Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (129)

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e s = ( - 0C.; -3/2) u (3; + ^ )
55. Calcular el número de cifras del producto x 12® 
Datos:
Icg7 = 0,84509; log2 = 0,301030; Icg3 = 0,477121 
Resolución:
Sea; N = 7^ 'x 12®
logN = 12log7 + 8log(2' x 3)
=» logN = 12log7 + 16log2 + 8log3 
=» logN = 4(3log7 + 4log2 + 2log3) 
Reemplazando valores: 
logN = 18,774528 = 18 + 0,774528
— ► característica
19
56. Si X es un número positivo que tiene en su escritura 
6 dígitos en la parte entera, hallar el intervalo de: 
logx.
Resolución:
Asumamos: x = abcdef, mnp 
6 cifras
Donde: O < mnp =» logx = 5 + mantisa 
O < mantisa < 1 =* 5 < logx <•- 6
(5; 6)
57. Sea a; b e E ‘ - {1}, tal que; 
l09ab colog,b(-|^) + ^log3(,b = !og,\a - log, ,̂b
y se define la función “f de modo que: 
f(x) = antilogjX + log4X, hallar: f [ -' 3
Resolución:
Dando forma en el corchete:
co lo g ,,(^ ) - = lo g ,,/ i - ^log,,a
Reemplazando en la igualdad;
•og. j(log3,a + loĝ bb) = (togada + bg^bXIog^a - log„b)
De aquí; log^ = log^.ab X log,,(a/b)
^ lo93b(1/2) = log3,(a/b) => - = 2
Si; f{x) = antilogsX + log^x 
=> f(2) = antilog22 + log222’ = 2̂ + ^ 
f{2) = 9/2
58. Determine el conjunto solución de ía inecuación;
..1^^771 X-Y322X.5
Resolución:
— (2^
2x-5
5ix-1Por teoría de exponentes: (2 )’
, I t t t I ^ ! - 1 ) ^ 3 ( > L L 3 \ 5 / ^ ^ + ^ 
\ X + 1 / \ X - 1
^ 2 ■ ' = 
lOx + 25 3x + 9 O 7x' + 29x + 34
( x - l ) ( x + 1) > O
=» 7x ̂+ 29x + 34 0; V X e IR
Dado que: a < O
=> ( x - l ) ( x + l ) ’ 0=» x < - l v x -> 1 
. ' . e s = ( ~ o c ; — 1 ) U (1; + 3 c )
59. Al resolver la siguiente inecuación;
( X - 1)-'^ < V (x - 1/’''^ '
el conjunto solución es; (m; +3̂ )̂, hallar 
Resolución:
X -2
De: ( X - l) -"^ < ( x - 1) ^ ...(1)
Se sabe que: x - 2 > 0 =» x < 2 .,.(2)
De (1), analizamos dos casos:
• X - 1 > 1 A
X , 2 A 9(x - 2) < (x - 2 f
X -■ 2 A X > 11
S , ; X -> 11
• O < X - 1 < 1 A
1 < X <. 2 3x
Luego Ŝ . x e 0
es = (S, u S2) n (II) = (11; +0:) n [2; +cc)
O S = ( 1 1 ; + c c )
