Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (90)

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De (P ) : x ^ - x - 3 = - x + 3 =*x^ = 6
=> X - ■[& V x= - /6
CS = (0; 2; -/6; - / 6 )
3. Hallar el conjunto solución en la ecuación: 
|2x - 1| = x + 2
Resolución;
Para este caso se cumple la propiedad:
lxl = b « ^ b > 0 ^ [x = b v x = -b j
Para nuestro caso: 
Universo de solución: 
x + 2 > 0 =• x > - 2
U
- 2
x e [ - 2 ; =c)
Con lo cual:
2 x - 1 = x + 2 v = 2 x - 1 = - x - 2
X = 3 e U V x= O
CS = ^ - ^ : 3
u
4. Resolver: ||x - 3| - 2| = 3 
Resolución:
Haciendo; |x - 3| = a ...(a)
Donde a > 0; se tendría: |a - 2| = 3 
=» a - 2 = 3 V 3 - 2 = - 3 
=»a = 5 v a = -1 (No)
En (a), dado que a > Q = l x - 3 j = 5
= x - 3 = 5 V x - 3 = - 5
=, X = 8 V x = -2 CS = {-2 ; 8}
5. Resolver; - |x - 1| + ¡2x + 3| = 5 
Resolución;
Igualando cada valor absoluto a cero determina­
mos los puntos de corte en la recta real:
|2x + 3 | = 0 - | x - 1 | = 0
 • 1 • ►
O 1
Respecto a los signos de los valores absolutos en 
cada intervalo se tendría;
. 3
( + ) ( - )
. : ( + ) ( + ) 
Analizando en cada intervalo;
- |2x + 3| + |x - 1| = 5 
- 2 x - 3 + x - 1 = 5 
x = - 9
Como: - 9 e ( - o o ; - x = - 9; es solución.
- 1 ^ |2x + 3| + |x - 1| = 5 
2x + 3 + x - 1 = 5 
3x = 3 =» X = 1
Como: 1 e 1 X = 1; es solución.
• x e <1; + o5); 12x+ 31 - jx - 11 = 5
2 x - h 3 - x + 1 = 5 =»x = 1 
Como; 1 € (1; + o c ) => x = 1, no es solución. 
CS = {-9 ; 1}
6. Resolver; [3x + 1] - [x - 1) = 12, e indicar la 
suma de los cuadrados de las raíces de la ecua­
ción dada.
Resolución:
(3x + 1| - |x - 1| = 12
=. ^x < - - 1 a - 3 x - 1 + x - 1 = 12
V ( - - ^ < x < 1 a 3 x + 1 + x - 1 = 1 2
V (x > 1 A 3x 1 - X -I- 1 = 12)
= í ( x < - - i A x = - 7 j V | - - j < X < 1 A x = 3|
V (X >1 A X = 5)
=> (x = -7 ) V (xS(t)) V (x = 5)
= X, = - 7 V Xj = 5 .-. x̂ T + x̂ 2 = 74
<4 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Las inecuaciones con valor absoluto se resuelven te­
niendo en cuenta las siguientes propiedades:
V x; a e IR; se cumple;
I. )x( < |a¡ (x + a )(x - a ) < O 
1x 1 < la i « . (x + a )(x - a ) < O
II- (x| > |a| «:> (x + a)(x - a) > O 
 Ixl > |a( ^ (x + a)(x - a) > O
)x| < |a| e*. a > O A (-a < x < a] 
|x| < a » a > O A [-a < x < a]
IV. |x| > a <=> X < -a V X > a 
Ixl > a •» x < -a V X > a
Ejemplos:
1- Resolver. 13x - 2i < I2 x - 11 
R e s o lu c ió n :
Dado que; la! < Ibl ■» (a + b) (a - b) < O
Para la inecuación dada, se tendría;
(3x - 2 + 2x - 1)(3x - 2 - 2x -H 1) < O
(5x - 3)(x - 1) < O ^ P C : x = | v x = 1
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De la recta real:
Vemos que: x e
Resolver: |x̂ - x| > x - 1 
Resolución:
Desde que a l > b « í ' a < - b v a > b
La inecuación dada se transforma en: 
x ^ - x < - ( x - 1 ) V x ^ - x > x - 1 
Resolviendo cada una de las inecuaciones:
• x ^ - x < - x + 1 => x^ - 1 < O
( X + 1)(x - 1) < O =» PC: x = -1 V x = 1 
En la recta real:
- 3 0 - 1 0 1
Vemosque:xe ( -1:1)
X^ - X > x - 1
(x - 1 )^ > o ^ PC: X = 1 A X = 1 
En la recta real:
...(a)
• ÍP)
3.
