 x - '+ 1) x" + 9x ̂- 2x
3 f
„ , (x^+1)(2x + 2x’ )̂ ( x ^ -2 x -V l) ( x ‘' + 9 x "- 2x¡)
x" + 3 x ' + 3 f
57. Halle una ecuación de la recta tangente a la curva 
y = x ̂- 4 en el punto (2; 4)
Resoiución:
Cálculo de la pendiente m: 
m = y’ = 3x^ para x = 2 => m = 12 
Calculemos a continuación la ecuación de la recta 
tangente, aplicando la fórmula punto-pendiente: 
y - y, = m(x - x,); [m = 12; (x,; y,) = (2; 4)] 
y - 4 = 12(x - 2) = y - 4 = 12x - 24 
12x - y - 20 = O
58. Hallar f(x), si: f(x) = - 1)x + 5
Resolución:
f(x) = (3x - 1)D, 2x+ 1 2x + 1]
x + 5 x + 5 D,(3x - 1)
= (3x-1 )
= (3 x - 1) 
f(x) - (3x 
- (3x - 1)
■- f(x) = -
{x + 5)D,(2x + 1 i- (2x+ 1 iD ,|x + 5)
(x + 5 f
2x + 1
(x + 5)(2)-(2x+1)(1 ) 2x+ 11
(x + 5)̂ x + 5
- 1 ) 2 x + 1 0 - 2 x -1 6x + 3
(x + 5 f x + 5
x + 5
(3)
(3)
(x + 5)
59. Calcular: L = \ím, K\ eos X - senx
Resolución:
(cos“x f - (sen^xl= lím
= lím
= lím
cosx - senxI
 ̂ (cos^x + sen''x)(cos‘'x - sen‘*x)
• (cosx-senx)I ' '
ícos^x - sen“x)(cos^x + sen^x)(cos^x - sen^x) 
(cosx - senx)
{cos'‘x + sen"x)(cosx + senx)(cosx - senx(cosx - senx)
= lím (cos'‘ x + sen‘‘x)(cosx + senx)
Evaluando para x = ^ , resulta:
60. Calcular; L = lím sen‘'3x +1
\ sen'x - 1
2
Resolución:
sen^Sx + 1̂ = (sen3x + 1)(sen^3x - sen3x(1) + 1̂ ) 
sen^x - 1̂ = (senx- 1)(sen^x+senx(1) + 1̂ ) 
Reemplazando;
,, (sen3x + 1)(sen^3x - sen3x + 1)
— I im ---------------------- ;------- 5 ---------------------------
x -| (senx - 1)(sen X - senx + 1)
,, (sen3x+1),. (sen^3x - sen3x + 1)- Iim -------------------------------------------- ^
(se n x -1 )x_ | (sen X + senx + 1)
_ (3senx - 4sen^x + 1)^(1 - (-1 ) + 1)
(senx - 1) (1 + 1 + 1)
_ [3senx - 3sen^x + 1 - sen^x] 
x -| - {1 -s e n x )
Km [3senx(1 - sen^x) + (1 - sen'x)]
-(1 - senx)2 '
_ ¡3senx(1 +senx)(1 -senx)+(1 - senx)(1 senx + sen^x) 
1 ( 1 -senx)
= lím - [3senx(1 + senx) + 1 + senx + sen^x]
'2
= lím - [4senx + 1 + 4sen^x]
2
L = - [4 + 1 + 4] = -9
9 . 6x + 3 27X -9 , 6x + 3 61. Calcular: E = lím sen(5Ttx) + cos(iix) + 1 
1 - x̂
(x + 5)̂ ' X + 5 (x + 5)̂ ' X + 5
Resolución;
(x^+ 10x+ 1) Evaluando para x = 1:
g ^ san_5„+^cos» + 1 ^ O (¡„determinado)
Hagamos algunas transformaciones;
Sea: x-1-h=»x-1+h
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