=» m = 11 = 121
60. Determinar ei conjunto solución de la inecuación.
(1 25)'-'“9Í' < (0,64)^"'°«'^’'
Resolución;
De la inecuación; x O
/ R O ■ I03j» ( C ,Luego: ( | ) < '^
••(1)
2 + 1092«
Como base; 5
=» 1 - logsX <- - 4 - 2log2X̂ 
log^x -4log2X- 5 O 
Factorizando; (logjX + l)(log2X - 5) > O 
=> logsX < -1 V logjX 5
32
Intersecando con (1), se tiene:
O <■ X < ^ V X > 32
.-. e s = (0; 1/2) u (32; +oc)
61. Calcular:
•>
A = -jloga - Scologc - 2cologb + lo g - ^ 
R esolución:
A = -|loga - 5(-logc) - 2 (- logb) + lo g /? -logcV 
A = •|loga + 5logc + 21ogb + -|loga - (loge* + logb )̂
<1 O
A = ^loga + 5logc + 2logb + -|loga - 5logc - 2logb 
A = Sloga
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62. Si: P = l o g | | - 2 l o g | + l o g ^ 
calcular: antilogP 
Resolución:
Cuando se tenga sumas y restas conviene trans­
formar la expresión a logaritmos de un producto o 
un cociente. Entonces:
32log 243
32P = l o g f x |09j ^3
- l o g ( f
- ' “9 Í
^ ' '°g 25X^6X243 = '“ ==2
Tomando antilog en ambos miembros: 
antilogP = antilog(log2) 
antilogP = 2
63. Si: logaOO = m, hallar: loĝ aO
Resolución:
log(a X 100) = m
loga + loglOO = m => loga = m - 2 ...(1)
Cambiando de base;
loga loga 
Reemplazando (1) en (2):
lo g ^ 5 Ó = m : : ^ = r T v q
m - 2 m - 2
64. Si: log15 = a; log21 = b; log35 = c 
calcular; iog49
Resolución:
Tenemos: log15 = logS + logS = a ...{1) 
log21 = log3 + log7 = b ...{2)
Restando (2) menos (1):
log? - logS = b - a ...(3)
log35 = log? + logS = c ...(4)
Sumando (3) y (4): 2log? = b + c - a 
log49 = b + c - a
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (tN I 2003 - 1)
Hallar el número de ralees que tiene la ecuación: 
llogal X II + - 5 = O
A)1 B)2 0 3 D)4 E)5
Resolución:
Del problema tenemos: llogjl x || = 5 - x̂ 
Graficando llogjl x ||:
I092X logalxl |logj|x||
Luego: logs(x ̂- 20x) = log^125
x̂ - 20x = 125 x" - 20x - 125 = 0
-1 r 1 ; Resolviendo: {x - 25)(x + 5) = 0
Graficando 5 - x̂
- /5
Intersecando ambas gráficas;
-1 \V5
Luego:
n.° de intersecciones = n.° de soluciones 
Por lo tanto, n.° de soluciones = 4
Clave: D
PROBLEMA 2 (UNI 2013 • II)
Las soluciones reales de la ecuación 
log5(x̂ - 20x) = 3 son:
A) no existen 
C) únicamente x = 5 
E) X, = —5; X2 = 25
Resolución:
Hallando el CVA: x̂ - 20x " O
x(x - 20) ■> O =• X < O V X 20
B) únicamente x = 25 
D) X , = 5; x¡¡ = 25
Como estos valores satisfacen al CVA, entonces son 
las soluciones reales: x, = -5 ; Xj = 25
Clave: E
PROBLEMA 3 (UNI 2004 - II)
Determine la base “a”, tal que: log^/27 = - l
A) 1/243 
D) 1/9
B )1/81 
E) 1/3
C) 1/27
Resolución:
Sabemos: logt,N" = nlogt,N 
Aplicando: -^loga27 = - 1 : 
Luego: a” ’ = 27 a =
109̂ 2? = -1
Clave: C
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PROBLEMA 4 (UNI 2005 - 1)
El conjunto solución de la inecuación; logstS - 4x[ > 2 es;
A) ( - 1 :3 
D )E
B ) E - - | 3 C ) E - - | : 3
E ) E - ( - | ; 3
Resolución;
De ta inecuación se tendrá;
X 7¿ iogjIS - 4x( > 2 « logjIS - 4x| > 109,9
Siendo la base mayor que 1;
=» |3 -4 x | > 9;
De donde; 3 - 4x > 9 v 3 - 4x < -9
O
Resolviendo; - ^ > x v 3 < x 
Grafiquemos tas desigualdades:
Entonces; CS = E - ~§;3
Clave; B
PROBLEMA 5 (UNI 2005 • II)
Al resolver ta ecuación;
X + log,424(1 + 2”) = xtog,424712 + log,424/2 entonces 
podemos decir, que el número de soluciones es;
A) O B)1 C)2 D)3 E)4
Resolución:
+ Io9 i424(1 + 2') = xlog,424712 + tog,42472
X + log,424(1 + 2”) = xiog, 1424 log,424̂ 2Jl424̂ 2
X + iog,424(1 + 2*) = x log ,4 2 4 l4 2 4 - x to g , 4 2 4 2 + iog,42472 
X + log,424(1 + 2 ”) = X - io g , 4 2 4 2 " + log,42472
Io 9 i 424(1 + 2 " ) = t o g , 4 2 4 ( - ^ ) ^ 1 + 2 * =
72 72
.2“ / 2‘
{ T f + 2" - 72 = O => {2” + 9)(2* - 8) = O 
Como: 2’‘ + 9 > 0 = » 2 '‘ - 8 = 0 
=.2x = 8 = 2" =»x = 3
Por lo tanto, la ecuación tiene una única solución.