0 1 +3C
Vemos que x e {-oo; 1) u (1 ; +ao)
Dado que la solución es (a) u (P);
X G ( - o c ; 1) u (1; + c o ) V X e E - {1}
Resolver: |3x - 2| < 5 
Resolución;
De acuerdo a las propiedades establecidas como: 
5 > 0; entonces: - 5 < 3x - 2 < 5 
Sumando 2 a todos los miembros:
-5 + 2 < 3 x - 2 + 2 < 5 + 2 
— 3 < 3x < 7
Dividiendo entre 3:
X
1
Resolver: |2x + 5| > ]5x - 2|
R e s o lu c ió n :
Como; l3l - lb| =» (a+b){a-b) > O
En Í3 inecuación dada se tendría:
(2x + 5 + 5x - 2)(2x + 5 - 5x + 2) > O
(7x + 3)(-3x + 7)> O
Cambiando el signo de x
(7x + 3){3x - 7) < O =» PC: X = - | V X =
t W
En la recta:
_3
7
Vemos que: x G -3 . 7
7 ’ 3
Resolver: |x - 2| - |2x -1 | < 2 
Resolución;
Igualando cada valor absoluto a cero para deter­
minar los puntos de corte en la recta rea!; vemos 
que:
|2x- 1| 
 • —
|x-2| 
—• —
La inecuación a analizar es: -|2x - 11 + |x - 2| < 2 
Para el intervalo / - o c; 1 ; tos signos de ios va­
lores absolutos son ( - ; - ) de donde;
2 x - 1 - x + 2 < 2 
<------------------
x < 1
x e ¡ - o c ; ^ (a)
; los signos de los vaio*Para el intervalo 2
res absolutos son {+; - ) ; de donde: 
- 2 x - h 1 - x + 2 < 2 = > - 3 x < - 1
(P)
Para el intervalo: {2; +oo): los signos de los va­
lores absolutos son {+; +) de donde:
2 x + 1 + x - 2 < 2 =. - X < 3 =* X > - 3
1---------- 1-------- ¿1------------------------^
-3 O
x e (2 ; + j c ] ...(0)
La solución de la inecuación propuesta estará 
dada por (a) u (P) u (tí)
; 2 U (2; x.) = (—oc; + o c )
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6. Resolver: |x| + |x - 1| < 5
Resolución;
|x| + |x - 1| < 5
Como: ]x + X - 1| < |x| + |x - 1|
12x - 11 < 5 =» - 5 < 2x - 1 < 5 
^ -4 < 2x < 6 « -2 < x < 3 
CS = (-2; 3)
Sea: A =
determinar el cardinal de A. 
Resolución:
A =
Por 18: 8(3x - 1) - 3(2 - 3x)< 18x 
« 24x - 8 - 6 + 9x< 18x ^ 15x< 14 
14=> X < ; como x e IN, se tiene que: A= { } =
n{A) = O
8. Dados ios conjuntos:
'X - 1P = X p ffi/( s( ( -2 ; 3 ] - {1
Q = {x S IR/(2x + 1) C { { - 9j o [ - 3;9))} 
determinar la suma de los elementos del conjunto 
(P\Q) n 2, (E: conjunto de números enteros). 
R e s o lu c ió n ;
P - { x e I S / ^ e ( ( - 2 ; 3]-{1})}
^ - 2 < ^ ^ < 3 A
= * - 3 < x < 7 A x ^ 3 =»P = (;-3; 7] - {3}
Q= {x 6lR/(2x + 1) e (-oc; 9j n [-3; 9)}
Q= {x € IR/ (2x + 1) G [-3; 9)}
=» -3<2 x + 1 < 9 = » - 2 < x < 4
- Q = [-2;4)
Luego: P\Q = ((-3; 7] - {3))\ [-2; 4)
= P\Q = (-3; -2 ) u [4; 7]
(P\Q) n Z = {4; 5; 6; 7}
.-. La suma de ellos es 22.
9. Hallar el conjunto solución de la inecuación:
( X - 1)̂ - 1 > ( X - 2 f
R e s o lu c ió n :
( X - 1)̂ - 1 > ( X - 2 f
x̂ - 2x + 1 - 1 > x̂ - 4x 4- 4
= 2x > 4 ^ X > 2
CS = (2; +oc)
10 Resolver: fx + 3 + -¡4 -~x > -3 
Resolución:
Calculando ios universos relativos:
U,: x + 3 > 0 =»x> —3 =» X 6 [—3; +30) 
U 2 : 4 - x > 0 =»x<4 =»X€ ( - 00; 41
Intersecando se tiene:
U = [-3; +=c) n ( - 0); 4] = [-3; 4j
Como la suma de 2 positivos es siempre mayor 
que un negativo.
=> Vx + 3 + V4^ X > -3. es válido.
V x e [ - 3 ; 4 J
11. Indicar cuál es el conjunto solución de x, luego de 
resolver la inecuación: /x + 3 < 3 - /x
Resolución:
Analizando se tiene que: 
x + 3 > 0 = » x > - 3 a x > 0 = * x > 0 
Interceptando se tiene:
X e (0; + c c ) . . . { a )
Elevando al cuadrado: (Vx + 3 + f x f < 3̂
X + 3 + 2Vx̂ +~3x + x < 9
2x + 3 + 2Vx̂ + 3x < 9 => 2x + 2Vx^+ 3x < 6 
(+2) =» + 3x < 3 - x = » 3 - x > 0 = > x < 3
Elevando al cuadrado: x̂ + 3x < 9 - 6x + x̂ 
9 x< 9 = » x < 1 a x < 3
XE(-oc;1) ...(p)
Intersecando (u) y (P)
CS = X e [0; 1 ;
12. Determinar la solución de la inecuación:
V x ^ - 1 4 x + 13 < X + 1 
Resolución:
Aplicando la propiedad:
/a < b » [a > O a (b > O /\ a < b̂ )j 
Luego, se tiene: 
x^- 14x + 13 2 O A
{x + 1 > O A [x ' - 14x + 13 < (X + 1)̂ ]} 
(X- 13)(x- 1)2 0 A
{X > - 1 A [(X - 13)(x - 1) < (x + 1)^1} 
x e ( - r x . ; 1 J U [1 3 : + a c )n x ^ - 1 4 x + 13 < x^ + 2 x +1
x > 3 /4
Luego: x e (-=c; 1] u [1 3 ; + 0 0 ) a [x > 3 /4 ]
=> x e (3 /4 ; 1]
13. Resolver: > O
X - 1 'V X + 3 
Resolución:
Por propiedad:
/a + S > O ^ a > O A b > 0
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2 x - 8 - . n 5 -X ~ ^ aLuego- ''
Resolviendo:
(X - 4)(x - 1 ) > O A (5 - x)(x + 3) > O 
(X - 4){x - 1)>0:x?i 1 A ( x - 5)(x + 3 )< 0 ; x ^ - 3
+ + \ * 4- ----------- 1
+
1 - ^ " - 3 5
e ( - ^ 1 ) u [4: 4-cc) A X e ( - 3 5 3
Luego, intersecando se tendrá;
X í: (-3; 1'/ u(4; 5]
14. Resolver; {x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) > O 
Resolución:
Los puntos críticos son: 1;2:3;4
- X 1 2 3 4 -rjc
CS = 1] u [2: 3] u [4; +ac)
15. Resolver:
{x" - 4)(1 - x)(x ̂+ X + 1 f ( x ^ - 5x - 6) > O
Resolución:
Simplificando (x̂ + x + 1 f \ pues x̂ + x + 1 es po­
sitivo, nos queda {x̂ - 4)(1 - x)(x ̂ - 5x - 6) > O, 
pero podemos factorizar y nos queda:
( X + 2)(x - 2)(x - 1)(x - 6)(x + 1) < O
Q PROBLEMAS RESUELTOS Q
Determinar ta suma de elementosdel siguiente
conjunto:
A = X E/ 6x ! - 4
4 - xl
= - 1
2.