Clave;B
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P R O B L E M A S PROPUESTOS !E3
1. Sí 3' = 2; 2'' = 3, hallar: logx + logy
A) O B)2 0 3 D)5 E)6
2. Halle X en: logx ̂+ logx^ = 10
A) 10 8) 100 OlOOO
D)0 E)1
3. Si logas? = 3. logaSS en función de “a”.
A) - J — B) C) 1
1 + a 1 - a
E)0
3 + a
4. Indicar el equivalente reducido de;
1
loge15+1 Iog340+ 1 log524 + 1
A) O 
D)3
B)1
E}4
0 2
0 2
5. Reducir: logjS'®®’ '̂”' ’^
A) O B)1
D)3 E)4
6. Resolver la ecuación: log/x - log3 = - ̂y determi­
nar el valor de x.
A )9/ÍÓ
D)60
B)90
E)30
03V ÍÓ
7. Si 10962 = a, cuánto vale loggS.
A) 2a B)a’ C) 1 - a
D )a + 1 E )2 a -1
8. ¿Cuál es el número que es igual a su logaritmo en 
base /2 ?. Dar la suma de los valores que cumplan.
A) 4 
D)8
B)6
E)7
0 5
9. Calcular (x + y), si se verifica la relación: 
log{2x) log(2y)logx =
A) 2 
D)6
B)4
E)9
10. Resolver: = 64
A) 8 
D)4
B)6
E)3
0 5
0 5
11. Si; loQvba = —^ .c a lc u la r: ¿ iogxjbsk
 ̂̂ ̂ K = 2
B) n + 1 C) O
n(n +1)
12. Si: log2X = y halle; 109̂ 2
A)1 B)x
D) f E) 9y"
13. Reducir: (logjsS“ + 109,9 )(logj2)
O y
c ) f
D)1 E)2
14. Efectuar: log.s^g^sVe? + log,5^6®/36
A) 14 
D) 18
B) 12 
E) 20
15. Si: logjS = a y 10926 = b 
calcular: logjl.S + logjIO
A) ab -I-1 B)ab
C) 16
O
16. De las ecuaciones: logjX + logjy = 3
ylogyfx - 7> _ g
determinar el valor de: (3x + 5y)
A) 26 8)30 O 40
D) 49 E) 50
17. Si log 15 = m; log-| = nD
calcular logjsS en función de m; n.
A )m + n
D)
m - n
m - n̂ 
m + 5n
2m -h n 
m
m + 4n 
m - 3n
C) 2m - n 
m + 3n
18. Luego de resolver (log2X)(log2X - 4) = loggX - 6, 
indicar la suma de soluciones.
A) 12 B)15 0 1 6 D)14 E) 10
19. Si M = 10936 y N = Í0932, halle: M - N
A) 1 B)0 0 - 1 D)2 E )-2
20. Sume log22 + log24 -1- logsS -1- ... -1- Iog2l024
O 110A) 50 
D)220
B) 55 
E )1024
21. Si a = 109216; b = log/527, halle; a + 2b
A) 25 B) 28 O 23
0)16 E)18
log ,15-log,522. Reducir; — logjS
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