Resolución:
De A: 4 - |x| / O == x # ± 4 
Luego: 16x - x̂ | - 4= -4 -h |x|
=> |6x - x"̂ ! = jx|; de aquí:
6x x̂ - x V 6x - x̂ = - x 
x(x - 5) = O V x(x - 7} = O 
(x = O V X = 5) V (x = O y X = 7) =» 
I de elementos de A: 12
Dados los siguientes enunciados;
I |x̂ - 3x + 1| < |2x̂ - 4x + 2| +
A = {0; 5; 7}
-x' + 3x - 1!
il, V4x̂ + 4x 4-1 = O, tiene 2 soluciones reales.
„ 2 I X I
III. Si X O, la ecuación + 1 no tiene
IXI x̂
solución real.
Señalar lo correcto.
Resolución:
Observación: |x^- 3x + 1| = |-x^ + 3x - 1|
I. | x ' - 3x + 1¡ < |2x" - 4x + 2| + |x ' - 3x + 1|
^ |2x^- 4x -t- 21 >0
Esto se verifica v x f IR =. (I) es V
II. -Í4x̂ + 4x+ 1= O ^4x^ + 4 x + 1 = 0 
^ {2x + 1)̂ = O ^ X = -1/2
^C S = {-1/2} ^ ( l l ) e s F
III. S i x > 0 ^ . í ^ + -^ = x + - = 1
X X
De aquí: x̂ - x -h 1 = O
De donde: X 9̂ E =( l ! l )esV 
.'. Son correctos (I) y {111}
3. Si se cumple que;
|2x + b| + |y - b| + 3|b - 21 = O 
x; y; b e E, determinar: T = x + y + 3b
R e s o lu c ió n ;
Como |a| > O, V a e IR
=» La única posibilidad para que:
2x + b| + |y - b| + 3|b - 2 \ = 0
Es: O O O
Obs. • 2x + b = 0 ^ x = -b/2 
• y - b = 0 =»y = b
. b - 2 = 0 ^ b = 2
O sea que; x = -1; y = 2 
T = X +■ y + 3b = 7
4. Si A es un conjunto definido por;
A = {x e IR / ||x - 2| + |x + 311- ||x - 1| - |x + 4¡|
= 2-/x - x^} y se proponen los siguientes enun­
ciados:
I. n{A) = 3
II. 3 x,. X2 € A/ X, + Xj = 3/2
III. 3 x€ A/x e (0; 1/2)
Indicar cuál(es) es (son) correcto(s),
R e s o lu c ió n :
De A: X - x̂ > O =» x(x - 1) < O
De aquí: O < x < 1 condición necesaria
Con esto analizamos ei signo de las cantidades
dentro de las barras.
• - 2 < x - 2 < - 1 = . | x - 2 | = 2 - x
• 3 < x + 3 ( < 4 =>(x + 3( = x + 3
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